小学奥数 牛吃草及盈亏问题
盈亏问题和牛吃草问题
一，牛吃草问题属于应用题模块，是经典的奥数题型之一，也是考试中经常会涉及到的考点。下边是牛吃草的五大经典类型，大家可以来学习一下。
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．
解“牛吃草”问题的主要依据：
①草的每天生长量不变；
②每头牛每天的食草量不变；
③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
④新生的草量＝每天生长量×天数
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度＝(对应牛的头数×较多天数－对应牛的头数×较少天数)÷(较多天数－较少天数)；
⑶原来的草量＝对应牛的头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
⑷吃的天数＝原来的草量÷(牛的头数－草的生长速度)；
⑸牛的头数＝原来的草量÷吃的天数＋草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。
例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。
设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加 20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。
200－150＝50（份），20—10＝10（天），
说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。
所以，这片草地可供25头牛吃5天。
在例1的解法中要注意三点：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。
例2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？
分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”
进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。
出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。
设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是
(16-15)/3=1/3(份)
假设让1/3个出水管专门排进水管新进得水,两相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量为:(2-1/3)×8=40/3(份)或(3-1/3)×5=40/3(份)
解:设出水管每分钟排出得水为1份,每分钟进水量(2×8-3×5)/(8-5)=1/3(份) 进水管提前开了(2-1/3)×8÷1/3=40(分)
答：出水管比进水管晚开40分钟。
例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。
设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草
（20＋10）×5＝150（份）。
由150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。+
例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩V用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
分析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男
孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。
解：自动扶梯每分钟走
（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级），
自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。
答：扶梯共有150级。
例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。
设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为
（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要
60÷（7-2）=12（分）。
例6 有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？
分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。
［5，6，8］＝120。
因为 5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。
因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。
120÷8＝15，问题变为： 120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：
“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供28 5头牛吃几天？”
这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有
（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10＝84 0（份）。可供285头牛吃
840÷（285—180）＝8（天）。
所以，第三块草地可供19头牛吃8天。
二，知识点说明：
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．
可以得出盈亏问题的基本关系式：
(
(
(
物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.
注意1.条件转换 2.关系互换
板块一、直接计算型盈亏问题
【例 1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，
就少27块，第二种少2
1块，结果
总数就相差9
（块）．
【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？
【解析】“多8元”与“多4
【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2
.
【巩固】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？
【解析】由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出
10
60
【例 2】
只．
【详解】当
【巩固】学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？
【解析】“差9本”和“差2
【巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？
【解析】由
12
【巩固】王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？
【解析】本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多
30元，从买7把变成买5
140元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把
70.
【巩固】工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？
【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差
1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120
元．本例可假设250
就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120
（个）．
【例 3】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?
【解析】由已知条件
每间5人少14个床位
每间7人多4个床位
人，
间)
人)人)
【巩固】学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？
【解析】如果30168
（间）．（这是一个鸡兔同笼，放在这里做对比）
【巩固】智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
【解析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差
9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1
（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷
1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.
【巩固】秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回
的萝卜有多少个？计划吃多少天？
【解析】题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就
是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差
48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个
2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜
了．吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝
160（个）或 4×28＋48＝160（个）．
板块二、条件关系转换型盈亏问题
【例 4】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？
【解析】猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两
【巩固】学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？
【解析】第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两
【巩固】学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？
【解析】第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次
.
【巩固】一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？
【解析】第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分
【巩固】实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？
【解析】没辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.
学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.
【例 5】甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用 2 张信纸，乙每封信用 3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，
乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？
【解析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信纸，两次分配的差为(3－2)张信纸，所以有信封(20＋30)÷(3－
2)＝50(个)，有信纸2×50＋20＝120(张)．
【例 6】幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班比
小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？
【解析】先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少3
【巩固】幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人 5 粒就缺 6 粒．如果分给小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 个小朋
友，这袋糖果共有多少粒？
【解析】如果大班增加2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人5 粒缺16 粒，每人4 粒多4 粒”的盈亏问题．小班有(16＋4)÷(5－4)＝20(人)．这袋糖果有
4×20＋4＝84(粒)．
【例 7】
【解析】第
糖分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分
块)．
【巩固】卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还
缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？
【解析】使同学们感到困难的是条件“3倍还少5只大熊猫”．先要转化这一条件，假设
还有 10 5个大熊猫，把“少5只大熊猫”这一
条件暂时搁置一边，只考虑3倍大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给
(棵)竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差
棵)只)，竹子总数是
棵)．
【巩固】体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？
【解析】考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给2×3＝6（个），每人给5个与给6个，总数相差10＋8＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5)＝18（人），乒乓
球总数是 5×18＋10＝100（个）．
【例 8】王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
【解析】因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.
苹果个数为13×7-5=86（个）.
