高一数学上学期学科竞赛试题
高一数学第一学期期末学科竞赛
高一数学第一学期期末学科竞赛高一数学第一学期期末学科竞赛试题(本试卷满分150分,用时120分钟)一.选择题(本题共6个小题,每小题5分满分30分)1.若关于_的方程有负数根,则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.2.已知的小数部分为a,则的小数部分为( )A.的小数部分B.的小数部分C.的小数部分D.以上都不正确3.过空间一定点P的直线中,与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有( )A.0条B.1条C.4条D.无数多条4.已知集合是集合的子集,且对任意,都有,则集合中的元素最多有( )A.67个B.68个C.69个D.70个5.已知P 为直线y = _ + 1 上的一点,M.N 分别为圆C1: ( _ -4) 2 + ( y - 1) 2 = 4 与圆C2 : _2+ ( y - 2) 2 = 1 上的点. 则 PM - PN 的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 76.在边长为12的正三角形中有n个点,用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点,则n的最小值是( )A.17B.16C.11D.10二.填空题(本题共8个小题,每小题5分,满分40分)7.已知函数,设,,,其中0_lt;c_lt;b_lt;a_lt;1,那么_.y.z的大小顺序为_________.8.已知实数_.y满足,则_____．9.用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为,能包容此框架的最小球的半径为,则等于10.若关于_的方程有正数解,则实数a的取值范围为__________.11.已知集合A={(_,y) _2+y2-2_cosa+2(1+sina)(1-y)=0,a∈R},B={(_,y)y=k_+3,k∈R}．若A∩B为单元素集,则k=______.12.对于实数_,当且仅当n≤_＜n＋1(n∈N＋)时,规定[_]＝n,则不等式的解集为.13.在△ABC中,AB＝,AC＝,BC＝,有一个点D使得AD平分BC并且∠ADB是直角,比值能写成的形式,这里m,n是互质的正整数,则m＋n＝.14.对任意实数_.y．定义运算__y 为:__y=a_+by+c_y 其中a.b.c 为常数,等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1_2=3,2_3=4,并且有一个非零实数d,使得对于任意实数_,都有__d=_,则d=____________．三.解答题(本题共4小题,每小题20分,满分8 0分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.设a＞0,函数 f : (0,＋∞) → R满足f(a)＝1．如果对任意正实数_,y 有, ①求证: f(_)为常数．16.如图,四边形内接于圆,是的中点,,,,是线段和的交点,求证:.17.已知.是关于的二次方程的两个根,且,若函数．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)对任意的正数.,求证:．18.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识. 求证:可以从中找出4个人两两认识;(2)试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出4个人两两认识?参考答案:一.选择题(本题共6个小题,每小题6分满分36分)1.若关于_的方程有负数根,则实数a的取值范围为( D )A. B. C. D.2.已知的小数部分为a,则的小数部分为A.的小数部分B.的小数部分C.的小数部分D.以上都不正确3.过空间一定点P的直线中,与长方体ABCD一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有(C )(A)0条(B)1条(C)4条(D)无数多条4.已知集合是集合的子集,且对任意,都有,则集合中的元素最多有( )(A)67个(B)68个(C)69个(D)70个5.已知P 为直线y = _ + 1 上的一点,M.N 分别为圆C1: ( _ -4) 2 + ( y - 1) 2 = 4 与圆C2 : _2+ ( y - 2) 2 = 1 上的点. 则 PM - PN 的最大值为( C )A. 4B. 5C. 6D. 75.设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA.PB的延长线分别交于Q.R,则和式( )A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值,两者不等D．是一个与面QPS无关的常数5.设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面PAB所成角为β,则vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ.另一方面,记O到各面的距离为d,则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS,S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα,故有:PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS),即=常数.故选D.6.在边长为12的正三角形中有n个点,用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点,则n的最小值是[ ]A.17B.16C.11D.10解:如图(1),作一个分割,在每个交叉点上置一个点,这时任意两点间距离不小于4,4_gt;2(硬币直径),故这时硬币不能盖住其中的两个点,说明n=10是不够的.