过程装备基础第6。7.8章习题解

第6章 内压薄壁壳体的应力分析

6-1 圆锥形壳体的中间面由一与对称轴成α角（称为半顶角）的直线段为母线绕对称轴回转而成，若已知经线上任一点的平行圆半径r ，试导出经线上任一点第一曲率半径R 1和第二曲率半径R 2的表达式。

解：由于圆锥壳的经线为直线，所以，第一曲率半径R 1

穷大，第二曲率半径R 2可由图示几何关系导出，即

α

cos 2r

R =

6-2 椭球形壳体的经线为一椭圆曲线。试证明椭球形壳体经线上任一点的第一曲率半径、第二曲率半径的计算公式如下：

b

a b a r a R 4

2

/322241)]([--=， b b a r a R 2/122242)]([--= 证：经线上任一点的第一曲率半径由下式决定：

2

22

/3211dr z d dr dz R ⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

（1）

第二曲率半径根据图示几何关系，有

ϕ

sin 2r

R =

（2） 由椭圆方程

122

22=+b

z a r 可计算出式（1）和式（2）中的各量，即

z a r b dr dz 22-=， 24222422

)]([1z a b a r a b dr dz --=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+

3242

22222222

22z

a b z z a r b z a b z a dr dz r z b dr z d -=+⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 将以上各式代入式（1），得：

[]

b

a b a r a z a b z a b a r a b dr z d dr dz R 42/322243

24362

/3222432

22

/321)]([)

/()(1--=

--=

⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

[]

2

4222422

22

2

)

(11/sin z a b a r a b z a r b dr

dz dr

dz

tg tg --=+

=

+=ϕϕϕ

将此式代入（2）式，得

b

b a r a r R 2

/122242)]([sin --==ϕ。

证毕。

6-3 一压力容器由圆筒形壳体、两端为椭圆形封头组成，已知圆筒内直径为D i =2000mm ，厚度δ=20mm ，所受内压p=2MPa ，试确定：

（1）圆筒形壳体上的经向应力和周向应力各是多少？

（2）如果椭圆形封头a/b 的值分别为2、2和3时，封头厚度为20 mm ，分别确定封头上顶点和赤道点的经向应力与周向应力的值，并确定压应力的作用范围（用角度在图上表示出来）。

（3）若封头改为半球形，与筒体等厚度，则封头上的经向应力和周向应力又为多少？ 解：（1）经向应力：MPa pD 5020

42000

24=⨯⨯==

δσϕ （1） 周向应力：MPa 1002==ϕθσσ （2） （2）由于圆筒内直径为2000mm ，所以，封头长半轴a=1000mm. 顶点处两向薄膜应力相等，即

b

a b a b pa r r 5020210002220

=⨯⨯=====δσσϕ

θ

（3） 赤道点的两向薄膜应力如下：

MPa pa a

r 5020

2100022=⨯⨯==

=δσϕ

（4） ])(2[2b

a

-=ϕθσσ （5）

将a/b 的值2、2和3分别代入（3）式和（5）式，就可得到顶点处和赤道处两向薄膜应力的相应值，具体过程略。

当a/b=2时，赤道点的环向应力为零，其他点的两向薄膜应力都大于零，即不存在压应力。

当a/b 的值为2和3时，在赤道附近点的环向应力为压应力，其作用范围由下式决定：

20)2(01

212=⇒=-

⇒=R R

R R ϕθσσ （6） 将第一和第二曲率半径的计算公式代入上式，整理后，得：

2

)(4

2

2

2

a b a r =-， ]

1)/[(2)/(2

-=

b a b a a r （7）

1)/(1/2)]([sin 2

2

2/12224-==--=

b a b

a r

b a r a rb ϕ （8）

当a/b=2时，mm r 5.816)12(2210002

=-⨯=

，

5774.0121sin 2

=-=ϕ，︒=26.35ϕ；

当a/b=3时，mm r 0.750)

13(2310002=-⨯=

。3536.01

31sin 2

=-=

ϕ，︒=7.20ϕ

（a ） （b ）

图（a ）和图（b ）表示了这两种情况周向压应力的作用范围，即周向应力为零的点至赤

道点的这一段上所有点的周向薄膜应力都为零。

（3）若封头改为半球形，与筒体等厚度，则封头上的经向应力和周向应力是相等的，即

MPa pD

504==

=δ

σσϕθ。 6-4 半顶角α=30°、厚度为10mm 的圆锥形壳体，所受内压p=2MPa ，在经线上距顶点为100mm 点的两向薄膜应力为多少？

解：在经线上距顶点为100mm 点的平行圆半径为：

r=100sin30°=50mm ，

于是，该点的两向薄膜应力如下：

MPa pr 55.1130cos 102

50cos =︒

⨯⨯==

αδσθ，MPa 77.5=ϕσ

6-5 现有内直径为2000 mm 的圆筒形壳体，经实测其厚度为10.5 mm 。已知圆筒形壳体材料的许用应力[σ]=133MPa 。试按最大薄膜应力来判断该圆筒形壳体能否承受1.5MPa 的压力。

解：最大薄膜应力为周向应力，其强度条件为：

][2σδσθ≤=

pD ， M P a D p 3965.11332000

5

.102][2=⨯⨯=≤σδ 即该圆筒形壳体能够承受的最大内压为1.3965MPa ，显然，不能承受1.5MPa 的压力。

6-6 敞口圆筒形容器中盛有某种密度为ρ的液体，试求在如下两种情况下筒壁中的最大薄膜应力：（1）放在地面上[图（a ）]；（2）被提离地面后[图（b ）]。设圆筒形容器的内直径为D 、厚度为δ。

解：由于容器为敞口，故容器内外均受大气压作用，即液面上部表压为零，筒体中各点的两向薄膜应力仅由液柱静压力产生，最大静压力p max =ρgH ，故不论是放在地面上，还是被提离地面，最大周向薄膜应力均由下式决定：

δ

ρδσθ22max max gHD

D p ==

经向薄膜应力要满足圆筒壳体的轴向平衡条件。用与壳体轴线相垂直的横截面将圆筒壳截开，画出受力图，如图（c ）和图（d ）所示。显然，放在地地面上时，经向薄膜应力为零；容器被提离地面后，向上的提离地面的作用力应等于液体的重力，即

4

2g

H D ρπ，故其平衡