第7章电磁感应与电磁场
电磁场与电磁感应
电磁场与电磁感应电磁场与电磁感应是电磁学中非常重要的概念，它们在现代科技和工程中发挥着重要作用。
本文将从电磁场和电磁感应的基本原理、应用和未来发展等方面进行探讨。
一、电磁场的基本原理电磁场是由带电粒子产生的一种物理场，它包括电场和磁场两部分。
电场是由电荷产生的力场，用于描述电荷之间的相互作用；磁场是由电流或者磁体产生的力场，用于描述磁体之间的相互作用。
电磁场的特点是可以相互转换，即电场变化会产生磁场，磁场变化也会产生电场。
这种相互作用导致了电磁波的产生和传播。
电磁场的数学描述是通过麦克斯韦方程组来完成的。
其中包括了麦克斯韦方程和洛伦兹力公式等。
通过这些数学表达式，我们可以详细描述电磁场的性质和行为。
二、电磁感应的基本原理电磁感应是指当磁通量发生变化时，导线中就会产生感应电动势。
这个现象是由法拉第电磁感应定律描述的。
根据法拉第电磁感应定律，当导线中的电流变化或者导线与磁场之间的相对运动发生变化时，就会在导线两端产生感应电动势。
电磁感应的重要性体现在电磁感应现象的广泛应用中。
例如，变压器是利用电磁感应的原理来实现电能的传输和变换的。
此外，电动发电机、电磁炉、感应加热等设备也都是基于电磁感应原理工作的。
三、电磁场与电磁感应的应用电磁场和电磁感应作为电磁学的重要内容，在现实生活中有着广泛的应用。
下面将介绍一些典型的应用。
1. 通信技术电磁波在通信技术中起到了至关重要的作用。
手机、电视、无线网络等设备都是基于电磁波的传播原理来实现信息的传输和接收。
无线电技术、雷达技术和卫星通信等都离不开对电磁场和电磁波的深入研究和应用。
2. 医学影像在医学影像领域，核磁共振成像（MRI）和计算机断层扫描（CT）等技术都依赖于电磁场和电磁感应原理。
医生可以通过这些技术来观察人体内部的结构和病变情况，为诊断提供重要依据。
3. 发电和能源转换发电机是将机械能转化为电能的设备，它的工作原理就是基于电磁感应的原理。
通过旋转电磁场中的电导体来产生感应电动势，并最终转化为电能。
第七章 时变电磁场
在电导率较低的介质中 Jd Jc
在良导体中
Jd Jc
麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述安 培环路定律变为
l H dlS(JJd)dS
现在学习的是第8页，共66页
即 l HdlS(JD t)dS
HJD t
上两式称为全电流定律。它表明时变磁场是由传导电
流、运流电流以及位移电流共同产生的。
位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以 产生时变磁场。
例 已知内截面为a b 的矩形金属波导中的时变电
磁场的各分量为
y
b a
z
EyEy0sin a πxcost (kzz) HxHx0sin a πxcost (kzz) HzHz0coa πsxsi nt(kzz)
x
其坐标如图所示。试求波导中的位移电流分布和波导内
壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。
③ 电通密度的法向分量边界条件与介质特性有关。
在一般情况下，由高斯定律求得 D2nD1n S
或写成矢量形式 en(D 2D S
式中, S 为边界表面上自由电荷的面密度。
现在学习的是第18页，共66页
两种理想介质的边界上不可能存在表面自由电
荷，因此
D1nD2n
对于各向同性的线性介质，得
1E1n2E2n
2E 2 tE 2 J t1
2H2H J
t2
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量。
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2A2AJ
t2
2Φ2Φ t2
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。
在直角坐标系中，实际上等于求解 1 个标量方程。
现在学习的是第31页，共66页