如图(2),另作一个分割,得到16个全个等的边长为3的正三角形,其中〝向上〞的三角形共有10个,它们的外接圆的半径正好是.借助图(3)可以证明:只要图(2)中的10个〝向上〞的三角形都用硬币覆盖,则三角形ABC完全被覆盖,这时若在三角形ABC内置11个点,则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点.故n的最小值是11,所以选(C).二.填空题(本题共6个小题,每小题5分,满分30分)7.已知函数,设,,,其中0_lt;c_lt;b_lt;a_lt;1,那么_.y.z的大小顺序为____ __gt;y_gt;z _____.8.已知实数_.y满足,则_____．9.用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为,能包容此框架的最小球的半径为,则等于10.若关于_的方程有正数解,则实数a的取值范围为__(－2,0]__.11.已知集合A={(_,y) _2+y2-2_cosa+2(1+sina)(1-y)=0,a∈R},B={(_,y)y=k_+3,k∈R}．若A∩B为单元素集,则k=______.12.对于实数_,当且仅当n≤_＜n＋1(n∈N＋)时,规定[_]＝n,则不等式的解集为12.解得,故所以13.在△ABC中,AB＝,AC＝,BC＝,有一个点D使得AD平分BC并且∠ADB是直角,比值能写成的形式,这里m,n是互质的正整数,则m＋n＝13.设BC中点为E,AD＝,由中线公式得AE＝故,＝所以m＋n＝27＋38＝6514.对任意实数_.y．定义运算__y 为:__y=a_+by+c_y 其中a.b.c 为常数,等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1_2=3,2_3=4,并且有一个非零实数d,使得对于任意实数_,都有__d=_,则d=____________．【题说】1985 年全国联赛一试题 2(4)．原题为填空题．【解】由所设条件,有1_2=a+2b+2c=3(1)2_3=2a+3b+6c=4(2)__d=a_+bd+c_d=(a+cd)_+bd=_(3)由(3)得a+cd=1(4)bd=0(5)因d≠0,故由(5)式得b=0．再解方程(1)及(2),得a=5,c=-1,最后由(4)式得d=4．三.解答题(本题共4小题,每小题20分,满分8 0分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.设a＞0,函数 f : (0,＋∞) → R满足f(a)＝1．如果对任意正实数_,y 有, ①求证: f(_)为常数．(朱华伟提供)证:在①中令_＝y＝1,得f2(1)＋f2(a)＝2 f(1),(f(1)－1)2＝0, ∴f(1)＝1.在①中令y＝1,得f(_)f(1)＋f()f(a)＝2 f(_),f(_)＝f(),_＞0.②在①中取y＝,得f(_)f()＋f()f(_)＝2 f(a),f(_)f()＝1. ③由②,③得:f2(_)＝1,_＞0.在①中取_＝y＝,得f2()＋f2()＝2 f(t),∴f(t)＞0.故f(_)＝1,_＞0.14.(20分)如图,四边形内接于圆,是的中点,,,,是线段和的交点,求证:.证:作⊥,⊥(为垂足)则.设PG∩＝k,因共圆,.故∥⊥是的中点.(因△为等腰三角形),为平行四边形,(因P.E.K.F为四边形各边中点)..(对角线互相平分).17.已知.是关于的二次方程的两个根,且,若函数．(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)对任意的正数.,求证:．(13)【解】(Ⅰ)由书籍,根据韦达容不得有,,,∴………………………………………5分(Ⅱ)已知函数,∴而且对,,于是,∴函数在上是增函数……………………………………………10分注意到对于任意的正数.,即,同理．………………………15分∴,,．于是,∴．而,∴．……………………………………20分16.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识. 求证:可以从中找出4个人两两认识;(2)试问, 如果其中任何6个人中都有3个人两两认识, 那么是否一定可以找出4个人两两认识?(苏淳提供)解法1:(1)用8个点表示8个人,相识二人之间连一线段.按图论语言,这些点称为图的顶点,线段称为图的边.按照题意,该图的每个5点子图中均有一个三角形,而每个三角形属于＝＝10个不同的5点子图.我们知道,这些三角形共有3＝3_56＝168条边,其中每条边至多被重复计算了10次.这样一来,即知:每个顶点至少连出条边.所以存在一个顶点A,由它至少连出5条边.假设由顶点A有边连向B,C,D,E,F这5个顶点,而由题意在这5个点中又存在一个三角形,不妨设为△BCD.于是A,B,C,D这4个点中的任何二点之间均有连线,所以它们所代表的4个人两两认识.(2)如果其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 则不一定可以找出4人两两彼此认识, 例子为:在正八边形中连出8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 但是却找不出4人两两彼此认识.解法2:(1)分情形讨论.情形(i)如果存在3个人两两互不认识. 那么其余5个人必然两两都认识. 因若不然,假如他们之中有二人互不认识, 则在他们与原来的3个人一起构成的5人组中就找不出3个人两两认识, 导致矛盾.所以此时题中结论成立.情形(ii)在剩下的情形中, 任何3人中,都有某两个人相互认识.(a)如果8个人中有1个人A至多认识3个人, 那么他至少不认识4个人. 显然这4个人中的任何二人都彼此认识. 因若不然,这两个人与A一起构成的3人组中就没有二人互相认识, 导致矛盾.所以此时题中结论成立.(b)如果存在1个人A至少认识5个人.那么这5个人中有3个人两两彼此认识, 他们又都认识A, 所以他们与A一起即为所求之4人.情形(iii)只需再考虑每个人都恰好有4个熟人,并且任何3人中都有两人相互认识的情形.