2020年山西省高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
的一个零点是 ，且在
内有且只有两个极值点，则
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知向量 ， 满足| |=2| |=1， ⊥（ - ），则|2 + |=______．
14. 若 x，y 满足约束条件
，则 z=2x+y 的最小值为______．
15. 已知直线 l：xcosα+ysinα=1（α∈R）与圆 C：x2+y2=r2（r＞0）相交，则 r 的取值范围是______． 16. 函数 f（x）为偶函数，当 x≥0 时，f（x）=ex，则线 y=f（x）在 x=-1 处的切线方程为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
在
内为增函数，无极值点；
在
内有一个极值点 ；
在
内有极大值点 ，极小值点为 ，满足题意；
在
内有三个极值点 ， ， 不满足题意．
故选：C． 利用正弦函数的图象与性质，判断函数的极值的个数，推出选项即可． 本题考查函数的极值的求法，正弦函数的图象与性质的应用，是基本知识的考查．
6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A. 12π B. 16π
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C. D.
7. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三 角形较短的直角边为勾、另一直角边为股、斜边为弦．如图，现将一 个勾 3 股 4 弦 5 的三角形放入平面直角坐标系 xOy 中，在坐标平面中 任取一点 M（x，y），其中 x∈{0，1，2，3，4}，y∈{0，1，2，3}， 则点 M 落在该三角形内（含边界）的概率为（ ）
5.答案：D
解析：解：由题意，可知： 通过观察题干中三个等式的特点，首先可排除 A、B 两个选项， 因为三个等式中两个角度的和并不都是 90°，60°，故 A、B 错误； 再仔细观察 C 选项发现 C 选项中两个角度与其正弦余弦与三个等式矛盾， 故 C 错误； 只有 D 选项完全符合三个等式， 故选：D．
19. 某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从 A 农场购进一批优质棉花，厂方技术员从 A 农场存储 的优质棉花中随机抽取了 100 处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的均值，收集到 100 个样本数据，并制成如下频数分布表：
长度（单 位：mm）
[23，25）
[25，27）
[27，29）
[29，31）
∴
，解得 a=- ．
故选：D．
4.答案：A
解析：解：f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x），则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 B，D， 当 x＞0 且 x→0，f（x）＞0，排除 C， 故选：A． 先判断函数的奇偶性和对称性，利用 x→0，f（x）的极限值进行排除即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和极限思想利用排除法是解决本题的关键．
∴可得：A=B，或 A+B= ．
故选：D．
由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知等式可得 sin2A=sin2B，可得：A=B，或 A+B= ，即可
得解． 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基 础题．
11.答案：C
解析：解：如图， PE⊥PA，PE⊥PB，PE=1，△PAB 是边长为 2 的 等边三角形， 设 H 是△PAB 的中心，OH⊥平面 PAB，O 是外 接球的球心，
则 OH=
，PH= ，则
．
故四面体 P-ABE 外接球的表面积是 S=
．
故选：C．
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由题意画出图形，找出四面体 P-ABE 外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式求解． 本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12.答案：C
解析：解：
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形
11. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，CD 边的中点为 E，现将△ADE，△BCE 分别沿 AE，BE 折起，使
得 C，D 两点重合为一点记为 P，则四面体 P-ABE 外接球的表面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数 （）
2.答案：B
解析：解：cos =cos（π+ ）=-cos =- ，
故选：B． 利用诱导公式，把要求的式子用一个锐角的三角函数值来表示． 本题考查诱导公式的应用，cos（π+α）=-cosα，体现了转化的数学思想．
3.答案：D
解析：【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 【解答】 解：∵z=（1+ai）（1-2i）=（1+2a）+（a-2）i 为纯虚数，
20. 已知动点 P 到点 M（4，0）的距离是到点 N（1，0）距离的 2 倍，记点 P 的轨迹为曲线 C． （1）求曲线 C 的方程； （2）记曲线 C 与 x 轴交于 A，B 两点，M（4，0），设 Q 是直线 l：x=1 上任意一点，直线 QA， QB 与曲线 C 的另一交点分别为 D，E．求证：M，D，E 三点共线．
（Ⅱ）已知 A，B 是曲线 C 上任意两点，且∠AOB= ，求△OAB 面积的最大值．
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23. 已知函数 f（x）=|2x-3|-|x+1|． （Ⅰ）求不等式 f（x）≤6 的解集； （Ⅱ）集合 M 满足：当且仅当 x∈M 时，f（x）=|3x-2|．若 a，b∈M，求证：a2+b2+2a-2b＜5．
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17. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2，数列{bn}为等比数列，且 b1=a1，b2=a2． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）数列{cn}满足 cn= ，求{cn}的前项和 Tn．
18. 在三棱柱 ABC-A'B'C'中，AB=BC=CA=AA'=2，侧面 AA'C'C⊥底面 ABC，D 是棱 BB'的中点． （1）求证：平面 DA'C⊥平面 ACC'A'； （2）若∠A'AC=60°，求四棱锥 A'-B'C'CD 的体积．
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本题可运用排除法，首先根据角度的问题排除 A、B 两个选项；再根据两个角度对应的正弦余弦排除 C 选项，最终得到正确选项． 本题主要考查对已知几个等式的归纳猜想能力，以及排除法的应用．本题属基础题．
6.答案：D
解析：解：根据几何体得三视图转换为几何体为：一个底面半径为 2，高为 4 的圆柱挖去一个 的几
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1.答案：B
-------- 答案与解析 --------
解析：解：A={x|x2-x≥0}={x|x≥1 或 x≤0}， 则∁RA={x|0＜x＜1}， 故选：B． 求出 A 的等价条件，结合补集的定义进行计算即可． 本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键．
21. 已知函数 f（x）=lnx-mx+m（m∈R）． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 x≥1 时 f（x）≤ x2-x+ ，求实数 m 的取值范围．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
（α 为参数），以 O 为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 Ox． （Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程；
[31，33）
[33，35）
[35，37）
[37，39]
频数
4
9
16
24
18
14
10
5
（1）求这 100 个样本数据的平均数 （同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）①用频率估计概率，求从这批棉花中随机抽取 1 处其纤维平均长度 X≥27 的概率 P（X≥27）； ②纺织厂将 A 农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取 20 处测量其纤维均值 y（i i=1， 2，…，20），数据如下：
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9.答案：A
解析：【分析】 本题考查了对数函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用对数函数的单调性可得：m=log0.30.6＞log0.31=0，n= log20.6＜ log21=0，mn＜0．计算 + 即可
得出． 【解答】 解：m=log0.30.6＞log0.31=0，
A.
B.
C.
D.
3. 已知复数 z=（1+ai）（1-2i）（a∈R）为纯虚数，则实数 a=（ ）
A. 2
B. -2
C.
D.
4. 函数 y=xcosx 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 观察以下各等式：sin230°+cos260°-sin30°cos60°= ，sin215°+cos245°+sin15°cos45°= ， sin210°+cos240°+sin10°cos40°= ，从上述等式中能反映一般规律的式子为（ ）
故点 M 落在该三角形内（含边界）的概率为 ．
故选：C． 依题意可知点 M 的个数为 20 个，落在三角形内的有 11 个，由此能求出点 M 落在该三角形内（含边 界）的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.答案：D
解析：解：根据题意，双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=±2x，设其方程为 x2- =λ，（λ≠0）， 又由双曲线 C 过点（1，3）， 则有 1- =λ，解可得 λ=- ，
山西省太原市2020届高三下学期模拟测试试题三文科数学含解析.docx
山西省太原市2020届高三下学期模拟测试试题三 文科数学【含解析】第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1.已知集合 A = |x|x 2 -x-2<0j , 3 = {x|2x-l>0},则 A\JB=（ ）A. （一1, + 3）B. g'l] C ・[扑]g+S【答案】A 【解析】【分析】 确定出集合A, 3中的元素后，由并集定义计算. 【详解】由题意a = {x\-\<x<2}, B = {x\x>^}, A A|JB = {X |X >-1）. 故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键.2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质 量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为〃的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取 了 4 件，贝!]〃=（）故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了运算求解能力，牢记分层抽样的性质是解题关键，属于基础 题.3.设复数z 满足|z-l| = |z-i| （i 为虚数单位），z 在复平面内对应的点为（X, V ）,则（）C. (x-l)2+(y-l)2 =1D.(x + 1)- +(y+ 1)~ = 1【答案】B 【解析】 【分析】A. 9【答案】D【解析】B. 10C. 12D. 13【分析】由题意结合分层抽样的性质可得 -------------120 + 80 + 60 480 即可得解.【详解】由题意n120 + 80 + 60 4 —,解得 n — 13. 80 A . y = -x^z = x+yi(x,yeR),代入已知等式化简即可.^z = x+yi(x,yeR), ■: |z-l| = |z-i|, \x+yi-]\ = \x+yi-i\,即(x-1)2 + ^=亍+(1)2,化简得y = x.故选：B.【点睛】本题考查复数模的运算，直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得.也可由模的几何意义求解.4.已知等差数列｛弓｝的前〃项和为S R,且a2 = -2, tz8 = 10 ,则S9 =( )A. 45B. 42C. 25D. 36【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可知％ +% =。
太原市2020年高三三模试题数学文科答案
太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试题（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 8 14. 18 15. 112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 13(,)2-∞-, 132- 三、解答题（共70分） 17. （本小题满分12分）（1）甲小区分数集中于60~90之间，乙小区分数集中于80~100之间，所以乙小区的平均分高. ………………3分 （2）记分数为87的家庭为A 、B ，其他不低于80的家庭为C,D,E,F, 则从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ），（C,D ），（C,E ），（C,F ），（D,E ），（D,F ），（E,F ）共15个.“分数为87的家庭至少有一户被抽中的”所组成的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ）共9个， 故所求概率. ………………8分（3）因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关 .………………12分2240(3101710)20201327K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.584 5.204≈>.18．(本小题满分12分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分 又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以B ＝π4． ...................................................................................6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ， 所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，sin θ＝ 1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 7分 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，得AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7 210× 2＝175． ······················· 8分 在△ABC 中，sin A ＝ 1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 10分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ············································· 12分 19(本小题满分12分)解（1）如图，连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE ，....................................................1分 因为四边形11AAC C 是矩形, 所以 点E 是1AC 的中点，........................................... 2分 因为D 是11B C 的中点，所以 DE ∥1AB ，...............................................................3分因为1AB ⊄平面1ACD ，DE ⊂平面1ACD ，所以 1AB ∥平面1ACD ., ...................................................4分 （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以 111AA AC ⊥，因为1111111A B AC A A A B ⊥=，，所以 111AC B C =，.................................................................................................. 5分 因为1AB 和BC，所以11cos AB C ∠=，........... 6分 因为1111112A A A B A A A B ==⊥，，所以1AB .......................................7分 在11AB C ∆中，222111111111=2cos AC B C AB B C AB AB C +-⋅⋅∠可得11B C ，................................................................................................ 8分 因为111111=2A B AC A B ⊥，，所以11=3AC ， 因为11111111111,,C A A B C A A A A A A B A ⊥⊥⋂=，所以111C A A B⊥平面，同理111A B AC ⊥平面，.............................................................................................. 10分所以 11111=A B DCA D A AB D AA CV V V --+，113112223132232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯2= ， 所以 几何体11A B DCA 的体积为2. .................................................................12分 20．(本小题满分12分)解（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=， ..................................................1分因为椭圆C 过点 (1，32)，所以221914a b+=． ..................................................2分 解得24a =，23b =，.............................................................4分故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ........................................................................5分（2）设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6分EB 1C 1A 1DCBA若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n ． ......................................8分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ..................................10分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ...................................12分 21．(本小题满分12分)解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞， 当1k =-时，1()ln ,()1f x x x f x x'=-=-， ………………1分 令()0f x '=，得1x =，当()0,01;()0,1f x x f x x ''><<<>， ………………3分 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 有极大值点1x =，无极小值点． ………………6分（2）当0k =时，()ln b bf x a x a x x+-=+-． 若()0,(,)b f x a a b R x +-∈恒成立，则ln 0(,)bx a a b R x+-∈恒成立，所以ln ba x x +恒成立， ………………7分令ln b y x x =+，则2x by x-'=，由题意0b >，函数在(0,)b 上单调递减，在(,)b +∞上单调递增， ………………9分 所以ln 1a b +，所以1ln a b - ………………10分 所以1a e b -，111a e b --+， ………………11分故当且仅当1a e b -=时，11a e b --+的最大值为1． ………………12分 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,2x y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)， ………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22329⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB ⋅||21t t ==4,所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ……………………………3分解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分注：以上各题其他正确解法相应得分。
