2006中科院量子力学试题乙B试题+答案
2006中科院普通物理(乙)试题
中国科学院2006年研究生入学考试试题试题名称：普通物理(乙)一、选择题（共60分）：(1) 地球在一年(按365天计算)内自转多少角度：A. 728πB. 730πC. 732πD. 734π(2) 质点沿周向运动，且速率随时间均匀增大，其加速度a 与速度V 之间的夹角随时间A. 增大B. 减小C. 不变D. 既有增大的过程，也有减小的过程(3) 考虑到地面建筑随地球运动，有人就争论楼房的运动速率大小问题，请选择正确的说法：①速率不变；②白天大于晚上；③晚上大于白天A. ①B. ①③C. ①②D. ③(4) 一乒乓球以入射角θ与乒乓球桌发生碰撞，弹起时与桌面的出射角大小还是θ，这是什么原因：A. 动量守恒原理B. 机械能守恒定律C. 动能定理D. 牛顿第三定律(5) 水平面上有意直径为R 的圆孔，在同一平面上有物体以0.6倍光速远离此孔，如图所示，则站在此物体上观察，圆孔的数学描述为： Ryx O V 图R 0.8R RR1A B C D(6) 地球上北半球的重力方向指向：①球心；②球心偏北方向；③球心偏南方向A. ①B. ①②C. ③D. ①③(7) 陀螺仪是利用了普通物理中的什么原理：A. 动量守恒原理;B.角动量守恒原理;C. 电磁作用原理;D. 以上原理都有。
(8) 某电荷Q 分成 q 和(Q-q)两部分，并将两部分离开一定距离，则它们之间的库仑力为最大时的条件是A. q ＝Q/2 ;B. q ＝Q/4;C. q ＝Q/8;D. q ＝Q/16。
(9) 若将电介质插入电容器两极板之间，则A. 电容减小；B.电容增加；C. 电容不变；D. 如何变化不能肯定。
(10) 有一圆形线圈在均匀磁场中作下列几种运动，哪种情况在线圈中会产生感应电流。
A. 线圈沿磁场方向平移;B. 线圈沿垂直于磁场方向平移；C. 线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行;D. 线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
量子力学真题和答案解析
量子力学真题和答案解析是物理学中的一个重要分支，研究微观领域的宇宙现象和微观粒子的行为规律。
具有复杂的数学理论基础，因此在学习和研究过程中常常会遇到各种难题和问题。
为了更好地理解和应用，解析真题和答案是非常重要的一步。
首先，解析真题前，我们需要了解一些基本概念和原理。
描述了微观粒子的行为，其中最基本的概念是量子态和波函数。
量子态描述了粒子的所有性质，而波函数则是的核心数学工具，用于描述粒子的状态和演化规律。
在研究真题时，我们需要仔细分析题目中给出的信息和条件。
通常，题目会给出一些实验或者观测结果，然后要求利用所学知识来推断和解释这些结果。
这就需要我们从题目中提取关键信息，并应用的原理进行分析。
解析真题时，我们可以采用逐步推导的方法。
首先，根据题目中给定的信息，我们可以确定所研究系统的量子态。
然后，根据波函数的演化规律，我们可以利用薛定谔方程或者时间演化算符来推导出系统的时间演化。
最后，我们可以根据所给条件和结果来验证和解释我们的推导和计算结果。
在解析真题时，我们还需要注意一些常见的问题和误区。
首先，是一种概率性理论，因此我们无法准确预测每一次实验的结果。
我们只能给出在大量重复实验中的平均结果。
其次，波函数的坍缩现象是的核心特征之一。
在测量时，波函数会坍缩到某一特定的量子态，从而给出确定的结果。
最后，量子纠缠是中的一个重要现象。
它描述了在某些情况下，两个或多个微观粒子之间存在着密切的关联，无论它们之间的距离有多远。
总结一下，解析真题和答案是学习和研究的重要一步。
我们需要了解的基本概念和原理，并且可以采用逐步推导的方法来分析和解决问题。
我们还需要注意中的一些常见问题和误区，以便更好地理解和应用的原理和概念。
通过解析真题和答案，我们可以提高对的理解，并且能够更好地应用于实际问题和研究中。
量子力学经典题目及解答
2 2
(J1取 号 J2 下 ) 上 ，取 号
o
a
ψΙ = ⋯ 由波函数有限性要求，ψΙΙΙ = 0,(x < 0, x > a)⋯ (2)
ψ (1)式改写为 ′′(x) + (1)式
∂ψ ∂ψ E =E , = ψ⋯ (2) 定 ：ℏ 态 i ψ ∂t ∂t iℏ ∂ψ* ∂ψ* E * * 取 共 ： iℏ 复 轭 =E , ψ = ψ ⋯ ) (3 ∂t ∂t −iℏ ∴ 态 率 度 布 随 间 化 即 定 几 密 分 不 时 变 ， ： ∂w ∂ψ* ∂ψ E * E =ψ +ψ* =ψ ψ +ψ* ψ = 0 ∂t ∂t ∂t −iℏ iℏ ∂w 由1 ( )， iJ = − ∇ = 0， ∂t ∴ iJ与 间 关 即 为 t无 的 矢 。 ∇ 时 无 ， J 与 关 常 量 ∂t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
