过程装备基础第6。7.8章习题解

第6章 内压薄壁壳体的应力分析
6-1 圆锥形壳体的中间面由一与对称轴成α角（称为半顶角）的直线段为母线绕对称轴回转而成，若已知经线上任一点的平行圆半径r ，试导出经线上任一点第一曲率半径R 1和第二曲率半径R 2的表达式。

解：由于圆锥壳的经线为直线，所以，第一曲率半径R 1
穷大，第二曲率半径R 2可由图示几何关系导出，即
α
cos 2r
R =
6-2 椭球形壳体的经线为一椭圆曲线。

试证明椭球形壳体经线上任一点的第一曲率半径、第二曲率半径的计算公式如下：
b
a b a r a R 4
2
/322241)]([--=， b b a r a R 2/122242)]([--= 证：经线上任一点的第一曲率半径由下式决定：
2
22
/3211dr z d dr dz R ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
（1）
第二曲率半径根据图示几何关系，有
ϕ
sin 2r
R =
（2） 由椭圆方程
122
22=+b
z a r 可计算出式（1）和式（2）中的各量，即
z a r b dr dz 22-=， 24222422
)]([1z a b a r a b dr dz --=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
3242
22222222
22z
a b z z a r b z a b z a dr dz r z b dr z d -=+⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 将以上各式代入式（1），得：
[]
b
a b a r a z a b z a b a r a b dr z d dr dz R 42/322243
24362
/3222432
22
/321)]([)
/()(1--=
--=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
[]
2
4222422
22
2
)
(11/sin z a b a r a b z a r b dr
dz dr
dz
tg tg --=+
=
+=ϕϕϕ
将此式代入（2）式，得
b
b a r a r R 2
/122242)]([sin --==ϕ。

证毕。

6-3 一压力容器由圆筒形壳体、两端为椭圆形封头组成，已知圆筒内直径为D i =2000mm ，厚度δ=20mm ，所受内压p=2MPa ，试确定：
（1）圆筒形壳体上的经向应力和周向应力各是多少？
（2）如果椭圆形封头a/b 的值分别为2、2和3时，封头厚度为20 mm ，分别确定封头上顶点和赤道点的经向应力与周向应力的值，并确定压应力的作用范围（用角度在图上表示出来）。

（3）若封头改为半球形，与筒体等厚度，则封头上的经向应力和周向应力又为多少？ 解：（1）经向应力：MPa pD 5020
42000
24=⨯⨯==
δσϕ （1） 周向应力：MPa 1002==ϕθσσ （2） （2）由于圆筒内直径为2000mm ，所以，封头长半轴a=1000mm. 顶点处两向薄膜应力相等，即
b
a b a b pa r r 5020210002220
=⨯⨯=====δσσϕ
θ
（3） 赤道点的两向薄膜应力如下：
MPa pa a
r 5020
2100022=⨯⨯==
=δσϕ
（4） ])(2[2b
a
-=ϕθσσ （5）
将a/b 的值2、2和3分别代入（3）式和（5）式，就可得到顶点处和赤道处两向薄膜应力的相应值，具体过程略。

当a/b=2时，赤道点的环向应力为零，其他点的两向薄膜应力都大于零，即不存在压应力。

当a/b 的值为2和3时，在赤道附近点的环向应力为压应力，其作用范围由下式决定：
20)2(01
212=⇒=-
⇒=R R
R R ϕθσσ （6） 将第一和第二曲率半径的计算公式代入上式，整理后，得：
2
)(4
2
2
2
a b a r =-， ]
1)/[(2)/(2
-=
b a b a a r （7）
1)/(1/2)]([sin 2
2
2/12224-==--=
b a b
a r
b a r a rb ϕ （8）
当a/b=2时，mm r 5.816)12(2210002
=-⨯=
，
5774.0121sin 2
=-=ϕ，︒=26.35ϕ；
当a/b=3时，mm r 0.750)
13(2310002=-⨯=。

3536.01
31sin 2
=-=
ϕ，︒=7.20ϕ
（a ） （b ）
图（a ）和图（b ）表示了这两种情况周向压应力的作用范围，即周向应力为零的点至赤
道点的这一段上所有点的周向薄膜应力都为零。

（3）若封头改为半球形，与筒体等厚度，则封头上的经向应力和周向应力是相等的，即
MPa pD
504==
=δ
σσϕθ。

6-4 半顶角α=30°、厚度为10mm 的圆锥形壳体，所受内压p=2MPa ，在经线上距顶点为100mm 点的两向薄膜应力为多少？
解：在经线上距顶点为100mm 点的平行圆半径为：
r=100sin30°=50mm ，
于是，该点的两向薄膜应力如下：
MPa pr 55.1130cos 102
50cos =︒
⨯⨯==
αδσθ，MPa 77.5=ϕσ
6-5 现有内直径为2000 mm 的圆筒形壳体，经实测其厚度为10.5 mm 。

已知圆筒形壳体材料的许用应力[σ]=133MPa 。

试按最大薄膜应力来判断该圆筒形壳体能否承受1.5MPa 的压力。

解：最大薄膜应力为周向应力，其强度条件为：
][2σδσθ≤=
pD ， M P a D p 3965.11332000
5
.102][2=⨯⨯=≤σδ 即该圆筒形壳体能够承受的最大内压为1.3965MPa ，显然，不能承受1.5MPa 的压力。

6-6 敞口圆筒形容器中盛有某种密度为ρ的液体，试求在如下两种情况下筒壁中的最大薄膜应力：（1）放在地面上[图（a ）]；（2）被提离地面后[图（b ）]。

设圆筒形容器的内直径为D 、厚度为δ。

解：由于容器为敞口，故容器内外均受大气压作用，即液面上部表压为零，筒体中各点的两向薄膜应力仅由液柱静压力产生，最大静压力p max =ρgH ，故不论是放在地面上，还是被提离地面，最大周向薄膜应力均由下式决定：
δ
ρδσθ22max max gHD
D p ==
经向薄膜应力要满足圆筒壳体的轴向平衡条件。

用与壳体轴线相垂直的横截面将圆筒壳截开，画出受力图，如图（c ）和图（d ）所示。

显然，放在地地面上时，经向薄膜应力为零；容器被提离地面后，向上的提离地面的作用力应等于液体的重力，即
4
2g
H D ρπ，故其平衡
条件为：
4
2g
H D D ρπδσπϕ=
∴
δ
ρσϕ4g
DH =
(a) (b) (c) 放在地面上时 (d)被提离地面时
6-7 有一立式圆筒形储油罐，如图所示，罐体内直
径为5000 mm ，厚度为10mm ，油的密度为700kg/m 3。

设当地大气压力p 0=0.1MPa ，试计算油面上方气体压力p=0.1MPa 和p=0.25MPa 两种情况下油罐筒体中的最大经向应力和最大周向应力。

解：根据上题求解所得结果，易知：
δ
σϕ4)(0D
p p -=
δ
ρδσθ2])[(20max max D
gH p p D p +-==
当p=0.1MPa 时，有
4)(0=-=
δ
σϕD
p p ，
MPa 87.3010
25000
]10188.9700)1.01.0[(6max =⨯⨯⨯⨯⨯+-=-θσ
当p=0.25MPa 时，有
MPa D p p 75.1810
45000
)1.025.0(4)(0=⨯⨯-=-=
δσϕ，
MPa 37.6887.3010
25000
)1.025.0(max =+⨯⨯-=
θσ。