张量分析习题答案
张量分析——精选推荐
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。
张量分析第三章
1 m 1 m 1 m
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积：设张量 A P ; B P ；则 A和 B的张量积按：
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
（3.1-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则：
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1： 如图3－1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB Aij ii i j （Bmn imin） Aij Bmn）i j imin Φ （ ) （ ii ; Φ P 4
《连续体力学》习题及解答2分析
2 二阶张量及其若干运算法则(一) 概念、理论和公式提要2-1 张量的乘法① 张量的外乘(并乘) 张量的外乘用⊗表示，其外积为张量，其阶数等于外乘诸张量阶数之和。
② 张量的内乘(点乘) 张量的点乘用“·”表示(有时也可省去“·”)，其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。
③ 张量的双点乘记作“∶”(两次点乘)，例如B A∶；其积为张量，其阶数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。
设)(CT )(CT )(CT p n m 为，为，为C B A ，则)42(CT ⨯-++=p n m 为，∶∶D D C B A (2-1-1) 取)2(CT 244为，则，，D ===p n m ，其分量为rp mnrp ijmn ij C B A D = (2-1-2)其中A 分量的后两个指标与B 分量的前两个指标，B 分量的后两个指标与C 分量的前两个指标依次相同。
④ 二阶张量ij ij T T =T T T T ∶，定义为的范数记为为正方根，且有时才取等号只当，o T T =≥0 (2-1-3) 的绝对值为标量，ααααT T = (2-1-4) R T R T +≤+ (2-1-5) R T R T ⋅≤∶ (2-1-6) a T a T ≤⋅ (2-1-7)R a a 的模，为矢量亦为二阶张量。
⑤ 设C B A B A 次缩拼为张量外积的和，则和分是是和s t r )(CT )(CT ，记为C B A =⊗s C)2(s t r -+为C 阶张量，其分量关系为mn k k k k k k ij mn ij s s B A C 2121= (2-1-8)反之，如果已知C B 和为张量，其分量与带指标的量 ij A 满足上式，则 ij A 为张量A 的分量，称为商法则或张量识别定理。
A 的阶数等于s 2的阶数加C ，减去B 的阶数。
特别地当B ，t s =的分量的全部指标都是哑标时，则A 的阶数等于B 和C 的阶数之和。
习题答案—第二章
第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。
解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。
张量分析(最后附题目)
●
矢量微分元
线元，面元，体元v v v v 例： ∫ F ⋅ dl , ∫ B ⋅ dS , ∫ ρ dV
v v 其中：dl , dS dV 称为微分元。
v dl
v dS
A.直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 v v r r 线元： dlx = dxa x 面元： dS x = dydzax v v r r dS y = dxdza y dl y = dya y v r v r dS z = dxdyaz dlz = dzaz v r r r 体元： dV = dxdydz dl = dxax + dya y + dzaz
（对各向同性、线性电介质） 电极化率，表征了电介质的性质 r r 对各向异性、非线性电介质， 并不和 E 简单成正比， P 其方向也不一定平行，“电极化率”不是一个简单的数。 r r r P 当 E 不太强时， 和 E 的对应关系仍然是线性关系， 可以用分量表示为：
r r ∑ pi 单位体积内所有分子 电极化强度矢量：P = 的电偶极矩矢量和 ΔV r r P = αE
直角坐标系（笛卡尔坐标系:Cartesian coordinates ） 右手坐标系： r 如果由 e1按右手螺 r r 旋旋转到 e2 可以得到 e3 左手坐标系： r 如果由 e1按左手螺 r r e2 e3 旋旋转到 可以得到 b .矢量不变特性
r e3
r e1
r e2
r e3
r e1
r e2
α ϕ x
β
ρ
cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos γ = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 γ = 1
张量分析答案完整版.
