2021年中考数学九年级复习微专题专项课时练：三角形的面积(选择题)(一)
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_三角形的面积,填空题专训及答案
15、
(2020自贡.中考真卷) 如图，在矩形
中，E是 上的一点，连接
的中点F处，在 上取一点O，以点O为圆心， 的长为半径作半圆与
17、
(2020青岛.中考真卷) 如图，在正方形
中，对角线 与 交于点O，点 在 的延长线上，连接 ，点
F是 的中点，连接 交 于点G．若
，
，则点A到 的距离为________．
18、
(2020抚顺.中考真卷) 如图，四边形
是矩形，延长 到点 ，使
，连接 ，点 是 的中点
，连接 ， ，得到
；点 是 的中点，连接 ， ，得到
备 考 2021中 考 数 学 复 习 专 题 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _三 角 形 的 面 积 ， 填 空 题 答 案
1.答案： 2.答案： 3.答案： 4.答案： 5.答案： 6.答案： 7.答案：
8.答案： 9.答案： 10.答案： 11.答案： 12.答案： 13.答案： 14.答案： 15.答案： 16.答案：
13、 (2019顺城.中考模拟) 如图所示，n+1个边长为1的等边三角形，其中点A，C1 ， C2 ， C3 ， …∁n在同一条直线上，若 记△B1C1D1的面积为S1 ， △B2C2D2的面积为S2 ， △B3C3D3的面积为S3 ， …，△Bn∁nDn的面积为Sn ， 则Sn＝_____ ___.
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_三角形的面积，填空题专
训及答案
备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_三角形_三角形的面积,单选题专训及答案
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 8、 (2019宁波.中考模拟) 如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝m，则图中阴影部分的面积是（ ）
A . m2 B . m2 C .
m2 D .
m2
9、 (2019.中考模拟) 如图，点C为线段AB上一点，且AC=2CB，以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ADC和等边△EBC ，连接DB、AE交于点F，连接FC，若FC=3，设DF=a、EF=b，则a、b满足（ ）
点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①
；②S△BCE＝30；③S△ABE＝9；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（
）
A . ①②③④ B . ①③ C . ②③④ D . ①②③ 22、 (2019张掖.中考模拟) 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E为AD中点，分别以B、E为圆心，以AB、AE为半径画 弧，两弧交于点F，连接AF、BE，则AF的长为（ ）
A. B. C. D.5 23、 (2019张掖.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝3，BC＝5，⊙A与BC相切于点D，交AB于点E， 交AC于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A . 12﹣ π B . 12﹣ π C . 6﹣
24、
(2019新乡.中考模拟) 如图，菱形
9.答 案 ： D 10.答 案 ： C 11.答 案 ： C 12.答 案 ： B 13.答 案 ： C 14.答 案 ： B 15.答 案 ： C 16.答 案 ： C 17.答 案 ： C 18.答 案 ： D 19.答 案 ： D 20.答 案 ： B 21.答 案 ： B 22.答 案 ： C 23.答 案 ： C 24.答 案 ： A 25.答 案 ： A 26.答 案 ： C 27.答案：
2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：全等三角形的判定与性质综合(附答案)
2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：全等三角形的判定与性质综合（附答案）1．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50B．62C．65D．682．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a23．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM 平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．14．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF ＝b，EF＝c，则AD的长为（）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c5．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定6．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD ⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF ≌△CDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则这四个结论中正确的有（）①P A平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．A．4个B．3个C．2个D．1个10．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD ＝CD，AB＝CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．112．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF ＝45°，则CF的长为（）A．2B．3C．D．14．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．15．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝°．16．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝6，则四边形ABCD的面积为．18．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC．其中所有正确结论的序号是．19．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝8，则CE＝．20．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD 的长为．21．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是（填序号）22．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积为24cm2，则AC长是cm．23．如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB ＝4，则三角形ABC的面积是．24．如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是．25．如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正确的结论有（将所有正确答案的序号填写在横线上）．26．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为．27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE ＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为．28．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．29．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B ＝∠E＝30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．30．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．31．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．32．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．（1）求证：BD＝CE；（2）求证：∠M＝∠N．33．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．34．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．35．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．参考答案1．解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB＝∠EF A＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°⇒∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EF A＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG⇒△EF A≌△AGB，∴AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝F A+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故选：A．2．解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM+∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a，∵EC＝2AE，∴EC＝a，∴EP＝PC＝a，∴正方形PCQE的面积＝a×a＝a2，∴四边形EMCN的面积＝a2，故选：D．3．解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵∠AOB＝∠COD，∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM∵△AOC≌△BOD，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB∴OA＝OC与OA＞OC矛盾，∴③错误；正确的个数有3个；故选：B．4．解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，∵EF＝c，∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故选：D．5．解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠CAD＝∠EAD，在△ACP和△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），∴PE＝PC，在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，∴m+n＞b+c．