江西省2021年高二数学上学期期末考试试题 文(含解析)
高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题（仅有一个选项是正确的）1.已知复数z 满足()3412i z i -=+，则复数z 为（ ）． A. 1255i -- B. 1255i -+ C.1255i + D.1255i - 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法计算可得．【详解】解：(34)12i z i -=+，(34)(34)(34)(12)i i z i i ∴+-=++，25510z i ∴=-+， 则1255z i =-+． 故选：B ．【点睛】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2.函数2sin cos y x x =的导数为（ ）． A. cos y x '=B. sin 2y x '=-C. ()222sin cos y x x '=- D. 2cos 2y x '=【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则求导即可． 【详解】解：2sin cos y x x =222(cos sin )2cos2y x x x ∴'=-=， 故选：D ．【点睛】本题考查导数的运算法则，属于基础题．3.已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y >不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.4.“1a <-”是“直线10ax y +-=的倾斜角大于4π”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-.若1a <-，得1tan θ>，可知倾斜角θ大于4π； 由倾斜角θ大于4π得1a ->，或0a -<，即1a <-或0a >， 所以“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的充分而不必要条件，故选A.5.函数ln y x x =的单调递减区间是 （ ） A. 1(,)e -+∞ B. 1()e --∞,C. 1(0)e -,D. (,)e +∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得()f x '和定义域，由()0f x '<，即可求解函数的递减区间. 【详解】由题意，可得()ln 1,(0)f x x x =+>'，令()0f x '<，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0)e -,.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用()0f x '<求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.若函数43219(),(,)42f x x ax x b a b R =++-∈仅在0x =处有极值，则a 的取值范围为（ ） A. [2,2]- B. [1,1]- C. (2,2)- D. [1,4]-【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，要保证函数()f x 仅在0x =处有极值，必须满足'()f x 在0x =两侧异号．【详解】由题意，322'()39(39)f x x ax x x x ax =++=++ 要保证函数()f x 仅在x ＝0处有极值，必须满足'()f x 在x ＝0两侧异号，所以要2390x ax ++≥恒成立，由判别式有：2(3)360a -≤，∴2936a ≤ ∴22a -≤≤，∴a 的取值范围是[2,2]- 故选A ．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7.下列命题正确的是( )A. “1x <”是“2320x x -+>”的必要不充分条件B. 若给定命题:p x ∃∈R ,使得210x x +-<,则:p x ⌝∀∈R ,均有210x x +-≥C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题D. 命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+=,则2x ≠” 【答案】B 【解析】因为2320x x -+>，所以2,1x x ><或，因此“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；命题:p x R ∃∈,使得210x x +-<的否定为x R ∀∈,均有210x x +-≥； 若p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个为假命题；命题“若2320x x -+=,则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠,则2x ≠”； 选B. 8.曲线1cos {2sin x y θθ=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）A. 在直线2y x =上B. 在直线2y x =-上C. 在直线1y x =-上D. 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.9.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）A. sin y x =B. ln y x =C. xy e =D. 3y x =【答案】A 【解析】 【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件；当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝e x 时，y ′＝e x ＞0恒成立，不满足条件； 当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件； 故选A ．考点：导数及其性质.10.已知函数()()ln f x x kx k R =-∈，若()f x 在定义域内不大于0，则实数k 的取值范围为（ ）． A. 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. ⎫+∞⎪⎭D.⎫+∞⎪⎭【答案】B 【解析】 【分析】依题意()ln 0f x x kx =-≤在定义域()0,∞+上恒成立，参变分离得到即ln xk x≥在()0,∞+上恒成立，构造函数求其最大值.【详解】解：依题意()ln 0f x x kx =-≤在定义域()0,∞+上恒成立； 即ln xk x≥在()0,∞+上恒成立 令()ln xg x x=，()0,x ∈+∞ ()21ln xg x x -'∴=令()0g x '=解得x e =当()0,x e ∈时()0g x '>即()g x 在()0,e 上单调递增， 当(),x e ∈+∞时()0g x '<即()g x 在(),e +∞上单调递减， 所以()g x 在x e =取得极大值，也就是最大值()()max ln 1e g x g e e e∴=== 1k e∴≥故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，属于基础题.11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，当0x >时，有()()0xf x f x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（ ） A. (2,0)(2,)-+∞B. (2,0)(0,2)-C. (,2)(2,)-∞-+∞D. (,2)(0,2)-∞-⋃【答案】D 【解析】 【分析】先令函数()()f x g x x =，对其求导，由题意，得到()()f x g x x=在()0,∞+上单调递减；再由奇偶性的概念，判断()()f x g x x =为偶函数，得到()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增；根据(2)0f =，求得(2)(2)0-==g g ，分类讨论，求出()0f x >的解集，即可得出结果.【详解】令()()f x g x x =，则2()()()'-'=f x x f x g x x ， 因为当0x >时，有()()0xf x f x '-<恒成立，所以2()()()0'-'=<xf x f x g x x ；因此函数()()f x g x x=在()0,∞+上单调递减； 又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()()---===--f x f x g x g x x x， 即函数()()f x g x x =是偶函数；所以函数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，又(2)0f =，所以(2)(2)(2)02-===f g g ， 因此，当2x >时，()()(2)0=<=f x g x g x ，此时：()0f x <； 当02x <<时，()()(2)0=>=f x g x g x，此时：()0f x >；当20x -<<时，()()(2)0=>-=f x g x g x ，此时：()0f x <； 当2x <-时，()()(2)0=<-=f x g x g x，此时()0f x >； 综上，当02x <<或2x <-时，满足()0f x >；又因为不等式2()0x f x >可化为()0f x >，因此不等式2()0x f x >的解集为：(,2)(0,2)-∞-⋃. 故选：D【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.12.已知函数()()()2ln 20f x x ax a x a =+++>，()2x xg x e=+，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,1上有实数根，则实数a 的取值范围为（ ）（其中2.71828e =为自然对数的底数）．A. 10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 10,2e ⎛⎤⎥⎝⎦D.1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】判断()g x 的单调性，求出0()g x 的范围，求出()f x 的导数，根据方程有根列不等式组求出a 的范围． 【详解】解：1()xxg x e -'=， ∴当1x <时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，()g x ∴在(0,1)上单调递增，在(]1,2上单调递减，又(0)2g =， ()112g e =+， ()2222g e =+，(]00,2x ∈，012()2g x e∴<+．()()()2ln20 f x x ax a x a=+++>1()22(0)f x ax a xx∴'=+++>，a>，()0f x'>，故()f x在(]0,1上单调递增，且当0x→时，()f x→-∞要使关于x的方程()()0f xg x=在(]0,1上有实数根()()11ln12222f a a ae∴=+++=+≥+解得12ae≥故选：D．【点睛】本题考查了函数单调性，极值计算，属于中档题．二、填空题（把正确答案填写在横线上．）13.20191i1i--=_________．【答案】i．【解析】【分析】由41i=结合复数的除法运算求解即可.【详解】解法一：2019321i1i1i(1i)2i i1i1i1i(1i)(1i)2--++=====----+．解法二：3221i(1i)(1i i)1i i i1i1i--++==++=--．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题. 14.曲线()n y x n N=∈在2x=处的导数为12，则n=______．【答案】3n=【解析】【分析】求出函数线n y x=的导函数，把2x=代入导函数解析式可求n的值．【详解】解：由ny x=，得1ny nx-'=，又曲线ny x =在2x =处的导数为12，所以1212n n -=，3n =． 故答案为：3．【点睛】本题考查了导数的运算，考查了基本初等函数的导数公式，属于基础题．15.