伟大数学家欧拉对数学的贡献 - 副本
数学家欧拉的故事ppt
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欧拉的其他方面
欧拉的宗教信仰
欧拉是一位虔诚的基督教徒，他相信上帝是世界万物的创造 者和主宰。他经常在著作中引用圣经和神学的观点来解释数 学原理和宇宙的奥秘。
欧拉认为数学和宗教都是探索真理和赞美上帝的方式，两者 之间有许多相通之处。他曾表示，数学和宗教都是人类智慧 的结晶，可以相互补充和启发。
“数学界的莎士比亚”。
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欧拉的重要数学贡献
欧拉在数论领域的贡献
总结词
欧拉在数论领域做出了卓越的贡献，他引入了新的概念和方法，推动了数论的 发展。
详细描述
欧拉在数论领域的研究涉及到了许多重要的概念和定理，如欧拉定理、欧拉函 数、欧拉乘积等。他的工作为数论的发展奠定了坚实的基础，对后世产生了深 远的影响。
他经常参加各种社交活动和学术交流，与各界人士交流思想，分享学术成果。他的社交生活不仅丰富了他的精神世界，也拓 宽了他的学术视野。
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欧拉在几何学领域的贡献
总结词
欧拉在几何学领域的研究涉及到了图形和空间的基本性质，他的工作为几何学的 发展做出了重要的贡献。
详细描述
欧拉在几何学领域的研究主要集中在图形的性质和分类上，他引入了许多新的概 念和方法，如欧拉公式、欧拉路径等。这些概念和方法在几何学中有着广泛的应 用，对几何学的发展产生了深远的影响。
欧拉的教育思想影响了后来的数学教 育，他提倡的实用主义和问题解决的 方法对现代数学教育产生了深远的影 响。
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欧拉的个性与人格魅力
欧拉的勤奋与毅力
欧拉从小就展现出对数学的浓厚兴趣，他刻苦钻研，勤奋努力，不断挑战 自我。
欧拉的成就有哪些
欧拉的成就有哪些欧拉是瑞士著名的数学家，是世界最杰出的数学家之一，尤其是在微积分领域，欧拉取得了很深的造诣，对数学乃至物理的发展都做出了巨大的贡献。
下面是分享的欧拉的成就有哪些，一起来看看吧。
欧拉的成就欧拉每年能写出八百多页的论文，是产量最高的数学家之一，以他的名字来命名的公式、定理有很多。
欧拉的成就主要在数学领域，十八世纪被人们称为欧拉世纪，他对数学分析学和微积分的研究相当透彻，偏微分方程、椭圆函数论等著名的论著是数学领域最为重要的内容之一。
他的很多研究成果是数论的基础，他还总结了前人对代数学的研究，完成了《代数学入门》这本书，为初学代数的人提供了很好的参考依据，无穷级数、初等函数、单复变函数、微积分学、微分方程，欧拉的成绩几乎覆盖了数学的各个方面。
除了数学上的造诣，欧拉在力学、几何学、经济学都取得了不错的成绩，他甚至将音乐和数学结合起来，用数学诠释了音乐的独特之处。
欧拉的成就不仅仅在学术方面，他还是一个非常优秀的老师，他培养出了另外一个伟大的数学家拉格朗日，据说为了推荐这个天才一般的学生，欧拉将自己的研究成果藏了起来，发表了拉格朗日的论文。
在欧拉毫无保留的培养下，拉格朗日成为了数学大师。
晚年的时候，欧拉双目失明，但这仍然没有阻挡他对数学的热情，他以常人难以想象的毅力坚持研究，让助理帮助他写文章，欧拉的成就有不少是在他失明之后做出来的，实在是让人敬佩不已。
欧拉的贡献是什么作为数学界的巨星，欧拉在很多数学研究领域都有着非常大的贡献。
除了人们所熟知的微积分、函数等方面，欧拉的贡献还有哪些呢?其实，在几何以及数论等方面欧拉也是非常有成就的。
首先，欧拉的贡献在于微积分方面的研究，他在整理前人研究内容的基础上，还先后发表了自己的研究文章，从中对于函数进行了比较系统的研究和探讨，由此发现了函数的新解释，并且给出了新的概念和定义。
从此之后，欧拉的研究更多深入，并且引进了超越函数的概念，对函数学产生极大影响。
欧拉——数学家3篇
欧拉——数学家第一篇：欧拉的生平及贡献欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日-1783年9月18日），是一位著名的瑞士数学家和物理学家，也是现代数学的奠基人之一。
他被认为是数学的第一位大师，并且对几乎所有学科都做出了显著的贡献。
在他的一生中，他发表了多达886篇科学论文，使他成为历史上产生最多作品的数学家之一，也使他成为世界上最重要的数学家之一。
欧拉的成就包括在代数、几何、分析、数论、力学、光学和天文学等领域做出了很多贡献。
他对微积分学、复数理论和无穷级数的发展做出了重大的贡献。
他是第一位发展物理旋转和振动理论的人，并研究了流体力学、电磁学、热力学和声学等领域。
欧拉还发明了很多数学符号，例如在微积分学中常用的求和符号，以及在几何学中用于表示多边形和多面体的字母（如$E$，$V$，$F$），这些符号至今仍在广泛地使用。
欧拉被认为是高效的工作者，他浸淫于科学研究的同时，还养成了写作和出版的好习惯，这让他成为一位对当时和未来的科学界影响深远的人。