故选：A．6．解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，∴②正确；在△ABP和△DBQ中，，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP＝BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；∵∠DMA＝60°，∴∠AMC＝120°，∴∠AMC+∠PBQ＝180°，∴P、B、Q、M四点共圆，∵BP＝BQ，∴，∴∠BMP＝∠BMQ，即MB平分∠AMC；∴④正确；综上所述：正确的结论有4个；故选：D．7．解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，故④正确．故选：A．8．解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，∴△BDF≌△CDE，故④正确；由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；∵AD是△ABC的中线，∴△ABD和△ACD等底等高，∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD∴BF∥CE，故③正确．故选：D．9．解：（1）P A平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，AP＝AP，∴△APR≌△APS，∴∠P AR＝∠P AS，∴P A平分∠BAC；（2）由（1）中的全等也可得AS＝AR；（3）∵AQ＝PR，∴∠1＝∠APQ，∴∠PQS＝∠1+∠APQ＝2∠1，又∵P A平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠1，∴∠PQS＝∠BAC，∴PQ∥AR；（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP＝∠CSP，∵PR＝PS，∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．故选：B．10．解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB＝∠CDB，在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选：D．11．解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN，∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故（4）错误，故选：B．12．解：当∠D＝∠B时，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），13．解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝＝＝3，∴AE＝3，设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝＝，∴（9﹣x）2＝9+x2，即AF＝4，∴GF＝5，∴DF＝2，∴CF＝＝＝2，故选：A．14．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案为：55°．15．解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．故答案为：135．16．解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD＝AE＝2，AC＝AB＝5，∴CE＝BD＝AB﹣AD＝3，故答案为3．17．解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；∵∠BAD＝∠BCD＝90°∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAN；在△ABM与△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；由勾股定理得：AC2＝AM2+MC2，而AC＝6；∴2λ2＝36，λ2＝18，故答案为：18．18．解：∵△ABO≌△ADO，∴AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，∴AC⊥BD，故①正确；∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴∠COB＝∠COD＝90°，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确；∴BC＝DC，故②正确．故答案为：①②③．19．解：如图，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE＝8，∴CE＝4．故答案为：4．20．解：在AD的上方过点A作AD′⊥AD，使得AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′．∠DAD′＝90°由勾股定理得DD′＝，∠D′DA+∠ADC＝90°由勾股定理得CD′＝，∴BD＝CD′＝，故答案为：．21．解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，∴②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC，∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，∴EF≠EC，∴③错误；④由③知AD＝AE＝EC，∴④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故答案是：①②④．22．解：延长CD至点E，使DE＝BC，连接AE，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠2+∠B＝180°，∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠B＝180°，∴∠1＝∠B，在△ABC与△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠EAD＝∠BAC，AC＝AE，S△AEC＝S四边形ABCD ∵∠BAD＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形，∵四边形ABCD的面积为24cm2，∴AC2＝24，解得AC＝4或﹣4，∵AC为正数，∴AC＝4．故答案为：4．23．解：∵四边形ACDF是正方形，∴AC＝AF，∠CAF＝90°，∴∠EAC+∠F AB＝90°，∵∠ABF＝90°，∴∠AFB+∠F AB＝90°，∴∠EAC＝∠AFB，在△CAE和△AFB中，，∴△CAE≌△AFB，∴EC＝AB＝4，∴阴影部分的面积＝×AB×CE＝8，故答案为：8．24．解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠FED＝∠EF A＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°⇒∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EF A＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG⇒△EF A≌△ABG同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝F A+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故答案为50．25．解：①BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD，∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，∴∠EBC+∠BEC＝（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC+BAC，∴∠BEC＝∠BAC，故①正确；∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．③BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵GE∥BC，∴∠CBE＝∠GEB，∴BG＝GE，同理CH＝HE，∴BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH，故③正确．④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，∵BE平分∠ABC，∴EM＝ED，∵CE平分∠ACD，∴EN＝ED，∴EN＝EM，∴AE平分∠CAM，设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，∴x+z＝y+90°，∵z＝y+∠AEB，∴x+y+∠AEB＝y+90°，∴x+∠AEB＝90°，即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；故答案为：①③④．26．解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO＝∠BCO，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB，∴∠D＝∠CBO，∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝100°，∴∠BAO＝40°，∴∠DAO＝140°，∵AD＝AO，∴∠D＝20°，∴∠CBO＝20°，∴∠ABC＝40°，∴∠BCA＝60°，故答案为：60°．27．解：（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM ⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴BN＝CN，∠B＝∠ACB＝30°．在Rt△BAN中，∠B＝30°，AB＝2，∴AN＝AB＝，BN＝＝3，∴BC＝6．∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠CAE＝60°，∴∠F AE＝∠F AC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE＝FE．∵BD＝2CE，BD＝CF，∠ACF＝∠B＝30°，∴设CE＝2x，则CM＝x，EM＝x，FM＝4x﹣x＝3x，EF＝ED＝6﹣6x．在Rt△EFM中，FE＝6﹣6x，FM＝3x，EM＝x，∴EF2＝FM2+EM2，即（6﹣6x）2＝（3x）2+（x）2，解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），∴DE＝6﹣6x＝3﹣3．故答案为：3﹣3．（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，∴∠ECG＝60°．∵CF＝BD＝2CE，∴CG＝CE，∴△CEG为等边三角形，∴EG＝CG＝FG，∴∠EFG＝∠FEG＝∠CGE＝30°，∴△CEF为直角三角形．∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠CAE＝60°，∴∠F AE＝∠F AC+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE＝FE．设EC＝x，则BD＝CF＝2x，DE＝FE＝6﹣3x，在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，EF＝＝x，∴6﹣3x＝x，x＝3﹣，∴DE＝x＝3﹣3．