2020年山西太原高三三模文科数学试卷-学生用卷
2020年山西太原高三三模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第1题5分2020年安徽合肥高三一模理科第1题5分已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={x|2x−1>0}，则A∪B=（）．A. (−1,+∞),1)B. (12,2)C. (12,+∞)D. (122、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第2题5分某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n=（）．A. 9B. 10C. 12D. 133、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第3题5分2020年安徽合肥高三一模理科第2题5分设复数z满足|z−1|=|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x,y)，则（）．A. y=−xB. y=xC. (x−1)2+(y−1)2=1D. (x+1)2+(y+1)2=14、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第4题5分2020年广东佛山南海区高三下学期高考模拟理科第3题5分已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=−2，a8=10，则S9=（）．A. 45B. 42C. 25D. 365、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第5题5分2020年四川高三二模文科第3题5分2020年四川眉山高三三模文科第3题5分“实数x>1”是“log2x>0”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第6题5分2020年河南郑州高三一模理科第7题5分2020年山西太原高三三模理科第5题5分宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）．A. 5B. 4C. 3D. 27、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第7题5分2017~2018学年河南郑州金水区郑州市第七中学高一下学期期中第9题5分2018~2019学年天津和平区高一上学期期末第6题2016~2017学年辽宁沈阳和平区沈阳铁路实验中学高一下学期期中理科第2题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区西安市曲江第一中学高一下学期期中第4题已知sinα−cosα=√2，α∈(0,π)，则tanα=（ ）．A. −1B. −√22C. √22D. 18、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第8题5分已知向量e 1→，e 2→是夹角为π3的两个单位向量，则a →=2e 1→+e 2→与b →=−3e 1→+2e 2→的夹角为（ ）． A. π6B. π3C. 2π3D. 5π69、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第9题5分2020年山西太原高三三模理科第9题5分把函数f (x )=sin 2x 的图象向右平移π12个单位后，得到函数y =g (x )的图象．则g (x )的解析式是（ ）．A. g (x )=sin 2(x +π12) B. g (x )=−12cos(2x −π12)C. g(x)=−12cos(2x−π6)+12D. g(x)=12sin(2x−π6)+1210、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第10题5分2020年山西太原高三三模理科第10题5分已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递增．若实数a满足f(log2a)+ f(log12a)⩽2f(1)，则a的取值范围是（）．A. [12,1]B. [1,2]C. [12,2]D. (0,2]11、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第11题5分设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，若双曲线上存在点P，使∠F1PF2=60°，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）．A. 2B. √3C. √5D. √612、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第12题5分2020~2021学年12月重庆沙坪坝区重庆市第七中学高二上学期月考第9题2020年四川德阳高三一模理科第8题5分在三棱锥P−ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=12PB=1，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为√52，则该三棱锥外接球的表面积为（）．A. 6πB. 7πC. 8πD. 9π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第13题5分2020年山西太原高三三模理科第13题5分已知函数f(x)={log12x(0<x⩽1)x2−1(x>1)，则f(f(18))=．14、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第14题5分抛物线y=px2经过点(1,4)，则抛物线的焦点到准线的距离等于．15、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第15题5分2020年广东佛山南海区高三下学期高考模拟理科第14题5分已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+a n=−2，则数列{a n}的通项a n=．16、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第16题5分2020年广东佛山南海区高三下学期高考模拟理科第15题5分对任意正整数n，函数f(n)=2n3−7n2cosnπ−λn−1，若f(2)⩾0，则λ的取值范围是；若不等式f(n)⩾0恒成立，则λ的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第17题12分垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．太原市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动．现有甲、乙两个小区采取不同的宣传与倡导方式对各自小区居民进行了有关垃圾分类知识的培训，并参加了评比活动，评委会随机从两个小区各选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分，评分后得到如下茎叶图．(1) 依茎叶图判断哪个小区的平均分高？(2) 现从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户，求分数为87的家庭至少有一户被抽中的概率．(3) 如果规定分数不低于85分的家庭为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关？”参考公式和数据：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，其中n =a +b +c +d ．18、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第18题12分2020年江苏南京高三二模理科第16题14分在△ABC 中，已知角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a =bcosC +csinB ．(1) 求B 的值．(2) 设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD =177，cosA =−725，求b 的值．19、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第19题12分2019~2020学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高三上学期期末文科第18题12分 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1B 1⊥A 1C 1，D 是B 1C 1的中点，A 1A =A 1B 1=2．(1) 求证：AB1//平面A1CD．(2) 异面直线AB1和BC所成角的余弦值为√2613，求几何体A1B1DCA的体积．20、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第20题12分2020年山西太原高三三模理科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1,32)．(1) 求椭圆C的方程．(2) 已知△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点O到直线MN距离的最小值．21、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第21题12分2020年四川南充高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=lnx+kx．(1) 当k=−1时，求函数f(x)的极值点．(2) 当k=0时，若f(x)+bx−a⩾0(a,b∈R)恒成立，求e a−1−b+1的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第22题10分2019~2020学年陕西西安雁塔区唐南中学高二下学期期末理科第22题10分2020年山西太原高三三模理科第22题10分已知曲线C的极坐标方程是ρ−6cosθ=0，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l过点M(0,2)，倾斜角为34π．(1) 求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程．(2) 设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西太原高三三模文科第23题10分2020年山西太原高三三模理科第23题10分2019~2020学年陕西西安雁塔区唐南中学高二下学期期末理科第23题10分已知函数f(x)=|x+1|+|x−2a|．(1) 若a=1，解不等式f(x)<4；(2) 对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2−2m+4=f(x)，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 D;3 、【答案】 B;4 、【答案】 D;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 A;13 、【答案】8;14 、【答案】18;15 、【答案】−(12)n−1，(n∈N∗);16 、【答案】(−∞,−132];−132;17 、【答案】 (1) 乙小区的平均分高．;(2) 35．;(3)有关．;18 、【答案】 (1) B=π4．;(2) b=5．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2．;20 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) √32．;21 、【答案】 (1) f(x)有唯一的极大值点x=1，无极小值点．;(2) 1．;22 、【答案】 (1) (x−3)2+y2=9；{x=−√22ty=2+√22t（t为参数）．;(2) 5√24．;23 、【答案】 (1) (−32,52 )．;(2) [−2,1]．;。
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷(文科) (含解析)
2020年山西省运城市高中联合体高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 设集合A ={x|−2<2x <4}，B ={x|x ≤1}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x ≤1}B. {x|−2<x ≤1}C. {x|−1<x <1}D. {x|−2<x <1}2. 已知i 为虚数单位，设z =1+2+i i，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(3,m)，若a ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=0，则m 的值是( )A. −1B. 1C. −2D. 24. 若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n −2，则S 8等于( )A. 255B. 256C. 510D. 5115. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 36. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a7. 已知[x]表示不超过x 的最大整数．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2.4，则输出x 的值为( )A. 1.2B. 0.6C. 0.4D. −0.48. 棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱AD ，AB ，BB 1的中点，则过E ，F ，G 三点的平面截正方体所得的截面的面积是( )A. 6√2B. 3√2C. 6√3D. 3√39. 双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是( )A. 2x ±y =0B. x ±2y =0C. √3x ±y =0D. x ±√3y =010. 将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向左平移π2单位长度，所得图象关于x =π6对称，则ω的最小值是( )A. 6B. 23C. 94D. 3411. 已知A(5,3)，F 是抛物线y 2=4x 的焦点，P 是抛物线上的动点，则△PAF 周长的最小值为( )A. 9B. 10C. 11D. 1512. 已知函数f(x)=3+xln2x 则f(x)在(0,+∞)的最小值是( )A. 3+12eB. 3−12eC. 3+1eD. 3−1e二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 总体由编号为01，02，⋯，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 1198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 748114. 将一个底面半径为2，高为9的圆柱形铁块熔化后重新铸造成一个半径为r 的铁球(不记损耗)，则r 的值为______．15. 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=6，a 4+a 6=4，则S 5=______． 16. 已知函数f(x)={2x −1,(x >−1)e x ,(x ≤−1)，若a <b ，f(a)=f(b)，则实数a −2b 的取值范围为__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinCsinA⋅cosB =2ca．(1)求B．(2)若cosA=14，求sin C的值．19. 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF//DE ，DE =2AF ，∠EBD =45°． (Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求该几何体的体积．20. 已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上一点，当∠F 1PF 2=π3时，△PF 1F 2面积达到最大，且最大值为√3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l ：y =x +m 与y 轴交于点Q ，与椭圆交于M ，N 两点，若MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值．21.已知函数f(x)=12ax2+(a−1)x+(1−2a)lnx，g(x)=32ax−e x−1．(Ⅰ)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)≥g(x)在区间(0,1]上恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|x的解集；(2)若f(x)的最小值为N，且a+b+c=N，(a,b，c∈R).求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．解：∵集合A={x|−2<2x<4}={x|−1<x<2}，B={x|x≤1}，∴A∩B={x|−1<x≤1}．故选：A．2.答案：D解析：解：∵z=1+2+ii =1+(2+i)(−i)−i2=2−2i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,−2)，位于第四象限．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：利用向量的数量积以及坐标运算转化求解即可．本题考查平面向量的数量积的运算，是基本知识的考查．解：a⃗=(1,1)，b⃗ =(3,m)，若a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=0，可得(1,1)⋅(−2,1−m)=0，即−2+1−m=0，解得m=−1．故选：A．4.答案：C解析：本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由S n=2a n−2，n≥2时，可得：S n=2(S n−S n−1)−2，变形为：S n+2=2(S n−1+2)，n=1时，S1=2S1−2，解得S1.利用等比数列的通项公式即可得出．解：由S n=2a n−2，n≥2时，可得：S n=2(S n−S n−1)−2，变形为：S n+2=2(S n−1+2)，n=1时，S1=2S1−2，解得S1=2，故S1+2=4．∴数列{S n+2}是等比数列，首项为4，公比为2．∴S n+2=4×2n−1，解得S n=2n+1−2．∴S8=29−2=510．故选：C．5.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．6.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：本题考查了循环结构的程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出该程序运行后的结果是什么，属于基础题． 根据框图，模拟运行程序即可． 解：模拟程序框图的运行过程，如下： x =2.4，执行循环体，y =2.4，x =[2.4]−1=1， 满足条件x ≥0，y =1.2，x =[1.2]−1=0， 满足条件x ≥0，y =0.6，x =[0.6]−1=−1， 不满足条件x ≥0，退出循环，输出x =0.6−1=−0.4． 故选D ．8.答案：D解析：本题考查正方体的结构特征，属于基础题．由题意，根据正方体的结构特征可得截面是一个边长为√2的正六边形，计算可得结论． 解：如图所示，。
山西省太原市2020届高三下学期模拟测试 (三)数学(文)试题 (PDF版含答案)
因为 D 是 B1C1 的中点，所以 DE ∥ AB1 ， ...............................................................3 分
有关 .