他也是数学业余爱好者的好榜样，他的智慧和对数学的热情，激励着一代又一代的数学人才。
欧拉的生平也不乏传奇色彩。
他在青年时期因精通多国语言而担任过梁赞省的工勤制记者。
然而，他失明的时期持续了约25年，并在他晚年时期因年迈和身体虚弱而导致智力大幅下降。
他的贡献至今仍被人称道，他被誉为数学界的传奇，永垂不朽。
第二篇：欧拉的数学成就欧拉是一位跨学科的天才，他的数学成就包括了代数、几何、分析、数论和无穷级数等领域。
以下列举了一些欧拉的代表性成就：1. 欧拉公式欧拉发现了 $e^{\text{i}x}=\cos x+\text{i}\sin x$ ，这被称为欧拉公式，被认为是最为美丽的方程式之一。
欧拉的这个发现极大地拓展了三角函数的应用。
在电子学、物理学和工程学中，欧拉公式的应用也得到了广泛的应用。
2. 无穷级数欧拉是无穷级数的重要贡献者之一。
他证明了$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ 和$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$，并发现了许多其他的无穷级数之和。
数学家欧拉和他对数学的贡献
数学家欧拉和他对数学的贡献摘要：欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。
欧拉是一位数学神童，他作为数学教授，先后任教于神彼得堡和柏林，而后反圣彼得堡。
欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷。
欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。
在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了平生一半的著作。
这位18世纪的数学巨星，在微积分、微分方程、无穷级数、代数、单复变函数、数论、三角学、微分几何、几何、图论、变分学、符号的简化和规则等领域均做出了巨大贡献。
关键词：欧拉，数学，生平，贡献欧拉（Euler. 1701—1783）著名数学家、物理学家和天文学家及自然科学家。
1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的圣彼得堡去逝。
欧拉出生于一个牧师家庭，自由受到父亲的教育。
他父亲叫保罗·欧拉是加尔文派的牧师。
保罗·欧拉本人就是一个有造诣的数学家，他曾是雅格布·伯努利的学生。
这位父亲想要欧拉走他的路，在乡村教堂里继承他的职务。
可是，谢天谢地，他犯了教欧拉数学的“错误”。
欧拉的父亲一直希望他学习神学，但他最感兴趣的却是数学。
年轻的欧拉很早就知道自己该做什么，可是他对父亲非常孝顺，因此欧拉早年受到的宗教训练影响了他整个人生。
他从未丢弃过一点加尔文派教徒的信仰。
到晚年，他甚至在相当大的范围里转而从事父亲的行当，他带领全家庭祈祷，并通常以讲道来结束。
1720年由约翰保举，才13岁的欧拉成了巴塞尔大学的学生，由于父亲的原故他学习的是神学和希伯来语。
但是欧拉喜欢的却是数学，因此不久后他便该学了数学。
这时欧拉在数学方面已具有了相当的水平。
欧拉的才能吸引了约翰斯·伯努利的注意，而且约翰精心培育着聪明伶俐的欧拉。
当他发现课堂上的知识已满足不了欧拉的求知欲望时，就决定每周六下午给这个年轻人单独上一次课。
【名人故事】数学界的莎士比亚――欧拉
【名人故事】数学界的莎士比亚――欧拉
欧拉（1707～1783）-欧拉瑞士数学家，英国皇家学会会员。
欧拉从小着迷数学，是一位不折不扣的数学天才。
他13岁便成为着名的巴塞尔大学
的学生，16岁获硕士学位，23岁就晋升为教授。
1727年，他受邀回去俄国圣彼得堡科学院工作。
过度的劳累，以致他双目失明。
但是，这并没影响他的工作。
欧拉具备不可思议的记忆力。
据传，1771年圣彼德堡的一场大火，把他的大量藏书和手稿化为灰烬。
他就凭着不可思议的记忆，口授刊登了论文400多篇、
学说着多部。
欧拉这个18世纪数学巨星，在微积分、微分方程、几何、数论、变分学等领域都作
出了巨大贡献，从而确定了他作为变分法奠基人、复变函数先驱者的地位。
同时，他还是
一位出色的科普作家，他发表的科普读物，在长达90年内不断重印。
欧拉就是古往今来最多产的数学家，据传他遗留下的宝贵的文化遗产够当时的圣彼得
堡所有的印刷机同时忙碌上几年。
欧拉作为历史上对数学贡献最大的四位数学家之一（另外三位是阿基米德、牛顿、高斯），被誉为"数学界的莎士比亚"。
【名人故事】数学界的莎士比亚――欧拉
【名人故事】数学界的莎士比亚――欧拉
欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日--1783年9月18日），是一位伟大的瑞士数学家。
他的名字常被称为“数学界的莎士比亚”，也被誉为数学史上的“万能大师”。
欧拉生于瑞士巴塞尔，天赋异禀，仅在15岁时就在欧洲各地造访，慕名拜访当时的著名学者。
他能熟练运用拉丁文、英语、法语、意大利语等多种语言，广泛吸收西方数学、物理、哲学、语言学等领域的知识。