5. 位函数方程的求解 根据静态场结果，采用类比方法推出其解。
电磁场与电磁感应的关系
电磁场与电磁感应的关系电磁场和电磁感应是电磁学的两个重要概念，它们之间存在紧密的关系。
电磁场是指由电荷或电流所产生的物理场，而电磁感应则是指当一个导体磁通量发生变化时，在导体中会产生感应电动势。
本文将详细探讨电磁场和电磁感应之间的关系，并介绍它们在现实生活和科技应用中的重要性。
一、电磁场的基本原理电荷和电流都是产生电磁场的重要因素。
根据库仑定律，电荷之间的相互作用力与它们之间的距离成平方反比。
这意味着电荷会在周围形成一个电场，电场中的电荷会受到电场力的作用。
同样地，电流也会产生磁场，磁场中的磁感应强度会影响磁场中的电流。
二、电磁感应的原理电磁感应是指当导体中的磁通量发生变化时，在导体中会产生感应电动势。
磁通量是磁场线穿过某个面积的数量，用符号Φ表示。
根据法拉第电磁感应定律，当磁通量Φ发生变化时，感应电动势E的大小与磁通量的变化率成正比。
三、电磁场与电磁感应的关系电磁场和电磁感应之间存在着紧密的关系。
首先，电磁场的存在是电磁感应的基础。
只有当存在磁场时，导体才会感应出电动势。
其次，电磁感应也会产生磁场。
根据安培环路定律，当导体中有电流通过时，会形成闭合的磁场线。
这个磁场又会影响到其他导体中的电流。
在实际应用中，电磁感应的原理被广泛应用于发电机、变压器等设备中。
发电机通过旋转的磁场线穿过线圈，感应出电动势，从而转化为电能。
变压器利用电磁感应的原理来调整电压的大小。
另外，电磁场和电磁感应也在电磁波的传播中起着重要作用。
电磁波是一种由振荡的电场和磁场组成的波动现象，广泛应用于通信、无线电等领域。
总结起来，电磁场和电磁感应是相辅相成的概念。
电磁场的存在为电磁感应提供了基础，而电磁感应又反过来影响着电磁场的分布。
它们之间的关系不仅仅是理论上的联系，更在现实生活和科技应用中发挥着重要作用。
理解和掌握电磁场与电磁感应的关系，对于深入理解电磁学的原理和应用具有重要意义。
电磁场原理及应用实例讲解
电磁场原理及应用实例讲解电磁场原理是电磁学的基础，它描述了电荷和电流之间相互作用的规律。
电磁场理论是由麦克斯韦方程组提出的，它们包括四个部分：高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和麦克斯韦-安培定律。
这些方程描述了电场和磁场的生成和相互关系。
首先，我们来看电磁感应定律。
根据法拉第电磁感应定律，当磁场通过一个导线回路时，会在回路中产生感应电动势。
这个电动势的大小与磁场的变化率成正比。
这个原理在变压器中得到了实际应用，变压器是一种利用电磁感应原理来转换电压的装置。
变压器由一个线圈和一个铁芯组成。
当一个交流电流通过一个线圈时，会在铁芯中产生一个变化的磁场，从而在其他线圈中诱发出电动势，大小与原线圈的匝数比例成正比，从而实现电压的变换。
其次，让我们看看电磁波的运动。
根据麦克斯韦方程组，变化的电场会产生变化的磁场，变化的磁场又会产生变化的电场，这样不断的交替变化就形成了电磁波。
电磁波是由电场和磁场以垂直于传播方向的正交波动形式传播的。
根据麦克斯韦方程组的解，电磁波的传播速度恒定，并且等于真空中的光速。
这个原理在通信技术中得到了广泛的应用，如无线电、电视和移动通信等。
这些通信技术都是基于电磁波的传播和接收。
另外，我们还可以看到电磁场的应用在医学中的重要性。
例如，核磁共振成像（MRI）就是基于电磁原理的医学影像技术之一。
MRI利用强磁场和无线电信号来生成人体组织的影像。
当人体置于强磁场中时，激发氢原子核的自旋，然后通过放射无线电信号来记录这些自旋的位置和强度信息，从而生成图像。
这种技术可以非常清晰地显示人体组织的内部结构，对于诊断疾病起到了重要的作用。
此外，电磁感应原理还广泛应用于能源领域，如发电机和电动机等。
发电机是利用导线在磁场中感应电动势来将机械能转化为电能的装置。
当导线在磁场中运动时，它会在导线两端产生电动势，从而产生电流。
电动机则是将电能转化为机械能的装置。
当电流通过导线时，它会产生一个磁场，这个磁场会与外部磁场相互作用从而产生一个力，推动导线运动。