命题p ：“[]21,2,20x x x m ∀∈--->”，命题q ：“[]0201,2,log 0x x m ∃∈+>”，若“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】118m -<<- 【解析】 【分析】先转化命题P 得1,8m <-再化简命题q 得m ＞-1.再根据题意得解.【详解】因为[]21,2,20x x x m ∀∈--->，所以22m x x <-对于[1,2]x ∈-恒成立，所以1,8m <-[]0201,2,log 0x x m ∃∈+>，所以m ＞-20log x ，所以m ＞-1.因为“p q ∧”为真命题，所以1,8m <-且m ＞-1，所以118m -<<-. 故答案为118m -<<-【点睛】本题主要考查不等式的恒成立和存在性问题，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数．若()x f x e x =+是()0,x ∈+∞上k 倍值函数，则实数k 的取值范围是______． 【答案】()1,e ++∞ 【解析】 【分析】可看出()f x 在定义域R 内单调递增，从而可得出2a e a ka +=，2b e b kb +=，即得出a ，b 是方程xe x kx +=的两个不同根，从而得出1x e k x =+，可设()1xe g x x=+，通过求导，根据导数符号可得出()g x 的极小值为()11g e =+，并判断出()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，并得出x 趋向0时，()g x 趋向正无穷，x 趋向正无穷时，()g x 趋向正无穷，这样即可得出1k e >+时，方程x e x kx +=有两个不同根，即得出k 的取值范围． 【详解】解：()f x 在定义域R 内单调递增，()f a ka ∴=， ()f b kb =，即a e a ka +=，b e b kb +=，即a ，b 为方程x e x kx +=的两个不同根，∴1xe k x =+，设()1x e g x x =+，2(1)()x e x g x x -'=，01x ∴<<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>，1x ∴=是()g x 的极小值点，()g x ∴的极小值为：()11g e =+，又x 趋向0时，()g x 趋向+∞；x 趋向+∞时，()g x 趋向+∞，1k e ∴>+时，y k =和()y g x =的图象有两个交点，方程1xe k x=+有两个解，∴实数k 的取值范围是(1,)e ++∞．故答案为：(1,)e ++∞．【点睛】本题考查了对k 倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤）17.设命题():220p a x a a -≤≤+>，2:60q x x +-≤．（1）若1a =，且p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[)(]3,12,3-⋃；（2）5a ≥ 【解析】 【分析】（1）1a =时，:13p x ≤≤； 2:60q x x +-，解得32x -．根据p q ∧为假，p q ∨为真，可得p 与q 必然一真一假．（2）q 是p 的充分不必要条件，则2322a a--⎧⎨+⎩，0a >，解得a 范围．【详解】（1）当1a =时，:13p x ≤≤，因为p q ∧为假，p q ∨为真，所以“p ，q ”一真一假．p 真q 假时，得1332x x x ≤≤⎧⎨-⎩或，∴23x <≤．p 假q 真时，得1332x x x ⎧⎨-≤≤⎩或，∴31x -≤<．综上，实数x 的取值范围是[)(]3,12,3-⋃． （2）由260x x +-≤得32x -≤≤ 若q 是p 的充分不必要条件，则[][]3,22,2a a --+，即023a a >⎧⎨-≤-⎩，所以5a ≥．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为()2cos sin ρθθ=+．()1求C 的直角坐标方程；()2直线l ：1231x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求EA EB +的值．【答案】（Ⅰ） (x －1)2＋(y －1)2＝2． （Ⅱ）|EA|＋|EB|＝【解析】分析：（1）根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将极坐标方程化为直角坐标方程（2）将直线参数方程代入圆方程，根据参数几何意义以及韦达定理求结果. 详解： (1)在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)， 则C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得t 2－t －1＝0， 点E 所对的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝＝.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +. (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. 19.设函数()()1,f x ax a b Z x b=+∈+，曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为3y =．（1）求()f x 的解析式；（2）求曲线()y f x =上任一点()()22f ,的切线与直线1x = 直线y x =所围的三角形的面积．【答案】（1）()11f x x x =+-；（2）2 【解析】 【分析】1）欲求在点()()22f ,处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在2x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（2）先在曲线上任取一点0(x ，001)1x x +-．利用导数求出过此点的切线方程为，令1x =得切线与直线1x =交点．令y x =得切线与直线y x =交点．从而利用面积公式求得所围三角形的面积．【详解】解：（1）21()()f x a x b '=-+，于是2123210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或9483a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因a ，b Z ∈，故1()1f x x x =+-．（2）在曲线上任取一点0001,1x x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭． 由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦． 令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为0011,1x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为()0021,21x x --． 直线1x =与直线y x =的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为000001112|1||211||||22|22121x x x x x +---=-=--．【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题． 20.已知函数()()()354log 0,1x ax a af x a a -+-=>≠．（1）当3a =时，方程()log a f x k =有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()9,13k ∈；（2）4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）当3a =时令()3354311g x x ax a x x =-+-=-+，利用导数求出函数的极值，即可得到参数的取值范围.（2）分01a <<和1a >两种情况讨论，参变分离即可求出参数的取值范围. 【详解】解：（1）当3a =时令()3354311g x x ax a x x =-+-=-+，()233g x x '∴=-令()()()2333110g x x x x '=-=+-=1x ∴=-或1x =，易得：()()113g x g =-=极大值，()()19g x g ==极小值， 欲使方程()log a f x k =有三个不同的实数解， ∴()9,13k ∈．（2）令()354g x x ax a =-+-，∵()f x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， ①若01a <<，则()g x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，即()230g x x a '=-≤在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， 即23a x ≥在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，∴213324a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，又因为()0gx >在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，()()405405g x g a a >=-≥⇒≥，此时，451a ≤<． ②若1a >，则()g x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，须使()230g x x a '=-≥在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， 即23a x ≤在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立，即0a ≤，不合题意，故舍去． 综上，4,15a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，属于中档题.21.如图，椭圆G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F ：x 2+y 2﹣2x ＝0的圆心，右顶点是圆F 与x 轴的一个交点．已知椭圆G 与直线l ：x ﹣my ﹣1＝0相交于A 、B 两点． （I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求△AOB 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=, （Ⅱ）32.【解析】 【分析】（I ）设出椭圆方程，圆F 的标准方程为（x ﹣1）2+y 2＝1，圆心为F （1，0），圆与x 轴的交点为（0，0）和（2，0），从而可求a ＝2，半焦距c ＝1，由此能求出椭圆方程；（Ⅱ）直线与椭圆方程联立．利用韦达定理，求出S △AOB ，利用换元法及导数，即可求得S △AOB 的最大值．【详解】解：（I ）设椭圆方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），圆F 的标准方程为（x ﹣1）2+y 2＝1，圆心为F （1，0），圆与x 轴的交点为（0，0）和（2，0）， 由题意a ＝2，半焦距c ＝1， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3，∴椭圆方程为22143x y +=．（Ⅱ）设A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ），由2214310x y x my ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩，消元可得（3m 2+3）y 2+6my ﹣9＝0 ∴1y +22634m y m =-+，122934y y m ⋅=-+ ∴|12y y -|=∴S △AOB 12=|OF ||12y y -|=t =，则t ≥1，m 2＝t 2﹣1 ∴S △AOB 2631tt =+ ∴S ′△AOB ()2221331t t-=+∵t ≥1，∴S ′△AOB ＜0∴S △AOB 在t ∈[1，+∞）上是减函数 ∴当t ＝1时，S △AOB 取得最大值，最大值为32． 