用定积分的性质证明不等式
定积分绝对值不等式
定积分绝对值不等式《定积分绝对值不等式：一场奇妙的数学之旅》我今天想跟大家聊聊定积分绝对值不等式，这听起来是不是有点高深莫测呢？可别被它的名字吓跑啦，就像爬山一样，看着高耸入云的山峰觉得很难征服，但只要一步一步走，就能发现其中的乐趣。
定积分呀，就像是在一个图形下面装东西。
想象一下，你有一块形状奇特的地，你想知道这块地下面能装多少土，这就有点像定积分干的事儿。
那定积分绝对值不等式呢？就好比是给这个装东西的量定了一些特殊的规则。
我给大家举个例子吧。
就像我们在学校分糖果，每个同学分到的糖果数量就像是定积分的值。
要是有个规定说，不管怎么分，每个同学分到的糖果数量的绝对值都不能超过某个数，这就有点像定积分绝对值不等式的概念了。
我记得有一次在数学小组里，我和我的小伙伴们在讨论这个定积分绝对值不等式。
小明就说：“哎呀，这东西太难懂了，感觉就像一团乱麻。
”我就跟他说：“你可不能这么想呀，你看，如果把定积分想象成是在数方格呢？”我在纸上画了一些方格，然后说：“就像这些方格有大有小，定积分就是在计算这些方格的总和。
而绝对值不等式就是给这个总和加了个框框，让它不能太离谱。
”小红也凑过来说：“那怎么才能更好地理解这个不等式呢？”我想了想，说：“咱们再打个比方吧。
假如你要从家走到学校，有很多条路可以走。
定积分就像是你走每条路所花的力气，而绝对值不等式就是告诉你，不管走哪条路，这个花的力气不能超出一定的范围。
”小伙伴们听了我的话，好像有点开窍了。
其实呀，定积分绝对值不等式在生活中的应用也不少呢。
就比如说在工程建设中，工程师要计算材料的用量。
这个用量的计算可能就涉及到定积分，而根据工程的要求，这个用量的误差范围就像是定积分绝对值不等式规定的范围。
如果超出了这个范围，那可就麻烦了，就像盖房子，要是水泥用得太多或者太少，房子可能就不结实了。
再回到数学上，定积分绝对值不等式的证明也很有趣。
有时候就像走迷宫一样，你得找到正确的路线。
利用定积分证明不等式
热点追踪Җ㊀广东㊀李文东㊀㊀不等式的证明是高考的重要内容,证明的方法多㊁难度大,特别是一些数列和型的不等式．这类不等式常见于高中数学竞赛题和高考压轴题中,由于证明难度较大,往往令人望而生畏．其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明,则可达到以简驭繁㊁以形助数的解题效果．１㊀利用定积分证明数列和型不等式数列和型不等式的一般模式为ðni ＝１a i ＜g (n )(或ðni ＝１a i ＞g (n )),g (n )可以为常数．不失一般性,设数列a n ＝f (n )＞０,此类问题可以考虑如下的定积分证明模式．(１)若f (x )单调递减．因为f (i )＜ʏii －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i ＝ðn i ＝１f (i )＜ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏi i －１f (x )d x ＜f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi i－１f (x )d x ＜ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i．㊀㊀(２)若f (x )单调递增．因为f (i )＞ʏi i －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i＝ðni ＝１f (i )＞ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏii －１f (x )d x ＞f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏii－１f (x )d x ＞ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i ．例１㊀(２０１３年广东卷理１９,节选)证明:１＋１２２＋１３２＋ ＋１n２＜７４(n ɪN ∗)．分析㊀本题证法大多采用裂项放缩来证明,为了得到更一般的结论,我们这里采用定积分来证明．证明㊀因为函数y ＝１xα(α＞０且αʂ１)在(０,＋ɕ)上单调递减,故ʏii －１１x αd x ＞１iα(i ȡ３),从而当αʂ１时,ðni ＝１１i α＜１＋１２α＋ðni ＝３ʏii －１１x αd x ＝１＋１２α＋ʏn２１x αd x ＝１＋１２α－１(α－１)x α－１n ２＝１＋１２α＋１(α－１)２α－１－１(α－１)nα－１．㊀㊀利用这个不等式可以得到一些常见的不等式．若α＝１２,则ðn i ＝１１i＜１－３２＋２n ＝２n －１＋(２－３２)＜２n －１．㊀㊀当α＞１时,ðni ＝１１iα＜１＋１２α＋１(α－１)２α－１＝１＋α＋１α－１ １２α．