基础物理学第七章(电磁感应)课后习题答案
第七章电磁感应变化电磁场思考题7-1感应电动势与感应电流哪一个更能反映电磁感应现象的本质？答：感应电动势。
7-2 直流电流表中线圈的框架是闭合的铝框架，为什么？灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就发生偏转。
切断电流后线圈在回复原来位置前总要来回摆动好多次。
这时如果用导线把线圈的两个接头短路，则摆动会马上停止。
这是什么缘故?答：用导线把线圈的两个接头短路，线圈中产生感应电流，因此线圈在磁场中受到一力偶矩的作用，阻碍线圈运动，使线圈很快停下来。
7-3让一块磁铁在一根很长的铅直铜管内落下，若不计空气阻力，试描述磁铁的运动情况，并说明理由。
答：当磁铁在金属管中时，金属管内感应感生电流，由楞次定律可知，感生电流的方向，总是使它所激发的磁场去阻止引起感应电流的原磁通量的变化，即：阻碍磁铁相对金属管的运动。
磁铁在金属管内除重力外，受到向上的磁力，向下的加速度减小，速度增大，相应磁力增大。
当磁力等于重力时，磁铁作匀速向下运动，达到动态平衡。
7-4用金属丝绕制的标准电阻是无自感的，怎样绕制才能达到自感系数为零的目的？答：如果回路周围不存在铁磁质，自感L的数值将与电流无关，仅由回路的几何性质、匝数以及周围磁介质的磁导率所决定。
把一条金属丝接成双线绕制，就能得到自感系数为零的线圈。
做纯电阻用的电阻器都是这样绕制的。
7-5 举例说明磁能是贮藏在磁场中的。
7-6如果电路中通有强电流，当你突然拉开闸刀断电时，就会有火花跳过闸刀。
试解释这一现象。
答：当突然拉开通有强电流电路中的刀闸而断电时，电路中电流迅速减小，电流的变化率很大，因而在电路中会产生很大的自感电动势。
此电动势可以把刀闸两端间的空气击穿，因而在刀闸处会有大的火花跳过。
7-7 变化的电场所产生的磁场，是否一定随时间而变化？变化的磁场所产生的电场，是否也一定随时间而变化？7-8 试比较传导电流与位移电流。
答：位移电流具有磁效应-与传导电流相同。
两者不同之处：产生机理不同，传导电流是电荷定向运动形成的，位移电流是变化的电场产生的；存在条件不同，传导电流需要导体，位移电流不需要导体，可以存在于真空中、导体中、介质中；位移电流没有热效应，传导电流产生焦耳热。
高中物理知识点电磁场问题
高中物理知识点电磁场问题在高中物理中，电磁场是一个重要的知识点。
电磁场是由电荷在空间中产生的作用力而形成的一种理论模型。
它描述了带电粒子周围的电场和磁场的相互作用，是电磁学的基础。
本文将从电磁场的基本概念、磁场的特性、电流产生的磁场、电磁感应和电磁波等方面进行讲解。
一、电磁场的基本概念电磁场是指空间中存在的电场和磁场。
电场是由电荷体系周围存在的一种力场，可以描述电荷体系对周围电荷的作用力。
磁场则是由运动电荷所产生，它的特点是具有方向性和旋转性。
在电磁场中，电荷体系通过它所引发的电场和磁场相互作用。
二、磁场的特性磁场是运动电荷所产生的场，是由电流所产生的磁荷形成的。
磁场具有方向性和旋转性。
磁感线是表示磁场的线，磁场的强度可以通过磁感线密度表示。
在磁场中，磁场的力是与磁场的磁通量密度和电流成正比的，与导线长度成反比的。
三、电流产生的磁场当电流通过通电线圈时，会形成一个磁场，这就是电流产生的磁场。
电流产生的磁场的强度与电流的大小、导线的长度和线圈的匝数有关，可以通过安培定律来描述。
磁场的方向与电流的方向相垂直，在通电线圈中形成环状的磁感线。
四、电磁感应电磁感应是指时间变化的磁场能够诱发通过导体中的电流。
电磁感应是电磁场的一个重要应用，它是产生电动势的基础。
最著名的电磁感应效应是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场的变化导致的感应电动势大小与磁场的变化率成正比。
五、电磁波电磁场的重要表现形式是电磁波。
电磁波是指电场与磁场的振荡所产生的波动，是光学、通信和雷达等现代科学技术的基础。
电磁波的特点是可以传播，它的速度是真空中的光速。