任取其中一人A. 假如A的4个熟人两两认识, 那么他们即为所求. 否则,其中就有B,C二人互不认识. 易知, 此时A有3个不认识的人F,G.,H, 而这3个人中的任何两人都与A构成3人组,所以F,G.,H中的任何两人都相互认识. 如果B,C之一与F,G.,H中的每个人都彼此认识,那么此人与F,G.,H一起构成所求的4人组.否则, B,C二人分别不认识F,G.,H中的一个人.易知, B和C不可能不认识他们中的同一个人, 否则该人与B,C所成的3人组中任何二人均互不认识, 导致矛盾. 这就表明,B和C分别不认识F,G.,H中的两个不同的人, 不妨设B不认识F, 而C不认识G. 现在把B,F,A,G,C依次排在一个圆周上, 于是任何两个相邻放置的人都互不认识. 然而他们中的任何三个人中都一定有在圆周上相邻的两个人, 从而在他们之中找不到3个人两两认识, 导致矛盾,所以这种情况不可能存在.综合上述, 在一切可能的情况下, 都能找出4个人两两都彼此认识.(2)如果其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 则不一定可以找出4人两两彼此认识, 例子为:在正八边形中连出8条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相应二人相互认识. 不难验证: 其中任何6个人中都有3个人两两彼此认识, 但是却找不出4人两两彼此认识.。
【必刷题】2024高一数学上册数学竞赛基础专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高一数学上册数学竞赛基础专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知函数f(x) = x² 2x + 1，那么f(x)在区间（∞，1）上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先单调递增后单调递减D. 先单调递减后单调递增2. 下列等比数列中，公比为2的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 3, 9, 27, 81D. 3, 6, 12, 24, 483. 设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x²2x3=0}，则A∩B的结果是（）A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}4. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 已知函数g(x) = |x1|，那么g(x)在x=1处的导数是（）A. 0B. 1C. 1D. 不存在6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = 2x7. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点对称的点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)8. 若复数z满足|z1|=1，则z在复平面上的对应点位于（）A. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上B. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上C. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上D. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S4的值为（）A. 16B. 20C. 24D. 2810. 若函数h(x) = (x+1)/(x1)的值域为（∞，1）∪(1，+∞），则x的取值范围是（）A. (∞，1)∪(1，+∞）B. (∞，1)∪(1，+∞）C. (∞，1)∪(1，1)D. (1，+∞）二、判断题：1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。
2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案
2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案一、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．数列1，- 34 ，59 ，- 716，…的一个通项公式是 . 2．1＋2＋3＋…＋100＝ .3．{a n }是等比数列，a 1=1，a 3= 2 ，则a 5＝ .4．数列{a n }满足：a 1=1，a n +1＝ a n －1，则a xx ＝ .5．△ABC 的三边长分别是7、4 3 、13 ，则最小内角大小为 .6．△ABC 中，A=60°，b ＋c sinB ＋sinC=2，则a ＝ . 7．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，下列条件中能确定a =b 的有 . （填序号）① sinA=sinB ② cosA=cosB ③ sin2A=sin2B ④ cos2A=cos2B8．已知 1x>1，则x 的取值范围是 . 9．不等式 (x －2)2 >4的解集是 .10．已知 12 ＋16 ＋112 ＋…＋1n (n ＋1) = 99100，则n ＝ . 11．等差数列{a n }中，若a 1、a 3、a 7是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的公比是 .12．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 1＞0，S 10＝0，则S n 最大时n 的值是 .二、解答题13．（本题满分12分）等比数列{a n }的前n 项和是S n ，已知S 3＝72 ，S 6＝632，求a n .14．