µ e s4
2n 2ℏ 2
试由驻波条件求粒子能量的可能值。 试由驻波条件求粒子能量的可能值。 λx h nh 解：驻波条件 1
p2 3.粒子被限制在长宽高分别为 1 3.粒子被限制在长宽高分别为 a , a2, a3 的箱中动， 的箱中动， E = 2µ
a1 = n1
2
， px = ∴
λx
=
2a1
3
a
2x 2x 2A 5 a5 = A2[ (a − x) + ∫ dx] = x = 3*4 3*4 3*4*5 0 30 0 0 30 30 ∴A = 5 , A = 5 a a
2
4
中科院-中科大2006年量子力学甲A2
故 x Ae
i 2 m x
,
f t Be
t i t V t dt 0
。 。
若取 V (t ) V0 cos t ，那么 f t Be 于是得到 x, t Ne i
2 m x
V i t 0 sin t
e
V i t 0 sin t
Nei k t (t ) 。
外场 V (t ) 的作用仅是给平面波提供一个受时间调制的相角： 1 t t V t dt 。 0
中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学（甲）A 卷
考生须知：
1. 2. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
ˆA ˆ ˆ2 和 B ˆ ˆ A ˆA ˆ 1 ，B ˆ 2 0 ， AA ˆA ˆ 满足下列关系： A 一、（共 30 分）两个线性算符 A 2 ˆ B ˆ； 1) 求证 B ˆ 和B ˆ 表象中 A ˆ 的表达式。 2) 求在 B
0, 0 x a, 0 y a 。加上 四、（共 30 分）粒子在二维无限深方势阱中运动， V 其它 , 微扰 H xy 后，求基态和第一激发态能级的一级微扰修正。
量子力学经典题目及解答
8 a1
a2
a3
2 a1
a2
a3
第一章
补充：1.设 1 af1(x)ei(x和t) 2 bf2 (x)ei分(x别t表) 示
微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态 1 2
时的相对几率分布。a，b为复常数， f1, f2为实函数。 解： 2 1 2 2 af1ei( xt) 2 bf2ei( xt) 2
n1
x
2
， px
h
x
n1h , 2a1
同理， py n2h / 2a2, pz n3h / 2a3 n1, n2, n3 1, 2,3
E
p2
2
1
2
(
px2
py2
pz2 )
h2
2
(
n1 2a1
)2
( n2 2a2
)2
( n3 2a3
)2
E h2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ] 2 2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ]
1
hv kT
1 c2
v T
d
c1v3dv ec2v/T 1
c1v3dv c2v /T
c1 c2
Tv2dv
----R-J公式
2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式 En
解： 角动量量子化条件，
es2 r2
Ln
v2
r
rnv
(向心力)
(1) （2）
r * (2) :
es2
(v2
)
(1)
(
的两组超越方程，经图解法求出束缚态的 后, k，可由(15)
得 2.8出分对子应间的的能范级德瓦E。n耳斯力所产生的势能可以近似的表示为
量子力学(甲)A卷真题2006年
量子力学(甲)A卷真题2006年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、(总题数：1，分数：30.00)两个线性算符和满足下列关系：（分数：30.00）(1).求证[*]；（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：。
)解析：(2).求在[*]表象中[*]和[*]的表达式。
（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设，则能得到λ2-λ=0，所以λ=1，0。
因此有。
设，因为，所以以a22，a21：0。
又，所以a11=0。
因此推得。