综上所述，电磁场是一个重要的物理概念，涉及到电场、磁场、电流产生的磁场、电磁感应和电磁波等方面。
理解电磁场理论是在物理学中学习和研究电磁学、电学等其他知识的基础。
电磁感应与电磁场的知识点总结
电磁感应与电磁场的知识点总结电磁感应是电磁学中的一个重要概念，指的是导体中的电流会受到磁场的影响而产生感应电动势。
而电磁场则是由电荷和电流所产生的物理现象，可以用来描述电磁力的作用。
本文将对电磁感应与电磁场的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解这一领域。
一、电磁感应1. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律是电磁感应研究的基础，它表明当导体中的磁场发生变化时，会产生感应电动势。
具体表达式为：感应电动势等于磁通量变化率的负值乘以线圈的匝数。
这个定律解释了电磁感应现象的产生原理。
2. 楞次定律楞次定律是法拉第电磁感应定律的补充，它描述了感应电流的方向。
根据楞次定律，感应电流的产生会产生磁场，其磁场的方向使得感应电流所产生的磁场与引发感应电流变化的磁场方向相反。
换言之，楞次定律说明了感应电流的方向与磁场变化的关系。
3. 磁通量与磁感应强度磁通量描述的是磁场通过某一平面的程度，与磁场的面积和磁感应强度有关。
磁感应强度表示单位面积上的磁通量，它的方向垂直于磁场线。
通过改变磁通量和磁感应强度，可以实现对电磁感应的控制。
二、电磁场1. 静电场与静电力静电场是由电荷所产生的一种场，它可以通过电场线来表示。
静电力是静电场作用在电荷上的力，根据库仑定律，静电力与电荷之间的距离和大小成反比。
2. 磁场与磁力磁场是由电流所产生的一种场，它可以通过磁感线来表示。
磁力是磁场对电荷和电流所产生的力，它的方向垂直于磁场线和电荷或电流的方向。
3. 电磁场和电磁力电磁场是由电荷和电流共同产生的场，它是电场和磁场的综合体现。
电磁力是电场和磁场对电荷和电流所产生的综合力，它同时包含了静电力和磁力的作用。
4. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场性质的基本方程，它由四个方程组成。
其中包括了法拉第电磁感应定律、库仑定律以及电磁场的高斯定律和安培环路定律。
麦克斯韦方程组的推导和理解有助于深入学习电磁场的原理和性质。
总结：电磁感应和电磁场是电磁学中的两个核心概念，通过磁场对导体产生感应电动势，我们可以利用电磁感应现象实现电磁能量的转换和传输。
电磁感应与电磁场的关系
互感和自感现象在电路分析和设计中具有重要意义，尤其在高频电路和 变压器等设备中需要特别注意。
02
电磁场基本理论
麦克斯韦方程组
麦克斯韦-安培定律
描述电流和时变电场怎样产生磁场。
电磁场动量流密度（ 即辐射压力）与电磁 波的波矢和能流密度 有关。
电磁场动量密度与电 磁场能量密度和光速 有关。
03
电磁感应与电磁场关 系
时变电磁场引起感应现象
1 2
时变磁场产生感应电场
当磁场随时间变化时，会在周围空间产生感应电 场，其大小与磁场的变化率成正比。
时变电场产生感应磁场
同样地，当电场随时间变化时，也会在周围空间 产生感应磁场，其大小与电场的变化率成正比。
法拉第感应定律
描述时变磁场如何产生电场。
高斯磁定律
论述磁单极子不存在。
高斯定律
描述电荷如何产生电场。
电磁波传播特性
电磁波在真空中以光速传播。
电磁波具有横波特性，电场和 磁场振动方向相互垂直，并与 传播方向垂直。
不同频率的电磁波在介质中具 有不同的传播速度和衰减特性 。
电磁场能量与动量
电磁场具有能量密度 和能流密度，遵循能 量守恒定律。
3
法拉第电磁感应定律
感应电动势的大小等于磁通量对时间的导数，即 e=-dΦ/dt。这表明时变电磁场是引起感应现象 的根本原因。
空间变化电磁场产生感应电动势
01
空间变化磁场产生感应电动势
当导体在空间变化的磁场中运动时，会在导体中产生感应电动势。这一
现象是电动机和发电机工作的基础。
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?? B ?dS
?