（本题满分12分）一艘船以60 n mile/h的速度向正北航行. 在A处看灯塔S在船的北偏东30°，30 min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75°，求灯塔S与B之间的距离.15．（本题满分12分）△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、1、c，且A、B、C成等差数列，a、1、c成等比数列，求△ABC的面积.16．（本题满分16分）关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是(－∞,1)∪(2,＋∞)，数列{a n}的前n项和S n＝n2＋bn＋c.(1)写出b、c的值（不要证明）；(2)判断{a n}是不是等差数列并说明理由；(3)求数列{2n-1a n}的前n项和T n.第二卷（60分）三、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知，则 .18．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3.19．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ .20．取一个边长为的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率为 .21．定义在R 上的函数f (x )，满足f (12 ＋x ) ＋f (12 －x ) ＝2，则f (18 )＋f (28 )＋…＋f (78)＝ .22．定义一个对应法则.现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为 .四、解答题23．（本题满分15分）已知二次函数 ，满足，对于任意的，都有，并且当时总有.(1)求的值；(2)求的表达式；(3)当时，是单调函数，求m 的取值范围.24．（本题满分15分）已知数列和满足:*121,2,0,)n n a a a b n N ==>=∈，且是以为公比的等比数列.(1)证明：；(2)若，证明数列是等比数列；(3)求和：.1．a n =(-1)n2n-1n 22.50503.24.-xx5.30°6. 37.(1)(2)(4)8.(0,1)9.(-∞,0)∪(4,+ ∞)10.9911.1,212.513.P51,2n-2 14.15 2 n mile 15.a=b=c=1,S=3416.(1)-3,2 (2)a 1=0,n>1,a n =2n-4,(3)2n+1(n-3)+8 17.018.7800019.-12.5 20.π421.7 22. π323.(1)f(1)=1(2)f(x)= (x+12)2(3)m≤0,m≥1 24.(3)q=1,32 n. q ≠1, 32 q 2n -1q 2n-2(q 2-1).。
高一数学上学期科竞赛试题
卜人入州八九几市潮王学校中英文二零二零—二零二壹高一数学上学期全科竞赛试题一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，总分值是60分；每一小题给出的四个选项里面只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．()．①平行于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③平行于同一直线的两平面平行；④垂直于同一直线的两平面平行．A．①②B．③④C．①③D．②④2.f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a＝f(－)，b＝f，c＝f，那么a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a3.函数f(x)＝那么f＝〔〕A．4 B.C．－4 D．－4.正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于〔〕A．2 B.C. D.5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为〔〕A. B.C. D.6．一个几何体的三视图形状都一样、大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱7．假设P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，那么〔〕A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P8．某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()．A.cm3B.cm3 C．2000 cm3D．4000 cm39设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，那么m不可能等于〔〕A．1 B．2 C．3 D．410．定义运算a⊕b＝那么函数f(x)＝1⊕2x的图象是〔〕11．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，那么x·f(x)＜0的解集是〔〕A．{x|x＜－3或者0＜x＜3}B．{x|－3＜x＜0或者x＞3}C．{x|x＜－3或者x＞3}D．{x|－3＜x＜0或者0＜x＜3}12.函数f(x)＝的值域是〔〕A.B．(0,1)C.D．(0，＋∞)二．填空题:本大题一一共4小题，每一小题５分，总分值是2０分．13.设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，那么实数m的取值范围是____ 14．三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2的正三角形，AC＝，那么二面角A－PB－C的大小为_____ 15．