故答案为：3﹣3．28．证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．29．解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2；故答案为：DE∥AC；S1＝S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE＝DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1＝S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC＝60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D＝∠ABC＝60°，∵BF1＝DF1，∠F1BD＝∠ABC＝30°，∠F2DB＝90°，∴∠F1DF2＝∠ABC＝60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1＝DF2，∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，∴∠CDF1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∠CDF2＝360°﹣150°﹣60°＝150°，∴∠CDF1＝∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°，又∵BD＝4，∴BE＝×4÷cos30°＝2÷＝，∴BF1＝，BF2＝BF1+F1F2＝+＝，故BF的长为或．30．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E．∵∠DAE＝90°，∴∠E+∠ADE＝90°．∴∠ADB+∠ADE＝90°．即∠BDE＝90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．31．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CF A＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠F AE＝∠F AC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．32．（1）证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAE＝∠2+∠DAE，即∠BAN＝∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M＝∠N．33．（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）成立．证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴△BCF≌△BEF（HL），∴CF＝EF；∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．34．（1）证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠CBD＝45°，∴∠CAE＝∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF＝90°，又∵∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE＝CG，（2）解：BE＝CM．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，∴∠CMA＝∠BEC，又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE＝CM．35．解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），。
2021年中考九年级数学《三角函数》专项训练试题及答案分析
九年级数学下册《三角函数》专项训练试题时间：90分 满分：100分学校： 班级： 姓名：一、选择题(每题3分，共30分)1．已知cos A ＝32，则锐角A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，t a n B ＝32，BC ＝23，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．4 3D ．6 3．在锐角三角形ABC 中，若⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －322＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－c os B ＝0，则∠C 等于( ) A ．60° B ．45° C ．75° D ．105°4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则t a n ∠ABC 的值为( )A.35B.34C.105 D ．15．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则t a n B 的值为( )A.45B.35C.34D.436．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有()A．1组B．2组C．3组D．4组7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB ＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A.34 B.43 C.35 D.458．如图所示，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD为100 m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是()A．200 m B．200 3 m C．220 3 m D．100(3＋1)m9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝85S2D．S1＝S210．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.3＋318 B.3＋118 C.3＋36 D.3＋16二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：cos245°＋tan 30°·sin 60°＝________。
三角形中的面积和周长问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练03三角形中的面积和周长问题1.已知 ΔABC 的面积是 120 ，请完成下列问题：（1）如图1所示，若 AD 是 ΔABC 的 BC 边上的中线，则 ΔABD 的面积________ ΔACD 的面积．（填“ > ”“ < ”或“ = ”）（2）如图2所示，若 CD ， BE 分别是 ΔABC 的 AB ， AC 边上的中线，求四边形 ADOE 的面积可以用如下方法：连接 AO ，由 AD =DB 得： S ΔADO =S ΔBDO ，同理： S ΔCEO =S ΔAEO ，设 S ΔADO =x ， S ΔCEO =y 则 S ΔBDO =x ， S ΔAEO =y ．由题意得： S ΔABE =12S ΔABC =60 ， S ΔADC =12S ΔABC =60 ，可列方程组为 {2x +y =60x +2y =60 ，解得________，通过解这个方程组可得四边形 ADOE 的面积为________． （3）如图3所示， AD:DB =1:3 ， CE:AE =1:2 ，请你计算四边形 ADOE 的面积，并说明理由． 【答案】（1）如图1，过A 作 AH ⊥BC 于H ，∵AD 是 △ABC 的 BC 边上的中线， ∴BD =CD ，∴ S △ABD =12BD ·AH ， S △ACD =12CD ·AH ， ∴ S △ABD =S △ACD ， （2）解方程组得 {x =20y =20 ， ∴S △AOD =S △BOD =20 ，∴S 四边形ADOB =S △AOD +S △AOE =20+20=40 ， 故答案为： {x =20y =20 ，40； （3）解：如图3，连结 AO ，∵AD:DB =1:3 ， ∴ S △ADO =13S △BDO ，∵CE:AE =1:2 ， ∴ S △CEO =12S △AEO ，设 S △ADO =x ， S △CEO =y ，则 S △BDO =3x ， S △AEO =2y ， 由题意得： S △ABE =23S △ABC =80 ， S △ADC =14S △ABC =30 ， 可列方程组为： {x +3y =304x +2y =80 ， 解得： {x =18y =4， ∴S 四边形ADOE =S △ADO +S △AEO =x +2y =36 ．2.如图1，Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，AC=8，BC=6，点D 为AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿AC 方向以每秒1个单位的速度向终点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度先沿CB 方向运动到点B ，再沿BA 方向向终点A 运动，以DP ，DQ 为邻边构造▱PEQD ，设点P 运动的时间为t 秒．（1）当t=2时，求PD 的长；（2）如图2，当点Q 运动至点B 时，连结DE ，求证：DE ∥AP. （3）如图3，连结CD ．①当点E 恰好落在△ACD 的边上时，求所有满足要求的t 值；②记运动过程中▱PEQD 的面积为S ，▱PEQD 与△ACD 的重叠部分面积为S 1 ， 当 S 1S＜ 13 时，请直接写出t 的取值范围．【答案】 （1）解：如图1中，作DF ⊥CA 于F ，=3，当t=2时，AP=2，DF=AD•sinA=5× 35=4，∵AF=AD•cosA=5× 45∴PF=4-2=2，∴PD= √DF2+PF2= √32+22= √13．（2）证明：如图2中，在平行四边形PEQD中，∵PE∥DQ，∴PE∥AD，∵AD=DQ．PE=DQ，∴PE=AD，∴四边形APED是平行四边形，∴DE∥AP．（3）解：①分三种情况讨论：Ⅰ．当点E在CA上时，DQ⊥CB（如图3所示），∵∠ACB=Rt∠，CD是中线，∴CD=BD，∴CQ= 12CB=3即：t= 32Ⅱ．当点E在CD上，且点Q在CB上时（如图4所示），过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H，易证Rt△PGE≌Rt△PHQ，∴PG=DH=4，∴CG=4-t，GE=HQ=CQ-CH=2t-3，∵CD=AD，∴∠DCA=∠DAC∴在Rt△CEG中，tan∠ECG= GECG = 2t−34−t= 34，∴t= 2411Ⅲ．当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图5所示），过点E作EF⊥CA于点F，∵CD=AD，∴∠CAD=∠ACD．∵PE∥AD，∴∠CPE=∠CAD=∠ACD，∴PE=CE，∴PF= 12PC= 8−t2，PE=DQ=11-2t，∴在Rt△PEF中，cos∠EPF= PFPE =8−T211−2t= 45∴t= 4811综上所述，满足要求的t的值为32或2411或4811；7225＜t＜5617②如图6中，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′，EG⊥AC于G．当△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的13时，PE′：EE′=2：1，由（Ⅱ）可知CG=4-t ，GE=2t-3，∴PG=8-t-（4-t）=4，∵E′G′∥EG，∴PG′PG = E′G′EG= PE′PE= 23，∴PG′= 83，E′G′= 23（2t-3），CG′=8-t- 83= 163-t ，∵tan∠ECG= E′G′CG′=23(2t−3)163−t=34，解得t= 7225．