h? l2 h
? 0i 2? x
l1dx
h
l2
c
b
i
l1
? ? 0 i0 l1 ln h ? l2 sin ? t
2?
haxdx源自d?i??
d? m dt
?
?
? 0i0 l1 2?
ln
h ? l2 h
cos ? t
讨论：
当0< ? t<?/2时，cos ? t>0，?i<0，逆时针方向； 当0< ? t<?时，cos ? t<0，?i>0，顺时针方向 .
动生电动势 非静电力 洛仑兹力 电磁感应
感生电动势 非静电力 ?
实验表明，非静电力只能是 磁场变化引起。
而这种非静电力能对 静止电荷 有作用
力，因此，应是一种与电场力类似的力。
16
实验表明，非静电力只能是 磁场变化 引起。 而这种非静电力能对 静止电荷 有作用力，因此，
应是一种与电场力类似的力。 麦克斯韦假设：
取导线长 dl , 导体中载流子速度为 u
? Fk
? E
?
? Fm? ?
k
?
Fm e
e??
? ??
? ?
? B ? B
? Fm
11
d ?动
?
(?? ?
?? B)?d l
? ? ?
?
(??
?
? B)
? ?dl
?
电动势方向 : 首先确定积分方向 (正方向)
若 ?＞０, 则?方向与 dl方向一致 若? ＜０, 则?方向与 dl方向相反
一、自感应
通电线圈由于自身电流的变化而引起本线圈磁 通量的变化，并在回路中激起感应电动势的现象， 叫自感现象 。这时的电动势 ?i称之为自感电动势。
R
A
I1
A
L
B
L
I2
A、B 是两个相同的灯
L的电阻比灯泡的
泡,R与L的电阻值相同。 电阻小。 I2> I1
22
1.自感系数 线圈中电流激发的穿过每匝的磁通，叫自感磁通
I
思路: 设 I? B ? ? ? L
2) 由 L ? | ? ? L | 计算：
dI dt
思路:
?
L
，d d
I t
?
L
25
例: 试计算长直螺线管的自感。
已知：匝数 N, 横截面积S,长度l ,磁导率?
?
a
b
S
解: 思路: I? B ? ? ? L
dc
??
?LH ?dl ? ? I
H ?ab ? N / I
H ? nI ? N I
B ? ?H ? ?N I
l
l
? ? m ?
?? B ?dS
?
BS
?
?NI
S
S
l
?m?
N?
?
?N 2I
S l
L?
?m I
?
?N
l2
2
?lS
?
? n 2V
L ? ? n 2V
26
例: 求一无限长同轴传输线单位长度的自感 .
已知：R1 、R2
解:
H
?
I
2? r
B
?
?I 2? r
29
3 . 互感系数的计算
M M
? ?
M21 M 21
? ?
? 21
I1 ?
d
? 21
I1 /d
t
4.线圈串联
两个有互感耦合的线圈串联后等效一个自感线圈。
但其等效自感系数不等于原来两线圈的自感系数之
和
1
2
顺串联: 线圈中 磁通互相加强
1
2
逆串联: 线圈中
磁通互相削弱
30
1）顺接 线圈1的自感磁通
? 12 I1
? 21 I2
1. 互感系数 (M)
若无铁磁质 线圈不变形 介质不变化 相对位置不变
? 21 = M21I1 ? 12 = M12I2
M21 = M12 = M
M 称互感系数
28
M
?
M21
?
? 21
I1
(1)M只与线圈本身的形状、大小；匝数；相对位置；
磁导率有关；与电流无关 (铁心的线圈除外 )。
?t
不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率
(3)
?
E 涡与
? ?B ?t
构成左旋关系。
?
?
?B
?B
? E涡
?t
?