【点睛】本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，正确表示三角形的面积是关键． 22.已知函数()()1ln f x a x x =--，()xg x e =．（1）讨论()y f x =的单调性；（2）若函数()()()F x f x g x =⋅在[),e +∞上单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）211a e e≥+ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论可得； （2）()()()F x f x g x =⋅在[),e +∞上单调递增，即()1ln 0x F x ax x e x ⎛⎫'=--⋅≥ ⎪⎝⎭在[),e +∞恒成立，即1ln 0ax x x --≥恒成立，参变分离，利用导数求出单调区间，即可求出参数的取值范围.【详解】解：（1）()y f x =的定义域为()0,∞+，则求导可得()1ax f x x-'=， 当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，所以()y f x =在()0,∞+上递减；当0a >时，()1a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=，则()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增． （2）()()()F x f x g x =⋅()()1ln xF x a x x e ∴=--⋅⎡⎤⎣⎦又因为()()()F x f x g x =⋅在[),e +∞上单调递增()1ln 0x F x ax x e x ⎛⎫'∴=--⋅≥ ⎪⎝⎭在[),e +∞恒成立，所以1ln 0ax x x--≥， 2ln 1x a x x∴≥+ 令()2ln 1x h x x x =+，则有()()31ln 2x x h x x--'=， ∴()0h x '<()h x ∴在[),e +∞上为减函数，则()()2max 11h x h e e e ==+，故211a e e≥+．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于中档题.。
2021年高三上学期联考数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期联考数学（文）试题含答案一、选择题（5×10=50分）1. 若数列｛a n｝的前n项和为S n＝kq n－k(k≠0)，则这个数列的特征是( )(A)等比数列(B)等差数列(C)等比或等差数列 (D)非等差数列2. 已知，则的值为(A) (B) (C) (D)3. 数在点处的切线方程为（）(A) (B) (C) (D)4. 设是等差数列的前项和，若，则＝( )(A)1 (B)－1 (C)2 D.5.若变量满足约束条件，则的最大值为(A) (B) (C) (D)6. 在A B C中，a，B，c分别是角A，B，C的对边，若，B=A．45°或135° (B)45° (C)135°(D) 以上答案都不对7. 已知等比数列的前三项依次为，，，则（）(A) (B) (C) (D)8. 设是正实数，以下不等式恒成立的序号为（）① ，② ，③ ，④(A) ②③ (B) ①④(C) ②④ (D) ①③9. 若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=(A)16 (B)8 (C)32 (D)6410. 已知向量()()ABC,cos30120cos的形状为,120,sin45sin︒∆=︒,=则︒︒(A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形二、填空题（5×5=25分）11. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为.12. 若数列满足，，则它的通项．到．其中正确命题的序号是_______(把你认为正确的都填上)15. 设G 是△ABC 的重心，若∠A =120°，,则的最小值= ．三、解答题（4×12+13+14=75分）16. 中，分别为内角的对边且，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（1）求的大小；（2）若，试判断的形状．17. （12分）在中，已知．（1）求证：tanB=3tanA （2）若求A 的值．18．（12分）已知,)sin ,cos sin (),cos 32,cos sin (x x x b x x x a ωωωωωω+-=--=设函数f (x )=的图像关于 对称,其中，为常数,且∈ （1）求函数f (x )的最小正周期T ； （2）函数过求函数在上取值范围。
江西省景德镇一中2021-2022高二数学上学期期中试题 理(含解析)
江西省景德镇一中2021-2022高二数学上学期(xuéqī)期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.下列命题正确的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则2.已知两个等差数列（和）的前n项和分别为A n和B n，且，则=（）A. B. C. D.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）A. 11B. 10C. 9D. 84.设实数x，y满足约束条件，则z=-3x+y的最小值是（）A. 1B.C.D.5.若关于x的不等式|ax-2|＜3的解集为，则a=（）A. B. 2 C. 3 D.6.在等比数列{a n}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，则a8的值为（）A. 或B.C.D. 或7.方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，则实数a的取值范围为（）A. B. 或 C. D.8.已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则2a-4b的取值范围是（）A. B. C. D.9.数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a7=（）A. B. C. D.10.数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N*都有a n+1=a n+n+1，则=（）A. B. C. D.11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，则的最小值为（）A. 4B. 3C.D. 212.若数列{a n}，{b n}的通项公式分别是，且a n＜b n对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.不等式的解集为______．14.数列{a n}中，a1=-60，且a n+1=a n+3，则这个数列的前40项的绝对值之和为______．15.下列结论正确的序号是______．①当x≥2时，的最小值为2②当x＞0时，③当0＜x≤2时，无最大值④当x＞0且x≠1时，⑤当时，16.在数列(shùliè){a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n满足，设，数列{b n}的前n项和为T n，则满足T n≥6的最小正整数n是______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知不等式ax2-3x+2＜0的解集为A={x|1＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）=（2a+b）x-（x∈A）的最小值．18.已知函数f（x）=|2x+3|+|2x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．19.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+4，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a2n+2）log3（a n+2），求数列{b n}的前n项和T n．20.设f（x）=ax2+（1-a）x+a-3．（1）若不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）．21.已知数列{a n}满足（1-）（1-）…（1-）=，n∈N*，S n是数列{a n}的前n项的和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，求正整数p，q的值；（3）是否存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．22.已知数列(shùliè){a n}中，a1=1，a2=a，且a n+1=k（a n+a n+2）对任意正整数n都成立，数列{a n}的前n项和为S n．（1）若，且S2021=2021，求a；（2）是否存在实数k，使数列{a n}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，求S n．答案(dáàn)和解析1.【答案】B【解析】解：A．取a=2，b=-3满足条件，则a2＞b2不成立；B．由a＞|b|，利用不等式的基本性质可得：a2＞b2，成立；C．取a=-2，b=1满足条件a2＞b2，则a＞|b|不成立；D．a2＞b2⇔|a|＞|b|，则＞不成立．故选：B．利用不等式的基本性质或取特殊值即可判断出正误．本题考查了不等式的基本性质、取特殊值法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：依题意，数列{a n}和{b n}为等差数列，所以A9==9a5，同理B9=9b5，所以====．故选：D．因为数列{a n}和{b n}为等差数列，所以A9=9a5，B9=9b5，将转化为即可．本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项与前n项和的关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设此数列为{a n}，由题意可知为等差数列，公差为d．则S7=28，a2+a5+a8=15，则7a1+21d=28，3a1+12d=15，解得a1=1，d=1．∴a10=1+9×1=10．故选：B．设此数列为{a n}，由题意可知为等差数列，公差为d．利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析(jiě xī)】解：由题意作实数x，y满足约束条件平面区域如下，，化z=-3x+y为y=3x+z，从而可得当过点（3，1）时，有最小值，故z=3x+y的最小值为-3×3+1=-8．故选：C．由题意作平面区域，化z=-3x+y为y=3x+z，从而结合图象求最小值．本题考查了学生的作图能力及线性规划，同时考查了数形结合的思想应用．5.【答案】C【解析】解：不等式|ax-2|＜3可化为-3＜ax-2＜3，即-1＜ax＜5；当a＞0时，解不等式得-＜x＜，由不等式的解集为，得a=3；当a=0时，不等式的解集为R，不满足题意；当a＜0时，解不等式得＜x＜-，不满足题意；综上知，a=3．故选：C．去掉绝对值，不等式化为-1＜ax＜5，讨论a＞0和a=0与a＜0时，解不等式求得a的值．本题考查了含有绝对值的不等式解法问题，是基础题．6.【答案】B【解析】解：∵等比数列{a n}中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，∴a2+a14=5，a2•a14=6，解得a2和a14中，一个等于2，另一个等于3，故有a2•a14==6，∴a8=±．再根据a8=a2•q6＞0，∴a8=，故选：B．由题意利用一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，求得a8的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：令f（x）=x2-2ax+1，∵方程x2-2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，3）内，∴，∴，∴1＜a＜，∴a的取值范围为（1，）．故选：A．