桔子数为13×3+4=43（个）.
答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.
【巩固】学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：
学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？
【解析】因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次
分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5
×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.
【例 9】用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.
【解析】井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.
绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者（22-4）×3=18×3=54（米）.
【例 10】乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．乐乐共存了多少钱？【解析】假设去掉22个2分币，那么按钱数算，54分，一个5分币
比一个2分币多3分，所以52分币有：
【例 11】阳光小学学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？
【解析】每车多坐5人)，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人．因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人
无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？车数是
辆)，人数是(人)或
人)．
【巩固】幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅．问：到会议室开会的少先队员有多少人？【解析】第二个条件可转化为：“每条长椅上坐7个人，则少21个人”，“多7人”与
“少21人)人)，因此就知
条)人)．
【巩固】智康小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则多出3人.问：合唱队有多少人？
【解析】“多9人”与“多3人”两者相差9－3＝6（人），每条长椅要多座 4－3＝1（人），因此就知道，共有6÷1＝6（条）长椅，人数是6×3+9＝27（人）．【巩固】少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名
少先队员？共挖了多少树坑？
【解析】这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成
每人挖6个树坑，形成统一的标准。那么它就相当于每人挖6个树坑，就要差
（6-4）*2=4个树坑。这样，盈亏总数就是3+4=7，所以，有少先队员7/（6-5）
=7名，共挖了5*7+3=38个坑。盈亏总数等于3+（6-4）*2=7，少先队员有7/
（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个树坑。
【巩固】六年级学生出去划船。老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐。安排时发现有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方
坐，请问：一共有多少学生？
【解析】如果3条船没有坏，每船坐8
【例 12】学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？
【解析】每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间
人)人)．两
人)，因此，房间总数是：38÷2＝19(间)，学
人)人)．
【巩固】学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出22人；每个房间多住5人，则空1个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？
【解析】每个房间住3人，则多出22人，每个房间多住5人，意味着就是每个房间住8个
人,则空出1个房间，这1人)，由此可见，每
人)人)，因此，房
间)人)．
【巩固】军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人；如果每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，现在每间住10人，可以空出多少个房间？
【解析】每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两
个人，即两次分配方案人数相人)，每间房间相差：
人)间)人)，
间)房间．
【巩固】猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐，如果每张餐布周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：一共有多少只小猪，
猪妈妈一共带了多少张餐布？
【解析】每张餐布周围多坐一只小猪就是坐5只小猪，余出4个空位子就是少4只小猪，所以原问题可以转化为：如果每张餐布周围坐4只小猪，则多出6只没处坐；如
果每张餐布周围坐5只，还少4只，求有多少只小猪多少张餐布？所以餐布数
是：（6+4）÷1=10（张），有小猪：10×4+6=46（只）.
【例 13】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆
完．问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？
【解析】这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆
花盆的情况——2人各摆4盆，其余的人各摆6盆．如果我们把它统一成一种情
况，让每人都摆6盆)．因此，原问题就转
化为：如果每人各摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人摆6盆花，还缺4
盆．问有多少少先队员，一共摆多少花盆？
人)，
盆)盆)．
【巩固】妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘
子多少个?全家共有多少人?
【解析】由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2
个，这分4个的两人每人都拿出2个，共拿出4
“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6
个的人拿出2
则：
人)
个)
【例 14】四⑵班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒果
元，那么，辅导员老师带了元钱．
克芒果还，若把
千克奶糖会多，所以每千克奶糖
【巩固】小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？
【解析】因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6＝24（元），这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－
10）＝10（元），所以小明妈妈带的钱数是：12×10＋4＝124（元）．
【巩固】食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱
一千克？
【解析】这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉18千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些.每
千克贵8角，如果18千克牛肉换成18千克猪肉，就要少花8×18=144（角）=14
元4角.这样就会多出14元4角-4元=10元4角.因此问题就可变为：“小李买
猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单价和钱数.”虽然两
次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差.
解由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵
8×18=144（角）=14元4角.
因此小李若买18千克猪肉就会多余14元4角-4元=10元4角.
由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪肉每千克价格为
（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角.
所以牛肉每千克价格为：4元2角+8角=5元.
小李带的钱为：4.2×20+2=86（元）.