欧拉的学术成就非常突出。
他在算术、代数、几何、微积分、物理等领域都有出色表现，为这些学科的发展做出了不可磨灭的贡献。
他曾提出了欧拉公式，称为数学中的“奇迹”，欧拉公式把自然对数、虚数单位、三角函数和圆周率联系起来，成为代表数学的美妙和深刻。
除此之外，欧拉还在图论、天文学、力学、热学、光学、电学、弹性学等众多学科中有深入的研究，并在这些领域中发表了许多重要的论文和著作。
他对微积分、算术、代数等学科的研究，为欧洲数学界开拓了新的研究领域。
欧拉的数学终身成就超过800篇论文和书籍，这些成就不仅极大地丰富了数学理论，而且促进了自然科学、社会科学的发展。
欧拉还指导了张城裴、伯努利、拉格朗日、高斯等一大批数学家的学习和研究，开啓了后继者的数学研究领域。
欧拉的辉煌人生，注定是数学史上的伟大经典。
他即使在生活中经历了很多的悲痛和困苦，他仍然始终坚持自己的理想和信仰，致力于创新和研究，为人类智慧的大爆发奠定了基础。
欧拉留下了经典、伟大、永恒的数学成就，让他被誉为数学界的莎士比亚、真正的万能大师。
【名人故事】数学界的莎士比亚――欧拉
【名人故事】数学界的莎士比亚――欧拉在整个数学史上，有许许多多杰出的数学家，但要说到最伟大的数学家，恐怕非欧拉莫属。
欧拉被誉为数学界的莎士比亚，他对数学的贡献不仅是惊人的，而且涉猎的领域之广泛，数学界的历史不可一世。
今天，就让我们来谈谈这位数学界的巨星，他的故事让我们瞩目不已。
欧拉（Leonhard Euler，1707-1783），是瑞士数学家与物理学家。
在十八世纪，他是欧洲最伟大的数学家，是数学史上著名的伟大数学家之一。
他是十八世纪数学界最重要的人物之一。
他在分析数学和应用数学领域成就卓越，是数学和物理学的伟大创新者之一。
生在瑞士的巴塞尔，欧拉体弱多病，初中时候视力就开始衰退，并一直到他27岁时全然失明。
失明并没有令他的数学之路变得模糊。
他利用大部分的时间去记住各种运算，并有意练习头脑计算，直至记得了三角函数、对数函数和圆周率的各种小数分数，这使他在数学上的精力很不浪费。
人们说：“除了教皇不以外，欧拉是17世纪数学家中最忙碌，也最有天赋的。
”欧拉曾经对运算能力说：“我记得我求得圆周率小数前六十五位”的方法，可见他的头脑计算之大－得份外的细？。
值得一提的是，欧拉是17世纪数学家中最能记住,并能计算的数学家之一。
欧拉有一双灵活而高超的手脚，使他能够只手便能把一根3尺长的棒立在他头上。
他善门使用一只手来解决大量的问题，这需要一种难以置信的均衡动作的装备。
欧拉对数学的热爱始于他小时候。
他读了一本关于数学的书后，对这个学科产生了浓厚的兴趣。
他毕生搜集了大量的数学首脑，嗣后，把自己的大部分时间都献给了数学。
除了数学之外，他还涉猎过法国文学，这使得他在写作上的造诣也不在话下。
他也有非凡的记忆力、超凡的耐心和极强的逻辑思维能力。
在一篇关于数学的论文中，提高了柯西的公式，也就提出了著名的“欧拉数”挤出。
（Euler's Number）欧拉数是个极小的数，但它的应用大得不得了。
欧拉数与e是无理数，它等于 2.7…，然而却有无穷多位的小数部分。
探究数学家欧拉的无穷尽智慧
探究数学家欧拉的无穷尽智慧数学家欧拉（Leonhard Euler）被誉为数学的巨擘，在无穷尽智慧的探索中作出了卓越的贡献。
欧拉在数学领域的研究涵盖了多个分支，包括解析数论、几何学和微积分等。
他的贡献深刻地影响了后世的数学发展，成为了数学史上的重要人物。
欧拉的无穷尽智慧主要体现在他对数学的广泛探索和创新研究方面。
他致力于推动数学的发展，通过深入研究和发表大量的著作，为数学建立了坚实的基础。
他不仅在纯粹数学领域有所贡献，也在应用数学中有很多重要的发现。
在解析数论方面，欧拉进行了大胆的猜想和深入的研究。
他以极高的才华和独特的思考方式，成功地解决了许多经典的数论难题。
其中，最著名的莫过于他对素数分布规律的研究。
欧拉提出了著名的“欧拉公式”，即e^ix = cos(x) + i * sin(x)，这一公式在数学中被广泛应用，是数学中的一个重要工具。
在几何学领域，欧拉的贡献同样不可忽视。
他在多面体理论上做出了重要的突破，导致了“欧拉公式”的发现。
这个公式将一个多面体的顶点数、边数和面数联系在一起，为几何学建立了一个关键的等式。
这个公式不仅在欧拉自己的研究中起到了重要的作用，而且在后来的数学研究中也广泛应用。
除了在解析数论和几何学方面的贡献，欧拉对微积分的发展也有着举足轻重的作用。
他引入了很多新的符号和概念，使得微积分的表述更加简洁和统一。
例如，欧拉引入了e作为自然对数的底数，并用i表示虚数单位，这些符号现在被广泛使用。
他还对微积分中的极限概念进行了深入研究，并为未来的数学家奠定了基础。
总的来说，数学家欧拉的无穷尽智慧在数学发展史上占据了重要的地位。
他的研究和创新为数学领域的发展奠定了坚实的基础，并对后世的数学家产生了深远的影响。
他的贡献不仅是在某一个具体领域，而是涉及了数学的多个方面，展示了他作为一位全才数学家的卓越才华。
无穷尽智慧的探究成就了欧拉的伟大。