令f（x）=x2-2ax+1，根据条件可得，然后解出a的范围．本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，考查了数形结合思想和函数思想，属基础题．8.【答案】A【解析(jiě xī)】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=2a-4b过点A（，）时，z最小是-7，当直线z=2a-4b过点B（，）时，z最大是5，故选：A．先根据约束条件在坐标系aob中画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2a-4b表示直线在纵轴上的截距，只需求出可行域直线在纵轴上的截距最大最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1）①，当n≥2时，②，①-②得a n+1-a n=3a n，所以，所以数列{a n}是以3为首项，4为公比的等比数列．所以．所以故选：A．直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析(jiě xī)】解：数列{a n}满足a1=1，对任意n∈N*都有a n+1=a n+n+1，即有n≥2时，a n-a n-1=n，可得a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=1+2+3+…+n=n（n+1），==2（-），则=2（1-+-+…+-）=2（1-）=．故选：B．由题意可得n≥2时，a n-a n-1=n，再由数列的恒等式：a n=a1+（a2-a1）+（a3-a）+…+（a n-a n-1），运用等差数列的求和公式，可得a n，求得==2（-），2由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n-1）=2n-1．S=n+×2=n2．n∴===n+1+-2≥2-2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故选：A．a，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，1解得d．可得a n，S n．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．【解析】解：当n为奇数时，a n=-a，b n=2+，且当n增加时，b n减少；∴（b n）min=2；∵a n＜b n对任意n∈N*恒成立∴-a≤2，即a≥-2；当n为偶数时，a n=a，b n=2+，且当n增加时，b n增加；∴（b n）min=2-=；∵a n＜b n对任意n∈N*恒成立∴a＜．综上可得：-2≤a＜．故选：C．分n为奇数偶数两种情况各自求出对应的a的取值范围，再综合到一起即可．本题主要考查分类讨论思想在数列中的应用，以及数列与不等式的综合，属于基础题目．13.【答案】【解析(jiě xī)】解：由得，或，解得，∴原不等式的解集为．故答案为：．可将不等式转化为不等式组为或，解不等式组即可．本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．【解析】解：数列{a n}中，a1=-60，且a n+1=a n+3，则a n+1-a n=3（常数），故数列{a n}是以首项为a1=-60，公差为3的等差数列．所以a n=-60+3（n-1）=3n-63，当n=21时，a21=0，当0＜n≤21，|a n|=-a n，则S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=-（a1+a2+a3+…+a n）=-=．当n≥22时，|a n|=a n，则S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=-a1-a2-…-a21+a22+…+a n，=-2（a1+a2+…+a21）+（a1+a2+a3+…+a n），=-，=630+，当n=40时，=630-60=570．故答案为：570首先利用分类讨论思想的应用求出数列的求和公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】②⑤【解析】解：①当x≥2时，y=单调递增，最小值为x=2时，y=2.5，故不成立；②当x＞0时，，当x=1时成立，③当0＜x≤2时，y=，y'=，递增，x=2时，取最大值，故有最大值，④当x＞0且x≠1时，lg x可能小于0，故不成立，⑤当时，x＜0，y＜0，而，故利用基本不等式，又x不等于y，故成立．故答案为：②⑤分别利用对勾函数y=的单调性和最值，y=x-的单调性，基本不等式判断即可．考查了对勾函数y=的性质，y=x-的性质，基本不等式的应用，基础题．16.【答案】10【解析】解：数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n满足，整理得，所以（常数），所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以，则，所以…=，所以（n+1）（n+2）≥128，所以当n≥10时，满足条件．故答案为：10．首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用对数的运算和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数的计算的应用，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）由题意知：，解得a=1，b=2；（2）由（1）知a=1，b=2，∴A={x|1＜x＜2}，，而x＞0时，，当且仅当，即时取等号，而，∴f（x）的最小值为12．【解析(jiě xī)】本题主要考查一元二次不等式的解集，考查基本不等式的运用，考查利用基本不等式求最值的应用，属于中档题．（1）利用不等式的解集与方程解的关系，利用韦达定理组成方程组，即可求得结论；（2）利用基本不等式，可求函数的最小值．18.【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x-1|＜8，可化为①或②或③，解①得-＜x＜-，解②得-≤x≤，解③得＜x＜，综合得：-＜x＜，即原不等式的解集为{x|-＜x＜}．（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x-1|≥|（2x+3）-（2x-1）|=4，当且仅当-≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤-或m≥1．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，属于中档题．（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可．19.【答案】证明：（Ⅰ）数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+4，整理得a n+1+2=3（a n+2），n∈N*．即（常数），所以数列{a n+2}是以3为首项，3为公比的等比数列．故，整理得．（Ⅱ）由于，所以b n=（a2n+2）log3（a n+2）=n•9n，所以①，9②，①-②得：=，所以．【解析(jiě xī)】（Ⅰ）首项利用定义得出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，求出通项，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由条件知不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立；即ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；当a=0时，x≥0，显然不能恒成立；当a≠0时，要使得ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立，满足，解得a≥；综上述，实数a的取值范围是[，+∞）．（2）由条件化简不等式f（x）＜a-2，得ax2+（1-a）x-1＜0，①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1，不等式的解集为（-∞，1）；当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和；②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+）＜0，∴不等式的解集为（，1）；③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0，当-1＜a＜0时，1＜，不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}．当a＜-1时，1＞，不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；【解析】（1）根据条件不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，转化为ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论；（2）不等式f（x）＜a-2代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集．本题考查了一元二次函数恒成立问题，含参数的一元二次不等式解法问题，注意分类讨论的思想方法和数形结合的思想方法的运用，属于中档题．21.【答案】解：（1）数列{a n}满足（1-）（1-）…（1-）=，①可得1-=，可得a1=2，当n≥2时，（1-）（1-）…（1-）=，②由①②可得（1-）=，即有a n-a n-1=1，可得a n=2+n-1=n+1，n∈N*；（2）S n=，a，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，p可得a p+S q=60，a p•S q=182=324，即有p+1+=60，（p+1）•=324，解得p=5，q=9；（3）假设存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项，即有，可令=n+1，即有（k+1）（k+2）=（n-3）（n+5），由（k+1）（k+2）为偶数，可得n为大于3的奇数，即有n=5，k=3；n=15，k=14．则存在正整数k=3，14，使得为数列{a n}中的项．【解析(jiě xī)】（1）由等式可得a1=2，将n换为n-1，两式相除可得a-a n-1=1，由等差数列的通项公式可得所求；n（2）运用等差数列求和公式和等差数列、等比数列的中项性质，解方程即可得到所求值；（3）假设存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项，即有，可令=n+1，由两边平方和因式分解，列举即可得到所求值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列、等比数列中项性质，以及方程思想和存在性问题的解法，考查推理能力与计算能力，属于较难题．22.【答案】解：（1）k=，a n+1=（a n+a n+2），∴数列{a n}为等差数列，∵a1=1，a2=a，∴公差d=a-1，∴S2021=2021=2021+×（a-1），解得a=1；（2）设数列{a n}是公比不为1的等比数列，则它的公比q==a，∴a m=a m-1，a m+1=a m，a m+2=a m+1，任意相邻三项a m，a m+1，a m+2按某顺序排列后成等差数列，①a n+1为等差中项，则2a m+1=a m+a m+2．即a m-1+a m+1=2a m，解得a=1，不合题意；②a m为等差中项，则2a m=a m+1+a m+2，即2a m-1=a m+1+a m，化简a2+a-2=0，解得a=-2或a=1（舍去）；③若a m+2为等差中项，则2a m+2=a m+1+a m，即2a m+1=a m+a m-1，化简得：2a2-a-1=0，解得a=-；∴k====-．综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个-；（3）k=-，则a n+1=-（a n+a n+2），∴a n+2+a n+1=-（a n+1+a n），a n+3+a n+2=-（a n+2+a n+1）=a n+1+a n，当n是偶数时，S n=a1+a2+…+a n=（a1+a2）+…+（a n-1+a n）=（a1+a2）=（a+1）．当n是奇数时，S n=a1+（a2+a3）+…+（a n-1+a n）=1+（a2+a3）=1+[-（a1+a2）]=1-（a+1）（n≥1），n=1也适合上式，综上可得，S n=．【解析】（1）由题意求得首项为1，公差d=a-1，结合等差数列前n项和公式列方程可得a；（2）假设存在满足题意的实数k，分类讨论可得k；（3）k=-，a n+1=-（a n+a n+2），a n+2+a n+1=-（a n+1+a n），a n+3+a n+2=-（a n+2+a n+1）=a n+1+a n，结合题意分类讨论，然后分组求和可得S n．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．内容总结（1）分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论。