如图7中，当点Q在AB上时，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′．∵△PDE′的面积等于平行四边形PEDQD的面积的13，∴PE′：EE′=2：1，由Ⅲ可知，PG′= 12PC=4- 12t ，PE′= 23DQ= 23（11-2t），∵cos∠E′PG′= PG′PE′= 45，∴4−12t23(11−2t)=45，解得t= 5617，综上所述，当S1S ＜13时，请直接写出t的取值范围是7225＜t＜5617．3.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t ，已知点A坐标为（a ，b），且满足（a﹣6）2+| √3a﹣b|=0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C ，请问当t为何值时，∠OCP=60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P ，Q在运动过程中，D ，P ，Q三点是否能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【答案】（1）解：∵（a﹣6）2+| √3a﹣b|=0，又∵(a﹣6)2≥0，| √3a﹣b|≥0，∴a=6，b=6 √3∴点A（6，6 √3）；（2）解：如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6 √3）∴AO=BO=AB=12，∠AOB=∠ABO=60°=∠A，∵∠OCP=60°=∠AOB，∴∠AOB=∠QOB+∠AOQ=∠QOB+∠PBO=∠PCO=60°，∴∠AOQ=∠PBO，且AO=BO，∠A=∠AOB=60°，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP=AQ，∴12﹣2t=3t，∴t=2.4，∴当t=2.4时，∠OCP=60°；（3）解：如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6 √3）∴OD=BD=6，∠AOB=∠ABO=60°，AD=6 √3，又∵∠DFO=∠DEB=90°，∴△ODF≌△BDE（AAS）∴OF=BE，DF=DE，∵AO=AB，∴AO﹣OF=AB﹣BE∴AF=AE，∵DF=DE，PD=DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL）∴PF=EQ，∵OD=6，∠AOD=60°，∠DFO=90°，∴∠ODF=30°，∴OF=3，DF= √3OF=3 √3，∴AF=AO﹣OF=9=AE，BE=OF=3，∵AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF=18，∴2t+3t=18，∴t=3.6，∴当t=3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP=S△DEQ ，∴S四边形APDQ=S四边形AFDQ=S△AOB﹣2S△OFD= 12×12×6 √3﹣2×12×3×3 √3=27 √3．4.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，P ，Q分别为AB ，AC边上的动点，点P ，点Q同时个单位每秒的速度从点A向点B运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点C 从点A出发，若P以32运动，设运动时间为t ．（1）如图1，①当t＝________时，P是线段AB的中点，此时线段AQ与AC的数量关系是AQ＝________AC ．②在点P、Q运动过程中，△APQ是否能构成等腰三角形？________；A ．有可能B ．不可能C ．无法确定（2）如图2，连接CP、BQ交于点M ，请问当t为何值时，∠BMP＝60°；（3）如图3，D为BC边上的中点，P ，Q在运动过程中，D ，P ，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形？若能，试求：①运动时间t；②设四边形APDQ的面积为S1，△ABC的面积为S2．请直接写出S1与S2的关系式；若不能，请说明理由．＝2，【答案】（1）①当P是AB中点时，AP＝3，故t＝3÷32AC ，此时AQ＝2×2＝4，故AQ＝23；②假设△APQ可以成为等腰三角形，故答案为2，23∵△ABC为等边三角形，即∠A＝60°，则△APQ为等边三角形，而AP≠AQ ，故△APQ不可能为等腰三角形，故答案为B；（2）解：∵△ABC为等边三角形且边长为6，∴AB＝BC＝AB＝6，∠ABC＝∠ACB＝60°＝∠A，∵∠PMB＝60°＝∠ABC，∴∠ABC＝∠QBC+∠ABQ＝∠QBC+∠PCB＝∠PBC，∴∠ABQ＝∠PCB，且AB＝BC，∠A＝∠ABC，∴△ABQ≌△BCP（ASA），∴AQ＝BP，∴6﹣32t＝2t，∴t＝127，∴当t＝127时，∠BMP＝60°；（3）解：①如图，过点D作DF⊥AC，DE⊥AB，连接AD，∵△ABC是等边三角形，D是CB中点，∴CD＝BD＝3，∠ABC＝∠ACB＝60°，AD＝3 √3，又∵∠DFB＝∠DEC＝90°，∴△BDF≌△CDE（AAS），∴BF＝CE，DF＝DE，∵AB＝AC，∴AB﹣BF＝AC﹣CE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵BD＝3，∠ABD＝60°，∠DFB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴BF＝32，DF＝√3BF＝3√32，∴AF＝AB﹣BF＝92＝AE，CE＝BF＝32，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴32t+2t＝9，∴t＝187，∴当t＝187时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形；②∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ ，而S△AOB＝6×3√32，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝6×3√32﹣2×12×3√32×32＝27√34，故S1=34S2．5.（感知）如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA．（1）（探究）如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC 与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．（2）（拓展）如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE，若AF= 32CF=2BE，S△ABF=6，则S△BCD的大小为________．【答案】（1）解：△ADC与△BEA全等，理由：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∴∠DAC=180°﹣∠BAC=120°，∠EBA=180°﹣∠ABC=120°，∴∠DAC=∠EBA，∵AD=BE，∴△ADC≌△BEA；（2）拓展：∵∠1=∠2，∴AF=BF，∠DAC=∠EBA，∵AD=BE，AC=AB，∴△ADC≌△BEA（SAS），∴S△ADC=S△BEA ，∵AF=2BE，AF=BF，∴BF=2BE，∴S△ABE= 12S△ABF=3（同高的两三角形的面积比是底的比），∴S△ADC=3，∵AF= 32CF，∴S△BFC= 23S△ABF=4（同高的两三角形的面积比是底的比），∴S△BCD=S△BCF+S△ABF+S△ADC=13，故答案为13． 6.（1）如图1，在△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点画直线EF 与AC 相交于E ， 与AB 的延长线相交于F ， 使BF ＝CE ．①已知△CDE 的面积为1，AE ＝kCE ， 用含k 的代数式表示△ABD 的面积为多少； ②求证：△AEF 是等腰三角形；（2）如图2，在△ABC 中，若∠1＝2∠2，G 是△ABC 外一点，使∠3＝∠1，AH ∥BG 交CG 于H ， 且∠4＝∠BCG ﹣∠2，设∠G ＝x ， ∠BAC ＝y ， 试探究x 与y 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD 是锐角三角形，当∠G ＝100°，AD ＝a 时，在AD 上找一点P ， AF 上找一点Q ， FD 上找一点M ， 使△PQM 的周长最小，试用含a 、k 的代数式表示△PQM 周长的最小值________．（只需直接写出结果） 【答案】 （1）解： ①∵AE ＝kCE ， ∴S △DAE ＝kS △DEC ， ∵S △DEC ＝1， ∴S △DAE ＝k ，∴S △ADC ＝S △DAE+S △DEC ＝k+1， ∵D 为BC 中点，∴S △ABD ＝S △ADC ＝k+1．②如图1，过B 点作BG ∥AC 交EF 于G ．∴ ∠BGD =∠CED ， ∠BGF =∠AED 在△BGD 和△CED 中， {∠BGD =∠CED BD =CD ∠BDG =∠CDE，∴△BGD≅△CED（ASA），∴BG＝CE，又∵BF＝CE，∴BF＝BG，∴∠BGF=∠F，∴∠F=∠AED∴AF＝AE，即△AEF是等腰三角形．（2）解：如图2，设AH与BC交与点N，∠2＝α．则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，∵AH∥BG，∴∠CNH＝∠ANB＝∠3＝2α，∵∠CNH＝∠2+∠4，∴2α＝α+∠4，∴∠4＝α，∵∠4＝∠BCG﹣∠2，∴∠BCG＝∠2+∠4＝2α，在△BGC中，∠3+∠BCG+∠G=180°，即：4α+x=180°，在△ABC中，∠1+∠2+∠BAC=180°，即：3α+y=180°，x+45°．联立消去α得：y＝34（3）如图3，作P点关于FA、FD的对称点P'、P''，连接P'Q、P'F、PF、P''M、P''F、P'P''，则FP'＝FP＝FP''，PQ＝P'Q ，PM＝P''M ，∠P'FQ＝∠PFQ ，∠P''FM＝∠PFM ，∴∠P'FP''＝2∠AFD ，∵∠G＝100°，∴∠BAC＝34∠G+45°＝120°，∵AE＝AF ，∴∠AFD＝30°，∴∠P'FP''＝2∠AFD＝60°，∴△FP'P''是等边三角形，∴P'P''＝FP'＝FP ，∴PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP''≥P'P''＝FP ，当且仅当P'、Q、M、P''四点共线，且FP⊥AD时，△PQM的周长取得最小值．∵AE=kCE，AF=AE，BF=CE，∴ABAF =k−1k，∴S△ADF=kk−1S△ABD=k(k+1)k−1，∴当FP⊥AD时，FP=2S△ADFAD =2k(k+1)(k−1)a，∴△PQM的周长最小值为2k(k+1)(k−1)a．7.如图，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=120°，AB=6，点D是射线AM上一点（不与A、B两点重合），点D从点A出发，沿射线AM的方向运动，以CD为一边在CD的右侧作ΔCDE，使CE=CD，∠DCE=∠ACB，连结BE．（1）求∠ABE的度数；（2）是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出线段BD的长；若不存在，请说明理由；（3）ΔBDE的周长是否存在最小值？若存在，求出ΔBDE的最小周长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵AC=BC，∠ACB=120°，∴∠A=∠ABC=30°．