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伟大数学家欧拉对数学的贡献\研究目的通过对伟大数学家欧拉对数学的贡献，提高数学素质，加强对数学的兴趣，了解欧拉的精神，学习欧拉的思想。
数学是一种精神，一种理性的精神。
正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。
——克莱因《西方文化中的数学》目录第一部分………………………………欧拉介绍（欧拉在数学方面的成果）4页第二部分………………………………我对欧拉的一个定理的研究7页第三部分………………………………对欧拉贡献总结10页第四部分………………………………过程资料（照片）11页欧拉介绍一．欧拉的生平1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。
这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。
13岁就进巴塞尔大学读书，这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。
小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。
在大学里得到当时最有名的数学家微积分权威约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导，并逐渐与其建立了深厚的友谊。
约翰·伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜于蓝的学生：“我介绍高等分析时，它还是个孩子，而你将他带大成人。
”两年后的夏天，欧拉获得巴塞尔大学的学士学位，次年，欧拉又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。
1725年，欧拉开始了他的数学生涯。
1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡．1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．欧拉完全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久．1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在兴奋中突然停止了呼吸，享年76岁。
欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作为自己的数学家，为有他而感到骄傲。
二．欧拉的名言1.如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎！2.虽然不允许我们看透自然界本质的秘密，从而认识现象的真实原因，但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象。
三．欧拉的著作《代数学入门》、《微分学原理》、《无穷分析引论》、《积分学原理》、《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》、《关于曲面上曲线的研究》、《代数学入门》…四．欧拉解决的著名七桥问题1七桥问题Seven Bridges Problem18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如左图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
五．欧拉在数学得出的结论1.欧拉线欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
他证明了在任意三角形中，以上四点共线。
欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
如又图，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线2.欧拉函数φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。
(注意：每种质因数只一个。
比如12=2*2*3若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
3.欧拉定理在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:4.欧拉恒等式其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是圆周率。
这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction。
这是复分析的欧拉公式的特例：对任何实数x，，作代入即给出恒等式。
理查德·费曼称这恒等式为“数学最奇妙的公式”，因为它把5个最基本的数学常数简洁地连系起来。