江西省九江市三汊港中学2021年高二数学理月考试题含解析
江西省九江市三汊港中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限参考答案：A略2. 若函数，则函数的图像可以是( )参考答案：A3. 已知α、β是两个不同平面，m、n是两条不同直线，则下列命题不正确的是( )A．则 B．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥β D．m∥β，m⊥n，则n⊥β参考答案：D 4. 根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是 ( )A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.非以上答案参考答案：C略5. 若为虚数单位，则（）A． B． C． D．参考答案：C略6. 函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（）A． B． C． D．参考答案：D函数等价为，表示为圆心在半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比应有，即，最小的公比应满足，所以，所以公比的取值范围为，所以不可能成为该等比数列的公比．7. 如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x，y的值分别为（）A．18，6 B．8，16 C．8，6 D．18，16参考答案：C【考点】茎叶图．【分析】利用中位数、平均数计算公式求解．【解答】解：由茎叶图知，甲组数据为：9，12，10+x，24，27，∵甲组数据的平均数为18，∴5（9+12+10+x+24+27）=90，解得y=8．∵甲组数据为：9，15，10+y，18，24，乙组数据的中位数为16∴10+y=16，解得y=6．故选：C．8. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜想的数字记为b，其中，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”。
江西省宜春市第二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷含详解
D.若一组数据2，4， ，8 平均数是5，则该组数据的方差也是5
2.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为
A.1B.2
C.3D.4
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
A.先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为 ，然后抽取编号为 ， ， ，…的学生，这种抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线 不一定过样本中心
3.设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥ ，
∠ = ，则C的离心率为
A. B. C. D.
4.下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（）
A. B. C. D.
5.设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =
13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
高二数学上学期期末考试试题含解析试题
房山区2021--2021学年度第一学期期末检测试卷创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景高二数学一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求.1.椭圆2243x y+=1的离心率是〔〕B.2C.13D.12【答案】D 【解析】【分析】由椭圆22143x y+=方程可知a、b、c的值，由离心率cea=求出结果．【详解】解：由椭圆22143x y+=可知，2a=，b=1c=，∴离心率12cea==，应选：D．【点睛】此题考察椭圆的HY方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出a、c的值是解题的关键，属于根底题．2.在空间假设把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，那么这些向量的终点构成的图形是〔 〕 A. 一个球 B. 一个圆C. 半圆D. 一个点【答案】B 【解析】 【分析】利用一共面向量的概念及向量的模即可得答案．【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是一共面向量，把它们的起点放在同一点，那么终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，那么终点到起点的间隔 为定值． 故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，那么这些向量的终点构成的图形是一个圆． 应选：B ．【点睛】此题考察方程，关键是理解一共面向量的概念，属于根底题．3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 2y x =±B. y =C. 12y x =±D.2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的HY 方程22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，求出双曲线的渐近线方程即可．【详解】解：因为双曲线的HY 方程为2214y x -=，那么它的渐近线方程为：2y x =±．应选：A ．【点睛】此题考察双曲线的渐近线方程的求法，考察计算才能，属于根底题． 4.向量()2,3,5a =-与向量()4,,1b x =-垂直，那么实数x 的值是〔 〕 A. ﹣1 B. 1C. ﹣6D. 6【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得x 的值．【详解】解：向量()2,3,5a =-，与向量()4,,1b x =-垂直，那么0a b =， 由数量积的坐标公式可得：24(3)5(1)0x ⨯+-⨯+⨯-=， 解得1x =， 应选：B ．【点睛】此题考察空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于根底题．5.双曲线226436x y -=1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.假设点P 到F 1的间隔 为15，那么点P 到F 2的间隔 是〔 〕A. 31B. 1C. ﹣1D. ﹣1或者31 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可．【详解】解：双曲线2216436x y -=的焦点为1F ，2F ，P 为其上一点．所以12216PF PF a -==， 假设点P 到1F 的间隔 为115PF =，21516PF ∴-=，解得231PF =或者21PF =-〔舍去〕， 所以点P 到2F 的间隔 是：31． 应选：A ．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于根底题． 6.直线l 的方向向量()1,2,1a =-，平面α的法向量()2,4,2b =-，那么直线l 与平面α的位置关系是( ) A. //l α B. l α⊥C. l α⊂D. l α∈【答案】B 【解析】 【分析】由可求2b a =，判断b 与a 一共线，即可得解l a ⊥． 【详解】解：直线l 的方向向量()1,2,1a =-，平面α的法向量()2,4,2b =-，∴2b a =，∴那么b 与a 一共线，可得：l a ⊥．应选：B ．【点睛】此题考察满足线面平行的条件的判断，考察线面垂直的性质等根底知识，考察运算求解才能，属于根底题．7.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量AB 与向量11C A 的夹角是〔 〕 A. 150° B. 135° C. 45° D. 30°【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量AB 与向量11C A 的夹角． 【详解】解：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，11//AC A C ，111C A B ∴∠的补角即为向量AB 与向量11C A 的夹角．111C A B ∆为等腰直角三角形，11145C A B ∴∠=︒，∴量AB 与向量11C A 的夹角为18045135︒-︒=︒，应选：B ．【点睛】此题主要考察两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题．8.抛物线216y x =上的点P 到抛物线焦点的间隔 10m =，那么点P 到y 轴的间隔 d 等于〔 〕 A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的性质可得到焦点的间隔 等于到准线的间隔 ，求出P 的横坐标，即为P 到y 轴的间隔 ．【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：4x =-，设P 的横坐标为0x ，由抛物线的性质可得0410x +=，所以06x =，所以P 到y 轴的间隔 为6， 应选：C ．【点睛】考察抛物线的定义的理解，属于根底题．9.双曲线2214x y k+=的离心率2e <，那么实数k 的取值范围是( )A. k 0<或者3k >B. 30k -<<C. 120k -<<D.83k -<<【答案】C 【解析】 【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用条件求解即可．【详解】解：双曲线2214x y k+=可知k 0<，并且2a =，c =，双曲线的离心率为：e =， 12e <<，∴12<，解得120k -<<，综上120k -<<． 应选：C ．【点睛】此题考察双曲线的根本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于根底题．10.假如抛物线24y x =的焦点为F ．点M 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -．那么||||MF MA 的最大值是( )A.12B.22C.32D. 1【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得A 在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的间隔 等于到准线的间隔 可得||||MF MN MA AM =，所以||||MF MA 的最大值时，A ，M ，F 三点一共线，可得结果．【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-，(1,0)A -点在准线上，作MN ⊥准线交于N ，由抛物线的性质可得|||MF MN =，所以||||||||MF MN MA MA =， 在三角形AMN 中，cos MNMAF MA=∠，所以||||MF MA 的最大值时，FAM ∠最小，当A ，M ，F 上的一共线时，FAM ∠最小，所以这时||||MF MA 的最大值为1，应选：D ．