张量概念的形成与张量分析的建立
张量基础知识
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一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
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2.2 张量的数学定义
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2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
张量的基本概念(我觉得说的比较好-关键是通俗)
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。
而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。
我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。
而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。
进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。
比如泛函分析、纤维从理论等。
代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。
而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。
线性代数的精髓概念根本涉及不到。
这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。
现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。
这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。
武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。
这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。
第一章 张量分析初步
eijk eijk 6
证明见例题
eijk与ij间的关系
由排列符号的性质 : ei e j eijk ek
ei e j • ek eijk
由于ei e j • ek表示的是混合积,其物理意义是单位立方体的体积.
另外,由矢量分析知, 平行六面体的体积可以表示成其三个棱的行
i e1, j e2, k e3
X1
X3 P(x1, x2, x3)
O
X2
➢ 再对上述代换结果进行简写P点改写为： P(x1,x2,x3)P(xi, i=1,2,3)P(xi)
➢ 基向量：ei, i=1,2,3 ei ➢ 则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值
列式形式.
eeij
(i1, ( j1
i2,i3 , j2,
)
j3
)
ek (k1,k 2 ,k3)
ei,ej,ek为3个单位基向量， i,j,k互不相等。
i1 i2 i3 ei e j • ek j1 j2 j3 eijk
k1 k2 k3
a13 x3 a23 x3
b1 b2
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
如何用一个最简单 的式子来表示？
用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? 可总结为：aij x j bi
aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号
两种方式:
将左式展开，再给定每一个i值，求左右是否相等；
只有当i=j时ij才不等于“0”，
∴
a j ij ai ii ( ii不求和) ai
张量分析(1)
x2
' x2
e2'
e2 e ' 1
' x1
e1 x1
x1
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
e 2 e1'
' x1
e1 x1
x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
则： αi' j
cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e2 ) cos sin cos( e , e ) cos( e , e ) ' ' sin cos 1 2 2 2
A B ( Aij Bij )ei e j Tijei e j Τ
符合 φ ijklei e j ek el ,为一新张量
另证：
Ai ' j ' i 'i j ' j Aij Bi ' j ' i 'i j ' j Bij
Ai ' j ' Bi ' j ' i 'i j ' j ( Aij Bij )
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定义：
ei j k
1 1 0
ei j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
计算机专业张量的使用
计算机专业张量的使用计算机专业中，张量是一种重要的数学工具和数据结构，广泛应用于机器学习、深度学习等领域。
本文将介绍张量的基本概念、用途以及在计算机专业中的具体应用。
一、张量的基本概念张量是一种多维数组或矩阵的扩展，可以表示具有任意维度的数据。
在计算机科学中，我们通常将标量（只有一个数值）、向量（一维数组）和矩阵（二维数组）作为张量的特殊情况。
例如，一个三维空间中的向量可以表示为一个三维的张量。
二、张量的用途张量在计算机专业中有着广泛的用途。