函数f(x)＝＋的定义域是_____16)给出以下关于互不一样的直线m，l，n和平面α，β①假设m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，那么l与m不一共面；②假设m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，那么n⊥α；③假设l∥α，m∥β，α∥β，那么l∥m；④假设l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，那么α∥β.___(填序号)．三．解答题:〔本大题一一共6小题,总分值是70分,解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17．〔本小题总分值是10分〕．)集合A＝{x|x2－5x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，假设B⊆A，务实数m组成的集合．18．〔本小题总分值是12分〕)将长方体ABCD－A1B1C1D1沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥得到如下列图的几何体，该几何体的正视图与俯视图如图．(1)画出该几何体的侧视图；(2)求该几何体的体积．19．〔本小题总分值是12分〕．如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，M为SA的中点，N为CD的中点．证明：(1)平面SBD⊥平面SAC；(2)直线MN∥平面SBC.20．〔本小题总分值是12分〕．函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的取值范围；(2)假设函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．21.〔本小题总分值是12分〕如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF.(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．22.(本小题总分值是12分)函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？高一数学试题参考答案一．选择题：题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C B D C D C B A A D D 二．填空题：13.{m|m≥2}10°15.(1,2)16①②④三．解答题：17解∵A＝{x|x2－5x－6}＝{－1,6}，B＝{x|mx＋1＝0}，又B⊆A，∴B＝∅或者B＝{－1}或者B＝{6}．当B＝∅时，m＝0；当B＝{－1}时，m＝1；当B＝{6}时，m＝－.∴实数m组成的集合为.18．解(1)如下列图(2)对于所截去的三棱柱B1－CC1D1其体积V三棱锥B1－CC1D1＝B1B·S△CC1D1＝×5××3×4＝10，V长方体ABCD－A1B1C1D1＝5×4×3＝60故所求几何体的体积为V长方体ABCD－A1B1C1D1－V三棱锥B1－CC1D1＝60－10＝50.19.证明(1)∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵SA⊥底面ABCD，∴BD⊥SA.∵SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC.又∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAC.(2)如图，取SB中点E，连接ME，CE.∵M为SA中点，∴ME∥AB且ME＝AB.又∵ABCD是菱形，N为CD的中点，∴CN∥AB且CN＝CD＝AB.∴CN綉ME.∴四边形CNME是平行四边形，∴MN∥CE.又MN⊄平面SBC，CE⊂平面SBC，∴直线MN∥平面SBC.20.解(1)当m＋6＝0时，f(x)＝－14x－5，显然有零点x＝－.当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)·(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－，∴m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．综上，m≤－.(2)设x1，x2是函数的两个零点，那么有x1＋x2＝－，x1x2＝.∵＋＝－4，即＝－4，∴－＝－4，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，Δ＞0符合题意，∴m＝－3.21.(1)证明①因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF.②因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)解设BA1与B1F交点为H，连接C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝，AA1＝2，得BH＝.在Rt△BHC1中，BC1＝2，BH＝，得sin∠BC1H＝＝.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.22.解(1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如下列图．由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点。
高一学科竞赛(数学)模拟附答案