【点睛】考察抛物线简单几何性质，属于根底题．11.“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆〞的充要条件是( )A. 0m n >>B. 0n m >>C. 0mn >D.0mn <【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的HY 方程，即可得到结论．【详解】解：假设方程表示椭圆，那么m ，0n ≠，那么方程等价为22111x y m n+=， 假设方程表示焦点在y 轴上椭圆，那么等价为110n m>>， 解得：0m n >>， 应选：A ．【点睛】此题主要考察椭圆的定义和方程，将条件转化为HY 方程形式是解决此题的关键，属于根底题．12.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的间隔 相等，那么动点Q 的轨迹是〔 〕 A. 圆的一局部 B. 椭圆的一局部 C. 双曲线的一局部 D. 抛物线的一局部【答案】D 【解析】【分析】由题意画出图形，证明Q 到直线1AB 的间隔 为Q 到G 点的间隔 ，再由抛物线的定义得动点Q 的轨迹． 【详解】解：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，有11A D ⊥平面11AA B B ，那么111A D AB ⊥， 又11AB A B ⊥，1111A BA D A =，1AB ⊂平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ，1AB ∴⊥平面11A BCD ，设11A BAB G =，连接QG ，那么1QG AB ⊥，垂直为G ，而G 与BC 在平面11A BCD 内，且G BC ∉，又点Q 到直线1AB 和直线BC 的间隔 相等，即点Q 到G 的间隔 与到直线BC 的间隔 相等，由抛物线定义可知，动点Q 的轨迹是抛物线的一局部． 应选：D ．【点睛】此题考察轨迹方程的求法，考察空间想象才能与思维才能，考察抛物线定义的应用，属于中档题．二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分. 13.设θ是直线与平面所成的角，那么角θ的取值范围是_____.【答案】[0，2π]. 【解析】 【分析】当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ取最小值0，当直线与平面垂直时，θ取最大值2π，由此能求出角θ的取值范围． 【详解】解：θ是直线与平面所成的角，当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ取最小值0， 当直线与平面垂直时，θ取最大值2π， ∴角θ的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】此题考察线面角的取值范围的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，属于根底题．14.双曲线22169y x -=1的实轴长为_____.【答案】8. 【解析】 【分析】直接利用双曲线HY 方程，求出实轴长即可．【详解】解：双曲线221169y x -=的实轴长为：2248a =⨯=．故答案为：8．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，是根本知识的考察，属于根底题．15.抛物线28xy 的准线方程是_____，焦点坐标是_____.【答案】 (1). y ＝2 (2). 〔0，﹣2〕. 【解析】 【分析】由抛物线的方程直接可得p 的值及焦点所在轴，求出结果． 【详解】解：由抛物线28x y 可得：28p =，所以4p =，且焦点在y 轴的负半轴上，所以焦点0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭即：()0,2-，准线22py ==， 故答案分别为：2y =；()0,2-．【点睛】考察抛物线的HY 方程求焦点坐标及准线方程，属于根底题． 16.以下三个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，假设||||PA PB k -=，那么动点P 的轨迹为双曲线；②方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有一样的焦点．其中真命题的序号为_____〔写出所有真命题的序号〕. 【答案】②③. 【解析】 【分析】〔1〕根据双曲线的定义知①不正确，〔2〕解方程知两个正根，一根大于1作双曲线的离心率，一根小于1作椭圆的离心率，断定②正确；，〔3〕求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，断定③正确．【详解】解：①平面内与两个定点1F ，2F 的间隔 的差的绝对值等于常数12(||)k k F F <的点的轨迹叫做双曲线，当0||k AB <<时是双曲线的一支，当||k AB =时，表示射线，∴①不正确；②方程22520x x -+=的两根是2和12，2可作为双曲线的离心率，12可作为椭圆的离心率，②正确；③双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=的焦点都是()，有一样的焦点，③正确；故答案为：②③．【点睛】此题考察了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于根底题． 17.在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB A A ==，那么二面角1A BC A --的大小为_____. 【答案】45°. 【解析】 【分析】设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1A BC A --的大小．【详解】解：设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，那么平面ABC 的法向量()0,0,1m =，()1,0,3A a ， (),3,0B a ， ()0,3,0C，(BC a =-，0，0)，1(0BA =，3-，3)，设平面1A BC 的法向量(),,n x y z =，那么1·0·330n BC ax n BA y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1y =，得(0n =，1，1)，设二面角1A BC A --的大小为θ， 那么||2cos 2||||m n m n θ==， 45θ∴=︒．∴二面角1A BC A --的大小为45︒．故答案为：45︒【点睛】此题考察二面角的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，属于中档题．18.椭圆E ：22221x y a b+=，0a b >>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B两点．假设AB 的中点坐标为()1,1-，那么E 的方程为__________.【答案】221189x y +=【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，采用“点差法〞，得212212y y b x x a -=-，再根据直线过点()3,0F ，和AB 的中点坐标()1,1-，得121212y y x x -=-，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得29b =，218a =，即可得E 的方程.【详解】3c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，那么2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，AB 的中点坐标为()121,1?2x x -+=，则，122y y +=-， ①－②得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a-+=-⋅=-⨯-=-+， ∵1212011312y y x x -+==--，∴2212b a =，即222a b =， 又22229a bc b =+=+，∴29b =，218a =，即E 的方程为221189x y +=.【点睛】此题考察了求椭圆的HY 方程，考察了弦的中点有关问题；在中点弦或者弦的中点问题中，常采用“点差法〞和中点坐标公式、斜率的计算公式求解. 三、解答题：本大题一一共4小题，每一小题15分，一共60分.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点．〔1〕求异面直线AC 与1BC 所成的角； 〔2〕求证：1//AC 平面1CDB ．【答案】〔1〕2π〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕因为3AC =，4BC =，5AB =，利用勾股定理的逆定理可得ABC ∆是直角三角形，AC BC ⊥．因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，可得1C C ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．〔2〕建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出． 【详解】解：〔1〕因为3AC =，4BC =，5AB =， 所以222AC BC AB +=，所以ABC ∆是直角三角形， 所以2ACB π=，所以AC BC ⊥因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1C C ⊥平面ABC ， 所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 那么(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0C ，0，4)所以直线AC 的方向向量为(3,0,0)CA =，直线1BC 的方向向量为1(0,4,4)BC =-， 设异面直线AC 与1BC 所成的角为θ， 因为10CA BC =， 所以cos 0θ=，所以异面直线AC 与1BC 所成的角为2π． 〔2〕由〔1〕可知3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(0B ，4，4)，那么3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,4,4)CB =设平面1CDB 的法向量为(,,)n x y z =，那么1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令4x =，那么3y =-，3z =，所以(4,3,3)n =- 直线1AC 的方向向量为1(3,0,4)AC =-，因为10AC n =，1AC ⊄平面1CDB ， 所以1//AC 平面1CDB ．【点睛】此题考察了空间位置关系、线面面面平行与垂直的断定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．20.在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0,)b ，且2||2BF 41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆E 上一点，直线2CF 交椭圆于点A ．〔1〕求椭圆E 的方程； 〔2〕求ABC ∆的面积．【答案】〔1〕2212x y +=〔2〕43【解析】 【分析】〔1〕根据椭圆的性质，将C 代入椭圆方程，即可求得b 的值，求得椭圆方程；〔2〕由〔1〕可知，求得直线2CF 的方程，代入椭圆方程，求得A 点坐标，求得||AB ，即可求得ABC ∆的面积．【详解】解：〔1〕因为顶点B 的坐标为(0,)b，2||BF =所以2||BF a ==因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.〔2〕因为点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，点2F 的坐标为(1,0)， 所以直线2CF 的斜率131413k ==-，所以直线2CF 的方程为1y x =-，由221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩得，2340x x -=，所以01x y =⎧⎨=-⎩或者4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点A 的坐标为(0,1)-，所以||2AB =， 所以1442233ABC S ∆=⨯⨯=．