黄克智版张量分析 习题解析
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02张量分析
1.矢量场的旋度 令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数，于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地，二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi
ai i ai xi
18
显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下， divT divT ，现证明如下：
divT
diva d iva
因此，今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别，统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义：
dTij dT dT 的分量 给出。 由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上，因为 Tij e i T e j ，又因 i 0 ，故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成
f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i
张量分析第三章
s′ r′
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
黄克智版张量分析 习题解析
因为 detU≠0，所以 vx=vy=vz=0 是唯一零解，即：v=0。
1.4 已知：矢量 u，v，求证： u v u v
证明： u v u v sinu,v u v
1.5 求证： a b 0 a，b 线性相关。
证明： 即
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 0
wy uyvz uzvy wx uzvx uxvz k
uv w uv w
1.2 求证： (A×B) ×(C×D)=B(A·C×D) －A(B·C×D) =C(A·B×D) －D(A·B×C)
证明：
i jk
A B Ax Ay Az Bx By Bz
Ay Bz Az By i Az Bx AxBz j AxBy Ay Bx k
2
ui u j gij , vi v j gij
uu12 u3
g11 g21 g31
g12 g22 g32
g13 g23 g33
u1 u 2 u 3
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1 1
1 2 1
1 2 6
1231
7 3
v1 g11
v2 v3
g21 g31
g12 g22 g32
g13 g23 g33
i jk B D Bx By Bz
Dx Dy Dz
By Dz Bz Dy i Bz Dx BxDz j BxDy By Dx k
i
A B C D Ay Bz Az By
Cy Dz Cz Dy
j Az Bx Ax Bz Cz Dx Cx Dz
k Ax By Ay Bx Cx Dy Cy Dx
弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用
ei ej＝ ij
34
符号ij 与erst
当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时，有
ei e j eijk ek
而对于左手系，有：
ei e j eijk ek
e3
e1 e1
e3 e2
e2
35
符号ij 与erst
2. 矢量的点积：
a b (a j e j ) (bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
1
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；
低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法：
实体记法：
分解式记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
31
符号ij 与erst
erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
定义(笛卡尔坐标系)
1 erst 1 0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析
| x x0 |
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
张量分析第三章
A B ( Ai i Bi i )ii ii
1 m 1 m 1 m
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积：设张量 A P ; B P ；则 A和 B的张量积按：
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
（3.1-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则：
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1： 如图3－1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB Aij ii i j （Bmn imin） Aij Bmn）i j imin Φ （ ) （ ii ; Φ P 4
1 m 1 m 1 m
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积：设张量 A P ; B P ；则 A和 B的张量积按：
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
（3.1-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则：
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1： 如图3－1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB Aij ii i j （Bmn imin） Aij Bmn）i j imin Φ （ ) （ ii ; Φ P 4
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
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u wv uxwx uywy uzwz vxi vy j vzk
u vw uxvx uyvy uzvz wxi wy j wzk
u wv u vw
uxwx uywy uzwz vxi vy j vzk uxvx uyvy uzvz wxi wy j wzk
因为 detU≠0，所以 vx=vy=vz=0 是唯一零解，即：v=0。
1.4 已知：矢量 u，v，求证： u v u v
证明： u v u v sinu,v u v
1.5 求证： a b 0 a，b 线性相关。
证明： 即
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 0
Cxi Cy j Czk
Ax ByCz BzCy Ay BzCx BxCz Az BxCy ByCx
Dxi Dy j Dzk