高一数学竞赛试题一、单选题（8×5′＝40′）1、已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-且B ≠∅，若A B A =，则（ ）(A)34m -≤≤ (B)34m -<< (C)24m << (D)24m <≤2、已知()1,2a =，(),2b x =-且()a ab ⊥-，则实数x 为（ ） (A)－7 (B)9 (C)4 (D)－4 3、同时掷两枚骰子，得到的点数和为6的概率是（ ） (A)512 (B)536(C)19 (D)51840y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）(C)--5、函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（ ）(A)37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B)3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D),44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6、一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为（ ）(A) (B)8π(C) (D)4π7、直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） (A)210x y +-= (B)210x y +-= (C)230x y +-= (D)230x y +-=8、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为（ ） (A)－1 (B)0 (C)1 (D)2 二、填空题（6×5′＝30′）9、方程()21033log 1log xx-=+的解是 。
10、正方体的内切球与其外接球的体积之比为 。
11、过点()1,3-且平行于直线230x y -+=的直线方程为 。
12、方程sin 10xx =有 个根。
13、已知()1sin 2πα+=-，则cos α= 。
14、已知()1,2a =，()2,3b =-，则a 在b 上的射影长 。
高一数学上册学科竞赛试题
高一第一学期学科竞赛数学试题（时间：120分钟, 满分150分）一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)1、集合｛0,1，2，2006｝的非空真子集的个数是 （ ） A 16 B 15 C 14 D 132.已知0sin 2005α=,则α是第 象限角. （ ） A,一 B,二 C,三 D,四3、设U=Z ，M={2,}x x k k z =∈，N={21,}x x k k z =±∈，P={41,}x x k k z =±∈，则下列结论不正确的是 （ ） A U C M N = B U C P M = C M N =∅ D N P N =4、函数12xy -=的图象是（ ）5、函数()log [1,2]xa f x a x =+在上的最大值和最小值之差为21a a -+,则的a 值为 （ ）A 2或21 B 2或4 C21或4 D 26.当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，下面四个函数中最大的是 （ ） A. sin(cos )x B. sin(sin )x C. cos(sin )x D. cos(cos )x7.已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。
四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于 （ ） A ．9B ．26C ．34D ．68、的解的个数为方程xx 22= （ ）A.0B.1C.2D.39.若F(11xx-+)=x 则下列等式正确的是 （ ）. A F(-2-x)=-1-F(x) B F(-x)=11xx+-C F(x -1)=F(x)D F （F （x ））=-x10.函数2()log (321)a f x ax x a =-++-对于任意(0,1]x ∈恒有意义，则实数a 的取值范围（ ）A 0a >且1a ≠B 12a ≥且1a ≠ C 12a >且1a ≠ D 1a > 二、填空题（共6小题,每小题5分,共30分）11．已知全集U={}R y R x y x ∈∈,),(，集合M={}2),(=+y x y x ，集合N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=--111),(x y y x ，则集合)(N M C U ⋂= ． 12、已知函数(0)()(0)x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时，()(1)g x x x =+，则方程()()1f x g x +=的解是 。
广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高一上学期学科能力竞赛数学试题(原卷版)
数学学科能力竞赛
一、单选题（本大题共8个小题，每小题6分，共48分）
1.如图，全集 ， ，则图中阴影部分所表示的集合是
A. B. C. D.
2.已知 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.最早发现勾股定理 人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于 ，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为（）
A. B. C.7D.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题6分，共48分）
9.若 ，则 __________.
10.对于 ，不等式 恒成立，则实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是___________.
12.若 均为正数，且 ，则 的最小值为_________.
16.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数 ，存在 ，使 ，那么我们称该函数为“不动点”函数， 为函数的不动点.若 ，则 的不动点为___________.