………………12 分
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5
18．(本小题满分 12 分)
解：（1）因为 a＝bcosC＋csinB， 由sianA＝sibnB＝sincC，得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．·····································2 分 又因为 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
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6
因为 AB1 平面 A1CD ， DE 平面 A1CD ，
所以 AB1 ∥平面 A1CD ., ...................................................4 分
C1
D
A1
E
B1
（2）因为棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1 A1C1 ，
由sAinDB＝sin∠ABADB，得 AB＝AD·ssinin∠BADB＝177×7102× 2＝157． ·······················8 分 在△ABC 中，sinA＝ 1－cos2A＝2254， 所以 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ 22×(2254－275)＝1750 2． ··············10 分
1
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山西省太原市2020届高三年级数学文科模拟试题(三) (含答案)
．．'4已知等差数列｛αn｝的前h项和为S斗，且α2＝一2，α8= 10，则s9=太原市2020年高三年级模拟试题（三）B.42D. 36土豆J E；工1b=2b否C.3共60分）第I卷（选择题D.2一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符•干棘7.已知sinα－cosα＝）豆，αε（0，τ），则ta nα＝合题目要求的．空斟半生，D. 1v2C.一－2B.( I'1)A. (-1, +oo)'lT8＇.已知向量e,,e2是夹角为一的两个单位向量，贝Ua=2e,+e2与b=-3e1 +2e2的夹角为3D. (I' +oo)c. (f,2)'lTB-3'lTA.-62.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们D.三主6c.主主3的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，'lT9.把函数f( x) = si r巾的图象向右平移一个单位后，得到函数y=g(x）的图象．则g（川的解12B. 10其中从乙车间的产品中抽取了4件，则n=A.9析式是D. 13c. 12B.g(x)= _..!_co s j2x -王\ 12A.g(x)＝圳市＋主123.设复数z满足I z -11 = I z -i IC i为虚数单位），z在复平面内对应的点为（坷，y），则D.g(x）＝争巾1－2＋C仲）＝－±叫2x-iB.y = xD.(x + 1)2 +( y + 1)2 = 1高三数学（文｝第2页（共8页）第1页（共8页）高三数学（文）A. 455.''x>1”是“l o g2x＞。
”的c.25学试卷（文科）数.A.充分不必要条件c.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的α，b分别为3,1，则输出的n等于B.必要不充分条件A.5B.4注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第E卷5至8页。
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
2020年山西省晋城市高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x∈Z|0＜x＜6}，B={3，4，5}，则∁U B=（）A. {1，2，3}B. {1，2}C. {0，1，2}D. {0，1，2，3}2.设复数, 若z的虚部为( )A. B. 11 C. D. 163.某公司将20名员工工作五年以来的迟到次数统计后得到如图的茎叶图，则从中任取1名员工，迟到次数在[20，30）的概率为（）A.B.C.D.4.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=16，S5=35，则{a n}的公差为（）A. -3B. -2C. 3D. 25.《九章算术》卷第七--盈不足中有如下问题；“今有垣高九尺．瓜生其上，蔓日长七寸．瓤生其下，蔓日长一尺．问几何日相逢．”翻译为“今有墙高9尺．瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸．葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺．问需要多少日两蔓相遇．”其中1尺=10寸．为了解决这一问题，设计程序框图如图所示，则输出的k的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 86.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN=∠F2NM，则|MN|=（）A. 8B. 4C.D.7.函数f（x）=|sin x|+cos2x的值域为（）A. B. C. D.8.如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 32B. 20C. 10D. 89.若函数的图象关于y轴对称，则实函数a的值为（）A. ±2B. ±4C. 2D. 410.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AAˈ⊥l，垂足为Aˈ，若四边形AAˈPF的面积为14，且，则抛物线C的方程为（）A. B. C. D.11.已知a=ln，b=e-1，c=，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.12.如图所示，体积为8的正方体中ABCD-A1B1C1D1，分别过点A1，C1，B作A1M，C1N，BP垂直于平面ACD1，垂足分别为M，N，P，则六边形D1MAPCN的面积为（）A. B. 12 C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量=（2，4），=（-3，λ）λ∈R，⊥，则λ=______．14.若x，y满足约束条件，则的取值范围为______.15.在[0，20]中任取一实数作为x，使得不等式log（x-1）＞-4成立的概率为______．16.记数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3a n+2n-3，则数列{a n}的通项公式为a n=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，锐角△ABC中，，点D在线段BC上，且，△ACD的面积为，延长BA至E，使得EC⊥BC．（1）求AD的值；（Ⅱ）若，求AE的值．18.如图，四棱锥A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥平面ABC，CD=BE，点F在线段AD上．（Ⅰ）若AF=2FD，求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）若△ABC为等边三角形，CD=AC=3，求四棱锥A-BCDE的体积．19.某机构为了了解不同年龄的人对一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分．（Ⅰ）设消费者的年龄为x，对该款智能家电的评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，且年龄x的方差为，评分y的方差为．求y与x的相关系数r，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性强弱．（Ⅱ）按照一定的标准，将50名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．好评差评青年816中老年206附：线性回归直线=x的斜率=；相关系数r=独立性检验中的K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.82820.已知△ABC的周长为6，B，C关于原点对称，且B（-1，0）．点A的轨迹为Γ．（Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）若D（-2，0），直线l：y=k（x-1）（k≠0）与Γ交于E，F两点，若，，成等差数列，求λ的值．21.已知函数f（x）=me x-x2．（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥x（4-me x）在[0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．22.已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），以原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）过点（-2，1）的直线l与曲线C交于两点，且|AB|=2，求直线l的方程．23.已知f（x）=|x+m|+|2x-3|．（Ⅰ）若m=2，求不等式f（x）＞6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|2x-3|+3x在[1，5]上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：全集U={x∈Z|0＜x＜6}={1，2，3，4，5}，B={3，4，5}，则∁U B={1，2}，故选：B．根据补集的定义即可求出．本题考查了集合的运算，考查了运算求解能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：∵z=（3+2i）（2-5i）=6-15i+4i+10=16-11i，∴z的虚部为-11．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：依题意．该公司共有20名员工，其中迟到次数在[20，30）的有6人，故所求概率为P=，故选：B．该公司共有20名员工，根据茎叶图，迟到次数在[20，30）的有6人，代入古典概型的概率公式即可，本题考查了茎叶图，概率的计算，考查运算求解能力及滑轨思想，属于基础题．4.答案：C解析：解：∵a6=16，S5=5a3=35，即a3=7，∴公差d===3．故选：C．由a6=16，S5=5a3=35，即a3=7，可得公差d=．本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.答案：B解析：解：第一次，S=9-1.7=7.3，k=2，第二次，S=7.3-1.7=5.6，k=3，第三次，S=5.6-1.7=3.9，k=4，第四次，S=3.9-1.7=2.2，k=5，第五次，S=2.2-1.7=0.5，k=6，第六次，S=0.5-1.7=-1.2，满足条件，输出k=6，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件，进行模拟运算是解决本题的关键．6.答案：C解析：【分析】根据双曲线的定义得出|F1M|和|F1N|的大小关系即可．本题考查抛物线的定义性质的应用，结合图形性质是解决问题的方法之一．【解答】解：由双曲线的性质可知：|F2M|-|F1M|=2a=4，|F1N|-|F2N|=2a=4，∴|F2M|=|F1M|+4，|F1N|=|F2N|+4，∵∠F2MN=∠F2NM，∴|F2M|=|F2N|，∴|F1N|=|F1M|+8，∴|MN|=|F1N|-|F1M|=8．故选：C．7.答案：C解析：【分析】本题考查了三角函数的化简求值，考查计算能力转化思想，属中档题．利用三角函数的平方关系式，化简函数的表达式，结合sin x的范围，然后求出函数的最值．【解答】解：f（x）=|sin x|+cos2x=，=，①当0≤sin x≤1时，f（x）=，∴当sin x=时，；当sin x=1时，f（x）min=0，∴f（x）∈[0，]，②当-1≤sin x＜0时，f（x）=，∴当sin x=时，；当sin x=-1时，f（x）min=0，∴f（x）∈[0，]，综上，f（x）的值域为：[0，]．故选：C．8.答案：B解析：【分析】本题考查三视图求解几何体的体积，判断三视图对应几何体的形状是解题的关键．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体的直观图如图：ABCD-EFGH，是底面边长为2的正四棱柱，被一个平面所截剩余的多面体，几何体的体积为：2×2×2+×2×2=20．故选：B．9.答案：A解析：【分析】根据函数的奇偶性的性质即可求出a的值．本题考查函数的图象与性质，考查了推理论证能力与化归与转化思想，属于中档题．【解答】解：依题意，函数f（x）为偶函数，由于m（x）=sin x为奇函数，故g（x）=ln（ax+）也为奇函数，而g（-x）=ln（-ax+），∴g（-x）+g（x）=ln（-ax+）+ln（ax+）=0，即ln（1+4x2-a2x2）=0，解得a=±2，故选A．10.答案：C解析：分析：本题主要考查了抛物线的定义标准方程及其性质、四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′．设|AF′|=3x，根据cos∠FAA′=，可得|AF|=5x，|F′F|=4x．由抛物线定义可得：|AF|=|AA′|=5x．|A′F′|=2x=p，解得x．利用四边形AA'PF的面积S=即可得出．解：过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′．设|AF′|=3x，∵cos∠FAA′=，∴|AF|=5x，|F′F|=4x，由抛物线定义可得：|AF|=|AA′|=5x，则|A′F′|=2x=p，解得x=，∴四边形AA'PF的面积S===14，解得p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．故选：C．11.答案：D解析：【分析】考查对数的运算，构造函数解决问题的方法，以及根据导数符号判断函数单调性的方法．可先得出，然后设，根据导数符号即可判断出f（x）在[e，+∞）上单调递减，从而得出f（e）＞f（3）＞f（8），即得出b＞a＞c．【解答】解：；设，；∴x≥e时，（x）≤0；∴f（x）在[e，+∞）上单调递减；∴f（e）＞f（3）＞f（8）；∴；∴b＞a＞c．故选：D．12.答案：D解析：解：由题意可知正方体棱长为2，故△ACD1为边长为2的等边三角形，由对称性可知六边形D1MAPCN为正六边形，∴六边形的面积为2S=2××（2）2=4．故选：D．根据对称性可知六边形为正六边形，利用正六边形知识求出面积即可．本题考查了空间线面位置关系，考查空间想象与计算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：依题意•=0，即-6+4λ=0，解得λ=，故答案为：．依题意•=0，即-6+4λ=0，解得即可．本题考查了向量垂直的充要条件，考查了运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题．14.答案：[-5，]解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图所示；z=的几何意义为可行域内的动点M与定点D（10，-1）连线的斜率，由，解得A（1，0），由，解得B（9，4），计算k DA==-，k DB==-5，所以的取值范围是[-5，-]．故答案为：[-5，]．画出约束条件对应的可行域，根据z=的几何意义为可行域内的动点与定点D（10，-1）连线的斜率，结合图形找出最优解，从而求出z的取值范围．本题考查了线性规划的变形应用已经数形结合的解题思想，也考查了转化思想的应用问题，是基础题．15.答案：解析：解：解不等式log（x-1）＞-4，得0＜x-1＜16，解得1＜x＜17，设事件A为“在[0，20]中任取一实数作为x，使得不等式log（x-1）＞-4成立”由几何概型中的线段型得：P（A）==，故答案为：．由几何概型中的线段型得：P（A）==，得解．本题考查了几何概型中的线段型，属简单题．16.答案：2-（）n解析：解：S n=3a n+2n-3，可得n=1，a1=S1=3a1-1，即a1=；n≥2时，a n=S n-S n-1=3a n+2n-3-3a n-1-2n+2+3，即有a n=a n-1-1，由a n+λ=（a n-1+λ），解得λ=-2，可得{a n-2}为-为首项，为公比的等比数列，即有a n-2=-（）n，则a n=2-（）n，故答案为：2-（）n．令n=1，求得数列的首项，再将n换为n-1，相减，结合数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式．本题考查等比数列的定义和通项公式，考查数列的递推式的运用，化简运算能力，属于基础题．17.答案：解：（Ⅰ）在△ACD中，=．所以．因为0°＜∠ACD＜90°，所以．由余弦定理得：AD2=CD2+CA2-2•CD•CA•cos∠ACD=56，可得：．（Ⅱ）因为EC⊥BC，所以．在△AEC中，由正弦定理得，可得：，所以．