Cx Ax By Dz Bz Dy Bx Az Dy Ay Dz Dx Ax ByCz BzCy Bx AzCy AyCz i Cy Ay Bz Dx BxDz By AxDz Az Dx Dy Ay BzCx BxCz By AxCz AzCx j Cz Az BxDy By Dx Bz Ay Dx AxDy Dz Az BxCy ByCx Bz AyCx AxCy k
1.7 已知：矢量 b=2i +j -2k，c=i +2j +3k，i，j，k 为笛卡儿基； 若将 c 分解为与 b 平行的矢量及垂直于 b 的矢量 a 之和，即c=a +mb。 求 a；m(其中 b·a =0)
解： a c mb i 2 j 3k m2i j 2k 1 2mi 2 m j 3 2mk
uy
uz
vy wz vz wy vz wx vxwz vxwy vy wx
uy vxwy vywx uz vzwx vxwz i uz vywz vzwy ux vxwy vywx j ux vzwx vxwz uy vywz vzwy k
v1 v2 v3
2 1 1
1 2 1
1 1 2
1211
0 2
1
uivi 6 7 31 2
u
v
1
2
u
i
vi
2
3
10 2
2
1.13 已知:（1）圆柱坐标系如图（a），r =x1， =x2，z =x3。 （2）球坐标系如图（b）， r =x1， =x2， =x3。
x3'
O
x2‘
1.1 求证：u×(v×w)=(u·w)v－(u·v) w 并问： u×(v×w) 与 (u×v)×w 是否相等？u，v，w 为矢量。
证明：
i jk
v w vx vy vz wx wy wz
vywz vzwy i vzwx vxwz j vxwy vywx k
i
j
k
u v w ux
A B D Ax By Dz Bz Dy Ay Bz Dx BxDz Az BxDy Cy Dx A BCACBAxDByCDz ABzCBy CAy BzCx BxCz Az BxCy ByCx
Ax By Dz Bz Dy Ay Bz Dx Bx Dz Az BxDy By Dx
（1）按公式（1.2.17），求 g1，g2，g3 以 i，j，k 表示的式子； （2）求grs 。
011
解：
g1 g2 g3 1 0 1 2
110
i jk g2 g3 1 0 1 i j k
11 0
i jk g3 g1 1 1 0 i j k
011
i jk g1 g2 0 1 1 i j k
i jk B D Bx By Bz
Dx Dy Dz
By Dz Bz Dy i Bz Dx BxDz j BxDy By Dx k
i
A B C D Ay Bz Az By
Cy Dz Cz Dy
j Az Bx Ax Bz Cz Dx Cx Dz
k Ax By Ay Bx Cx Dy Cy Dx
Bxi By j Bzk
Bx Cy Dz Cz Dy By Cz Dx Cx Dz Bz Cx Dy Cy Dx
Axi Ay j Azk
Bx Ay Cz Dx CxDz Az CxDy Cy Dx Ax By Cz Dx CxDz Bz CxDy Cy Dx i By Ax Cy Dz Cz Dy Az CxDy Cy Dx Ay Bx Cy Dz Cz Dy Bz CxDy Cy Dx j Bz Ax Cy Dz Cz Dy Ay Cz Dx CxDz Az Bx Cy Dz Cz Dy By Cz Dx CxDz k
即 gij 是对称正定的。
1.9 求证：对于一组非共面的gi，存在唯一的 gj，gj 也是非 共面的。
证明： 参见：1.2.2.4 由协变基矢量求逆变基矢量 式（1.2.17）及式（1.2.25 ）。
1.10 已知：以i，j，k 表示三维空间中笛卡坐标基矢量，
g1 j k, g2 i k, g3 i j
1.3 求证矢量的非退化性。即：若矢量 v 与它所属的矢量空间 中的任意矢量 u 都正交，即：u·v=0，则矢量 v=0。
证明：因为 u 为任意，所以可取 u1，u2，u3，使得
由 u·v=0 得
u1x u1y u1z det U u2x u2 y u2z 0
u3x u3y u3z
vxu1x vyu1y vzu1z 0 vxu2x vyu2 y vzu2z 0 vxu3x vyu3y vzu3z 0
i
x 2 x 2
j
x3 x 2
k
x1 x2 x3 g3 x3 i x3 j x3 k
x1 r cos x1 cos x2 x2 r sin x1 sin x2
x3 z x3
g1 cos x2i sin x2 j g2 x1 sin x2i x1 cos x2 j g3 k
球坐标系：
x1 r sin cos x1 sin x2 cos x3 x2 r sin sin x1 sin x2 sin x3 x3 r cos x1 cos x2
g1 sin x2 cos x3i sin x2 sin x3 j cos x2k g2 x1 cos x2 cos x3i x1 cos x2 sin x3 j x1 sin x2k g3 x1 sin x2 sin x3i x1 sin x2 cos x3 j
1.11 根据上题结果验算公式：gj=gjigi
解：
g1 g11g1 g12g 2 g13g3
2 1 i j k 1 i j k 1 i j k
2
2
2
jk
g2 g21g1 g22g2 g23g3
1 i j k 2 1 i j k 1 i j k
2
2
2
ik
aybz azby 0 azbx axbz 0 axby aybx 0
或
ax ay az c
bx by bz
故
a cb
即，a，b 线性相关。
1.6 求证： a b c 0 a，b，c 线性相关。
证明： a b c a bc 0
即
a bc
或 a，b，c 共面。三维空间中共面的三矢量线性相关。
i jk
C D Cx Cy Cz Dx Dy Dz
Cy Dz Cz Dy i Cz Dx CxDz j CxDy Cy Dx k
i jk B C Bx By Bz
Cx Cy Cz
ByCz BzCy i BzCx BxCz j BxCy ByCx k
b a 2i j 2k1 2mi 2 m j 3 2mk
21 2m 2 m 23 2m
2 9m 0
m2 9
a 13 i 20 j 23 k 99 9
1.8 利用 dr gidxi，证明gij 是对称正定的。 证明： dr 2 gidxi g jdx j gijdxidx j g jidx jdxi >0
uyvz uzvy i uzvx uxvz j uxvy uyvx k
i
j
k
u v w uyvz uzvy uzvx uxvz uxvy uyvx
wx
wy
wz
wz uzvx uxvz wy uxvy uyvx i wx uxvy uyvx wz uyvz uzvy j
g3 g31g1 g32g2 g33g3
1 i j k 1 i j k 2 1 i j k
2
2
2
i j
1.12 已知：u=2g1+3g2-g3，v=g1-g2+g3，基矢量同上题。运用 1.11 题求得的 grs 计算： （1）u·v ；（2）u，v 的协变分量。
解：
u v 2g1 3g2 g3 g1 g2 g3 2 g11 g12 g13 3 g21 g22 g23 g31 g32 g33 22 11 31 2 111 2
101
g1 1 i j k
2
g2 1 i j k
2
g3 1 i j k
2
g11 j k j k 2 g12 g21 j k i k 1 g13 g31 j k i j 1 g22 i k i k 2 g23 g32 i k i j 1 g33 i j i j 2
wy uyvz uzvy wx uzvx uxvz k
uv w uv w
1.2 求证： (A×B) ×(C×D)=B(A·C×D) －A(B·C×D) =C(A·B×k
A B Ax Ay Az Bx By Bz
Ay Bz Az By i Az Bx AxBz j AxBy Ay Bx k