∵∠DCE=∠ACB，∴∠DCE－∠DCB=∠ACB－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．在ΔACD 与ΔBCE 中，{AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴ΔACD≌ΔBCE(SAS)，∴∠A=∠CBE=30°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°（2）解：当点D在线段AB上时，由（1）得∠DBE=60°恒成立，∴∠DBE≠90°，∴ΔDBE为直角三角形分两种情况讨论．①当∠DEB=90°时，∵∠DBE=60°，∴DB=2BE，∵ΔACD≌ΔBCE（已证），∴AD=BE．∵AD+DB=6，∴BE+DB=6，即3BE=6，∴BE=2，∴BD=4；②当∠EDB=90°时，∵∠DBE=60°，∴BE=2BD，∵ΔACD≌ΔBCE（已证），∴AD=BE，∵AD+DB=6，BE=6，∴BE+DB=6，即32∴BE=4，∴BD=2；当点D在AB的延长线上时，∵ΔACD≌ΔBCE（已证），∴∠A=∠CBE=30°，∴∠ABC+∠CBE=30°+30°=60°，∴∠DBE=120°，∴不存在直角三角形，综上所述：当ΔDBE为直角三角形时，BD的长为4或2．（3）解：∵ΔACD≌ΔBCE（已证），∴AD=BE，∴ΔBDE的周长=DB+BE+DE=DB+AD+DE=AB+DE=6+DE，∵CE=CD，∠DCE=∠ACB=120°，∴ DE = √3CD，∴ΔBDE的周长= 6+√3CD，当CD⊥AB时，CD取得最小值为√3，ΔBDE的周长取最小值为9 8.据图回答问题：（1）感知：如图①．AB=AD ，AB ⊥AD ，BF ⊥AF 于点F ，DG ⊥AF 于点G ．求证：△ADG ≌△BAF ； （2）拓展：如图②，点B ，C 在∠MAN 的边AM ，AN 上，点E ，F 在∠MAN 在内部的射线AD 上，∠1，∠2分别是△ABE ，△CAF 的外角，已知AB=AC ，∠1=∠2=∠BAC ．求证：△ABE ≌△CAF ； （3）应用：如图③，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点在D 边BC 上，CD=2BD ，点E ，F 在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC ．若△ABC 的面积为12，则△ABE 与△CDF 的面积之和为________． 【答案】 （1）证明：∵AB ⊥AD ，BF ⊥AF ， ∴∠DAG+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°， ∴∠DAG=∠B ， 在△ADG 和△BAF 中， {∠DAG =∠B∠AGD =∠BFA =90∘AD =AB ，∴△ADG ≌△BAF （AAS ）； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠AEB=∠CFA ，∠1=∠ABE+∠BAE ，∠BAC=∠CAF+∠BAE ，∠1=∠BAC ， ∴∠ABE=∠CAF ， 在△ABE 和△CAF 中， {∠AEB =∠CFA ∠ABE =∠CAF AB =AC，∴△ABE ≌△CAF （AAS ）； （3）∵CD=2BD ， ∴S △ADC= 23 S △ABC=8， 由（2）得，△ABE ≌△CAF ，∴△ABE 与△CDF 的面积之和=△CAF 与△CDF 的面积之和=S △ADC=8， 故答案为8．9.在△ABC 中，AB=AC ，P 为平面内一点（1）如图1，若∠BAP=∠CAP求证：BP=CP（2）如图2，若∠APB=∠APC求证：BP=CP（3）如图3，BD为AC边上的高，BE平分∠ABD交AC于点E，EF ⊥BC于F，EF与BD交于点G，若ED= a，CD= b，求△BGC的面积（用含a，b的代数式表示）.【答案】（1）证明：如图1∵AB=AC、∠BAP=∠CAP、AP=AP∴△ABP≌△ACP（SAS）∴BP=CP.（2）解：如下图2过A分别作CP、BP的垂线，交它们的延长线于M、N∴∠AMP=∠ANP=90°∵∠APB=∠APC∴∠APM=∠APN又∵AP=AP∴△APM≌△APN∴AM=AN、PM=PN又∵AB=AC∴△ACM≌△ABN（HL）∴CM=BN∴BP=CP.（3）解：如下图3∵BD⊥CD∴∠DBC=90°-∠ACB又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠ABC-(90°-∠ACB)=2∠ABC-90°∵BE平分∠ABD∴∠EBD=∠ABC-45°∴∠EBF=∠EBD+∠DBC=∠ABC-45°+90°-∠ACB=45°又∵EF ⊥ BC于F∴∠BEF=45°∴∠BEF=∠EBF∴EF=BF∵∠BDE=∠EFB=90°、∠BGF=∠EGD∴∠GBF=∠FEC∴△BGF≌△ECF∴BG=EC=ED+DC=a+b∴△BGC的面积为: BG⋅CD2= b(a+b)2=12ab+12b2 .10.已知：如图1，RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，等边ΔCDE的边CE在CB上，点D在AB上.（1）求证：∠ACD=2∠BDE（2）如图2，将ΔADC沿着CD翻折，得到ΔCDF.连接EF，求证：AD=EF（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥CD交CB延长线于点G，若BE=m，DG=4+2m.求ΔFDE的面积.【答案】（1）证明：∵CA=CB，∠ACB=90°，ΔCDE是等边三角形，∴∠B=45°，∠CED=∠DCE=60°，∴∠BDE=∠DEC−∠B=60∘−45∘=15∘，∠ACD=90∘−∠DCE=90∘−60∘=30∘，∴∠ACD=2∠BDE（2）证明：如图示：由折叠可知，∠DFC=∠A=45°，∠ACD=∠FCD=30∘，∴∠FCB=90∘−∠ACD−∠FCD=90∘−30∘−30∘=30∘，在ΔDFG和ΔCGB中，∠DFG=∠B=45°，∠DGF=∠CGB，∴∠FDG=∠FCB=30∘，∴∠FDO=∠FDG+∠GDO=30∘+15∘=45∘，即有：∠FDO=∠FDO=45∘∴ΔDFO是等腰直角三角形，∴OD=OF∵ΔCDE是等边三角形，∠FCB=∠FCD=30∘，∴OD=OE=OF，∴ΔFOE是等腰直角三角形，并ΔFOE≅ΔFOD则ΔDFE是等腰直角三角形，∴DF=FE∴AD=FE；（3）解：如图3所示，∵∠DCG=60∘，DG⊥CD，∴∠DGC=30∘，∴CDDG =CD4+2m=√3，∴CD=√3(4+2m)3，∴DE=CD=√3(4+2m)3，由（2）可知，ΔDFE是等腰直角三角形，∴DFDE=√3(4+2m)3=√2，∴DF=√6(2+m)3，∴SΔFDE=12DF2=12×[√6(2+m)3]2=(2+m)23.11.如图,在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点D为AB的中点，AE=CF.求证：（1）DE=DF；（2）DE⊥DF；（3）若AC=3，求四边形CFDE的面积.【答案】（1）证明：如图，连接CD.∵BC=AC，∠BCA=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵D为AB中点，∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB.∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°，∴∠A=∠FCD，在△ADE和△CFD中，{AE=CF∠A=∠FCDAD=CD，∴△ADE≌△CFD（SAS），∴DE=DF（2）证明：由（1）知，△ADE≌△CFD（SAS），∴∠ADE=∠CDF.∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF（3）证明：∵△ADE≌△CFD，∴S△AED=S△CFD ，∴S四边形CEDF=S△ADC ，∵D是AB的中点，∴S△ACD= 12S△ACB= 12×3×3=4.5.∴S四边形CEDF=4.5.12.在RtΔABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6，P、Q分别为边AB、AC的动点.（1）若AP=a，则当AQ=________时，ΔAPQ与ΔABC相似（用含a的式子表示）；（2）若点P从点A处出发，沿线段AB以每秒钟5个单位的速度向点B运动，同时点Q从点C处出发，沿线段CA以每秒钟4个单位的速度向点A运动：①当运动到第几秒时，BQ⊥CP?②令线段PQ的中点为M，则运动过程中，ΔMBC的周长的最小值是多少?【答案】（1）∵∠C=90°,AC=8,BC=6∴AB= √AC2+BC2=√82+62=10当ΔAPQ∼ΔACB时，可知APAB =AQAC，即a10=AQ8解得AQ=45a同理，当ΔAPQ∼ΔABC时，可知APAC =AQAB，即a8=AQ10解得AQ=54a故答案为：45a或54a；（2）解：①如图，过点P做PD⊥AC于点D设两点运动时间为t，则AP=5t，CQ=4t∵DP∥CB∴ADAC =DPCB=APAB∴AD=4t，DP=3t∴DC=8-4t∵∠ACB=90°, BQ⊥CP ∴∠DCP=∠CBQ∵∠ACB=∠PDC=90°∴ΔDCP∼ΔCBQ∴CBDC =CQDP，即68−4t=4t3t解得t= 78，t=0（舍去）②如图，分别取AC、AB中点E、F，接EF，交EF于点M 过点P做PN⊥EF与点N由已知，PF=5-5t∵EF∥CB ，PN∥AC∴ΔPNF∼ΔACB∴PN=4-4t∴PN=QE∵∠QEM=∠PNM=90°∠EMQ=∠NMP∴ΔEMQ≅ΔNMP∴M为PQ中点，故在P、Q运动过程中，PQ中点M在EF上运动. ∵EF为RtΔABC中位线∴点C与点A关于直线EF对称∴当点M与点F重合时，MB+MC最小此时MB+MC=AB=10则ΔMBC的周长的最小值是10+6=16.。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 微专题(一) 解直角三角形的实际应用
得起点 B 的仰角为 40°.斜坡 CD 的坡度为 i＝1∶2.4，底端点 C 与顶端
点 D 的距离为 26 m．参赛运动员们将从点 A 出发乘车沿水平方向行驶 100
m 到达点 C 处，再沿斜坡 CD 行驶至点 D 处，最后乘垂直于水平方向的电
梯到达点 B 处，则电梯 BD 的高度约为(参考数据：sin 40°≈0.64，cos
结
BD＝AB
CD＝EA，BD＋DA＝BA AD＋CE＋FB＝AB
1．(2021·南岸区校级期中)如图，某大楼 AB 正前方有一栋小楼 ED，小
明从大楼顶端 A 测得小楼顶端 E 的俯角为 45°，从大楼底端 B 测得小楼
顶端 E 的仰角为 24°，小楼底端 D 到大楼前梯坎 BC 的底端 C 有 90 m，
在坡比为 5∶12 的山坡上走了 1 300 m，此时小明看山顶的角度为 60°，
则山高为
( B)
A．(600－250 5)m
B．(600 3－250)m
C．(350＋350 3)m
D．500 3 m
6．(2021·重庆一中三模)如图，小欢同学为了测量建筑物 AB 的高度，
从建筑物底端点 B 出发，经过一段坡度 i＝1∶2.4 的斜坡，到达 C 点，
则高楼 AB 的高度为(参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan
22°≈0.40)
(D)
A．60 m
B．70 m
C．80 m
D．90 m
4．如图，斜坡 AB 长 20 m，其坡度 i＝1∶0.75，BC⊥AC，斜坡 AB 正前
方一座建筑物 ME 上悬挂了一幅巨型广告，小明在点 B 测得广告顶部 M 点
梯坎 BC 长 65 m，梯坎 BC 的坡度 i＝1∶2.4，则大楼 AB 的高度为(结果
2021年中考数学复习专题之三角形03-【三角形的面积】基础训练