解析：（Ⅰ）在△ACD中，利用三角形的面积公式可求，结合范围0°＜∠ACD＜90°，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠ACD的值，根据余弦定理可得AD的值；（Ⅱ）由EC⊥BC，利用诱导公式可求sin∠ACE的值，在△AEC中，由正弦定理AE的值．本题考查诱导公式、三角形的面积公式、正余弦定理，着重考查运算求解能力以及数形结合思想，属于中档题．18.答案：解：（I）证明：过F作FG∥CD，交AC于G，则=，∴FG∥BE且FG=BE，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面ABC，BG⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．（II）∵BE⊥平面ABC，BE⊂平面BCDE，∴平面ABC⊥平面BCDE，过A作BC的高线AH，则AH⊥平面BCDE，∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴AH=，又BE⊥平面ABC可得BE⊥BC，∴四边形BCDE是直角梯形，∴V A-BCDE=S梯形BCDE•AH=（2+3）•3•=．解析：（I）过F作FG∥CD，交AC于G，证明四边形BEFG是平行四边形得出EF∥BG，从而得出EF∥平面ABC；（II）作AH⊥BC，证明平面ABC⊥平面BCDE得出AH为四棱锥的高，再代入棱锥的体积公式计算即可．本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由题意，计算相关系数为r==•=•=1.2×=0.96；据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强；（Ⅱ）根据列联表中的数据，计算K2=≈9.624＞6.635，所以有99%的把握认为对该智能家电的评价与年龄有关．解析：（Ⅰ）由题意计算相关系数r的值，即可得出结论“相关性较强”；（Ⅱ）根据列联表中的数据计算K2，对照数表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了相关性强弱的判断问题，是基础题．20.答案：解：（Ⅰ）依题意，B（-1，0），C（1，0），故|BC|=2，则|AB|+|AC|=4＞|BC|=2，故点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故Γ的方程为．（Ⅱ）依题意，，故．联立，整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，．故==== =，则λ=2．解析：（Ⅰ）利用已知条件判断A满足椭圆定义，转化求Γ的方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合，，成等差数列，然后推出经过．本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力．21.答案：解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=e x-x2，∴f'（x）=e x-2x，∴f'（0）=1，又f（0）=1，∴曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y-1=x，即x-y+1=0；（Ⅱ）由f（x）≥x（4-me x），得me x（x+1）≥x2+4x，不等式f（x）≥x（4-me x）在[0，+∞）上恒成立等价于当x≥0时，m≥，令，则．由g'（x）=0及x≥0，得x=，当x∈时，g'（x）＞0，g此时（x）单调递增；当x∈时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减．∴当x=时，，∴m≥，∴实数m的取值范围为解析：（Ⅰ）将m=1代入f（x）中，求导后求出切线方程的斜率f'（0），然后用点斜式写出写出切线方程即可；（Ⅱ）不等式f（x）≥x（4-me x）在[0，+∞）上恒成立等价于当x≥0时，m≥，构造函数，求出g（x）的最大值即可．本题考查了曲线切线方程的求法和利用导数求函数的最值，考查了转化思想和构造法，属中档题．22.答案：解：（Ⅰ）由为参数），消去参数α，可得（x-2）2+（y-1）2=9．故x2+y2-4x-2y-4=0．就曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在．设直线方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0．而|AB|=2，则圆心到直线l的距离d=．又d=，∴=，解得k=±1．∴直线l的方程为x+y+1=0或x-y+3=0．解析：（Ⅰ）直接消去参数α可得C的普通方程，进一步转化为极坐标方程；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0，再求出圆心到直线l的距离d，求解即可得答案．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．23.答案：解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x+2|+|2x-3|=，当x＜-2时，不等式f（x）＞6化为-3x+1＞6，解得x＜-，所以x＜-2；当-2≤x≤时，不等式f（x）＞6化为5-x＞6，解得x＜-1，所以-2≤x＜-1；当x＞时，不等式f（x）＞6化为3x-1＞6，解得x＞，所以x＞；综上所述，不等式f（x）＞6的解集为{x|x＜-1或x＞}；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|2x-3|+3x化为|x+m|≤3x，所以-3x≤x+m≤3x，即-4x≤m≤2x在[1，5]上恒成立，所以，解得-4≤m≤2，所以实数m的取值范围是[-4，2]．解析：（Ⅰ）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）＞6的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|2x-3|+3x化为|x+m|≤3x，再根据绝对值的定义求出m的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想与转化方法，是中档题．。
2020年山西省吕梁市高考数学三模试卷(文科)含答案解析
2020年山西省吕梁市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知是复数z的共轭复数，且满足（1﹣z）（1+）=2i，则z=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i2．函数f（x）=e x+x﹣4的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）3．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A．2x+y﹣5=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣7=04．5个数依次组成等比数列，且公比为﹣2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（）A．﹣B．﹣2 C．﹣D．﹣5．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”6．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论可能成立的是（）A．m∥l，m⊥αB．m∥l，m∥αC．m⊥l，m⊥αD．m⊥l，m∥α7．某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是100分，在答题过程中，各小组每答对1题都可以使自己小队的积分增加5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是4道，7道，7道，2道，则四个小组积分的方差为（）A．50 B．75.5 C．112.5 D．2258．已知函数f（x）=cos（4x﹣）+2cos2（2x），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g （x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[，]D．[，]9．已知平面向量，，满足===1，=2，则||的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[2，+∞）D．[4，+∞）10．多次执行如图所示的程序框图，输出的的值会稳定在某个常数附近，则这个常数为（）A．B．C．D．11．已知某几何体的三视图如图所示（其中正视图为等腰直角三角形），则该几何体的外接球的表面积为（）A．12πB．8πC．4πD．2π12．数列{a n}满足a1=，a n+1=，若不等式++…+＜n+λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知集合，B={x|a＜x＜a+1}，若A∩B=B，则实数a的取值范围为．14．若不等式f（x）≤0（x∈R）的解集为[﹣1，2]，则不等式f（lgx）＞0的解集为．15．M为抛物线y2=8x上一点，过点M作MN垂直该抛物线的准线于点N，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若四边形OFMN的四个顶点在同一个圆上，则该圆的面积为．16．已知函数有两个极值，则实数a的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知△ABC的面积为，．（1）求AC的长；（2）设，若，求sinA．18．某人经营一个抽奖游戏，顾客花费3元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从标有黑1、黑2、黑3、黑4、红1、红3的6张卡片中随机抽取2张，并根据摸出的卡片的情况进行兑奖，经营者将顾客抽到的卡片情况分成以下类别：A：同花顺，即卡片颜色相同且号码相邻；B：同花，即卡片颜色相同，但号码不相邻；C：顺子，即卡片号码相邻，但颜色不同；D：对子，即两张卡片号码相同；E：其他，即A，B，C，D以外的所有可能情况．若经营者打算将以上五种类别中最不容易发生的一种类别对应顾客中一等奖，最容易发生的一种类别对应顾客中二等奖，其他类别对应顾客中三等奖．（1）一、二等奖分别对应哪一种类别？（写出字母即可）（2）若经营者规定：中一、二、三等奖，分别可获得价值9元、3元、1元的奖品，假设某天参与游戏的顾客为300人次，试估计经营者这一天的盈利．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M 为CD的中点，BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若∠APD=90°，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求三棱锥A﹣PBM的高．20．已知椭圆的右焦点为F，过F作互相垂直的两条直线分别与E相交于A，C和B，D四点．（1）四边形ABCD能否成为平行四边形，请说明理由；（2）求四边形ABCD面积的最小值．21．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣ax2﹣ln（﹣x）+1，a∈R．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对于（0，2]上任意的x，都有|f（x）+x|≥1成立，求实数a的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知，△ABC内接于圆，延长AB到D点，使得DC=2DB，DC交圆于E点．（1）求证：AD=2DE；（2）若AC=DC，求证：DB=BE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C：ρcos（θ+）=1，过极点O作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使|OP|•|OQ|=．（1）求点P的轨迹C1的极坐标方程；（2）以极点O为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线l：y=﹣x与（1）中的曲线C1相交于点E（异于点O），与曲线C2：（t 为参数）相交于点F，求|EF|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（1）求证：f（x）≥2；（2）若不等式f（x）≥对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．2020年山西省吕梁市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知是复数z的共轭复数，且满足（1﹣z）（1+）=2i，则z=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用回代验证法求解即可．【解答】解：如果z=i，则（1﹣i）（1﹣i）=﹣2i，不满足题意；若z=﹣i，则（1+i）（1+i）=2i，满足题意．故选：B．2．函数f（x）=e x+x﹣4的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用函数零点的判定定理、函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣2＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴有一个零点x0∈（1，2）．又函数f（x）单调递增，因此只有一个零点．故选：C．3．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A．2x+y﹣5=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣7=0【考点】圆的切线方程．【分析】由题意画出图形，可得点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2=r2上，求出圆心与切点连线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：如图，∵过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=r2的切线有且只有一条，∴点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2=r2上，连接圆心与切点连线的斜率为k=，∴切线的斜率为﹣2，则圆的切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣3），即2x+y﹣7=0．故选：B．4．5个数依次组成等比数列，且公比为﹣2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（）A．﹣B．﹣2 C．﹣D．﹣【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可设这5个数分别为a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，由题意计算可得．【解答】解：由题意可设这5个数分别为a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，故奇数项和与偶数项和的比值为=﹣故选：C5．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”【考点】独立性检验的应用．【分析】根据条件中所给的计算出的观测值，把观测值同临界值进行比较，看出有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关，得到结论．【解答】解：∵计算得K2=5.231，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，∴有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关故选：A．6．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论可能成立的是（）A．m∥l，m⊥αB．m∥l，m∥αC．m⊥l，m⊥αD．m⊥l，m∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据平移不改变夹角的大小可知A，B错误．由m⊥α，l为α的斜线可知m与l的夹角小于90°，故C错误．【解答】解：若m∥l，则m与平面α所成的夹角与l与平面α所成的夹角相等，即m与平面α斜交，故A，B错误．若m⊥α，设l与m所成的角为θ，则0＜θ＜．即m与l不可能垂直，故C错误．设过l和l在平面α内的射影的平面为β，则当m⊥β且m⊄α时，有m⊥l，m∥α，故D正确．故选：D．7．某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是100分，在答题过程中，各小组每答对1题都可以使自己小队的积分增加5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是4道，7道，7道，2道，则四个小组积分的方差为（）A．50 B．75.5 C．112.5 D．225【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求四个小组积分的平均值，再求四个小组积分的方差．