A. B.
C. D.
6.设 是连续的偶函数，且当x>0时 是单调函数，则满足 的所有x之和为
A. B. C. D.
7.记 ，若 （ 且 ），则称 是 n次迭代函数．若 ，则 （）
A. B. C.2022D.2023
8.我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式 （“…”代表无限次重复）可以通过方程 来求得 ，即 ；类似上述过程及方法，则 的值为（）
高一数学上学期期末竞赛选拔考试试题
卜人入州八九几市潮王学校西华一高二零二零—二零二壹上学期高一年级竞赛考试数学试卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕 1.集合{}{}332,6,4,2,0<∈==x N x B A ，那么集合AB 的子集个数为()A.4B.6C.7D.82、函数lg(1)1x y x +=-的定义域是〔〕A . (1,)B . [1,)C . (1,1)(1,)D . [1,1)(1,)-+∞-+∞-+∞-+∞3．直线a x y l 2:1+-=与直线2)2(:22+-=x a y l 平行，那么a 的值是()A ．3±B.1±C.1D.1-4.设a ，b 是两条不同的直线，α，β〕 A.假设//αβ，a α⊂，b β⊂，那么//a b B.假设//a α，b β⊥，且αβ⊥，那么//a bC.假设a α⊥，//a b ，//b β，那么αβ⊥D.假设ab ⊥，a α⊂，b β⊂，那么αβ⊥5.一个空间几何体的三视图如下列图，根据图中标出的尺寸〔单位：cm 〕，可得这个几 何体的体积是()A ．4cm 3B ．5cm 3C ．6cm 3D ．7cm 36．半径为R 的半圆做成一个圆锥面〔无重叠〕，那么由它围成的圆锥的体积为〔〕A ．3R B 3R C 3R D 3R 7.⎩⎨⎧≥<+-=1log 14)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是〔〕A ．)1,0( B.)31,0( C.)31,71[ D.)1,71[ )1 , 1(-M 且与直线027=+-y x 相切的圆的方程为()A ．2)1()1(22=++-y x B ．2)1()1(22=-++y x C ．100)1()1(22=++-y x D ．100)1()1(22=-++y x9.三棱锥P ABC -的三条棱PA ,PB ,PC 长分别是3、4、5，三条棱PA ,PB ,PC两两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，那么这个球的外表积是() A ．25πB.50πC.125π)(x f 的图象向右平移a (0>a )个单位后关于直线1+=a x 对称，当112>>x x 时，[]0)()()(1212<--x x x f x f 恒成立，设)21(-=f a ，)2(f b =)，)(e f c =，那么a ，b ，c 的大小关系为〔〕 A.b a c>> B.c a b >> C.b c a >> D.a b c >>11.四面体SABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于〔〕 A ．090B ．060C ．045D ．03012.偶函数)(x f 的定义域为}{0≠∈x R x x 且，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2),2(2120,12)(1x x f x x f x ，那么函数)1(log )(4)(7+-=x x f x g 的零点个数为〔〕．A. B. C.D.二、填空题(每一小题5分，一共20分)()f x 是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x x =+,那么当0x <时，()f x =14.光线由点P 〔2，3〕射到直线1-=+y x 上，反射后过点Q 〔1，1〕，那么反射光线所在的直线方程为15、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD=a ，那么三棱锥D —ABC 的体积为16、在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的外表爬行一周后又回到A 点，那么蚂蚁爬过的最短路程为_____．三、解答题〔一共70分。
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高一数学上学期学科竞赛试题
时间： 120 分钟 分值： 150 分
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分。
给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的）
1.若角α
的终边与单位圆交于点1,2⎛ ⎝⎭
,则sin α=( )
A.1
2
B.
C.
D.不存在
2.下列函数中,在区间()2,∞+上为增函数的是 （ ）
A. 3
x
y =- B. 12
log y x = C. ()
2
2y x =--
D.12y x
=
- 3.下列函数为奇函数的是( )
A.1
22
x
x
y =-
B.