2021中考数学复习专题之三角形03【三角形的面积】基础训练一．选择题1．△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，连结BD，CD，则S的最大值为（）△BDCA．10B．15C．12D．142．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠CBD＝90°，BC＝4，OB＝OD＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（）A．48B．36C．24D．123．在平面直角坐标系中，由点A（a，3），B（a+4，3），C（b，﹣3）组成的△ABC的面积是（）A．6B．12C．24D．不确定4．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为（）A．6B．7C．8D．95．如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（）A．24B．28C．35D．306．如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n．对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长：③△PAB的面积：④∠APB的大小．其中不会随点p 的移动而变化的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④7．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是20，则△ABE的面积是（）A ．10B ．6C ．5D ．48．活动课上，小华将两张直角三角形纸片如图放置，已知AC ＝8，O 是AC 的中点，△ABO 与△CDO 的面积之比为4：3，则两纸片重叠部分即△OBC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．2D ．29．如图，已知△ABC 中，CN ＝3BN ，AM ＝CM ，AN 交BM 于O ．若S △ABC ＝40，则下列正确的是（ ）①S △ABO ＝2；②BO ：MO ＝2：3；③AO ：NO ＝4；④S △AMO ＝12：⑤S △CMO ＝13．A ．①②④B ．②③④C ．②③④⑤D ．①②③④10．已知点A （1，2a +1），B （﹣a ，a ﹣3），若线段AB ∥x 轴，则三角形AOB 的面积为（ ） A ．21B ．28C ．14D ．10.5二．填空题11．如图，点E 、F 都在线段AB 上，分别过点A 、B 作AB 的垂线AD 、BC ，连接DE 、DF 、CE 、CF ，DF 交CE 于点G ，已知AD ＝BE ＝7.5，AE ＝BF ＝CB ＝2.5．如果△DEG 的面积为S 1，△CFG 的面积为S 2，则S 1﹣S 2＝ ．12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法中正确的序号是 ．①△ABE 的面积等于△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．13．如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，且AE ：CE ＝3：1，S △CEP ＝1，则S △BPC ＝ ．14．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝120°，点D 在边BC 上，且AD ＝4．BD ：CD ＝3：2．当△ABD 面积最大时，AB 的长为 ．15．如图，AD 是△ABC 的中线，G 是AD 上的一点，且AG ＝2GD ，连结BG ，若S △ABC ＝12，则S △ABG 为 ．三．解答题16．在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，﹣2），C（a，b），且+|a+2b﹣7|＝0．（1）求点C的坐标；（2）画出△ABC并求△ABC的面积；（3）若BC与x轴交点为点M，求点M坐标．17．如图，长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x为何值时，△APE的面积等于32cm2？（提醒：同学们，要分类讨论哦！）18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高线，已知AE＝4，△ABD的面积是6，求BC的长．19．在平面直角坐标系中，已知以A（﹣1，0）或以B（3，0）为直角顶点的直角三角形ABC的面积为6，求顶点C的坐标．20．已知A（0，2），B（4，0），C（6，6）（1）在图中的直角坐标系中画出△ABC；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：如图：延长AB ，CD 交点于E ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝∠ADE ＝90°，在△ADE 和△ADC 中，，∴△ADE ≌△ADC （ASA ），∴AC ＝AE ，DE ＝CD ；∵AC ﹣AB ＝4，∴AE ﹣AB ＝4，即BE ＝4；∵DE ＝DC ，∴S △BDC ＝S △BEC ，∴当BE ⊥BC 时，S △BDC 面积最大，即S △BDC 最大面积＝××10×4＝10．故选：A ．2．解：在Rt△OBC中，由勾股定理，得CO＝＝＝5．∵AC＝10，∴AO＝5，∴OA＝OC，∵OB＝OD＝3，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD＝4×（3+3）＝24，故选：C．3．解：∵点A（a，3），B（a+4，3），∴AB＝4，∵C（b，﹣3），∴点C在直线y＝﹣3上，∵AB ：y ＝3与直线y ＝﹣3平行，且平行线间的距离为6，∴S ＝×4×6＝12，故选：B ．4．解：连接OC ，OB ，OA ，OD ，∵E 、F 、G 、H 依次是各边中点，∴△AOE 和△BOE 等底等高，所以S △OAE ＝S △OBE ，同理可证，S △OBF ＝S △OCF ，S △ODG ＝S △OCG ，S △ODH ＝S △OAH ，∴S 四边形AEOH +S 四边形CGOF ＝S 四边形DHOG +S 四边形BFOE ，∵S 四边形AEOH ＝6，S 四边形BFOE ＝7，S 四边形CGOF ＝8，∴6+8＝7+S 四边形DHOG ，解得S 四边形DHOG ＝7．故选：B ．5．解：连接EG ，CG ，∵BD ＝DE ＝EC ，∴BD ＝BC ，∵AG ＝BG ＝AB ，∴S △BDG ＝S △BCG ＝S △ABC ＝S △ABC ，同理S △ECF ＝S △ABC ＝S △ABC ，S △AFG ＝×S △ABC ＝S △ABC ，∴S 四边形DEFG ＝S △ABC ﹣S BDG ﹣S △CEF ﹣S △AGF ＝S △ABC ＝14，∴S △ABC ＝30．故选：D ．6．解：①∵直线m ∥n ，∴点P 到直线n 的距离不变；②∵PA 、PB 的长度随点P 的移动而变化，∴△PAB 的周长会随点P 的移动而变化；③∵点P 到直线n 的距离不变，AB 的大小，∴△PAB 的面积不变；④直线m 、n 之间的距离不随点P 的移动而变化，∠APB 的大小随点P 的移动而变化； 故不会随点p 的移动而变化的是①③，故选：B ．7．解：∵AD 是BC 上的中线，∴S △ABD ＝S △ACD ＝S △ABC ，∵BE 是△ABD 中AD 边上的中线，∴S △ABE ＝S △BED ＝S △ABD ，∴S △ABE ＝S △ABC ， ∵△ABC 的面积是20，∴S △ABE ＝＝5． 故选：C ．8．解：∵点O 是直角△ABC 斜边AC 的中点，∴S △ABO ＝S △CBO ，OB ＝OA ＝OC ，∵△ABO 与△CDO 的面积之比为4：3，∴△CBO 与△CDO 的面积之比为4：3，∴OB ：OD ＝4：3，设OB ＝4x ，则OD ＝3x ，∴OA ＝OC ＝4x ，∵AC ＝8，∴4x +4x ＝8，解得x ＝1，在Rt △ODC 中，OD ＝3，OC ＝4，∴CD ＝＝，∴S △ODC ＝×3×＝，而△CBO 与△CDO 的面积之比为4：3，∴S △OBC ＝×＝2．故选：D ．9．解：过M 点作MD ∥BC ，交AN 于点N ，连接OC ，则△DOM ∽△NOB ，∴DM ：BN ＝DO ：ON ＝MO ：BO ，∵AM ＝CM ，∴DM 为△ANC 的中位线，∴AD ＝DN ，BC ＝2DM ，∵CN ＝3BN ，∴DM ：BN ＝3：2，BN ：BC ＝1：4，∴DO ：ON ＝MO ：BO ＝3：2，∴BO ：MO ＝2：3，故②正确；AO ：NO ＝4：1，故③正确；AO ：AN ＝4：5，OM ：BM ＝3：5，∵S △ABC ＝40，AM ＝CM ，BN ：BC ＝1：4，∴S △ABN ＝10，S △ABM ＝20，∵S △ABO ：S △ABN ＝AO ：AN ＝4：5，S △AMO ：S △ABM ＝MO ：BM ＝3：5，∴S △ABO ＝8，故①错误；S △AMO ＝12，故④正确；∵AM ＝CM ，∴S △CMO ＝S △AMO ＝12，故⑤错误．故选：B ．10．解：∵AB ∥x 轴，∴2a +1＝a ﹣3．解得a ＝﹣4．∴A （1，﹣7），B （4，﹣7）．∴AB ＝3．∴△AOB 的面积为：×3×7＝10.5，故选：D ．二．填空题11．解：∵AD ＝BE ＝7.5，AE ＝BF ＝CB ＝2.5．∴AF ＝BE ，∴AD ＝AF ＝7.5，在△ADE 和△BEC 中，，∴△ADE ≌△BEC （SAS ），∴S △DAE ＝S △CBE ，∵S 1＝S △DAF ﹣S △DAE ﹣S △EFG ，S 2＝S △CBE ﹣S △EFG ﹣S △CBF ，∴S 1﹣S 2＝S △DAE +S △CBF ＝+＝．故答案为．12．解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG ＝2∠ACF ，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出BH ＝CH ，故④错误；故答案为：①②③．13．解：连接PA ，∵D 是AB 的中点，∴S △ADC ＝S △BCD ，S △PAD ＝S △PBD ，∴S △BPC ＝S △APC ，∵AE ：CE ＝3：1，S △CEP ＝1，∴S △AEP ＝3S △CEP ＝3，∴S △APC ＝4，∴S △BPC ＝4，故答案为4．14．解：作DE ⊥AB 于E ，∴S △ABD ＝AB •DE ，∵DE ⊥AB ，∴DE ≤AD ．当DA ⊥AB 时，DE 与DA 重合，此时，DE 取得最大值4，△ABD 面积最大，作CF ⊥AB ，交BA 的延长线于F ，∴DE ∥CF ，∴△BDE ∽△BCF ，∴＝，即＝，∴＝，∴CF ＝，∵∠BAC ＝120°，∴∠CAF ＝60°，∴∠ACF ＝30°∴AF ＝tan30°•CF ＝×＝，∵AD ∥CF ，∴＝＝，∴AB ＝．故答案为．15．解：∵AD 是△ABC 的中线，S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝S △ABC ＝×12＝6，∵AG ＝2GD ，∴S △ABG ＝S △ABD ＝×6＝4，故答案为：4．三．解答题16．解：（1）∵+|a +2b ﹣7|＝0，∴， 解得：，∴C （1，3）；（2）如图，△ABC 为所作，如图，分别过点B ，点C 作x 轴的平行线BF ，DE ，过点A ，点B 作y 轴的平行线DF ，EB ， ∴S △ABC ＝S 四边形DFBE ﹣S △ADC ﹣S △BCE ﹣S △ABF ，＝4×5﹣﹣﹣，＝8；（3）设点M 的坐标为（m ，0），∵S△ABC ＝S△AMC+S△ABM，S△ABC＝8，∴，∴AM＝，∴m﹣（﹣1）＝，∴m＝，∴M（，0）．17．解：①如图1，当P在AB上时，∵△APE的面积等于32，∴×2x•8＝32，解得：x＝4；②当P在BC上时，∵△APE的面积等于32，∴S 矩形ABCD ﹣S △CPE ﹣S △ADE ﹣S △ABP ＝32，∴10×8﹣（10+8﹣2x ）×5﹣×8×5﹣×10×（2x ﹣10）＝32，解得：x ＝6.6；③当P 在CE 上时，∴（10+8+5﹣2x ）×8＝32，解得：x ＝7.5＜（10+8+5），x ＝7.5时2x ＝15，P 在BC 边，∴舍去；答：4或6.6．18．解：∵AD 为△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×6＝12，∴×AE •BC ＝12，即4•BC ＝12，∴BC ＝6．19．解：设C 点的纵坐标为t ，∵A （﹣1，0），B （3，0），∴AB ＝4，word 版初中数学 21 / 21 ∵S △ABC ＝×4×|t |＝6，解得|t |＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，3）或（3，3）或（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）．20．解：（1）在平面直角坐标系中画出△ABC 如图所示：（2）△ABC 的面积＝6×6﹣×4×2﹣﹣＝36﹣4﹣6﹣12＝14．。