)解析：二、(总题数：1，分数：30.00)1.粒子在一维势场 V(x) =A|x|n (-∞＜x（分数：30.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(利用测不准关系，对△x取极小：。
)解析：三、(总题数：1，分数：30.00)λ，又设体系处于某一束缚定态，其能量和本征函数分别记为E n 和ψn(r) 。
（分数：30.00）(1).证明费尔曼-海尔曼定理：[*]；（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：(2).利用费曼-海尔曼定理，求氢原子各束缚态的平均动能(提示：氢原子能级公式为[*]) 。
（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由上题定理，。
量子物理试题及答案
量子物理试题及答案1. 请解释普朗克常数在量子力学中的作用。
答案：普朗克常数是量子力学中一个基本常数，它标志着能量与频率之间的联系。
在量子力学中，普朗克常数用于描述粒子的能量量子化，即粒子的能量只能以普朗克常数的整数倍进行变化。
2. 描述海森堡不确定性原理。
答案：海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
具体来说，粒子的位置不确定性与动量不确定性的乘积至少等于普朗克常数除以2π。
3. 什么是波函数坍缩？答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当进行测量时，系统从一个不确定的量子态（波函数描述的状态）转变为一个确定的经典态的过程。
4. 简述薛定谔的猫思想实验。
答案：薛定谔的猫是一个思想实验，用来说明量子力学中的超位置原理。
在这个实验中，一只猫被放置在一个封闭的盒子里，盒子内还有一个装有毒气的瓶子和一个放射性原子。
如果原子衰变，毒气瓶就会打开，猫就会被毒死。
在没有观察之前，猫处于既死又活的超位置状态。
只有当观察者打开盒子时，猫的状态才会坍缩为一个确定的状态。
5. 什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中的一种现象，指的是两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，使得即使它们相隔很远，一个粒子的状态也会立即影响到另一个粒子的状态。
6. 解释泡利不相容原理。
答案：泡利不相容原理指出，在同一个原子内，两个电子不能具有相同的四个量子数（主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数）。
这个原理解释了原子的电子排布和元素周期表的结构。
7. 描述量子隧穿效应。
答案：量子隧穿效应是指粒子能够穿越一个在经典物理学中不可能穿越的势垒。
这种现象是由于量子力学中的波函数具有非零的概率在势垒的另一侧存在，即使粒子的能量低于势垒的高度。
8. 什么是量子比特？答案：量子比特，又称为量子位，是量子计算中的基本信息单位。
与经典比特不同，量子比特可以处于0和1的叠加态，这使得量子计算机能够同时处理大量信息。
9. 简述狄拉克方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
参考答案：2006 量子力学（乙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱＢ
第1页
共3页
1 1 ( x)e i1t 2 ( x)e i2t 。 2 1 2 1. 概率密度为 ( x, t ) 12 ( x) 22 ( x) 21 ( x)2 ( x) cos (1 2 )t 。 2 1 1 2. 能量取值为 E1 的概率为 ， E2 的概率为 。 2 2 1 2 R21 (r )Y11 ( , ) 。 三、（共 30 分）设氢原子所处状态为 (r , , , sz ) 3 R21 (r )Y10 ( , ) 2 ˆ 和自旋角动量 z 分量 s ˆz 的平均值； 1) 求轨道角动量 z 分量 L z e ˆ e ˆ ˆ L S 的 z 分量的平均值。 2) 求总磁矩 M 2 1 0 1 3 解： R21Y11 1 2 R21Y10 1 2 ，其中 1 2 , 1 2 。 2 2 0 1 ˆ 的可取值为 , 0 ；相应的概率为 1 , 3 。平均值为 。 1. L z 4 4 4 1 3 ˆz 的可取值为 , ；相应的概率为 , 。平均值为 。 s 2 2 4 4 4 e e e ˆ ˆ s ˆz ，平均值为 2. M 。 L z z 8 2
k 2 k 2 sh2 k a 4k 2 k 2
2
4 k 2 k 2
.