特别地,若α＝２,则ðni ＝１１i ２＜１＋２＋１２－１ １２２＝７４;若α＝３,则ðni ＝１１i３＜１＋３＋１３－１ １２３＝５４;若α＝３２,则ðni ＝１１ii＜１＋３２＋１３２－１ １２３２＝１＋５２４＜３;若α＝１,则１n＜ʏnn －１１x d x ＝l n x nn －１＝l n n －l n (n －１),从而可以得到１２＋１３＋ ＋１n ＋１＜ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),１n ＋１＋１n ＋２＋ ＋１２n＜ʏ２nn１xd x ＝l n２．㊀㊀另一方面,１n －１＞ʏnn －１１xd x ＝l n x n n －１＝l n n －l n (n －１),则１＋１２＋１３＋ ＋１n －１＞ʏn１１x d x ＝l n n ．㊀㊀当α＝１时,借助定积分的几何意义上述不等式４２热点追踪还可以进一步加强．图１是函数y ＝１x的部分图象,显然S 曲边梯形A B C F ＜S 梯形A B C F ,于是ʏn ＋１n１x d x ＜１２(１n ＋１n ＋１),得l n (１＋１n )＜１２(１n ＋１n ＋１),令n ＝１,２, ,n ,并采用累加法可得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (n ＋１)＋n２(n＋１)(n ȡ１)．图１例２㊀证明:l n ４２n ＋１＜ðni ＝１i４i ２－１(n ɪN ∗)．分析㊀由于i ４i ２－１＝１４(１２i －１＋１２i ＋１),l n ４２n ＋１＝１４l n (２n ＋１),故证明l n (２n ＋１)＜ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)．构造函数f (x )＝１２x ＋１,显然f (x )单调递减,考虑到ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)的结构,对函数f (x )采用类似图１中的梯形面积放缩．证明㊀由分析得ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２(１２i －１＋１２i ＋１),故１２l n (２n ＋１)＝ʏn０１２x ＋１d x ＝ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１),不等式两边除以１２即为所证．例３㊀证明１３＋１５＋１７＋ ＋１２n ＋１＜１２l n (n ＋１)(n ɪN ∗)．分析㊀若考虑函数y ＝１２x ＋１,则有１２i ＋１＜ʏii －１１２x ＋１d x ,则ðni ＝１１２i ＋１＜ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＝ʏn０１２x ＋１d x ＝１２l n (２x ＋１)n０＝１２l n (２n ＋１),达不到所证的精度,必须改变定积分放缩的精度．证明㊀结合不等式的右边,考虑函数f (x )＝１x．如图２所示,在区间[i ,i ＋１]上,取区间的中点i ＋１２,并以１i ＋１２为高作矩形A E F B ,则S 矩形A E F B ＜ʏi ＋１i １x d x ．于是有２２i ＋１＝１i ＋１２＜ʏi ＋１i１xd x ,则ðni ＝１２２i ＋１＜ðni ＝１ʏi ＋１i１xd x ＝ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),即ðn i ＝１１２i ＋１＜１２ln (n ＋１)．图２例４㊀设n 是正整数,r 为正有理数．(１)求函数f (x )＝(１＋x )r ＋１－(r ＋１)x －１(x ＞－１)的最小值;(２)证明:n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－nr ＋１r ＋１;(３)设x ɪR ,记[x ]为不小于x 的最小整数,例如[２]＝２,[π]＝４,[－３２]＝－１．令S ＝３８１＋３８２＋３８３＋ ＋３１２５,求[S ]的值．(参考数据:８０４３ʈ３４４ ７,８１４３ʈ３５０ ５,１２５４３ʈ６２５ ０,１２６４３ʈ６３１ ７．)分析㊀出题者的本意是利用第(１)问中的伯努利不等式来证明后两问,但这里我们利用积分来证明．证明㊀(１)f m i n (x )＝０(求解过程略)．(２)因为r 为正有理数,函数y ＝x r 在(０,＋ɕ)上单调递增,故ʏnn －１x r d x ＜nr,而５２热点追踪ʏnn －１x rd x ＝x r ＋１r ＋１n n －１＝n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１,故n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r．同理可得n r＜ʏn ＋１n x rd x ＝x r ＋１r ＋１n ＋１n ＝(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１,从而n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１．