这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它5.欧拉多面体若用f表示一个正多面体的面数，e表示棱数，v表示顶点数，则有f＋v－e=2我对欧拉的一个定理的研究——欧拉线莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
他证明了在任意三角形中，以上四点共线。
欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线是指过三角形的垂心、外心、重心和欧拉圆圆心的一条直线。
注：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。
证明：证法1作△ABC的外接圆?连结并延长BO?交外接圆于点D。
连结AD、CD、AH、CH、OH。
作中线AM?设AM交OH于点G’∵BD是直径∴∠BAD、∠BCD是直角∴AD⊥AB，DC⊥BC∵CH⊥AB，AH⊥BC∴DA//CH，DC//AH∴四边形ADCH是平行四边形∴AH=DC∵M是BC的中点，O是BD的中点∴OM= 1/2DC∴OM= 1/2AH∵OM//AH∴△OMG’ ∽△HAG’∴AG’/MG’=AH/MO=2/1∴G’是△ABC的重心∴G与G’重合∴O、G、H三点在同一条直线上∴△OMG ∽△HAG,OM/AH=1/2∴OG/HG=1/2证法2设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。
联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
联结OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。
联结AH并延长交BC于E,因H 为垂心,所以AE⊥BC。
所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。
由于G为重心，则GA:GD=2:1。
联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。
同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。
FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。
所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。
即O、G、H三点共线。
证法3利用向量证明，简单明了设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。
∵向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD (1)=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD=向量OA+向量OB+向量OC；而向量OG=向量OA+向量AG=向量OA+1/3（向量AB+向量AC） (2)=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.∴向量OG=1/3向量OH，∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。
欧拉线的应用1 ：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条。
则这10线交于一点。
证明：设5个点对应的向量分别是z1, z2, z3, z4, z5，且它们的模相等。
因为|z1|=|z2|，所以0, z1, z2,z1+z2这四个点构成一个菱形，所以它们的对角线垂直，所以垂直于z1、z2的连线就相当于平行于z1+z2。
这样经过三角形z3, z4, z5的重心，且垂直于z1, z2连线的直线方程就是z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中t是任意实数。
取 t=1/3，就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在这直线上。
同理可得这点在所有这类直线上。
2：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共有10条。
则这10线交于一点。
3：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线,共有10条。
则这10线交于一点。
证明：第2，3个结论缘于以下事实：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
对欧拉贡献研究总结一．瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。
”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。