二、（共 30 分）粒子在一维对称无限深方势阱（ 所处状态为 ( x, t 0)
a a x ）中运动。设 t 0 时粒子 2 2
1 1 ( x) 2 ( x) ，其中 n ( x) 为系统第 n 个能量本征态。求 2
1 , , ； 2 1 4 0, 0 , , 。 2
将 t 0 时的波函数按 | i 展开得 | (0) 波函数为
1 | 3 | 4 。因此， t 0 时, 2
1 i 1 3i , , exp J t , , exp J t ， 2 4 2 4 满足归一化条件。 测到粒子 2 的自旋沿 z 轴负方向的概率为 2 2 J t W ( s2 z , t ) , (t ) , (t ) cos 2 ( )。 2 2 | (t )
所以
x p
1 m 2
参考答案：2006 量子力学（乙）Ｂ
第2页
共3页
J 2 , 4 J E2 2 , 4 J E3 2 , 4 3J 2 E4 , 4 E1
1 1,1 , ； 2 1, 1 , ； 3 1, 0
中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 参考答案：量子力学（乙）Ｂ卷
考生须知：
1. 2. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
V 0, 0 x a 一、（共 30 分）粒子以能量 E 入射方势垒。V ( x) 0 。设能量 E V0 ， x 0, x a 0, 求透射系数 T 。 2 d 2 V x x E x ， 解：定态薛定谔方程为 2 2m dx 设粒子从势垒左边向右入射，其解为： exp ikx B exp ikx , x 0, x C1 exp ik x C2 exp ik x , 0 x a, D exp ikx , x a, 2m V0 E 2mE 其中 k 2 。由波函数 x 及其一阶导数在 x 0, x a 处连 , k 2 续条件，可得 2i k k D exp ika k; 2 1 k k sh k a 2 2ik k ch k a 由此得到透射系数： j k 2 k 2 D T 透＝ D m j入 m
t 0 时波函数为
( x, t )
四、（共 30 分）对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积 x p 。 ˆ2 ˆ p ˆ p ˆ 0 。谐振子动能 T 解：谐振子定态为宇称本征态， x ，势能 2m 1 ˆ V ˆ 。因此， V ( x) m 2 x 2 。根据维里定理有 T 2 1 1 ˆ T ˆ V ˆ 2 T ˆ 2 V ˆ ，即 m 2 x ˆ 2 p ˆ 2 。 E H m 2
参考答案：2006 量子力学（乙）Ｂ
第3页
共3页
1 1 m 。 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ JS 五、（共 30 分） 两个自旋为 非全同粒子， 自旋间相互作用为 H 其中 S1 和 S 2 1 S2 ， 2 分别为粒子 1 和粒子 2 的自旋算符。设 t 0 时粒子１的自旋沿 z 轴正方向，粒子 2 的自旋沿 z 轴负方向。求 t 0 时，测到粒子 2 的自旋仍处于 z 轴负方向的概率。 J ˆs ˆ s ˆ 。 ˆ2 s ˆ2 s ˆ 2 ，其中 s ˆ Js 解： H s 1 s2 1 2 1 2 2 本征解为：
t 0 时的以下量： 1) 概率密度 | ( x, t ) |2 ； 2) 能量的可取值及相应的概率。 解：定态薛定谔方程的解为： 2 2 2 x 1 , 1 ( x)= cos ； E1 2 2ma a a
E2 4 E1 2 ,
2 ( x)=
2 2 x 。 sin a a