高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大(小)值与导数课件新人教选修22101504116
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浙江专版高中数学第一章导数及其应用部分133函数的最大小值与导数课件新人教A版选修2
(2)函数的最值与极值有什么关系？
(3)求函数最值的方法和步骤是什么？
二、归纳总结·核心必记
1．函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是 一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值． [提醒] 对函数最值的三点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数 不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念． (3)函数 y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数 y＝f(x)在[a，b]上有 最大值或最小值的充分而非必要条件．
三、基本技能·素养培优
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．
(× )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．
(√ )
(3)函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点
处取得．
(× )
2．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的最大值是 ( )
恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)<h在区间[m，n]上恒成立，可先在区
间[m，n]上求出函数的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，则上 面的不等式恒成立．
(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区
间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h， 则不等式f(x)>h恒成立．
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－∞，－23 －23 －23，1
(3)求函数最值的方法和步骤是什么？
二、归纳总结·核心必记
1．函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是 一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值． [提醒] 对函数最值的三点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数 不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念． (3)函数 y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数 y＝f(x)在[a，b]上有 最大值或最小值的充分而非必要条件．
三、基本技能·素养培优
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．
(× )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．
(√ )
(3)函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点
处取得．
(× )
2．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的最大值是 ( )
恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)<h在区间[m，n]上恒成立，可先在区
间[m，n]上求出函数的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，则上 面的不等式恒成立．
(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区
间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h， 则不等式f(x)>h恒成立．
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－∞，－23 －23 －23，1
2019秋高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大(小)值与导数课件新人教A版选修2_2
A．等于 0 B．大于 0 C．小于 0 D．以上都有可能 解析：因为最大值等于最小值，所以该函数是常数函 数，所以 f′(x)＝0. 答案：A
3．函数 f(x)＝x－ 2sin x 在0，π2上的最小值点为 ()
A．x＝0 B．x＝π6 C．x＝π4 D．x＝π2 解析：令 f′(x)＝1－ 2cos x＝0，得 cos x＝ 22，又 x∈0，π2，所以 x＝π4，又 f(0)＝0，fπ2＝π2－ 2，fπ4＝π4 －1，所以 f(π4)最小，所以最小值点为 x＝π4.
2．已知函数最值求参数值(范围)的思路． 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求 函数最值的逆向思维，一般先求函数的导数，利用导数研 究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的 值或范围．
类型 3 与函数最值有关的不等式恒成立问题 [典例 3] 已知 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数 f(x)的最小值； (2)对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：(1)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 当 x∈0，1e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
2．在开区间上连续的函数不一定有最值．例如 y＝ log2x 在区间(0，2)上是连续的，但在该区间上，y＝log2 x 既没有最大值，也没有最小值．
2．求可导函数在[a，b]上最值的步骤 (1)求函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的所有极值点； (2)计算函数 y＝f(x)在各极值点和函数值 f(a)，f(b)的 函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 温馨提示 如果函数有最大值或最小值，则最大值或 最小值是唯一的．如 y＝sin x，有无数个极值点，但最大 值和最小值分别是 1 和－1.
3．函数 f(x)＝x－ 2sin x 在0，π2上的最小值点为 ()
A．x＝0 B．x＝π6 C．x＝π4 D．x＝π2 解析：令 f′(x)＝1－ 2cos x＝0，得 cos x＝ 22，又 x∈0，π2，所以 x＝π4，又 f(0)＝0，fπ2＝π2－ 2，fπ4＝π4 －1，所以 f(π4)最小，所以最小值点为 x＝π4.
2．已知函数最值求参数值(范围)的思路． 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求 函数最值的逆向思维，一般先求函数的导数，利用导数研 究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的 值或范围．
类型 3 与函数最值有关的不等式恒成立问题 [典例 3] 已知 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数 f(x)的最小值； (2)对一切 x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：(1)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 当 x∈0，1e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
2．在开区间上连续的函数不一定有最值．例如 y＝ log2x 在区间(0，2)上是连续的，但在该区间上，y＝log2 x 既没有最大值，也没有最小值．
2．求可导函数在[a，b]上最值的步骤 (1)求函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的所有极值点； (2)计算函数 y＝f(x)在各极值点和函数值 f(a)，f(b)的 函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 温馨提示 如果函数有最大值或最小值，则最大值或 最小值是唯一的．如 y＝sin x，有无数个极值点，但最大 值和最小值分别是 1 和－1.
