张量分析答案完整版
(完整版)《张量分析》报告
一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。
写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。
1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。
这是一个约定，称为求和约定。
例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。
不求和的指标称为自由指标。
1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。
黄克智版张量分析第一章习题解析
i B C Bx Cx
j By Cy
k Bz Cz
B y C z Bz C y i Bz C x Bx C z j Bx C y B y C x k i B D Bx Dx j By Dy k Bz Dz
By Dz Bz Dy i Bz Dx Bx Dz j Bx Dy By Dx k
z y
u w v u x wx u y wy u z wz vx i v y j vz k u v w u x vx u y v y u z vz wx i wy j wz k
u x wx u y wy u z wz v x i v y j v z k
a cb
即，a，b 线性相关。 1.6 求证： a b c 0 a，b，c 线性相关。 证明： 即
a
b c a b c 0
a bc
或 a，b，c 共面。三维空间中共面的三矢量线性相关。
1.7 已知：矢量 b=2i +j -2k，c=i +2j +3k，i，j，k 为笛卡儿基； 若将 c 分解为与 b 平行的矢量及垂直于 b 的矢量 a 之和，即c=a +mb。 求 a；m(其中 b· a =0) 解：
C i C j C k A B C B C A B C B C A B C D i D j D k C A B D B D B A D A D D A B C B C B A C A C i C A B D B D B A D A D D A B C B C B A C A C j C A B D B D B A D A D D A B C B C B A C A C k
张量分析——精选推荐
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。
张量分析简答题
22
张量分析
Tensor Analysis
x2
x1'
x2' x2
x
' 2
e2'
e2 e1'
x1' x1
e1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
x1
( i' , j 1,2 )
则：αi' j
ccooss((ee21''
,e1 ) ,e1 )
cos(e1' cos(e2'
标为哑指标。如：
ai xi (i 1,2, n)
a1x1 a2 x2 an xn
n i 1
ai
xi
又如： ii jj 11 22 33 x y z
11
张量分析
Tensor Analysis
1
求和约定仅对字母指标有效，如 33 z
Aij jk Aik
ij jk ik
ij jk kl il
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
18
张量分析
Tensor Analysis
§A－2 张量的定义和代数运算
1. 矢量的基本运算
矢量a 分量ai
a a1e1 a2e2 a3e3 aiei
23
31 32 33
x xy xz
yx
y
yz
zx zy z
10
张量分析
Tensor Analysis
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
张量分析第三章
1 m 1 m 1 m
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积：设张量 A P ; B P ；则 A和 B的张量积按：
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
（3.1-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则：
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1： 如图3－1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB Aij ii i j （Bmn imin） Aij Bmn）i j imin Φ （ ) （ ii ; Φ P 4
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
习题答案—第二章
第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。
解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。
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证明：由已知得
��
1� �
1� �
ω1 •ω2 = (− 2 ∈: Ω1) • (− 2 ∈: Ω2 )
=
1 4 (∈ijk
� g
i
� g
j
� g
k
:
Ω1lm
� gl
� gm
)
•
(∈rst
��� g r g s gt
:
Ω2
xy
� g
x
� g
y
)
=
1 4 (∈ijk
Ω1
jk
� g
i
)
•
(∈rst
� Ω2stg r )
Li = m[ωir mrm − r irkωk ]
ω
v
=
m[δ
i k
r m rm
−
ri
rk
]ω k
=
I
i ik
ω
k
所以 L = m[(r •r)G − rr] •ω = I •ω
1.51 已知向量ω1 与二阶反对称张量 Ω 1 ，矢量 ω2与二阶反对称张量 Ω 2 分别互为
反偶。反偶？
1 求证： ω1 • ω2 = 2 Ω1 : Ω2
m
v 可知: ∂vm'
∂xn '
∂x m = ∂xm '
∂vm ∂xn
∂xn ∂xn'
∂xm + ∂xm ' ∂xn'
m
v 同理可得： ∂vn'
∂x m '
=
∂xn ∂xn'
∂vn ∂xm
∂x m ∂xm '
∂x n + ∂xm' ∂x n'
n
v v 则T(m'.n' )
=
∂v m
'
∂x n '
− ∂vn' ∂xm '
2δ
i j
[u
v
w
]
+
2δ
i j
[u
v
w]
[ = T⋅ii δ
i j
u
v
w ]=T⋅ii [u
v
w ]= φ1T [u
v
w ]，命题得证。
（2）式左边
[ ] [ ] [ ] = T⋅ija jgi
T
a ⋅b
b
b
g
a
c cgc
+ adgd
T ⋅ijb jgi
T⋅ab cb g a + T⋅ija jgi
=
TamT ma
1S∗
=
tr(S) =
tr(B•
A) =
B•
A:
G
=
T.nm gm gn
•
T.