【解答】解：由已知得四个小组积分分别为：120，135，135，110，∴四个小组积分的平均值为==125，∴四个小组积分的方差为：S2= [2+2+2+2]=112.5．故选：C．8．已知函数f（x）=cos（4x﹣）+2cos2（2x），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[，]D．[，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先利用和差角公式和降次升角公式，化简函数f（x）的解析式，再根据函数图象的周期变换及相位变换法则，求出函数y=g（x）的解析式，结合正弦型函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：函数f（x）=cos（4x﹣）+2cos2（2x）=cos（4x﹣）+cos4x+1=cos4x+sin4x+cos4x+1=sin4x+cos4x+1=sin（4x+）+1，将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得：y=sin（2x+）+1的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=sin（2x）+1的图象，由2x∈[﹣+2kπ， +2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z，当k=0时，[﹣，]是函数y=g（x）的一个单凋递增区间，故选：B．9．已知平面向量，，满足===1，=2，则||的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[2，+∞）D．[4，+∞）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由===1，=2，不妨设=（1，0），=（m，n），=（p，q）．可得：=m=1，=p=2，=mp+nq=2+nq=1，n=﹣．由=m2+n2+p2+q2=5+n2+q2=5+，利用基本不等式的性质可得最小值．利用||==，即可得出．【解答】解：∵===1，=2，不妨设=（1，0），=（m，n），=（p，q）．则=m=1，=p=2，=mp+nq=2+nq=1，∴n=﹣．∴=m2+n2+p2+q2=5+n2+q2=5+≥5+2=7，当且仅当q=±1时取等号．∴||===≥=4，故选：D．10．多次执行如图所示的程序框图，输出的的值会稳定在某个常数附近，则这个常数为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取[0，1]上的两个数a，b，求（a﹣）2+（b﹣）2＜的概率，然后利用几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：根据已知中的流程图我们可以得到：该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取[0，1]上的两个数a，b，求（2a﹣1）2+（2b﹣1）2＜1，即：（a﹣）2+（b﹣）2＜的概率，由于，a∈[0，1]，b∈[0，1]，（a﹣）2+（b﹣）2＜对应的平面区域的面积为图形中阴影部分面积：故P==．故选：A．11．已知某几何体的三视图如图所示（其中正视图为等腰直角三角形），则该几何体的外接球的表面积为（）A．12πB．8πC．4πD．2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面，且底面是直角三角形的三棱锥，求出该三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥，且侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=PC==2，AC=2，BC=2；PB2=PC2+BC2=22+22=8，AB==2，∴PA2+PB2=AB2，∴PA⊥PB，∴AB是该三棱锥外接球的直径，∴该外接球的表面积为S=4πR2=π•=12π．故选：A．12．数列{a n}满足a1=，a n+1=，若不等式++…+＜n+λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】数列与不等式的综合．【分析】通过计算出数列{a n}的前几项可知a n=，进而变形可知=1+（﹣），并项相加、放缩即得结论．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=，a n+1=，∴a2===，a3==，a4===，a5==，a6===，…由此可知：a n=，∵===1+=1+（﹣），∴++…+=n+1+（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）=n+1+（1+﹣﹣）=n+﹣（+），又∵不等式++…+＜n+λ对任何正整数n恒成立，∴实数λ的最小值为，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知集合，B={x|a＜x＜a+1}，若A∩B=B，则实数a的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解根式不等式化简集合A，又A∩B=B得到B⊆A，列出不等式组，求解即可得答案．【解答】解：集合={x|﹣2≤x≤2}，B={x|a＜x＜a+1}，又A∩B=B，∴B⊆A，∴，解得：﹣2≤a≤1．故答案为：[﹣2，1]．14．若不等式f（x）≤0（x∈R）的解集为[﹣1，2]，则不等式f（lgx）＞0的解集为（0，）∪．【考点】其他不等式的解法．【分析】由题意可得lgx＜﹣1或lgx＞2，解得即可．【解答】解：∵不等式f（x）≤0（x∈R）的解集为[﹣1，2]，∴不等式f（x）＞0（x∈R）的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），∵f（lgx）＞0，∴lgx＜﹣1或lgx＞2，解得0＜x＜，或x＞100，∴不等式f（lgx）＞0的解集为（0，）∪．故答案为：（0，）∪．15．M为抛物线y2=8x上一点，过点M作MN垂直该抛物线的准线于点N，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若四边形OFMN的四个顶点在同一个圆上，则该圆的面积为π．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设M（m，n），可得N（﹣2，n），由四边形OFMN 的四个顶点在同一个圆上，可得∠NMF+∠NOF=180°，即有k MF+k ON=0，运用直线的斜率公式，求得M，N的坐标，再由正弦定理计算可得半径R，即可得到所求圆的面积．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，设M（m，n），可得N（﹣2，n），由四边形OFMN的四个顶点在同一个圆上，可得∠NMF+∠NOF=180°，即有k MF+k ON=0，即为+=0，解得m=4，n=±4，可设M（4，4），N（﹣2，4），可得sin∠NOF=，|NF|==4，由正弦定理可得，==2R（R为圆的半径），解得R=，则该圆的面积为S=πR2=π．故答案为：π．16．已知函数有两个极值，则实数a的取值范围为a≤﹣2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由原函数有两个极值，可知其导函数有两个不同的实数根，转化为直线y=﹣ax﹣a 与曲线y=2e x有两个不同交点求解．【解答】解：由，得f′（x）=2e x+ax+a，要使有两个极值，则方程2e x+ax+a=0有两个不同的实数根，即2e x=﹣ax﹣a有两个不同的实数根，令y=2e x，y=﹣ax﹣a，直线y=﹣a（x+1）过点（﹣1，0），设直线y=﹣a（x+1）与y=2e x的切点为（），则y′=，则切线方程为，代入（﹣1，0），得，解得：x0=0．∴切点为（0，2），则过（﹣1，0），（0，2）切线的斜率为k=，由﹣a≥2，得a≤﹣2．∴实数a的取值范围为a≤﹣2．故答案为：a≤﹣2．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知△ABC的面积为，．（1）求AC的长；（2）设，若，求sinA．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（1）由三角形面积公式可以得到sinB=，由余弦定理即可得到AC的长．（2）由三角恒等变换及等式得到B=．由正弦定理得到sinA=．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为=AB•BC•sinB，．∴sinB=，∵0＜B＜π，∴B=或由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AC•BC•cosB，即AC2=1或5，∴当B=时AC=1；当B=时AC=．（Ⅱ）化简得f（x）=cos2x+2sinxcosx﹣sin2x=cos2x+sin2x=2sin（+2x）．由f（B）=﹣，得sin（+2B）=﹣．由（Ⅰ）知B=或，代入上式验证可得B=．由，得，解得sinA=．18．某人经营一个抽奖游戏，顾客花费3元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从标有黑1、黑2、黑3、黑4、红1、红3的6张卡片中随机抽取2张，并根据摸出的卡片的情况进行兑奖，经营者将顾客抽到的卡片情况分成以下类别：A：同花顺，即卡片颜色相同且号码相邻；B：同花，即卡片颜色相同，但号码不相邻；C：顺子，即卡片号码相邻，但颜色不同；D：对子，即两张卡片号码相同；E：其他，即A，B，C，D以外的所有可能情况．若经营者打算将以上五种类别中最不容易发生的一种类别对应顾客中一等奖，最容易发生的一种类别对应顾客中二等奖，其他类别对应顾客中三等奖．（1）一、二等奖分别对应哪一种类别？（写出字母即可）（2）若经营者规定：中一、二、三等奖，分别可获得价值9元、3元、1元的奖品，假设某天参与游戏的顾客为300人次，试估计经营者这一天的盈利．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）分别用A1，A2，A3，A4，B1，B3表求标有黑1、黑2，黑3，红苕，红3的卡片，从6张卡片中任取2张，共有15种取法，分别求出A类别、B类别、C类别、D类别、E类别的概率，由此能求出一等奖、二等奖对应的类别．（2）顾客获一、二、三等奖的人数分别为40，80，180，由此能估计经营者这一天的盈利．【解答】解：（1）分别用A1，A2，A3，A4，B1，B3表求标有黑1、黑2，黑3，红苕，红3的卡片，从6张卡片中任取2张，共有15种取法，共中A类别包括A1A2，A2A3，A2A4，即P（A）=；B类别包括A1A3，A1A4，A2A4，B1B3，则P（B）=，C类别包括A2B1，A2B3，A4B3，则P（C）=，D类别包括A1B1，A3B3，则P（D）=，∴P（E）=1﹣=，∵最不容易发生的一种类别对应顾客中一等奖，最容易发生的一种类别对应顾客中二等奖，其他类别对应顾客中三等奖，∴一等奖对应的类别是D，二等奖对应的类别是B．（2）∵顾客获一、二、三等奖的人数分别为40，80，180，∴可估计经营者这一天的盈利为300×3﹣40×9﹣80×3﹣180×1=120元．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M 为CD的中点，BD⊥PM．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若∠APD=90°，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为，求三棱锥A ﹣PBM 的高．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）由题意取AD 的中点E ，连接PE ，EM ，AC ，证明PE ⊥AD ，BD ⊥PE ，再由线面垂直的判定证得PE ⊥平面ABCD ，最后由面面垂直的判定得答案； （2）利用四棱锥P ﹣ABCD 的体积为，求出，AD=2，利用V A ﹣PBM =V P ﹣ABM ，求三棱锥A ﹣PBM 的高．【解答】（1）证明：取AD 的中点E ，连接PE ，EM ，AC ． ∵PA=PD ，∴PE ⊥AD ．∵底面ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ， 又EM ∥AC ，∴EM ⊥BD ．又BD ⊥PM ，∴BD ⊥平面PEM ， 则BD ⊥PE ，∴PE ⊥平面ABCD ．又PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ． （2）解：设PA=PD=a ，由∠APD=90°，可得，，．由（1）可知PE ⊥平面ABCD ，则V P ﹣ABCD ==，∴，则，AD=2． 可得PE=1，，PB=PM=2．∴，．设三棱锥A ﹣PBM 的高为h ，则由V A ﹣PBM =V P ﹣ABM 可得．即．∴三棱锥A ﹣PBM 的高为．20．已知椭圆的右焦点为F，过F作互相垂直的两条直线分别与E相交于A，C和B，D四点．（1）四边形ABCD能否成为平行四边形，请说明理由；（2）求四边形ABCD面积的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，运用椭圆的对称性可得AC垂直于x轴，则BD垂直于y轴，四边形ABCD不能成为平行四边形；（2）讨论当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的方程为y=k（x﹣1），（k≠0），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AC|，将k换为﹣得|BD|，由四边形的面积公式，运用换元法和基本不等式，可得最小值；考虑直线AC的斜率为0或不存在，分别求得面积，即可得到面积的最小值．【解答】解：设点A（x1，y1），C（x2，y2）．（1）若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD为菱形，∴AC与BD在点F处互相平分，又F的坐标为（1，0）．∴y1+y2=0，由椭圆的对称性知AC垂直于x轴，则BD垂直于y轴，显然这时ABCD不是平行四边形．∴四边形ABCD不可能成为平行四边形．（2）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的方程为y=k（x﹣1），（k≠0）由消去y得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，∴．∴|AC|=•=，将k换为﹣得，，则S=|AC|•|BD|=．令k2+1=t，则S====≥．当=，即t=2，k=±1时，面积S取得最小值，当直线AC的斜率不存在时，|AC|=，|BD|=2，∴S=|AC|⋅|BD|=2．当直线AC的斜率为零时，|AC|=2，|BD|=，∴S=|AC|⋅|BD|=2．∵2＞，∴四边形ABCD面积的最小值为．21．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣ax2﹣ln（﹣x）+1，a∈R．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若对于（0，2]上任意的x，都有|f（x）+x|≥1成立，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）运用奇函数的定义，可得x∈（0，2]时，f（x）=ax2+lnx﹣1，求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；（2）由题意可得ax2+lnx+x﹣2≥0或ax2+lnx+x≤0对于任意的x∈（0，2]成立，可得或对于任意的x∈（0，2]成立，分别求出表达式右边的最值，由恒成立思想即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）f（x）为[﹣2，2]上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）．当x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0），f（x）=﹣f（﹣x）=ax2+lnx﹣1．当时，x∈（0，2]时，，f′（1）=2，．所以，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣2y﹣5=0；（2）由题可知，|ax2+lnx+x﹣1|≥1对于任意的x∈（0，2]成立，即ax2+lnx+x﹣2≥0或ax2+lnx+x≤0对于任意的x∈（0，2]成立，可得或对于任意的x∈（0，2]成立，①显然函数没有最大值，故不存在实数a满足题意；②设，x∈（0，2].，x∈（0，2]，令g′（x）=0，得x=1．当x∈（0，1），g'（x）＜0，函数g（x）单调递减；当x∈（1，2]，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增．可得a≤g（x）min=g（1）=﹣1．综上，实数a的最大值为﹣1．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知，△ABC内接于圆，延长AB到D点，使得DC=2DB，DC交圆于E点．（1）求证：AD=2DE；（2）若AC=DC，求证：DB=BE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接BE，由切割线定理可得DB•DA=DE•DC，结合已知条件，即可得到DA=2DE；（2）运用等腰三角形的性质，等边对等角，圆的内接四边形的性质：四边形的一个外角等于它的内对角，结合条件，即可得到DB=BE．