(３)由于i １３＜ʏi ＋１i x １３d x ＜(i ＋１)１３,故S ＝ð１２５i ＝８１i１３＜ð１２５i ＝８１ʏi ＋１ix １３dx ＝ʏ１２６８１x １３dx ＝３４x ４３１２６８１＝３４(１２６４３－８１４３),３４(１２５４３－８０４３)＝３４x ４３１２５８０＝ʏ１２５８０x １３d x ＝ð１２４i ＝８０ʏi ＋１ix １３d x ＜ð１２４i ＝８０(i ＋１)１３＝S ．３４(１２５４３－８０４３)＜S ＜３４(１２６４３－８０４３)．代入数据,可得３４(１２５４３－８０４３)ʈ２１０．２,３４(１２６４３－８１４３)ʈ２１０．９．由[S ]的定义,得[S ]＝２１１．２㊀利用积分证明函数不等式我们知道ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝f (x ２)－f (x １),因此,对于与f (x ２)－f (x １)有关的问题,可以从定积分的角度去思考．若f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上单㊀图３调递减且f ᶄ(x )为凹函数,如图３所示．设A C 的中点为B ,过点B 作B G ʅx 轴与f (x )交于点G ,过点G 作f (x )的切线与直线AH 和C D 分别交于点F 和I ．设A (x １,０),C (x ２,０),则f (x ２)－f (x １)＝ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝S 曲边梯形A C J H ,S 矩形A C D E ＝f ᶄ(x ２＋x １２)(x ２－x １)．因为S 曲边三角形E G H ＞S әE F G ＝S әD I G ＞S 曲边三角形J D G ,S 曲边梯形A C J H －S 矩形A C D E ＝S 曲边三角形E G H －S 曲边三角形J D G ＞０,于是有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２)．借助上述几何意义,一般地我们有如下结论．(１)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凹函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２);(２)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凸函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＜f ᶄ(x ２＋x１２)．例５㊀(１)函数f (x )＝l n x ,因为f ᶄ(x )＝１x在(０,＋ɕ)上为凹函数,则对任意０＜x １＜x ２,有l n x ２－l n x １x ２－x １＞１x ２＋x １２,即x ２－x １l n x ２－l n x １＜x １＋x ２２,此为对数均值不等式．(２)函数f (x )＝x l n x ,因为f ᶄ(x )＝１＋l n x 在(０,＋ɕ)上为凸函数,则对任意０＜x １＜x ２,有x ２l n x ２－x １l n x １x ２－x １＜１＋l n x ２＋x １２．许多考题都是以此为背景命题,比如,如下高三模拟考试的压轴题．例６㊀已知函数f (x )＝l n x －a x ２２＋(a －１)x －３２a(a ＞０),在函数f (x )的图象上是否存在不同两点A (x １,y １),B (x ２,y ２),线段A B 中点的横坐标为x ０,直线A B 的斜率为k ,使得k ＞f ᶄ(x ０)．简证㊀由于f ᶄ(x )＝１x－a x ＋a －１(a ＞０)在(０,＋ɕ)上为凹函数,可见结论成立!例７㊀设函数f (x )＝xex ,若x １ʂx ２,且f (x １)＝f (x ２),证明:x １＋x ２＞２．分析㊀本题的本质是极值点偏移问题,常见证法是利用对称性构造函数,这里采用定积分来证明．证明㊀不妨设x １＜x ２,由f ᶄ(x )＝１－x ex ,可知f (x )在(－ɕ,１]上单调递增,在[１,＋ɕ)上单调递减,且f (０)＝０．当x ＞０时,f (x )＞０,可知０＜x １＜１＜x ２．设x １e x １＝x ２e x ２＝t ,则x １＋x ２＝t (e x １＋e x ２),x ２－x １＝t (e x ２－e x １),考虑函数y ＝e x ,则根据定积分的梯形面积放缩有e x ２－e x １＝ʏx ２x １e xd x ＜(e x １＋e x２)(x ２－x １)２,则x ２－x １t ＜１２ x ２＋x １t(x ２－x １),故x １＋x ２＞２．(作者单位:广东省中山市中山纪念中学)６２。
定积分的应用(证明与自然数相关的不等式)
点评：本题相对例 1 增加了一点难度，最后一步进行了一个 n ln 2＞ 的放缩，但 基本思路也是与例 1 相同.