首先，张量可以用来表示和处理图像数据。
在计算机视觉领域，图像可以看作是一个二维的张量，其中每个元素代表一个像素的数值。
通过对图像进行张量运算，可以实现图像的处理、特征提取等操作。
张量在自然语言处理中也有着重要的应用。
在文本分析中，可以将文本数据表示为一个三维张量，其中每个元素表示一个单词或字的向量表示。
通过对文本张量进行运算，可以进行文本分类、情感分析等任务。
张量还被广泛应用于机器学习和深度学习中。
在这些领域中，张量被用来表示输入数据、模型参数以及计算结果。
通过对张量进行运算，可以实现神经网络的前向传播和反向传播，从而实现模型的训练和预测。
三、张量的具体应用1. 图像处理：在计算机视觉领域，可以使用张量进行图像的预处理、增强和分割等操作。
例如，可以对图像张量进行平滑化处理，去除噪声和不必要的细节，从而提高图像的质量和可视化效果。
2. 文本分析：在自然语言处理中，可以使用张量进行文本的表示和分析。
例如，可以将文本数据转化为张量表示，然后通过张量运算进行文本分类、情感分析和机器翻译等任务。
3. 机器学习：在机器学习中，张量被广泛应用于数据的表示和模型的训练。
例如，可以使用张量表示输入数据和标签，然后通过张量的运算进行模型的训练和优化。
4. 深度学习：在深度学习中，张量是神经网络的基本数据结构。
通过对张量进行运算，可以实现神经网络的前向传播和反向传播，从而实现模型的训练和预测。
第1章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
vvxivyjvzk
物理意义：
uvuxvxuyvyuzvz
计算功(功率)
可交换性： 运算次序的无关性
uv u v
(许瓦兹不等式)
对称性 不变性
矢量及其代数运算
➢矢量的乘法
矢量的外积
定义式（实体形式，几何表达） ：wuv
wuv
uv uvsin
u v v u (反交换性)
v
计算式（分量形式，代数表达） ：
平面极坐标系
xi' =xi' xi
gi
r xi
g1icosx2jsinx2 g2ix1sinx2jx1cosx2
g1 1 g2 r
曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸
※三维球坐标系
(x,y,z) (x1,x2,x3)
(r,,) (x1,x2,x3)
x 3
r
gr
g
g
x 2
rx1ix2jx3kxigi x 1
量
可证明：
分 析
g ij g ji
gij g ji
的
称 g i j 为度量张量的协变分量
起
称 g i j 为度量张量的逆变分量
点
gi gij g j gi = g ij g j
协变基矢量在逆变基矢量下分解 逆变基矢量在协变基矢量下分解
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
P
基于简化的思想，
引入逆变基矢量 g
g1 x1
费马坐标系
存在对偶关系：
gg 10
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系下矢量的协变分量与逆变分量
PPg Pg
哈工大弹塑性力学02_张量概念
……
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02
母可以任意改变。
张量概念
关于求和标号（哑标）说明：
◆ 由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字
S ai xi a j x j ak xk
or or
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。
◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
哈工大 土木工程学院
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02
张量概念
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物
理量，统称为标量（Scalar ）。例如温度、质量、功 等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足
, x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) ( x1
(3) ij jk i11k i 2 2k i 3 3k ik (4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii (5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1 , 或a2 , 或a3 )
例2：完成变换 Tkj→Tij
ikTkj iiTij Tij 特别地 ik kj ij
ik kj jm im
例 3：
Ami Bnj
代表34=81个数，求 m=n时各项的和。
mn Ami Bnj Ani Bnj Ami Bmj
哈工大 土木工程学院
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物
理量，称为矢量（Vector） 。例如速度、加速度等。
◆ 标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确
张量理论与张量分析的应用
计算方法：通过对张量的分量进行 变换和组合，可以计算出张量的对 称性。
添加标题
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添加标题
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分类：根据对称性的不同，可以将 张量分为不同类型，如对称张量、 反对称张量等。