2021年九年级数学中考复习分类专题：三角形面积问题综合
2021年九年级数学中考复习分类专题：三角形面积问题综合1．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：162．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线3．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．35．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝BC，点G是AB上一点，点H 在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，D 为△ABC 内部一点，E 、F 两点分别在AB 、BC 上，且四边形DEBF 为矩形，直线CD 交AB 于G 点．若CF ＝6，BF ＝9，AG ＝8，则△ADC 的面积为何？（ ）A ．16B ．24C ．36D ．547．在平面直角坐标系xOy 中，若A 点坐标为（﹣3，3），B 点坐标为（2，0），则△ABO 的面积为（ ） A ．15B ．7.5C ．6D ．38．如图中，∠ACB ＝90°，AC ＞BC ，分别以△ABC 的边AB 、BC 、CA 为一边向△ABC 外作正方形ABDE 、BCMN 、CAFG ，连接EF 、GM 、ND ，设△AEF 、△CGM 、△BND 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论正确的是（ ）A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 1＝S 2＜S 3C ．S 1＝S 3＜S 2D ．S 2＝S 3＜S 19．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF ﹣S △BEF ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A 、B 两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2 B．3 C．4 D．511．如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形移动的距离AA1是．12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2．（结果保留一位小数）14．如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为．15．如图．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，则图中阴影部分的面积为16．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，P n﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且＝＝，连接MP1，MP2，MP3，…，MP n﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NP n﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MP n﹣1与NP n﹣2相交于点D n﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△ND n﹣1Pn﹣1的面积和是．（用含有S与n的式子表示）17．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC ，P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ．经探究知＝S △ABC ，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD ，如图2，Q 1，Q 2三等分边DC ．请探究与S 四边形ABCD 之间的数量关系．问题3：如图3，P 1，P 2，P 3，P 4五等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4五等分边DC ．若S 四边形ABCD＝1，求．问题4：如图4，P 1，P 2，P 3四等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3四等分边DC ，P 1Q 1，P 2Q 2，P 3Q 3将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．请直接写出含有S 1，S 2，S 3，S 4的一个等式．18．探索：在如图1至图3中，△ABC 的面积为a ．（1）如图1，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD ＝BC ，连接DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1＝ （用含a 的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD ＝BC ，AE ＝CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2＝ （用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图2的基础上延长AB 到点F ，使BF ＝AB ，连接FD 、FE ，得到△DEF （如图3）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3＝ （用含a 的代数式表示）． 发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF （如图3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 倍．应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？参考答案1．解：∵AD ：DB ＝CE ：EB ＝2：3，∴S △BDC ：S △ADC ＝3：2，S △BDE ：S △DCE ＝3：2，∴设S △BDC ＝3x ，则S △ADC ＝2x ，S △BED ＝1.8x ，S △DCE ＝1.2x ， 故△DBE 与△ADC 的面积比为：1.8x ：2x ＝9：10． 故选：C ．2．解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形， ∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分． 故选：A ．3．解：设空白出图形的面积为x ， 根据题意得：m +x ＝9，n +x ＝6， 则m ﹣n ＝9﹣6＝3． 故选：B ．4．解：连接AC ，过B 作EF 的垂线交AC 于点G ，交EF 于点H ， ∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，∴AC ＝＝＝4，∵△ABC 为等腰三角形，BH ⊥AC ， ∴△ABG ，△BCG 为等腰直角三角形， ∴AG ＝BG ＝2∵S △ABC ＝•AB •BC ＝×2×2＝4，∴S △ADC ＝2， ∵＝2，∵△DEF ∽△DAC ，∴GH ＝BG ＝， ∴BH ＝， 又∵EF ＝AC ＝2，∴S △BEF ＝•EF •BH ＝×2×＝， 故选C ．方法二：S △BEF ＝S 四边形ABCD ﹣S △ABE ﹣S △BCF ﹣S △FED ， 易知S △ABE +S △BCF ＝S 四边形ABCD ＝3，S △EDF ＝，∴S △BEF ＝S 四边形ABCD ﹣S △ABE ﹣S △BCF ﹣S △FED ＝6﹣3﹣＝． 故选：C ．5．解：设△ABC 底边BC 上的高为h ，△AGH 底边GH 上的高为h 1，△CGH 底边GH 上的高为h 2，则有h ＝h 1+h 2．S △ABC ＝BC •h ＝16，S 阴影＝S △AGH +S △CGH ＝GH •h 1+GH •h 2＝GH •（h 1+h 2）＝GH •h ．∵四边形BDHG 是平行四边形，且BD ＝BC ， ∴GH ＝BD ＝BC ，∴S 阴影＝×（BC •h ）＝S △ABC ＝4． 故选：B ．6．解：S △ADC ＝S △AGC ﹣S △ADG ＝×AG ×BC ﹣×AG ×BF＝×8×（6+9）﹣×8×9＝60﹣36＝24．故选：B．7．解：如图，根据题意得，△ABO的底长OB为2，高为3，∴S＝×2×3＝3．△ABO故选：D．8．解：作ER⊥FA交FA的延长线于R，作DH⊥NB交NB的延长线于H，作NT⊥DB交DB的延长线于T，设△ABC的三边长分别为a、b、c，∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵AE＝AB，∠ARE＝∠ACB，∠EAR＝∠CAB，∴△AER≌△ABC，∴ER＝BC＝a，FA＝b，＝ab，∴S1S＝ab，2同理可得HD＝AR＝AC，∴S1＝S2＝S3＝．故选：A．9．解：∵S△ABC＝12，EC＝2BE，点D是AC的中点，∴S△ABE＝＝4，S△ABD＝＝6，∴S△ABD ﹣S△ABE，＝S△ADF ﹣S△BEF，＝6﹣4，＝2．故选：B．10．解：C点所有的情况如图所示：故选：C．11．解：∵把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，∴AC∥A1C1，∴△ABC∽△A1BD，∵S△A1BD ：S四边形ACDA1＝4：5，∴S：S△ABC＝4：9，∴A1B：AB＝2：3，∵AB＝4，∴A1B＝，∴AA1＝4﹣＝．故答案为：．12．解：∵S△ABC ＝×2×4＝4，S△ABD＝2×5﹣×5×1﹣×1×3﹣×2×2＝4，∴S△ABC ＝S△ABD，故答案为：＝．13．解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．故答案为：1.9．14．解：设B（m，n），∵B在x轴上方，∴n＞0，∵点A的坐标为（5，0），∴OA＝5，∵△OAB的面积＝5•n＝，∴n＝3，∴B（m，3），由图形的对称性，设m≥，①当m＝5时，可得△OAB内部的整数点4个，②当m≥且m≠5时，OB的直线解析式y＝x，AB的直线解析式y＝x﹣设直线y＝2与直线OB与直线AB分别交于点C，D，∴C（，2），D（，2），∴CD＝，∴△OAB内部（不含边界）直线y＝2上的整点的个数为1或2，同理可得，△OAB内部（不含边界）直线y＝1上的整点的个数为3或4，综上所述，△OAB内部（不含边界）的整点的个数为4或5或6．故答案为4或5或6；15．解：如图，作DH⊥BC于H，∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，∠DBC＝∠ABD＝45°，∵DE⊥BD，∴∠DEB＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，设DH＝BH＝EH＝a，∵DH∥AB∴△CDH∽△CAB，∴，∵AD＝1，AC＝3，∴，∴AB ＝a ，CE ＝a ，∵AB 2+BC 2＝AC 2， ∴，， ∴图中阴影部分的面积＝． 故答案为：1．16．