【点睛】此题考察椭圆的HY 方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考察转化思想，计算才能，属于中档题．21.F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．〔1〕当抛物线C 过点(1,2)M -时，求抛物线C 的方程； 〔2〕证明：OA OB 是定值． 【答案】〔1〕y 2＝4x 〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕将M 点代入抛物线方程，即可求得p 的值，求得抛物线方程；〔2〕分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可证明OA OB 是定值．【详解】解：〔1〕因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)M -， 所以42p =，2p =， 所以抛物线C 的方程24y x =； 〔2〕证明：当直线l 斜率存在时，(,0)2p F ，设直线l 的方程为()2py k x =-，那么2()(1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩， 将〔1〕代入〔2〕得，222kp kx px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得222(2)04k p kx k p p x -++=， 设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，那么2124p x x =，因为点A ，B 都在抛物线22y px =上，所以2112y px =，2222y px =，所以22212122y y p x x =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，所以2121234OA OB x x y y p =+=-，是定值．当直线l 无斜率时，(,0)2p F ，设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，那么122p x x ==，代入抛物线方程22y px =得，221y p =，222y p =，所以22412y y p =，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以120y y <，所以212y y p =-，所以11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，所以2121234OA OB x x y y p =+=-，是定值．综上，234p OA OB =-，是定值．【点睛】此题考察抛物线的HY 方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考察韦达定理，考察分类讨论思想，计算才能，属于中档题．22.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝1，AD 3=，F 是PB 中点，E 为BC 上一点.〔1〕求证：AF ⊥平面PBC ；〔2〕当BE 为何值时，二面角C ﹣PE ﹣D 为45°.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕BE 536=【解析】 【分析】〔1〕以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF ⊥平面PBC ．〔2〕设BE a =，(),1,0E a ，求出平面PDE 的法向量和平面PCE 的法向量，利用向量法能求出当53BE C PE D --为45︒． 【详解】解：〔1〕证明：以A 为原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AB PA ==，3AD =F 是PB 中点，(0A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，(3C 1，0)，()3,0,0D ，(0,1,1)PB =-，(3,1,1)PC =-，(0F ，12，1)2，(0AF =，12，1)2， 0AF PB =，0AF PC =，AF PB ∴⊥，AF PC ⊥，AF ∴⊥平面PBC ．〔2〕设BE a =，(E a ∴，1，0)，(3,1,0)DE a =-，(3,0,1)PD =-， 设平面PDE 的法向量(,,)n x y z =，那么·(3)0·30n DE a x y n PD x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，取1x =，得(1n =，3a -，3)， 平面PCE 的法向量为11(0,,)22AF =，二面角C PE D --为45︒，21322cos ,222372an AF a a -∴<>==-+， 解得536a =， ∴当536BE =时，二面角C PE D --为45︒．【点睛】此题考察直线与平面垂直的证明，考察使得二面角为45︒的线段长的求法，解题时要认真审创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景题，注意向量法的合理运用，属于中档题．创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景。
2021-2022年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
2021-2022年高二数学上学期期末试卷理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）2．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b23．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）设{an }是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．156．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11．（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．解答：解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．解答：解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．解答：解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则平方可得，1+2sinθcosθ=，则sinθcosθ=﹣＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1，由于﹣=＜0，则＜，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合法．分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．解答：解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642考点：对数的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．解答：解：∵=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C．点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．解答：解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对||•cos∠AOP 进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．解答：解：满足的可行域如图所示，又∵||•cos∠AOP=，∵=（2，1），=（x，y），∴||•cos∠AOP=．由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）||•cos∠AOP的最大值为：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+，同理X B=x2+，X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p，同理有|FB|=x2++=x2+p，|FC|=x3++=x3+p，又，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合．分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．解答：解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）∵∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，∴x2+y2＜16（9分）分别解与得与（11分）∵x，y∈Z∴x为偶数，在上x=﹣2，，0，2对应的y=1，2，3在上x=﹣2，0，2，对应的y=﹣3，﹣2，﹣1（13分）∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（﹣2，1），（0，2），（2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣2），（2，﹣1）．（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．考点：反证法与放缩法；数列的函数特性；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，利用韦达定理可求得，代入f（x）=（b，c∈N），依题意可求得c=2，b=2，从而可得函数f（x）的解析式；（2）由4S n﹣=1，整理得2S n=a n﹣（*），于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣（**），二式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，讨论后即可求得数列通项a n；（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1＜0或a n+1≥2，分别讨论即可．解答：解：（1）依题意有=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，由韦达定理得：，解得，代入表达式f（x）=，由f（﹣2）=＜﹣，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，故f（x）=，（x≠1）．（2）由题设得4S n•=1，整理得：2S n=a n﹣，（*）且a n≠1，以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣，（**）由（*）与（**）两式相减得：2a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（﹣），即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，以n=1代入（*）得：2a1=a1﹣，解得a1=0（舍去）或a1=﹣1，由a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1得a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，即{a n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列．（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，=﹣2+≤，∴a n+1＜0或a n+1≥2．若a n+1＜0，则a n+1＜0＜3成立；若a n+1≥2，此时n≥2，从而a n+1﹣a n=≤0，即数列{a n}在n≥2时单调递减，由a2=2知，a n≤a2=2＜3，在n≥2上成立．综上所述，当n≥2时，恒有a n＜3成立．点评：本题考查数列的函数特性，着重考查等差数列的判定，考查推理证明能力，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题． 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 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高二数学上学期10月联考试题含解析 试题