【解答】证明：（1）连接BE，由切割线定理可得DB•DA=DE•DC，即=，由DC=2DB，可得DA=2DE；（2）由AC=DC，可得∠D=∠A，又∠BED=∠A，可得∠BED=∠D，即有BD=BE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C：ρcos（θ+）=1，过极点O作射线与曲线C交于点Q，在射线OQ上取一点P，使|OP|•|OQ|=．（1）求点P的轨迹C1的极坐标方程；（2）以极点O为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，若直线l：y=﹣x与（1）中的曲线C1相交于点E（异于点O），与曲线C2：（t为参数）相交于点F，求|EF|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）设P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），则ρ•ρ′=，又曲线C：ρ′cos（θ+）=1，代入化简即可得出．（2）由曲线C2的参数方程消去参数t化为普通方程：x+y=，利用互化公式可得极坐标方程．由直线l：y=﹣x可得：极坐标方程：（ρ∈R）．分别与曲线C2及其曲线C1的极坐标方程联立解出即可得出．【解答】解；（1）设P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），则ρ•ρ′=，又曲线C：ρ′cos（θ+）=1，∴×（cosθ+sinθ）=1，∴ρ=cosθ+sinθ．即为点P的轨迹C1的极坐标方程．（2）曲线C2：（t为参数），消去参数t化为普通方程：x+y=，可得极坐标方程：ρ（cosθ+sinθ）=．由直线l：y=﹣x可得：极坐标方程：或．把代入曲线C2可得：ρ2==（+1）．把代入曲线C1可得：ρ1=+sin=．∴|EF|=ρ2﹣ρ1=1．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（1）求证：f（x）≥2；（2）若不等式f（x）≥对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用三角不等式证明：f（x）≥2；（2）g（b）=≤=3，可得f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，分类讨论，求x的取值范围．【解答】（1）证明：f（x）=|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2；（2）解：g（b）=≤=3，∴f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，x≤﹣1时，﹣2x≥3，∴x≤﹣1.5，∴x≤﹣1.5；﹣1＜x≤1时，2≥3不成立；x＞1时，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．综上所述x≤﹣1.5或x≥1.5．2020年9月3日。
2020年山西省高考数学三模试卷1 (含答案解析)
2020年山西省高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2≤4}，且B={x|0≤x−1≤1}.则集合∁A B=()A. {x|−2≤x<1}B. {x|−2≤x≤1}C. {x|x<1}D. {x|x≤1}2.cos(−20π3)=()A. 12B. √32C. −12D. −√323.如果复数(1+i)(2−ai)(a∈R)为纯虚数，则a=()A. 2B. 1C. 0D. −24.函数y=xcosx+sinx的图像大致为()A.B.C.D.5.sin225°+cos225°−6sin75°cos75°=()A. −12B. 0 C. 12D. 526.如图是某几何体的三视图，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体的体积为()A. 43√3 B. 4 C. 4√3 D. 8√37.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾、另一直角边为股、斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1−15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为()A. 1910B. 3910C. 3455D. 44558.设双曲线的渐近线方程是y=±3x，则其离心率是()A. √10或√103B. √10 C. √5 D. √5或√529.已知log2m=3.5，log2n=0.5，则()A. m+n=4B. m−n=3C. mn=7 D. m⋅n=1610.在△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则ACcosA的值等于()A. 2B. 52C. 3 D. 7211.菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥D−ABC体积最大时，其外接球表面积为()A. √153π B. 2√153π C. 209π D. 203π12.函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)在区间(−π4,π4)内有最大值无最小值，则ω的取值范围是()A. (43,83] B. (43,83) C. (43,163] D. (43,163)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2−k,4)，b⃗ =(2,k−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|b⃗ |=______ ．14.若x，y满足约束条件{x+y−2⩾0,x−2y+4⩾0,2x−y−1⩽0,则z=3x+2y的最小值为________．15.已知，则________．16.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)=e−x−1−x，则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且(a n+1)2=4S n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=a n4n，求数列{b n}的前n项和T n．18.在正三棱柱ABC−A′B′C′中，D、E、F分别为棱BC,A′A,AC的中点．(1)求证：平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)求证：EF//平面AB′D．19.求函数y=4在x=2处的导数．x220.已知动点P到点A(−2,0)与点B(2,0)的斜率之积为−1，点P的轨迹为曲线C．4(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D.求证：A、D、N三点共线．21. 已知函数f(x)=a(1x −1)+lnx ，a 为常数．(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+rcosαy =rsinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π6)=3，且曲线C 1,C 2恰有一个公共点(1) 求曲线C 1的极坐标方程(2) 已知曲线C 1上两点A,B 满足∠AOB =π4，求ΔAOB 面积的最大值23. 已知函数f(x)=|x −1|+|x +1|，M 为不等式f(x)≤4的解集．(1)求集合M ．(2)当a ，b ∈M 时，求证2|a −b|≤√16−7a 2b 2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键．求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|x2≤4}={x|−2≤x≤2}，B={x|0≤x−1≤1}={x|1≤x≤2}则∁A B={x|−2≤x<1}，故选A．2.答案：C解析：解：cos(−20π3)=cos(−6π−2π3)=cos2π3=−12，故选C．利用诱导公式可得cos(−20π3)=cos(−6π−2π3)=cos2π3，从而得到结果．本题考查利用诱导公式进行化简求值，把要求的式子化为cos(−6π−2π3)，是解题的关键．3.答案：D解析：【分析】本题考查了复数的四则运算，属于基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：(1+i)(2−ai)=2+a+(2−a)i，因为(1+i)(2−ai)为纯虚数，所以2+a=0，解得a=−2．故选D．4.答案：D解析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用特殊值排除A和C，则答案可求．本题主要考查了函数的图象，考查了函数的性质，属于基础题．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=π2时，y=1>0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．5.答案：A解析：【分析】本题考查同角三角函数的关系及倍角公式，属于基础题．【解答】解：．故选A．6.答案：C解析：【分析】本题考查三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：底面为边长为2的正三角形，高为4的三棱柱，故：V=12⋅2⋅2⋅√32⋅4=4√3，故选C．解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、组合等基础知识，考查计算能力，是基础题．从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数n=C153，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．【解答】解：从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数n=C153，其中能组成勾股数的为：(3,4，5)，(6,8，10)，(9,12，15)，(5,12，13)，共4组，∴这三个数为勾股数的概率为：p=4C153=4455．故选：D．8.答案：A解析：解：当焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±3x，可得ba=3，则该双曲线的离心率为e=√a2+b2a =√a2+9a2a=√10，当焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±3x，可得ba =13，则该双曲线的离心率为e=√a2+b2a =√a2+19a2a=√103，故选：A．由题意可得可得ba=4，再由曲线的离心率的公式运算求得结果．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题．9.答案：D解析：解：∵log2m=3.5，log2n=0.5，∴log2m+log2n=4，∴log2mn=4=log216，∴mn=16，故选：D根据对数的运算性质计算即可．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．解析：解：∵BC =1，∠B =2∠A ，∴由正弦定理BCsinA =ACsinB 得：1sinA =ACsin2A =AC2sinAcosA ， 则ACcosA =2． 故选A由正弦定理列出关系式，将BC 的长及∠B =2∠A 代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出所求式子的值．此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．11.答案：D解析： 【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式得答案． 本题考查多面体外接球的表面积，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 【解答】 解：如图，当平面ABC ⊥底面ACD 时，三棱锥D −ABC 体积最大． 分别设等边三角形ACD 与等边三角形ABC 的外心为E ，F ， 分别过E ，F 作平面ACD 与平面ABC 的垂线，相交于O ， 则O 为三棱锥D −ABC 的外接球的球心，连接OD ， 则OD =√DE 2+OE 2=(2√33)(√33)=√153．∴三棱锥D −ABC 外接球的表面积S =4π×(√153)2=20π3．故选D ．12.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，正弦函数的图象与性质，属于基础题． 根据已知及函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，求出实数ω的取值范围． 【解答】解：∵f(x)=2sin(ωx +π6)， 令：ωx +π6 =t ， 所以：f(x)=2sint ，，f(x)在区间(−π4,π4)内有最大值无最小值，则{−π2≤−πω4+π6<π2π2<πω4+π6≤3π2,解得： {−43<ω≤8343<ω≤163, 即ω∈(43,83], 故选A ．13.答案：√5解析：解：∵a ⃗ ⊥b⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2(2−k)+4(k −3)=0，解得k =4． ∴b ⃗ =(2,1)，∴|b ⃗ |=√22+12=√5． 故答案为√5．本题考查向量垂直与坐标运算，利用a ⃗ ⊥b ⃗ ⇔a ⃗ ⋅b ⃗ =0即可得出k 的值，即可求b ⃗ 的模．14.答案：4解析：【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由图像可知当直线y=−32x+z2过点A时，直线在y轴的截距最小，此时z最小，计算得点A坐标为(0,2)，此时z=3×0+2×2=4，即z的最小值为4．故答案为4．15.答案：725解析：【分析】本题主要考查了二倍角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题；【解答】解：因为，所以；故答案为725．16.答案：2x−y=0解析：首先求出x>0时函数的解析式，在由导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式得切线方程.设x>0，则−x<0，f(−x)=e x−1+x∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x),∴f(x)=e−x−1−x．∵当x>0时f′(x)=e x−1+1∴f′(1)=e1−1+1=1+1=2∴曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y−2=2(x−1)，即2x−y=0．17.答案：解：(1)∵(a n+1)2=4S n，∴n≥2时，4a n=4(S n−S n−1)=(a n+1)2−(a n−1+1)2，化为：(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，∵a n+a n−1>0，∴a n−a n−1=2，n=1时，(a1+1)2=4a1，解得a1=1，∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=1+2(n−1)=2n−1．(2)b n=a n4n =2n−14n，∴数列{b n}的前n项和T n=14+342+543+⋯…+2n−14n，∴14T n=142+343+⋯…+2n−34n+2n−14n+1，两式相减可得3 4T n=14+2(142+143+⋯…+14n)−2n−14n+1=1+2×116[1−(14)n−1]1−14−2n−1n+1=14+16−16×4n−1−2n−14n+1=512−6n+512×4n，解得T n=59−6n+59×4n．解析：本题考查了数列递推关系，等差数列的通项公式与求和公式，以及利用错位相减法求数列的和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)已知(a n+1)2=4S n，n≥2时，4a n=4(S n−S n−1)，化为(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0，由a n+a n−1>0，可得a n−a n−1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出；(2)b n=a n4n =2n−14n，利用错位相减法即可得出．18.答案：证明：(1)∵BB′⊥平面ABC，BB′⊂平面B′C′CB，∴平面B′C′CB⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，又平面B′C′CB⊥平面ABC，平面B′C′CB∩平面ABC=BC，∴AD⊥平面B′C′CB，∵AD⊂平面AB′D，∴平面AB′D⊥平面BCC′B′．(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF．∵D、E、F、M分别为棱BC，A′A，AC，AB′的中点，∴DF//AB,DF=12AB,EM//A′B′,EM=12A′B′，∵AB//A′B′，AB=A′B′，∴DF//EM，且DF=EM，∴四边形DFEM是平行四边形，∴EF//DM，又EF⊄平面AB′D，DM⊂平面AB′D．