《函数的最大(小)值与导数》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.3.3课时)
新知探究
观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象. y
a x1 o X
X3
bx
2
发现图中__f_(x_1_)_、__f(_x_3_) _是极小值，____f(_x_2)___是极大值，在区间上的函数的最大值是__f_(b_)__，
最小值是__f_(_x3_)__.
新知探究
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域的性质.但是，在解决实际 问题或在研究函数性质时，往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？
y’
-0
+0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-0 +
y 13
↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13
从上表可知,最大值是13,最小值是4.
例题讲解
极大（小）值与极大（小）值的区别是什么？ （1）极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言， 是在整体范围内讨论问题 .
例题讲解
（2）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可 能没有极值,并且极大值（极小值）不一定就是最大值（最小值）.
y
y fx
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x
b
图1.3 13
新知探究
探究 你能找出函数y=f(x) 在区间[a，b]上的最大值﹑最小值吗？
从图1.3-13可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是 f x3 .
新知探究
y
y fx
y
y fx
ao bx
2
（2，5）
5
y'
-
0
2018年高中数学第一章导数及其应用1.3.1.3函数的最大
(2)当a<0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x) 单调递减
极小值
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值，所以 b＝－29.
[活学活用] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在 [－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值； 若不存在，请说明理由． 解：存在．显然 a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)． 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝4(舍去)．
()
3．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________． 答案：1
4．已知 f(x)＝－x2＋mx＋1 在区间[－2，－1]上的最大值就是函 数 f(x)的极大值，则 m 的取值范围是________． 答案：(－4，－2)
求函数的极值
[典例] 求函数f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2，＋∞) 上的最值．
(2)解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40. f(0)>f(2)>f(－2)， 所以当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3. 所以当x＝0时，f(x)max＝3.
已知函数最值求参数的步骤 (1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处 的函数值． (2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个 是最小值． (3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
(1)当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第一章 导数及其应用1.3.3函数的最大值与导
反思第二与十感四页悟，编辑于星期五：解十七析点答分。案
跟踪训练3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， (1)若对任意的x∈[0,3]，都有 f(x)＜c2成立，求c的取值范围； 解 ∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2). ∴当x∈(0,1)时，f′(x)＞0； 当x∈(1,2)时，f′(x)＜0； 当x∈(2,3)时，f′(x)＞0. ∴当x＝1时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c.又 f(3)＝9＋8c＞f(1)， ∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c. ∵对任意的x∈[0,3]，有 f(x)＜c2恒成立， ∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9. ∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
f′(x)
＋
0
(－ 2， 2) －
2 ( 2 ，＋∞)
0
＋
f(x)
极大值
极小值
解析答案 第十三页，编辑于星期五：十七点 分。
题型二 含参数的函数的最值问题 例2 已知a是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
反思第十与四页感，悟编辑于星期五：十七解点析分答。案
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
第一页，编辑于星期五：十七点 分。
学习 目标
1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别. 2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.
第二页，编辑于星期五：十七点 分。
栏目 索引
知识梳理
题型探究
当堂检测
自主学习 重点突破
反思第十与页感，编悟辑于星期五：十七解点 析分。答案
跟踪训练1 设函数 f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的 切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数 f′(x)的最小值为－12. (1)求a，b，c的值；
跟踪训练3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， (1)若对任意的x∈[0,3]，都有 f(x)＜c2成立，求c的取值范围； 解 ∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2). ∴当x∈(0,1)时，f′(x)＞0； 当x∈(1,2)时，f′(x)＜0； 当x∈(2,3)时，f′(x)＞0. ∴当x＝1时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c.又 f(3)＝9＋8c＞f(1)， ∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c. ∵对任意的x∈[0,3]，有 f(x)＜c2恒成立， ∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9. ∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
f′(x)
＋
0
(－ 2， 2) －
2 ( 2 ，＋∞)
0
＋
f(x)
极大值
极小值
解析答案 第十三页，编辑于星期五：十七点 分。
题型二 含参数的函数的最值问题 例2 已知a是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
反思第十与四页感，悟编辑于星期五：十七解点析分答。案
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
第一页，编辑于星期五：十七点 分。
学习 目标
1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别. 2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.