i j
gi
gj
:
gab ga gb
=
TanT na
∴T与S具有相同的主不变量。
2.4 求证：（1） [T ⋅ u v w ] + [u v T ⋅ w ]+ [u v T ⋅ w ] = φ1T [u v w ]
ux (wxvz − vx wz ) − uy (vywz − wyvz ) ] 右边= (u • w)v − (u • v)w
= (uxwx + u ywy + uz wz )v - (uxwx + u ywy + uz wz )w
= (uxwx + u ywy + uz wz ) (vx , vy , vz ) - (uxwx + u ywy + uz wz ) (wx , wy , wz )
=TT
•T T •T T •G •
=T T T m p a •p •a •m
2.3 已知：任意二阶张量 A,B ,且 T = AiB,S = BiA
求证：T 与 S 具有相同的主不变量。证明：1T∗来自=tr(T )
=
tr ( A •
B)
=
A•
B
:G
=
T.
i j
gi g j
• T.nm gm gn
:
gab ga gb
g11g1 + g12g2 + g13g3 = 2g1 + g2 + g3
2
1
1
= (-i + j + k) + (i - j + k) + (i + j - k)
2
2
2
= j + k = g1
及： g1 = g11g1 + g12g2 + g13g3
同理; g21g1 + g 22g2 + g 23g3 = g1 + 2g2 + g3
=[ uy (vx wy − wxvy ) − uz (wxvz − vxwz ) , uz (vywz − wyvz ) −ux (uxwy −wxv y ) , ux (wxvz − vx wz ) − uy (vywz − wyvz ) ] 所以： u×(v ×w) = (u• w)v −(u• v) w
+ a jb ec b ε iea ε jbbε
jbb
{( ) ( ) ( ) } [ ] [ ] [ ] =
1 6
T
⋅ij T
a ⋅b
δ
ijδ
b a
−
δ
ajδ
b i
a
b
c
+
δ
i j
δ
b a
−
δ
ajδ
b i
a
b
c
+
δ
ijδ
b a
−
δ
j a
δ
b i
abc
( )[ ] 1
=2
T
i ⋅j
T⋅abδ
i
j
δ
（2） [T ⋅ a
T⋅b
c] + [a
T⋅b
T ⋅ c]+ [T ⋅ a
b
T
⋅
c]
=
φ
T 2
[a
b
c]
证明：（1）式左边
[ ] [ ] [ ] =
T
ui
⋅j
jgi
v aga
w bg b
+ ucgc
T⋅ij v jg j
wd gd
+ uege
vf gf
T⋅ijw jgi
=
T⋅
i j
u
jva
wb ε
ia
同理可证： (u× v )× w = (u • w)v −(v •w)u
所以 u× (v × w) ≠（u× v）× w
1.11 根据上题结果验算公式： g j = g jigi
由上题结果：
g
=
2 , g1
=
1 (−i 2
+
j
+ k) , g2
=
1 2
(i
−
j
+ k ),
g3
=
1 2
(i
+
j−
k)
⎧2 当r=s grs = ⎨⎩1 当r ≠ s
=
1 4
∈ijk
∈rst
Ω1 jk Ω 2st
=
1 4
(δ
sj δ
t k
−
δ
tjδ
s k
)Ω1
jk
Ω
2st
=
1 4
(Ω1 jk Ω 2 jk
− Ω1 jk Ω2kj )
已知
� Ω
2
为反对称张量，故
Ω
1
jk
Ω
2k
j
=
−Ω1 jk Ω 2 jk
� ω1
所以
� • ω2
=
1 2
Ω1 jk Ω 2 jk
� Ω1
上式左端相等， a1 ⋅ N ⋅a2 = a2 ⋅N ⋅a1
故其右端也相等，即 (λ1 − λ2 ) a1 ⋅a2 = 0
注意到 λ1 − λ2 ≠ 0 同理可得 a1a2 = 0
所以 a1 ,a2 ,a3 互相正交且唯一
左边= u × (v × w) = (ux ,u y ,uz ) ×[ (vx , vy , vz ) × (wx, wy, wz ) ]
⎡i j k⎤
= (ux
,u y ,uz
)
×
⎢ ⎢
vx
vy
vz
⎥ ⎥
⎢⎣wx wy wz ⎥⎦
= (ux ,u y ,uz ) ×[ (vy wz − wyvz ) , (wxvz − vxwz ) ,( vxwy − wxv y )] =[ uy (vx wy − wxvy ) − uz (wxvz − vxwz ) , uz (vywz − wyvz ) −ux (uxwy −wxv y ) ,
= 1 (-i + j + k) + 2 (i - j + k) + 1 (i + j - k)
2
2
2
= i + k = g2
及： g2 = g21g1 + g 22g2 + g 23g3
g31g1 + g32g2 + g 33g3 = g1 + g2 + 2g3
1
1
2
= (-i + j + k) + (i - j + k) + (i + j - k)