?t
E涡
? 注意：E涡是与?B / ?t，而不是 B组成左螺旋。 (4) 感生电场是非保守场 (涡旋电场 )
19
例：半径为 R的圆柱形空间内分布有均匀磁场，
方向垂直于纸面向里，磁场的变化率 圆柱内、外 E涡的分布
本章主要研究电场和磁场相互激发的规律
2
§7.1 电磁感应的基本定律
一、电磁感应现象
1820年,奥斯特发现 : 电流磁效应
电流
产生 产 ?生
磁场
对称性 → 磁的电效应 ？
1831年,法拉第 经过了十年不懈的探索，发现 电磁感应现象
3
电 磁 感 应 现 象
4
1. 产生感应电流五种情况： 变化着的电流； 线圈中变化着的磁场； 运动中的恒定电流； 运动着的磁铁； 在磁场中运动着的导体 .
dI ? 0 dt
则 ?L< 0，I感也阻碍电流 I的变化；
24
(2) 因为 ?L∝L，L的存在总是阻碍电流的变化， 所以自感电动势是反抗电流的变化 ,而不是反
抗电流本身。 ∴L对交流电流有感抗，但对直流电流畅通。
3.自感系数（电感）的计算
自感一般由实验测定；简单情况可以计算。
1) 由 L ? ? 计算：
23
2.自感电动势
?L
?
?
d?
dt
?
? d( LI) dt
?
? LdI ? dt
I
dL dt
若回路几何形状、尺寸不变，周围介质的磁导率不变
dL ? 0 dt
?L
?
?
LdI dt
(1) 负号是楞次定律的数学表示 自感电动势的方向总是阻碍回路电流的变化
dI ? 0 dt
则 ?L > 0， I感阻碍电流 I的变化；
(2)M的大小反映了两个线圈磁场的相互影响程度。
(3) 在SI制中，M的单位是亨利 (H).
2.互感电动势
? 21 ?
? d? 21 dt
?
? M dI1 dt
?12
?
?
d? 12 dt
?
?
M
dI2 dt
(1) 互感电动势的大小与 M成正比，与相对应
的线圈中电流的变化率正比。
(2) 负号是楞次定律的数学表示。
S
? B
?d
? s
?
?
S
?
?B
?d
? s
?t
由电动势定义和电磁感应定律，得
? ? ? ?
L E涡 ?dl ? ?
? ?B
? ?dS
S ?t
讨论
(1) 此式反映变化的磁场产生感生电场。
(2) S 是以 L 为边界的任一曲面。
? S
的法线方向应与曲线
L的积分
方向成右手螺旋关系
? S
S
L
18
?
? B 是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率
R1
d?
?
?? B ?dS ?
? Il dr
2? r
? ?
?
? Il 2?
R2 dr ?
? Il
ln( R2 )
r R1 2?
R1
L?
?l 2?
ln(
R2 ) R1
II
单位长度的自感为：
Lo
?
L? l
? 2?
ln( R2 ) R1
R2
l
rdr
27
二.互感应
因两个载流线圈中电流变化而在对方线圈中激 起感应电动势的现象称为互感应现象。
③若N匝线圈串联： ，则
?i
?
? ?? d? m1 ? dt
?
d? m2 dt
??
? d? mN ?? dt ?
? ?i
?
?
d dt
????
j
?
mj ????
?
?
d? dt
m
6
式中
? ? m ? ? mj ——磁通链 j
?i
?
?
d? m dt
感应电流
如果闭合回路为纯电阻 R回路时，则
Ii
?
?i
R
?
?
1 R
d? m dt
i
?
感应电流的方向与感应电动势 的方向总是一致的。
t1 ～ t2 时间内通过导线上任一截面的电量
? ? Q ?
t2 t1
I i dt
?
1 R
? dt t2
t1 i
7
? Q ?
?
1 R
? m2 d? m ?dt ? ? m1 dt
?
1 R
(?
m2
?
?
m1 )
? 测Q 可以得到?? m这就是磁通计的原理 。
?B ?t
?
0
，求
解：取积分回路的回绕方向与 E涡的
回绕方向一致 .
若 r＜R
? ? ? ?
l E 涡 ?dl ?