第二页，编辑于星期五：十七点 分。
栏目 索引
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自主学习 重点突破
反思第十与页感，编悟辑于星期五：十七解点 析分。答案
跟踪训练1 设函数 f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的 切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数 f′(x)的最小值为－12. (1)求a，b，c的值；
1.3.3函数的最大(小)值与导数课件新人教A版选修2-2
新知导学 f(g) f(b) 1．下图中的函数f(x)的最大值为 _____，最 小值为_____．
f(d)，f(g)
f(c)，f(e)
而极大值为__________，极小值为
2．由上图还可以看出，假设函数y＝f(x)在闭 区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线， 最大值 最小值 可导的 与 该函数在 [a ，b]上一定能够取得_________ _________，若该函数在(a，b)内是 不一定 _________，该函数的最值必在极值点或区 间端点取得．但在开区间(a，b)内可导的函 数f(x)__________有最大值与最小值．
1 3 4．(2014· 枣庄市期中)若1、3为函数f(x)＝3x ＋bx2＋cx(b、 c∈R)的两个极值点，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线 的斜率为( A．8 C．4 ) B．6 D．0
[答案] A [解析] f ′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1、3 是方程f ′(x)＝0的两个实根，∴b＝－2，c＝3， ∴f ′(－1)＝8，故选A.
第二步，建联系，确定解题步骤． 先求f ′(x)，利用极值条件建立a、b的方程组， 解方程组求a、b；从而得到f(x)解析式；再解 不等式f ′(x)>0(或f ′(x)<0)确定f(x)的单调性； 最后由极大值求c，再求f(x)在[－3,3]上的最 小值． 第三步，规范解答．
[解析] (1)∵f(x)＝ax3＋bx＋c，∴f ′(x)＝3ax2＋b， ∵f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
f ′2＝0， ∴ f2＝c－16， 12a＋b＝0， 即 8a＋2b＋c＝c－16. a＝1， 解得 b＝－12.
12a＋b＝0， 化简得 4a＋b＝－8.
高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修2_2
解 由(1)知f(x)＝x3－3x2且f′(x)＝3x(x－2)，
由f′(x)<0得3x(x－2)<0，∴0<x<2， ∴函数f(x)的递减区间是(0,2).
解析答案
1 3 1 2 (3)已知函数 f(x)＝3x ＋2(a－1)x ＋ax(a∈R)在区间(0,1)内有极大值和极 小值，求实数 a 的取值范围.
)
解析答案
类型二 例2
已知函数极值求参数
(1) 已知函数 f(x) ＝ x3 ＋ 3ax2 ＋ bx ＋ a2 在 x ＝－ 1 处有极值 0 ，则 a ＝
________，b＝________.
解析答案
1 －∞，1) (2)若函数f(x)＝ x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为( ________. 3
数的单调性. 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，那么f(x0)是 极小值 .
答案
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题型探究
类型一 求函数的极值点和极值
C.a<－1或a>2
解析
D.a<－3或a>6
f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
解析答案
1
2
3
4
3.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围 (－∞，－1) 为____________.
由f′(x)<0得3x(x－2)<0，∴0<x<2， ∴函数f(x)的递减区间是(0,2).
解析答案
1 3 1 2 (3)已知函数 f(x)＝3x ＋2(a－1)x ＋ax(a∈R)在区间(0,1)内有极大值和极 小值，求实数 a 的取值范围.
)
解析答案
类型二 例2
已知函数极值求参数
(1) 已知函数 f(x) ＝ x3 ＋ 3ax2 ＋ bx ＋ a2 在 x ＝－ 1 处有极值 0 ，则 a ＝
________，b＝________.
解析答案
1 －∞，1) (2)若函数f(x)＝ x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为( ________. 3
数的单调性. 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，那么f(x0)是 极小值 .
答案
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题型探究
类型一 求函数的极值点和极值
C.a<－1或a>2
解析
D.a<－3或a>6
f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
解析答案
1
2
3
4
3.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围 (－∞，－1) 为____________.
高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数课件新人教A版选修2_2
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x b
大值、极小值吗?
图3.3 - 13
观察图象,我们发现,f x1 ,
f x3 ,f x5 是函数y = f x
的极小值,f x2 ,f x4 ,f x6 是极大值.
探究 你能找出函数y = f x在区间a,b上的最
大值、最小值吗?
y
f
x
=
1 3
x3
-
4x
+
4
2
o
3x
图1
当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：
x 0 (0,2) 2 (2, 3) 3
f (x)
－
0+
f (x) 4
↘
4 ↗ 1
3
当x
=
2时,fx有极小值,并且极小值为f2 =
-
4. 3
又由于 f (0) 4 , f (3) 1
所以函数的最大值为 f (2) 22 a,最小值为 5 a
22 a 20 即a 2
最小值为 5 2 7
（五）当堂训练，巩固提高
1.求函数f (x)=6x2 －x －2在区间 [0，2] 上的最大值和最小值.