3
sin y x x = C.2cos 1y x =+ D.22x
y x =+
4.已知13
241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
,，,则,a b c ,的大小关系是（ ）
A. a c b <<
B. b a c <<
C. c a b <<
D. a b c <<
5.函数
2()lg(2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ）
A. ()1,+∞
B.1(,)2
-+∞
C.
1(,)2
-∞- D.(),2-∞-
6.已知()2
21()12,(0)x g x x f g x x x -=-=≠⎡⎤⎣⎦,则
12f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．1
B ．3
C ．15
D ．30
7.已知函数)(x f 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数,且满足
()()3x f x g x +=,则（ ）
A.
()33
x x
f x -=- B.
33()2
x x
f x --=
C.
()33
x
x
f x -=- D.
33()2
x x
f x --=
8.设角α的终边过点
)0(8,6≠--a a a P ）（,则ααcos sin -的值是（ ）
A
5
1
B 51-
C 51-或57-
D 51-或5
1
9. 函数
1
()ln()f x x x
=-的图象是（ ）
A. B
C.
D.
10.设A ,B ,C 是三角形的三个内角,下列关系恒等成立的是 （ ） A. cos(A +B )=cos C B. sin(A +B )=sin C
C. tan(A +B )=tan C
D. sin 2A B
+=sin 2
C
11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.1
sin 2
C.2sin1
D.sin2 12.若函数
ααcos sin -+=y ,且π
α20≤≤,则α的范围是（ ）
A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤20παα
B ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤≤παπα2
C ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤23παπα D ⎭⎬⎫⎩⎨
⎧≤≤παπα223
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在答题卡对应题号后的横线上．)
13.幂函数()253
1m y m m x -=-+在()0
+∞，上为减函数,则m 的值为
14.函数
1x y +=
的定义域是__________.
15.已知tan α=3,则sin 2
α-3sin αcos α+4cos 2
α的值是______.
16.关于函数
()()π4sin 2R 3f x x x ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭有下列命题,其中正确的是__________
①
()y f x =的表达式可改写为4cos 2π6y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭;
② 是以
2π为最小正周期的周期函数;()y f x =
③ ()y f x =的图象关于点0π,6⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称;
④
()y f x =的图象关于直线6
π
x =-对称.
三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 17． （本题满分10分）化简：
cos sin(5)cos(8)2cos(3)sin(3)sin(4)θθθθθθπ⎛⎫
- ⎪
-ππ-⎝⎭⋅⋅
π--π--π
18．(本题满分12分)不用计算器求下列各式的值。
（1
）
ln 43
lg 4lg 25log 3
e ++- （2
）
)
142
3
0.2501648201949-⎛⎫-⨯-- ⎪
⎝⎭
19．（本题满分12分）
已知函数
11()142x x
f x ⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
（1）求满足
()3f x =的实数x 的值；（2）求[]2,3x ∈-时函数()f x 的值域．
20．（本题满分12分） （Ⅰ）定义在R 上的函数
)(x f 既是偶函数又是周期函数．若)(x f 的最小正周期是π,
且当
]2
,
0[π
∈x 时,x x f sin )(=. 求
)3
5(π
f 的值。
（Ⅱ）已知 函数
2sin(
2)6
y x π
=- , 求其单调区间
21.（本题满分12分）
已知sin(5π-α)=2cos(
2
7
π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β), 且0<α<π,0<β<π。
求：α和β的值. 22．（本题满分12分） 定义域为
R
的函数
()
f x 满足：对于任意的实数
,x y
都有
()()()f x y f x f y +=+ 成立,且当0x >时,()0f x <．
（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论；
（Ⅱ）证明()f x 在R 上为减函数；
（Ⅲ）若
(1)(13)0f a f a -+-<,求实数a 的取值范围.
题目名称标准答
案满分值
是否多
选
多选答
案附加题
单选1 B 5 单选2 D 5 单选3 A 5 单选4 A 5 单选5 A 5 单选6 C 5 单选7 D 5 单选8 D 5 单选9 B 5 单选10 B 5 单选11 B 5 单选12 B 5
- 11 -。