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
2021-2021学年高二数学上学期10月联考试题〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.命题“∀x＞2，2x2-x+1＞0”的否认是〔〕A. ,B. ,C. ,D. ,2.在数列{a n}中，a1=2，a2=4，2a n=a n-1+a n+1〔n∈N+且n≥2〕，那么a4=〔〕A. 6B. 7C. 8D. 93.数列{a n}是正项等比数列，假设是a2和a8的等比中项，那么a1a3a5a7a9的值是〔〕A. B. C. D.4.在实数范围内，以下命题正确的选项是〔〕A. 假设,那么B. 假设,,那么C. 假设,,那么D. 假设,那么5.数列{a n}，其通项公式a n=3n-18，那么其前n项和S n取最小值时n的值是〔〕A. 4B. 5或者6C. 6D. 56.中国古代数学著作?算法统宗?中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．〞其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．〞那么该人最后一天走的路程为( )A. 24里B. 12里C. 6里D. 3里7.假设数列{a n}的通项公式是，那么a1+a2+…+a11=〔〕A. 15B. 19C.D.8.不等式ax2+bx+c＞0的解集为，那么不等式cx2+bx+a＞0的解集为〔〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
A. B.C. D.9.假设方程5x2+〔a-11〕x+a-2=0的一个根在〔0，1〕内，另一个根在〔1，2〕内，那么实数a的取值范围是〔〕A. B. C. D.10.关于x的不等式2x2-λx+1＜0对，都成立，那么实数λ的取值范围是〔〕A. B. C. D.11.在数列{a n}中，a1=2，a2=3，且满足，那么a2021=〔〕A. B. C. D.12.x，y为正实数，且满足x2+4y2+xy=5，那么x+2y的最大值是〔〕A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕13.数列{a n}的前n项和S n＝n2＋2n－1，那么a n＝___________．14.在△ABC中，D是线段BC上的动点〔不包括端点〕，满足=m+n，那么的最小值是______．15.在各项均为正数的等比数列{a n}中，前n项和为S n，且成等差数列，那么的值是______16.给出以下四个命题：17.①函数的最小值是2；18.②等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S9＞0，S10＜0，那么当n=5时，S n取最大值；19.③等比数列{a n}的前n项和为S n，假设S10=10，S20=20，那么S30=40；20.④∀x∈R，2x2-1≤ax2+2x恒成立，那么实数a的取值范围是[3，+∞〕21.其中所有正确命题的序号是______三、解答题〔本大题一一共6小题〕22.命题p：实数x满足，命题q：实数x满足x2-4ax+3a2＜0〔a＞0〕，p是q的充分不必要条件，务实数a的取值范围．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
江西省赣州市2020-2021学年高二数学下学期期末考试数学试题文含解析
课程设计--11010KV变电所电气部分设计南京工程学院课程设计说明书(论文)题 目 110/10KV 变电所电气部分设计课 程 名 称 发电厂电气部分 院（系、部、中心） 电力工程学院 专 业 电力系统及其自动化 班 级 电力091班 学 生 姓 名 王舒潇 学 号 206090107 指 导 教 师 陈跃设计起止时间： 2011 年05月21日 至2011 年06月 01日成绩目录一、课程设计任务书------------------------------------------------------1二、110/10KV变电所设计说明书--------------------------------------------31、对待设计变电所在系统中的地位和作用及对用户的分析2、选择待设计变电所主变的台数、容量、型式3、分析确定高、低压侧主接线及配电装置形式4、分析确定变电所主接线形式和所用电的接线方式5、进行选择设备和导体所必须的短路电流计算6、选择变电所高、低压侧及10KV馈线断路器、隔离开关和熔断器7、进行互感器配置8、选择10KV硬母线三、110/10KV变电所设计计算书-------------------------------------------91、对待设计变电所在系统中的地位，作用及用户的分析2、选择待设变电所的台数、容量及型式3、进行选择设备和导体所必须的短路电流计算4、选择变电所高、低压侧及10KV馈线断路器、隔离开关和熔断器5、选择10KV硬母线四、变电所主接线图--------------------------------------------------------15课程设计任务书1．课程设计应达到的目的通过本次课程设计，对所学课程的知识进行强化，提高学生分析问题和解决问题的能力，拉近课堂与工程设计的距离，使学生完全掌握变电所一次部分的设计过程、主接线和配电装置的初步设计、变电所主设备的选择方法等。
高二数学上学期第二次月考试题含解析
远中学2021-2021学年度第一学期第二次月考阶段测试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高二数学试题本套试卷满分是160分，考试时间是是120分钟。
填空题〔此题包括14小题，每一小题5分，一共70分。
答案写在答题卡相应位置〕1. 抛物线的准线方程为：______________。
【答案】【解析】试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：此题考察抛物线的HY方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为2. 椭圆的离心率_______。
【答案】【解析】椭圆，故答案为：。
3. 函数，那么的导函数____________。
【答案】【解析】根据余弦函数的求导法那么和指数函数的求导法那么得到。
故答案为：。
4. 设为虚数单位，为实数〕，那么__________。
【答案】【解析】由题干知道根据复数相等的概念得到故答案为：2.5. 双曲线〔＞0〕的一条渐近线为，那么______。
【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，，,那么考点：此题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的HY方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.6. 椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，那么该椭圆的HY方程是_____。
【答案】【解析】椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍。
故得到故得到椭圆方程为：。
故答案为：。
7. 函数的最大值是____________。
【答案】【解析】∵f〔x〕=，∴f′〔x〕=，令f′〔x〕=0得x=e．∵当x∈〔0，e〕时，f′〔x〕＞0，f〔x〕在〔0，e〕上为增函数，当x∈〔e，+∞〕时，f′〔x〕＜0，那么在〔e，+∞〕上为减函数，∴f max〔x〕=f〔e〕=．故答案为：。
8. 椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线交C于A，B两点．假设△AF1B的周长为，那么C的HY方程为________。
【答案】【解析】根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2| ＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为9. ，函数，假设在上是单调减函数，那么的取值范围是______________。
江西省宜春市上高二中2021学年高二数学上学期第二次月考试题 文
江西省宜春市上高二中2021学年高二数学上学期第二次月考试题 文一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 2．已知抛物线的焦点坐标为（3,0-）则该抛物线的标准方程为( ) A ．y x 122-= B ．y x 122= C ．x y 122-= D ．x y 122=3.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A. 3B.2 2C.32D.344.已知椭圆2221x y a+=的一个焦点在抛物线24y x =的准线上，则椭圆的离心率为（ ）A.12B.22C.13D.335．已知A (－4,2,3)关于xOz 平面的对称点为A 1，A 1关于z 轴的对称点为A 2，则|AA 2|等于( )A ．8B ．12C ．16D ．196．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203D ．8 7.P 是椭圆191622=+y x 上一点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，若1221=•PF PF ,则21PF F ∠的大小为( )A ． 30B ． 60C ． 120D ． 1508.正方体AC 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( ) A.12 B.32 C.63 D.62 9.已知P 为抛物线x y 42=上任意一点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于给定点A(4，5),则d PA +的最小值是（ ）A.34B.4C.134-D.510．如图，过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|AB |＝( )A ．4B ．6C ．8D ．1011．已知椭圆E:)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点是F （0,3），过点F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，若AB 的中点M 的坐标为（1,1-），则椭圆E 的方程为( ) A ．1641622=+y x B ．191822=+y x C ．1182722=+y x D ．1364522=+y x 12.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BCA 是等边三角形；③三棱锥D ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是( )A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线1+=kx y 与焦点在x 轴上的椭圆1922=+my x 总有公共点，则实数m 的取值范围为________．14. 过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 .15.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为____.16.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ， PA ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________.三、解答题。