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x b
大值、极小值吗?
图3.3 - 13
观察图象,我们发现,f x1 ,
f x3 ,f x5 是函数y = f x
的极小值,f x2 ,f x4 ,f x6 是极大值.
探究 你能找出函数y = f x在区间a,b上的最
大值、最小值吗?
y
f
x
=
1 3
x3
-
4x
+
4
2
o
3x
图1
当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：
x 0 (0,2) 2 (2, 3) 3
f (x)
－
0+
f (x) 4
↘
4 ↗ 1
3
当x
=
2时,fx有极小值,并且极小值为f2 =
-
4. 3
又由于 f (0) 4 , f (3) 1
所以函数的最大值为 f (2) 22 a,最小值为 5 a
22 a 20 即a 2
最小值为 5 2 7
（五）当堂训练，巩固提高
1.求函数f (x)=6x2 －x －2在区间 [0，2] 上的最大值和最小值.
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当堂检测
12345
1.函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则
f′(x)( A )
A.等于0
B.大于0
C.小于0
D.以上都有可能
解析 据题 f(x)为常数函数，故 f′(x)＝0.
解析答案
答案
答案 没有. (2)函数 f(x)＝ln x在[1,2]上有最值吗？ 答案 有最大值ln 2，最小值0.
答案
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题型探究
题型一 求函数的最值 例1 求下列各函数的最值： (1) f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
重点突破
解析答案
(2) f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].
解 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x). 即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0. ∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12， ∴a＞0，b＝－12. 又直线x－6y－7＝0的斜率为1 ，
6 因此 f′(1)＝3a＋b＝－6， 故a＝2，b＝－12，c＝0.
解析答案
(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值. 解 f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)，列表如下：
答案
知识点二 求函数的最值 1.求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤： (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大 的一个是 最大值 ，最小的一个是 最小值 . 2.函数在开区间(a，b)的最值 在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(x)在开 区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数 f(x) 在区间I上的最大(小)值.
答案
思考 函数的极值与最值的区别是什么？ 答案 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区 间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的 最小值. 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极 值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值 只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值 的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要 不在端点必定是极值. 当连续函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点 处 f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f(x)在该点处取得最大值(或最小 值)，这里(a，b)也可以是无穷区间.
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习 目标
1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别. 2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.
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知识点一 函数最值的概念 如果在函数 f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有 f(x)≤f(x0)， 那么称 f(x0)为函数的定义域上的最大值. 如果在函数 f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有 f(x)≥f(x0)， 那么称 f(x型三 函数最值问题的综合应用
解析答案
(2)若对x∈[－1,2]，不等式 f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围.
解 f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]. 当 x＝－23时，f －23＝2272＋c 为极大值， 而 f(2)＝2＋c，则 f(2)＝2＋c为最大值. 要使 f(x)＜c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2＞f(2)＝2＋c， 解得c＜－1或c＞2. ∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
x (－∞，－ 2 ) － 2
f′(x)
＋
0
(－ 2 ， 2 ) －
2 ( 2 ，＋∞)
0
＋
f(x)
极大值
极小值
解析答案
题型二 含参数的函数的最值问题 例2 已知a是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 a为常数，求函数 f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.
解 f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数. 故x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 设函数 f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)) 处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数 f′(x)的最小值为－12. (1)求a，b，c的值；
解析答案
(2)若对任意的x∈(0,3)，都有 f(x)＜c2成立，求c的取值范围. 解 由(1)知 f(x)＜f(3)＝9＋8c， ∴9＋8c≤c2， 即c≤－1或c≥9， ∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞).
解析答案
易错易混 求最值时因忽略极值与区间端点值的对比致误 例4 求函数 f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， (1)若对任意的x∈[0,3]，都有 f(x)＜c2成立，求c的取值范围； 解 ∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2). ∴当x∈(0,1)时，f′(x)＞0； 当x∈(1,2)时，f′(x)＜0； 当x∈(2,3)时，f′(x)＞0. ∴当x＝1时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c.又 f(3)＝9＋8c＞f(1)， ∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c. ∵对任意的x∈[0,3]，有 f(x)＜c2恒成立， ∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9. ∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).