解：连接MN ，设BN 交MP 1于D 1，MP 2交NP 1于D 2，MP 3交NP 2于D 3． ∵＝＝，∴MN ∥BC ， ∴＝＝，∵点P 1，P 2，P 3，…，P n ﹣1是边BC 的n 等分点，∴MN ＝BP 1＝P 1P 2＝P 2P 3，∴四边形MNP 1B ，四边形MNP 2P 1，四边形MNP 3P 2都是平行四边形，易知S △ABN ＝•S ，S △BCN ＝•S ，S △MNB ＝•S ， ∴＝＝＝•S ∴S 阴＝S △NBC ﹣（n ﹣1）•﹣＝•S ﹣（n ﹣1）••S ﹣S ＝•S ，故答案为•S ．17．解：问题1，证明：如图1，连接P 1R 2，R 2B ，在△AP 1R 2中，∵P 1R 1为中线，∴S △AP 1R 1＝S △P 1R 1R 2， 同理S △P 1R 2P 2＝S △P 2R 2B ，∴S △P 1R 1R 2+S △P 1R 2P 2＝S △ABR 2＝S 四边形P 1P 2R 2R 1，由R 1，R 2为AC 的三等分点可知，S △BCR 2＝S △ABR 2，∴S △ABC ＝S △BCR 2+S △ABR 2＝S 四边形P 1P 2R 2R 1+2S 四边形P 1P 2R 2R 1＝3S 四边形P 1P 2R 2R 1，∴S 四边形P 1P 2R 2R 1＝S △ABC ；问题2，S 四边形ABCD ＝3S 四边形P 1Q 1Q 2P 2．理由：如图2，连接AQ 1，Q 1P 2，P 2C ，在△AQ 1P 2中，∵Q 1P 1为中线，∴S △AQ 1P 1＝S △P 1Q 1P 2，同理S △P 2Q 1Q 2＝S △P 2Q 2C ，∴S △P 1Q 1P 2+S △P 2Q 1Q 2＝S 四边形AQ 1CP 2＝S 四边形P 1Q 1Q 2P 2，由Q 1，P 2为CD ，AB 的三等分点可知，S △ADQ 1＝S △AQ 1C ，S △BCP 2＝S △AP 2C ，∴S △ADQ 1+S △BCP 2＝（S △AQ 1C +S △AP 2C ）＝S 四边形AQ 1CP 2，∴S 四边形ABCD ＝S △ADC +S △ABC ＝S 四边形AQ 1CP 2+S △ADQ 1+S △BCP 2＝3S 四边形P 1Q 1Q 2P 2，即S 四边形ABCD ＝3S 四边形P 1Q 1Q 2P 2；问题3，解：如图3，由问题2的结论可知，3S 2＝S 1+S 2+S 3，即2S 2＝S 1+S 3，同理得2S 3＝S 2+S 4，2S 4＝S 3+S 5，三式相加得，S 2+S 4＝S 1+S 5，∴S 1+S 2+S 3+S 4+S 5＝2（S 2+S 4）+S 3＝2×2S 3+S 3＝5S 3，即S 四边形P 2Q 2Q 3P 3＝S 四边形ABCD ＝；问题4，如图4，关系式为：S 2+S 3＝S 1+S 4．18．解：（1）∵BC ＝CD ，∴△ACD 和△ABC 是等底同高的，即S 1＝a ；（2）2a ；理由：连接AD ，∵CD ＝BC ，AE ＝CA ，∴S △DAC ＝S △DAE ＝S △ABC ＝a ，∴S 2＝2a ；（3）结合（2）得：2a ×3＝6a ；发现：扩展一次后得到的△DEF 的面积是6a +a ＝7a ，即是原来三角形的面积的7倍． 应用：拓展区域的面积：（72﹣1）×10＝480（m 2）．。
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2021年中考数学九年级复习微专题专项课时练：三角形的面积（选择题）（一）1．已知坐标平面内三点D（5，4），E（2，4），F（4，2），那么△DEF的面积为（）A．3 B．5 C．6 D．72．如图，在正方形的网格中，若小正方形的边长为1，AB、BC、CD位置如图所示，则△ABC的面积为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．33．在△ABC中，D是BC上的点，且BD：DC＝2：1，S△ACD＝12，那么S△ABC等于（）A．30 B．36 C．72 D．244．三角形ABC中，A（﹣1，0），B（5，0），C（2，5），则三角形ABC的面积为（）A．30 B．15 C．20 D．105．如图，在△ABC中，AD，CH分别是高线和角平分线，交点为E，已知CA＝4，DE＝1，则△ACE的面积等于（）A．8 B．6 C．4 D．26．一个三角形三条高的比是6：4：3，那么三条高所在的边的长度之比为（）A．6：4：3 B．3：4：6 C．2：3：4 D．1：2：37．已知：a，b，c是△ABC的三边，且a：b：c＝4：5：6，则它们的对应高h a：h b：h c 的比是（）A．4：5：6 B．6：5：4 C．15：12：10 D．10：12：15 8．如图，求出四边形ABCD的面积（）A．16.5 B．18.5．C．17 D．189．能把三角形的面积两等分的线段是三角形的（）A．高B．中线C．角平分线D．以上都不对10．如图，是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积为（）A．25 B．12.5 C．9 D．8.511．如图，△ABC的面积是12cm2，高AD为3cm，则BC的长是（）A．8cm B．4cm C．9cm D．6cm12．如图，已知点A（3，2），B（6，0），C是中点，则三角形AOC面积为（）A．3 B．5 C．6 D．413．已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（）A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和514．如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA 至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A6B6C6，则其面积S6为（）A．186B．195C．196D．18515．已知点A（0，4），B点在x轴上，AB与坐标轴围成三角形面积为2，则B点坐标为（）A．B（1，0）或（﹣1，0）B．B（1，0）C．B（﹣1，0）D．B（0，﹣1）或B（0，1）16．已知三角形三边的比为2：4：5，则对应的边上的高的比为（）A．2：4：5 B．5：4：2 C．10：5：4 D．4：5：10 17．如图，△ABC的底边边长BC＝a，当顶点A沿BC边上的高AD向点D移动到点E，使DE＝AE时，△ABC的面积将变为原来的（）A．B．C．D．18．如图所示，在△ABC中，M是边AB的中点，N是边AC上的点，且，CM与BN 相交于点K，若△BCK的面积等于1，则△ABC的面积等于（）A．3 B．C．4 D．19．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成7个区域的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，那么恒成立的关系式是（）A．S2+S6＝S4B．S1+S7＝S4C．S2+S3＝S4D．S1+S6＝S420．已知△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）A．24 B．20 C．15 D．不确定参考答案1．解：∵点D、E的纵坐标相等，∴DE∥x轴，且DE＝5﹣2＝3，由点F、E的纵坐标，可得△DEF的高为4﹣2＝2，∴△DEF的面积为×3×2＝3．故选：A．2．解：如图，S△ABC＝S矩形ADEF﹣S△AFB﹣S△BEC﹣S△ACD＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5．故选：C．3．解：根据三角形的面积公式，得S：S△ACD＝BD：DC＝2：1．△ABD又S△ACD＝12，∴S△ABD＝24．∴S△ABC＝36．故选：B．4．解：根据已知可得：AB＝5﹣（﹣1）＝6，三角形的高是5﹣0＝5，∴三角形ABC的面积＝5×6÷2＝15．故选：B．5．解：过点E作EF⊥AC于F，∵CE平分∠ACB，ED⊥BC，EF⊥AC，∴EF＝DE＝1，∴△ACE的面积＝×AC×EF＝2，故选：D．6．解：三条高的比是6：4：3，可以设高是6x，则另两高是4x，3x，设对应的三边分别是a，b，c，则三角形的面积＝•6x•a＝•4x•b＝•3x•c，因而a：b：c＝2：3：4，三条高所在的边的长度之比为2：3：4．故选：C．7．解：设a＝4m，b＝5m，c＝6m，∵S△ABC＝S＝ah a＝bh b＝ch c，∴ah a＝bh b＝ch c＝2S，又∵a＝4m，b＝5m，c＝6m，∴h a：h b：h c＝：：＝15：12：10．故选：C．8．解：解法一：将四边形ABCD分割成如上图所示的直角三角形和直角梯形．由各顶点坐标可知DE＝3，CE＝2，EF＝3，CF＝5，BF＝2，AF＝4．所以四边形ABCD的面积为DE×CE+BF×CF+×（DE+AF）×EF＝×3×2+×5×2+×（3+4）×3＝18.5．解法二：如图，分别过点A、D作平行于y轴的直线，与过点C平行于x轴的直线交于点E、F．由各顶点坐标可知AB＝6，AE＝5，CE＝4，EF＝1，FC＝3，DF＝2．所以四边形ABCD的面积为（CE+AB）×AE﹣DF×CF﹣（DF+AE）×EF＝×（4+6）×5﹣×2×3﹣×（2+5）×1＝18.5．故选：B．9．解：∵三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高，∴分成的两三角形的面积相等．故选：B．10．解：四边形的面积＝5×5﹣×1×2﹣×3×3﹣×2×3﹣×2×4，＝25﹣1﹣4.5﹣3﹣4，＝25﹣12.5，＝12.5．故选：B．11．解：∵S△ABC＝•BC•AD，∴12＝×3×BC，解得BC＝8．故选：A．12．解：∵点A（3，2），B（6，0），∴OB＝6，A到BO的距离为2，∴S△AOB＝×6×2＝6，∵C是中点，∴三角形AOC面积为：S△AOB＝×6＝3．故选：A．13．解：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a＝，b＝，c＝，又∵a﹣b＜c＜a+b，∴＜c＜+，即＜＜S，解得3＜h＜6，∴h＝4或h＝5，故选：D．14．解：连接A1C，根据A1B＝2AB，得到：AB：A1A＝1：3，因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，则△A1B1B的面积是6a，同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a，△A1B1C1的面积是19a，即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积192，依此类推，S6＝196．故选：C．15．解：∵三角形的面积＝×4×|OB|，三角形面积为2，∴|OB|＝1，∴B（1，0）或（﹣1，0）．故选：A．16．解：根据三角形的面积不变，则三角形的三条高与三条边的比成反比，对应的边上的高的比为：：＝10：5：4．故选：C．17．解：∵DE＝AE，AD＝AE+DE，∴DE＝AD，△ABC原来的面积＝a•AD，变化后的面积＝a•DE＝a•AD，∴△ABC的面积将变为原来的．故选：B．18．解：连接AK，知＝，于是三角形AKC的面积为1．又因＝2，于是三角形AKB的面积为2．故三角形ABC的面积为1+1+2＝4．故选：C．19．解：过A作AE⊥DC于E，过M作MH⊥DC于H，过B作BQ⊥DC于Q，则AE∥MH∥BQ，∵M为AB中点，∴H为EQ中点，即MH是梯形AEQB的中位线，∴2MH＝AE+BQ，∵S3+S4+S6＝S△MDC＝×DC×MH，S+S6＝S△BNC＝×NC×BQ，7S+S3＝S△ADN＝×DN×AE，1∵N为DC中点，∴DN＝CN，∴S7+S6+S1+S3，＝×NC×BQ+×DN×AE，＝DN×（AE+BQ），＝DN×2MH，＝DN×MH，＝CD×MH，∴S7+S6+S1+S3＝S3+S4+S6，∴S4＝S1+S7；故选：B．20．解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，∵周长为24，AB＝10，∴AC+BC＝14，AC2+BC2＝102，∴2×AC×BC＝（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）＝142﹣102＝4×24，∴S△ABC＝AC×BC＝24．故选：A．。