应用：张量的对称性分析在物理学、 工程学等领域有着广泛的应用，如 弹性力学、流体力学等。
定义：特征值是线性变换下的不变量，特 征向量是线性变换下的向量。
描述张量在环境科学中的具体应用场景 介绍张量在环境科学中的重要性和作用 分析张量在环境科学中的优势和局限性 探讨张量在环境科学中的未来发展方向
汇报人：XX
添加项标题
张量分析在数据科学中的应用：利用张量分析的方法对多维数 据进行处理、分析和挖掘
添加项标题
张量在数据降维中的应用：通过张量分解等方式降低数据的维 度，提高处理效率和可解释性
添加项标题
张量在数据分类和聚类中的应用：利用张量表示的数据结构对 数据进行分类和聚类，提高分类和聚类的准确性和稳定性
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
张量是一个数学概 念，用于描述物理 现象中的多维数据
张量具有标量、向 量和矩阵等基本数 学对象的性质
张量可以表示物理 量在不同参考系下 究电磁场、电流 密度等物理量
振动分析：用于研 究结构的振动特性、 频率响应等
金融数据分析：利用张量进行多维数据分析，挖掘金融市场的潜在规律和趋势。 风险评估：利用张量模型评估金融市场的风险，为投资决策提供支持。 预测模型：利用张量构建时间序列预测模型，预测经济指标和金融市场的走势。 营销策略：利用张量分析消费者的购买行为和偏好，制定更精准的营销策略。
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张量概念的形成与张量分析的建立
【摘要】：张量分析在数学物理学中占据重要地位。
由于广义相对论的成功,张量分析逐渐被人们所重视。
更重要的是规范场论和弦理论的建立,张量分析被应用到了更加广泛的领域。
而如此重要的数学分支的历史却极少被研究,这不能不说是一个很大的缺憾。
在发掘、搜集、整理、分析张量数学的原始文献的基础上,运用概念分析的方法,梳理、研究、探讨了张量数学的发展史,得到了若干新的发现。
首先,找到了向量的代数定义的原始文献,这是张量数学发展史研究的中间链条。
如果没有向量的代数定义,这种扩张量是无法超出三维情形的。
而张量是一种高维的数学量,因此向量的代数定义是通向张量概念的非常重要的概念。
在关于张量数学史的研究中,这是一个被忽略的内容。
其次,解读了张量概念的电磁学起源。
从电磁学角度揭示了张量概念的物理学源头。
而在过去,则一直把弹性力学作为张量概念起点,事实上,应用力学与张量概念的起源关系不大。
论文最重要的发现是考证了第一个在现代意义上使用tensor的学者。
论文系统论述了张量分析的建立过程。
从非欧空间观念、高斯的内蕴思想、黎曼的n维流形、格拉斯曼的高维空间观念、凯莱的n维向量空间开始,逐一陈述了张量数学的历史。
张量分析作为解决曲线坐标系中微分运算的数学方法,是从高斯的内蕴几何开始孕育的。
而第一个真正提出这个问题的是黎曼,他的n维流形的构想,具体地提出了弯曲空间中二次微分形式的变换问题,这是通向张量分析的起点。
随后,经过贝尔特拉米、克
里斯托夫、里奇等人的发展,这种方法终于得以建立。
作为补充,简述了张量分析的应用史。
包括爱因斯坦、希尔伯特的引力场方程,以及外尔、列维-齐维塔的黎曼几何学。
这里的新发现是考证了“黎曼几何学”这个名词的最早出处。
张量分析的产生,依赖19世纪的代数和几何的解放。
正是非欧几何和抽象代数的出现,使得张量分析得以产生。
而张量分析与黎曼几何的深入发展,极大地促进了现代数学的进步。
这使得对张量数学史的研究具有深刻的意义。
【关键词】：张量分析曲线坐标系向量的代数定义黎曼流形协变系统
【学位授予单位】：山西大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2008
【分类号】：O183.2
【目录】：中文摘要4-5Abstract5-11导论11-33一论文选题的意义11-12二关于张量数学的几个重要问题12-15三论文的基本内容15-22四国内外研究现状22-29五思路、研究方法、创新点与不足之处29-33第一章流形理论:张量概念形成的几何学进路33-60第二节弯曲空间观念的形成:黎曼流形的渊源之一34-481、非欧空间观念形成:张量数学的萌芽34-372、弯曲空间的首次探索:张量分析的几何学基础37-48第二节高维空间观念的形成:黎曼流形的渊源之二48-531、格拉斯曼
的n维向量空间48-502、凯莱的n维解析几何50-53第三节黎曼构造流形概念:张量表示空间形成53-601、黎曼构造”流形”的思路54-552、黎曼”流形”的内涵55-60第二章不变量理论:张量概念形成的代数学进路60-79第一节格拉斯曼的几何演算:扩张量的首次引进62-65第二节代数形式不变量理论:张量分析的核心65-761、代数形式与不变量65-692、向量的代数定义69-723、西尔维斯特的代数形式不变量理论72-76第三节矩阵表征:向量和张量共同的语言76-79第三章协变理论:张量概念形成的电磁学进路79-95第一节tensor:首次出现及最初含义79-83第二节电动力学中的张量概念83-901、明可夫斯基的六元矢量:二阶反对称张量83-872、洛仑兹理论中的张量概念87-90第三节tensor:”张量”涵义的首次出现90-951、诺德斯托姆赋予tensor张量内涵90-932、劳厄的张量概念93-95第四章协变微分:张量分析的建立95-112第一节微分形式不变量:张量分析的灵魂96-100第二节克里斯托弗符号:张量分析的出现100-104第三节里奇综合:张量分析最终建立104-109第四节爱因斯坦理论:张量分析的重述109-112第五章相对论和黎曼几何:张量分析的应用112-123第一节广义相对论:张量分析的物理实现112-1181、爱因斯坦的方案112-1152、希尔伯特的方案115-118第二节黎曼几何学:张量分析的数学实现118-1231、外尔的总结119-1212、契维塔的发展121-123结束语123-125参考文献125-133博士期间的学术成果133-134致谢134-135 本论文购买请联系页眉网站。