∴EF//平面AB′D．解析：本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线是证明的关键，属于中档题．(1)由BB′⊥平面ABC可得BB′⊥AD，由正三角形ABC得出BC⊥AD，于是AD⊥平面BCC′B′，从而有平面AB′D⊥平面BCC′B′；(2)取AB′中点M，连接EM，DM，DF，则利用中位线定理可证四边形DFEM是平行四边形，于是EF//DM，于是EF//平面AB′D．19.答案：解∵Δy=4(Δx+2)2−422=4(Δx+2)2−1=−(Δx)2+4Δx(Δx+2)2．解析：本题考查的是导数的运算，属于基础题．20.答案：解：(I)设P 点坐标(x,y)，则k AP =y x+2(x ≠−2)，k BP =yx−2(x ≠2)，由已知yx+2⋅yx−2=−14，化简得：x 24+y 2=1．所求曲线C 的方程为x 24+y 2=1(x ≠±2)．(II)由已知直线AQ 的斜率存在且不等于0， 设方程为y =k(x +2)，由{x 2+4y 2=4y =k(x +2)，消去y 得：(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0…(1)． 因为−2，x Q 是方程(1)的两个根， 所以−2×x Q =16k 2−41+4k 2，得x Q =2−8k 21+4k 2， 又y Q =k(x Q +2)=k(2−8k 21+4k 2+2)=4k1+4k 2，所以Q(2−8k 21+4k 2,4k1+4k 2)． 当x =4，得y M =6k ，即M(4,6k)．又直线BQ 的斜率为−14k ，方程为y =−14k (x −2)，当x =4时，得y N =−12k ，即N(4,−12k )． 直线BM 的斜率为3k ，方程为y =3k(x −2)．由{x 2+4y 2=4y =3k(x −2)，消去y 得：(1+36k 2)x 2−144k 2x +144k 2−4=0…(2)． 因为2，x D 是方程(2)的两个根，所以2⋅x D =144k 2−41+36k 2，得x D =72k 2−21+36k2，又y D =3k(x D −2)=−12k1+36k 2，即D(72k 2−21+36k 2,−12k 1+36k 2)．由上述计算：A(−2,0)，D(72k 2−21+36k ,−12k1+36k )，N(4,−12k )． 因为k AD =−112k ，k AN =−112k ，所以k AD =k AN ． 所以A 、D 、N 三点共线．解析：(I)设P 点坐标(x,y)，利用斜率计算公式即可得到yx+2⋅yx−2=−14，化简即可得到曲线C 的方程；(II)由已知直线AQ 的斜率存在且不等于0，设方程为y =k(x +2)，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到D ，N 的坐标，证明k AD =k AN .即可得到A 、D 、N 三点共线．本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的方程、直线与椭圆的位置关系、利用斜率线段证明三点共线等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21.答案：解：(1)由题意x>0，f′(x)=1x −ax2=x−ax2，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，当a>0时，在区间(0,a)上f′(x)<0，区间(a,+∞)上f′(x)>0，故当a>0时，在区间(0,a)上函数单调递减，区间(a,+∞)上函f(x)单调递增．(2)由(1)可知当a≤0时，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，又f(1a)=−lna+a(a−1)<0，与题设矛盾，当a>0时，在区间(0,a)上函数f(x)单调递减，区间(a,+∞)上函数f(x)单调递增，所以函数f(x)≥f(a)=1−a+lna≥0即可，设g(x)=1−x+lnx，x>0，在区间(0,1)上g′(x)>0，区间(1,+∞)上g′(x)<0，故在区间(0,1)上函数g(x)单调递增，区间(1,+∞)上函数g(x)单调递减，所以g(x)≤g(1)=0，综上，当a=1时，f(a)=1−a+lna≥0，所以a=1时，f(x)≥0恒成立．解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，判断导数符号即可求解；(2)结合(1)中函数的单调性可转化为f(x)min≥0，即可求解．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性、最值及不等式的恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．22.答案：解：(1)曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π6)=3，可得C2的直角坐标方程为：x+√3y−6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为(2,0)，半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|=|2−6|2=2，圆C1的普通方程为x2+y2−4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ；(2)由题意可设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π4)，(ρ1>0,ρ2>0)，S△AOB=12|OA||OB|sinπ4=√24ρ1ρ2=4√2cosθcos(θ+π4)=4(cos2θ−sinθcosθ)=4(1+cos2θ2−sin2θ2)=2+2√2cos(2θ+π4)，所以△AOB面积的最大值为2+2√2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，曲线的参数方程，属中档题．(1)消参可得C1的普通方程，再根据互化公式可得C1的极坐标方程；(2)根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．23.答案：解：(1)∵f(x)={−2x,x≤−1 2,−1<x<1 2x,x≥1，∵f(x)≤4，∴x∈(−1,1)恒成立，当x≤−1时，−2x≤4得x≥−2，∴−2≤x≤−1，当x≥1时，2x≤4，得x≤2，∴1≤x≤2，综上所述M={x|−2≤x≤2}；(2)证明：由(1)知：−2≤a≤2，−2≤b≤2，要证2|a−b|≤2b2，只需4(a2−2ab+b2)≤16−7a2b2，只需4a2+4b2−a2b2−16≤0，只需(a2−4)(4−b2)≤0(∗)，∵0≤a2≤4，0≤b2≤4，∴(∗)恒成立，则原不等式得证．解析：(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)两边平方，问题转化为证明4a2+4b2−a2b2−16≤0即可，根据a，b的范围证出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．。
2020届山西省太原五中高三(文科)数学模拟试卷3月(解析版)
2020年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|lnx＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（0，e）B．（﹣1，2）C．（﹣1，e）D．（0，2）2．已知复数，则|z|＝（）A．1B．2C．D．3．已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（）A．1B．﹣1C．D．4．若过椭圆内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A．8x+9y﹣25＝0B．3x﹣4y﹣5＝0C．4x+3y﹣15＝0D．4x﹣3y﹣9＝0 5．已知函数f（x）＝x3+x+1+sin x，若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）7．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）A．B．C．D．8．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈（，），则输入的n 的值为（）A．7B．6C．5D．49．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A．98πB．196πC．784πD．11．若，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（﹣1，1]内，有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则有（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．已知实数x，y满足，则z＝3x+y的最小值是．14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝．15．在△ABC中，内角A、，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sin B＝c sin C﹣a sin A，，△ABC的面积记为S，则当取最小值时，ab＝16．如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD 的中点，抛物线y2＝2px（p＞0）经过C，F两点，则．三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sin A+sin C＝2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．18．如图所示的多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）若PB＝3BF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．19．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表：全额分组[1，5）[5，9）[9，13）[13，17）[17，21）[21，25]频数39171182（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．20．已知椭圆C：的离心率为，与坐标轴分别交于A，B两点，且经过点Q（，1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程，并求△ABP面积的最大值．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4­4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．[选修4­5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项）1．已知集合A＝{x|lnx＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（0，e）B．（﹣1，2）C．（﹣1，e）D．（0，2）【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0＜x＜e}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝（0，2）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数，则|z|＝（）A．1B．2C．D．【分析】利用复数模的运算性质即可得出．解：复数，则|z|1．故选：A．【点评】本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】根据向量在方向上的投影，带入数值即可．解：∵向量，向量；∴•（﹣1）×（﹣3）+（﹣2）×4＝3﹣8＝﹣5；∴向量在方向上的投影．故选：B．【点评】本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题．4．若过椭圆内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A．8x+9y﹣25＝0B．3x﹣4y﹣5＝0C．4x+3y﹣15＝0D．4x﹣3y﹣9＝0【分析】设出A、B坐标，利用平方差法，求解直线的斜率，然后求解直线方程．解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），P为AB中点，A，B在椭圆上，，，两式相减得：，x1+x2＝4，y1+y2＝2，可得：，则k，且过点P（2，1），有y﹣1（x﹣2），整理得8x+9y﹣25＝0．故选：A．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．5．已知函数f（x）＝x3+x+1+sin x，若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】令g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x+sin x，x∈R．利用函数的定义判断奇偶性，利用导数判断函数的单调性即可转化求解实数a的取值范围．解：令g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x+sin x，x∈R．则g（﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）在R上为奇函数．g′（x）＝3x2+1+cos x≥0，∴函数g（x）在R上单调递增．f（a﹣1）+f（2a2）≤2，化为：f（a﹣1）﹣1+f（2a2）﹣1≤0，即g（a﹣1）+g（2a2）≤0，化为：g（2a2）≤﹣g（a﹣1）＝g（1﹣a），∴2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得﹣1≤a．∴实数a的取值范围是[﹣1，]．故选：C．【点评】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）【分析】分别判断命题p，q的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断．解：命题p：∀x∈R，x2＞0，为假命题，故￢p为真命题；命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，当α＝﹣β成立，所以命题q为真命题，￢q为假命题，则p∧q为假命题，p∨（￢q）为假命题，￢p∧q为真命题，p∧￢q为假命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系7．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论．解：设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p+2p＝3p＝1，解得p，即按照顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率为，若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若先按逆时针开始从A→B，则对应的概率为，②若先按顺时针开始从A→C，则对应的概率为，则概率为，故选：A．【点评】本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键．8．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈（，），则输入的n 的值为（）A．7B．6C．5D．4【分析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的S，k的值，由题意，说明当算出的值S∈（，）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行循环体，S，k＝1+1＝2；判断2＞n不成立，执行循环体，S，k＝2+1＝3；判断3＞n不成立，执行循环体，S，k＝3+1＝4；判断4＞n不成立，执行循环体，S，k＝4+1＝5．判断5＞n不成立，执行循环体，S，k＝4+1＝6．判断6＞n不成立，执行循环体，S，k＝4+1＝7．…由于输出的S∈（，），可得：当S，k＝6时，应该满足条件6＞n，即：5≤n ＜6，可得输入的正整数n的值为5．故选：C．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．9．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．解：∵，∴函数f（x）为奇函数，又∵，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运用排除法求解，属于基础题．10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A．98πB．196πC．784πD．【分析】由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积．