1.1 求证： u × (v × w ) = ( u • w) v − ( u • v) w
黄克智版张量分析课后习题答案完整版
并问： u × ( v × w ) 与 （u × v） × w 是否相等？ u 、v、w 为矢量 证明：因为 u= (u x , u y , u z ) ; v= ( vx , vy , vz ) ; w= ( wx , wy , wz ) ;
左边= u × (v × w ) = (u x , u y , u z ) × [ ( vx , vy , vz ) × ( wx , wy , wz ) ]
g11g1 + g 12g 2 + g 13g 3 = 2g1 + g 2 + g 3
= j + k = g1
1.11 根据上题结果验算公式： g j = g jig i 1 1 1 由上题结果： g = 2 , g1 = ( −i + j + k ) , g 2 = (i − j + k ) , g3 = ( i + j − k ) 2 2 2
=[
⎧2 g rs = ⎨ ⎩1
及： g1 = g11g1 + g12g 2 + g13g3
所以 u × (v × w) ≠（u × v） ×w
第一章
同理; g 21g1 + g 22g 2 + g 23g3 = g1 + 2g 2 + g 3 当r=s 当r ≠ s
=
=
, u y ( vx wy − wx v y ) − u z ( wxv z − v x wz ) u x ( wx vz − vx wz ) − u y ( v y wz − w yv z ) ] 所以： u × (v × w ) = (u • w)v − ( u • v) w 同理可证： ( u × v ) × w = ( u • w) v − ( v • w) u
张量分析第一章 习题答案
一阶张量 一阶张量 根据张量识别定理: δ ij 是1+1阶即二阶张量. (2) 对于任意二阶张量 b jk 缩并:
∑ε
j ,k
ijk
b jk
一阶张量
∑ε
j ,k
1 jk b jk = b23 − b32
∑ε
j ,k
2 jk
b jk = b31 − b13
∑ε
j ,k
3 jk
b jk = b12 − b21
∑
i1i2 ⋅⋅⋅iµ j1 j2 ⋅⋅⋅ jµ
得 Ai1′i 1 Ai2′i2 ⋅⋅⋅ Aiµ′iµ Aj1′ j1 Aj2′ j2 ⋅⋅⋅ Ajν ′ jν ai1i2 ⋅⋅⋅iµ j1 j2 ⋅⋅⋅ jν 命题得证！ 命题得证！
ci1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ =
∑ ∑
i1i2 ⋅⋅⋅iν j1 j2 ⋅⋅⋅ jν
得
i1i2 ⋅⋅⋅iµ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ j1 j2 ⋅⋅⋅ jν
在新坐标系中: ci1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ = ∑ ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ b j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′
j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′
比较
ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ j1′ j2′ ⋅⋅⋅ jν ′ =
ai1′i2′ ⋅⋅⋅iµ′ =
∑
i1i2 ⋅⋅⋅iµ
得 Ai1′i 1 Ai2′i2 ⋅⋅⋅ Aiµ′iµ ai1i2 ⋅⋅⋅iµ
命题得证！ 命题得证！
6. 根据张量识别定理证明:δ ij是二阶张量, ε ijk 为三阶张量. 证: (1) 对于任意一阶张量 对于任意 阶张量 a j ∑ δij a j = ai
张量分析与材料应力张量习题解答
练习题Ⅱ（金属所）1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl )4. 证明ijk ikj =-6。
5. 证明ijkmik =-2δjm 。
6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。
7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明：(div M )⋅B =div(M ⋅B )-{ (B ∇)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=211121112)(ij σ9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。
并验证主方向是相互正交的。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=740473037)(ij σ10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1cx 3，u 3= bx 2+cx 3；其中a 、b 、c 皆为常数。
求这个位移场的应变张量Γ。
11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=32222111216112226226)(x x x x x x x ij ε12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
练习题Ⅱ解答（金属所）1. 用下标符号证明： C B A B C A C B A )()()(⋅-⋅=⨯⨯。
解：CB A BC A e e e e e C B C B A )()()(()()()(⋅-⋅=-==∈∈=∈=∈⨯=∈⨯⨯i i j j j i j i jl im jm il m l j i klm ijk m l j ik m l klm j ijk i k j ijk c b a c b a )δ-δδδc b a c b a c b a a 2. 证明nknj ni mk mj mi lklj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈解：a ij 的行列式为333231232221131211det a a a a a a a a a A = 当行列式行与行、列与列对换一次行列式的值就变号一次，任意换行后有A a a a a a a a a a lmn n n n m m m l l l det 321321321=∈ 任意换列后有A a a a a a a a a a ijk kjik j i kj i det 333222111=∈ 因此，任意行与行、列与列交换后有A a a a a a a a a a lmn ijk nkmkninj mj mi nimi li det ∈=∈ 令a ij =δij ，det A =1,则有lmn ijk nknj ni mk mj mi lklj li ∈=∈δδδδδδδδδ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 解：根据上题的结果，有)()3()3()()(im jl mj li li mj mj li mi lj mj li mi lj jl im li kj mk ki mj lk mi lj kk mj li kk mi lk kj mk lj ki mkmj mi lklj li kkkj ki klm ijk δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=++-++=++-++==∈∈4. 证明ijk ikj =-6解：ijk ikj =-ijk kij =-(δii δjj -δij δji )=-(33-δii )=-(9-3)=-65. 证明ijk mik =-2δjm解：ijk mik =ijk kmi =(δim δji -δii δjm )= (δjm -3δjm )=-2δjm6．证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。