【巩固】李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈
带了多少钱？
【解析】（法1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花8×3＝24（元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时
候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2元，所以要买碧浪洗衣粉袋数24÷2
＝12（件）．这样李妈妈带的钱数是10×12＝120（元）．
（法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3×8＝
24（元），根据普通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）
＝24÷2＝12（件），所以李妈妈带的钱数是：12×10＝120（元）．
【例 15】
【巩固】东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3分，那么东东家到学校的路程是______米．
【解析】这
分钟)，然后
【巩固】王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米，就可以比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多
少米？
【解析】迟到3分钟转化成米数：500×3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600×2＝1200（米）王老师家到学校需要（1500＋1200）÷（60-50）=270（分
钟），王老师家到学校的路程：500×（270+3）＝136500（米）
【巩固】学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到
校？由家到学校的路程是多少？
【解析】小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10＝600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8＝
400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60－50＝10（米），就可以多
走600－400＝200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间．
（1）10分种走多少米？60×10＝600（米），
（2）8分种走多少米？50×8＝400（米），
（3）需要时间：（600－400）÷（60－50）＝20（分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校.
（4）由家到校的路程： 60×（20－10）＝600（米）或：50×（20－8）＝600（米）．
【例 16】“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种
球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个
球？
【解析】花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花
10 2 5÷=（元），共需要302303 25÷+÷=（元）．现在两种球的售价都是2
元钱5个，花球和白球各买30个需要(305) 2
2 24÷??=（元），说明花球和白球各买30个能省下25241-=（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有30 4 120?=（个），共买了120 2 240?=（个）．
【例 17】 （2009“数学解题能力展示”中年级组复试题）幼儿园老师买了同样多的巧克
力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发
完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有
_____________个小朋友．
【解析】 画线段图分析，由题意知：
从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如图：
那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的
8份就是现在的16份，则剩下的3份，则1份就是5块，给
小朋友们分出去的水果糖数量是：16580?=（块），小朋友的人数是：
80810÷=（人）．
方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下1份，则巧克力剩下3份，而巧克力与奶
糖每人分得相差5块，对应剩下的糖相差2份，水果糖与奶糖每人分得相差1
块，则对应剩下的糖应相差250.4÷=份，所以水果糖最后应剩下10.40.6
-=份，恰是15块，所以1份对应的是150.625÷=，所以应用盈亏问题共有
(2515)(87)10-÷-=（人）．
【例 18】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都
放3块方糖，结果共用了1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每
袋咖啡都只放1块方糖，最后第3包方糖还剩下36块，那么每盒咖啡有多少
袋？
【解析】小唐喝前2盒咖啡，每袋放3块糖，相当于喝6盒咖啡每袋放1块糖；小唐喝后3盒咖啡，每袋放1块糖，所以喝后3盒用掉的方糖总量是前2盒用掉方糖量的
一半．
同时，小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块，喝后3盒咖啡用掉方糖一
24块方糖与两包差24块方糖一样多，一包方糖有
【巩固】
人一块，由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样
多，现在又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？【解析】新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几
也要再来一盒了，说明原有的小朋友分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是
说，原有的小朋友人数是9
【例 19】有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而
且还多出4张．问：共有多少个小朋友？
【详解】首先由题意，一盒卡片每人分7张则有剩余，每人分8张则少5张，证明总人数多于5个．
如果一共有735
张，卡片张数比题中所述要少．
如果一共有9
5个的要求．
类似地，当卡片总盒数多于9时，都不满足总人数多于5个的要求．
因此卡片一共有8
(二解8盒，“若都分8张则
5张（8盒共加40张），每人就可以得到
60张，即每人需要退出4张，其中要有4
40张是我们一开始借来的要还出去，即要退出
4411人．
【例 20】有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果
和梨各有多少个?
【解析】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨.
如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了.将原
题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个
)个)梨.
个)个).
【巩固】有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有
多少个？
【解析】1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，即1个苹果配4个梨，剩半个苹果，即少2个梨.苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有 3×4+2=14
（个）.
【例 21】幼儿园老师给小朋友分糖果．若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但至少可分到一块．那么糖果最多有多少块？
【分析】最后一人分不到99块，还差1块．根
（块）；最后一人分不到9块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差8块，
根据盈亏计算公式，人数有（人），糖果最多有
154块．
【例 22】幼
班总共分了多少个枣？
【解析】设
【巩固】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那
么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问第二组有多少人？
【解析】如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．说明第
9人；如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．说明第二组人数少于
5人，
所以，第一组只能是10人，第二组15人．
【例 23】“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种
球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个
球？
【解析】花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花
2元钱5
球各买30
【巩固】有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的两面上分别写着1和3，绿色卡片的两面上分别写着2和3．现在
把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片
上所显示的数字之和为234．若把所有卡片正反面翻转一下，各卡片所显示的数
字之和则变成123．问黄色卡片有多少张？
【解析】开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是3，红色卡片上是2．如果全部是红色卡
翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1．红色卡片有66张，剩
34张卡片都是黄
【例 24】四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小
堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮
还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那
么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔?
【解析】如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，
可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15
×6—10=80(支)．
【巩固】小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子
中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？【解析】“7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只”说明小白兔少了12÷3×7＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）
＝16（个），所以小白兔有16×5＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），
合起来有84＋48＝132（只）．