解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA为x轴，DC为y轴DD1为z轴，D为坐标原点，由题意知A（6，0，0），B（6，8，0），D（0，0，0），设D（0，0，a），则C1（0，8，a），∴（6，8，0），（﹣6，8，a），∴cos，由题意可得：，解得：a2＝96，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，设外接球的半径为R，则（2R）2＝82+62+a2＝196，所以该长方体的外接球的表面积S＝4πR2＝196π，故选：B．【点评】考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题．11．若，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（﹣1，1]内，有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1，所以f （x），故f（x），题目问题等价于函数y＝f（x）与函数y＝m（x）在区间（﹣1，1]内有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图象，根据图象，利用数形结合法即可求出m的取值范围．解：依题意，，又当x∈[0，1]时，f（x）＝x，故当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1，所以f（x），故f（x），由在区间（﹣1，1]内有两个零点，得方程f（x）＝m（x）在区间（﹣1，1]内有两个根，等价于函数y＝f（x）与函数y＝m（x）在区间（﹣1，1]内有两个交点，而函数y＝m（x）恒过定点（，0），在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示：，当y＝m（x）过点（1，1）时，斜率m，当y＝m（x）过点（1，0）时，斜率m＝0，由图象可知，当0＜m时，两个函数图象有两个交点，即有两个零点，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及直线过定点问题，是中档题．12．已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则有（）A．B．C．D．【分析】依题意，的两根为x1，x2，设，利用导数可知0＜x1＜1，x2＞1，则可得，．解：f′（x）＝x﹣ae x，则f′（x）＝0的两根为x1，x2，即的两根为x1，x2，设，则，令g′（x）＝0，解得x＝1，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数g（x）的图象如下，由图可知，0＜x1＜1，x2＞1，且当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，x2）时，，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）极小值，又x1∈（0，1），故，f（x）极大值，又x2∈（1，+∞），故．故选：A．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化思想及数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．已知实数x，y满足，则z＝3x+y的最小值是﹣8．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过M时，z取得最小值．解：画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示．⇒M（﹣3，1）平移直线3x+y＝0，易知当直线z＝3x+y经过点M（﹣3，1）时，目标函数z＝3x+y取得最小值，且z min＝3×（﹣3）+1＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．是中档题．14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝3．【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．15．在△ABC中，内角A、，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sin B＝c sin C﹣a sin A，，△ABC的面积记为S，则当取最小值时，ab＝【分析】由正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，利用余弦定理可求cos C，结合范围C∈（0，π），可求C，进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解．解：∵（a+b）sin B＝c sin C﹣a sin A，∴（a+b）b＝c2﹣a2，可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴cos C，∵C∈（0，π），∴C，∵△ABC的面积记为S，2，当且仅当S，即S ab sin C ab时等号成立，解得此时ab．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD 的中点，抛物线y2＝2px（p＞0）经过C，F两点，则．【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．解：由题意可得，，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2＝2px中，得∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab﹣b2＝0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：．【点评】本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算．三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sin A+sin C＝2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cos B，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cos B的最小值．解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，利用正弦定理化简得：2sin B＝sin A+sin C，∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴sin A+sin C＝2sin B＝2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴cos B，当且仅当a＝c时等号成立，∴cos B的最小值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．18．如图所示的多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）若PB＝3BF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，推导出GF∥AB ∥CD，EG∥DP，从而平面GEF∥平面PDC，进而当点F为BP中点时，使得直线EF ∥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面PBC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，∵AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，∴GF∥AB∥CD，EG∥DP，∵EG∩FG＝G，DP∩CD＝D，∴平面GEF∥平面PDC，∵EF⊂平面GEF，∴当点F为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，∵为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．∴cos120°，解得CD＝6，A（0，0，3），B（6，0，3），P（﹣2，2，0），C（6，0，0），设F（a，b，c），由PB＝3BF，得，即（a﹣6，b，c﹣3）（﹣8，2，﹣3），解得a，b，c＝2，∴F（，，2），（，﹣1），（0，0，3），（﹣8，2，0），设平面PBC的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，0），设直线AF与平面PBC所成角为θ，则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：sinθ．【点评】本题考查满足面面平行的点的位置位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表：全额分组[1，5）[5，9）[9，13）[13，17）[17，21）[21，25]频数39171182（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．【分析】（Ⅰ）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9元的频率．（Ⅱ）先求出手气红包在[1，5）、[5，9）、[9，13）、[13，17）、[17，21）、[21，25]内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数．（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率．（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，在[21，25]内有2人，由此能求出事件“|m﹣n|＞16“的概率P（|m﹣n|＞16）．解：（Ⅰ）由题意得产生的手气红包的金额不小于9元的频率：p，∴产生的手气红包的金额不小于9元的频率为．（Ⅱ）手气红包在[1，5）内的频率为0.06，手气红包在[5，9）内的频率为0.18，手气红包在[9，13）内的频率为0.34，手气红包在[13，17）内的频率为0.22，手气红包在[17，21）内的频率为0.16，手气红包在[21，25]内的频率为0.04，则手气红包金额的平均数为：3×0.06+7×0.18+11÷0.34+15×0.22+19×0.16+23×0.04＝12.44．（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，∴抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率p．（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，设红包金额分别为a，b，c，在[21，25]内有2人，设红包金额分别为x，y，若m，n均在[1，5）内，有3种情况：（a，b），（a，c），（b，c），若m，n均在[21，25]内只有一种情况：（x，y），若m，n分别在[1，5）和[21，25）内，有6种情况，即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），∴基本事件总数n＝10，而事件“|m﹣n|＞16“所包含的基本事件有6种，∴P（|m﹣n|＞16）．【点评】本题考查频率的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的性质的合理运用．20．已知椭圆C：的离心率为，与坐标轴分别交于A，B两点，且经过点Q（，1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程，并求△ABP面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由离心率及椭圆过的点的坐标，及a，b，c之间的关系可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）过P的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接由椭圆的方程可得切点A，B的坐标，当切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线方程，与椭圆联立．由判别式等于0可得参数的关系，进而可得PA，PB的斜率之积，由直线PA，PB互相垂直可得斜率之积等于﹣1，进而可得m，n之间的关系，即P的轨迹方程，显然切线斜率不存在时的点P也在轨迹方程上；因为PA，PB互相垂直，所以三角形PAB 的面积为S△ABP|PA|•|PB|，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，可得球切线PA的斜率为1，求出直线PA的方程，与椭圆联立求出A的坐标，进而求出|PA|的值，再求|AB|的值，即求出三角形PAB面积的最大值．解：（Ⅰ）由题意可得e，1，c2＝a2﹣b2，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆的方程为：1；（Ⅱ）设两个切点分别为A，B，①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A，B两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时P的坐标为：（±2，±），②当两条切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线的方程为：y﹣n＝k（x﹣m），联立直线y﹣n＝k（x﹣m）和椭圆的方程，整理可得（1+2k2）x2﹣4k （km﹣n）x+2（km﹣n）2﹣4＝0，由题意可得△＝16k2（km﹣n）2﹣4（1+2k2）[2（km﹣n）2﹣4]＝0，整理可得（m2﹣4）k2﹣2kmn+n2﹣2＝0，所以k1•k2，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1•k2，而PA，PB互相垂直，所以1，即m2+n2＝6，（m≠±2），又因为P（±2，）在m2+n2＝6上，所以点P在圆x2+y2＝6上．因为l1⊥l2，所以S△ABP|PA|•|PB|，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，即P在椭圆的短轴所在的直线上时即P（0，），由圆及椭圆的对称性设P（0，），则直线PA的斜率为1，可得直线PA的方程为：y ＝x，代入椭圆的方程可得3x2+4x+8＝0，解得x，y，即A（，），所以|PA|，所以AB2＝2|PA|2，所以（S△ABP）max．【点评】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，和求轨迹方程，属于中难题．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈一、选择题）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数正负即可求解函数单调性，结合单调性即可求解；（2）分析要证明不等式特点，进行合理的变形，然后构造函数，结合导数及函数性质可证．解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），则函数f（x）在定义域内有两个不同的极值点等价于g（x）在区间（0，+∞）内至少有两个不同的零点，由可知，当a≤0时，g'（x）＜0恒成立，即函数g（x）在（0，+∞）上单调，不符合题意，舍去．当a＞0时，由g'（x）＞0得，，即函数g（x）在区间上单调递增；由g'（x）＜0得，，即函数g（x）在区间上单调递减；故要满足题意，必有，解得：a＞2e；（2）证明：由（1）可知，，故要证：，只需证明：，即证：不妨设0＜x1＜x2，即证，构造函数：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中，由，所以函数h（t）在区间（1，+∞）内单调递减，所以h（t）＜h （1）＝0得证，或证：即证：，只需证明：，而由（1）可知，故上式成立，即可得：．【点评】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，考查了考试逻辑推理的能力．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4­4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．【分析】（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．解：（1），消去参数可得x﹣y＝1直线l的极坐标方程为．由．得ρcos2θ＝sinθ⇒ρ2cos2θ＝ρsinθ得y＝x2（x≠0）…..（2）设P（x0，y0），则点P到直线l的距离为当..当P到直线l的距离最小，最小．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．[选修4­5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|．【分析】（Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；（II）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证．解：（Ⅰ）由已知可得：，由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。