n 2
1 1 1 5 3 3 ＜ （n≥2 且 n∈N*）. 3 2 3 n 4 1 证明：令 f ( x ) 3 ，如右图所示， x
例 3 求证： 1
k 1 1 ＜ dx ， 3 k 1 x 3 k 1 1 1 1 3 3 3 2 3 n 1 1 1 1 3 1 3 1 3 2 3 n 3 1 4 1 n 1 n 1 1 9 9 1 n ＜1 3 3 dx 3 dx dx 3 dx 2 | 1 3 2 x 3 x n 1 x 2 8 2 x 8 2x 9 1 1 5 2＜ . 8 8 2n 4 1 1 1 1 3 ＜ （n≥2 且 n∈N*）. 例 4 求证： n 1 n 2 n 3 2n 4 1 证明：令 f ( x ) ，如右图所示， x
2 2 由于 an＞0，a＞0，两边取对数，得 lg an 1 lg an lg an lg
即 lg an 1 lg a 2(lg an lg a) . ∴数列{ lg an lg a }是以 lg a1 lg a 为首项，2 为公比的等比数列
a ∴ lg an lg a lg a1 lg a 2 lg 1 ， a n 1 2n1 2n1 a 2 a1 a1 1 ∴ lg an lg lg a lg a ，即 an a . a a a 式
证明与自然数有关的不等式
f (k )＜g (n) 是高考数学中的一类常见问题，也是高
i 1
n
积分不等式的证明方法
析． 综述 了积分不等式证 明的若干方法 。
ｌ
删
ｌ ≤ 萁 中 ｂ ｅ ＇ （ ｘ ） ｌ
） ＋ 厂 （ 丁 ａ ＋ ｂ） 丁 ａ ＋ ｂ） ＋ 丁 ａ ＋ ｂ）
１ ． 积分不等式的证明方法
１ ． １ 利用积分性质证 明积分不等式
证明 ： 由Ｔ ａ ｙ ｌ 。 ｒ 公式知 。 庄 点 ＝ ｂ 。 处的Ｔ ａ ｙ ｌ 。 ｒ 多项式为
例１ ： 试 证 ： Ｊ ０ ｃ 。 ｓ （ ｓ ｉ ｎ ｔ ） ｄ ｔ Ｉ ＞ Ｊ Ｏ ｓ ｉ ｎ （ ｃ 。 ｓ ｆ ）
所 以 、 ／ ｓ ｉ ｎ （ ｘ ＋ 手） ＝ ｓ ｉ ｎ ０ ｓ ￡ ＜ 手，
等式右端第一项在［ ａ ， ｂ ］ 上的积分为零 ， 故 由定积分 的性质有 ：
增 函数 。
所 以， ｓ ｉ ｎ ｆ 叫 ≥ｓ ｉ ｎ （ Ｃ Ｏ Ｓ ｔ ） ，
１ ． ５ 利 用二重积分证 明积分不等式 例５ ： 设／ 在区间［ ａ ， ｂ ］ 上连续 ， 且俐 ＞ ０ ， 证明
＼ ｍ ・ ＼ ｂ 而 １ （ ｂ － ｎ ；
即 ｃ Ｊ ≥ ｆ Ｊ ， （ ｏ ， ＂ Ｔ Ｉ １ ．
用。
又 一 ≤ ］ ｉ ｆ ｘ ） － ｆ （ ￣ ） ｌ ＝ Ｉ 』 Ｉ ≤ Ｉ ： Ｌ ｒ （ ｘ ￣ Ｊ
￣ ｌ ｆ （ ， Ｏ Ｉ ≤ ＋ ｌ ｌ ＋ 』 Ｊ Ｉｌ ｄ ｘ ＝ ｝ Ｉ ｌ 击 ｎ — ｎ ｛ ４ ｉ ｆ ｘ ） ＆ ｌ Ｉ ＋ Ｊ Ｉ ４ Ｉ ｆ ＇ （ ｘ ） ｌ ｄ ｘ ．
１ ． ２ 利用积分 中值定理证 明积分不等式
证 明 ： 记 ， － ｆ ・ ｆ 。 ｂ 丽 １ ＝ ｆ ・ ｆ 南 缸』 ，
又 ， － 』 ・ 』 南 ｆ ・ ｂ 而 １ ｄ ｙ ＝
积分不等式证明技巧解析
∫
2 f ( x ) dx ≤
∫
0
b a
1
f(
1) 1 ( ) d x + f′ 3 3
(x ∫
0
1
2
-
1) 1 dx = f ( ) . 3 3
6 借助于参数表达式来证明积分不等式
引入参数 t , 构造辅助函数
[ f ( x) ∫
- tg ( x ) ] d x ≥ 0 , 得到关于 t 的二次多项式 , 利用判别
n- 1 n- 2
+ … + 6 cn- 3 x + …
例 4 求 ( x 4 - x3 + 2 x 2 - x + 1) co s x d x. 解 列竖式计算 :
x x
4 4 3
∫
- x - x
+ 2x
2 2 2
- x - 6x + 5x
+1 - 20 + 21
3 2
12 x
3
- 10 x
∫
第 12 卷第 6 期
杨和稳 : 积分不等式证明技巧解析
27
1 ( ξ ) < 0 , x ∈ [ 0 , 1 ] , 所以 , 其中ξ介于 与 x 之间 . 因为 f ″ 3
f ( x) < f (
1 0
1) 1 1) 1 1 1) 2 ( ) (x ( ) ( x2 + f′ , f ( x ) < f ( ) + f ′ , 3 3 3 3 3 3
a x
例 4 设 f ( x ) 在 [ a , b] 上有连续导数 , 且 f ( a) = f ( b) = 0 , 证明 : b 4 ( x) | ≥ max | f ′ | f ( x ) | d x. 2
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法本文介绍了定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法。
定积分不等式是指对于连续函数f(x)，有如下不等式成立：
∫a^b f(x)dx ≤ (b-a) · max {f(x)} (a ≤ x ≤ b)
其中，a,b 为实数，f(x) 在区间 [a,b] 上连续。
这个不等式的证明可以采用两种方法，一种是通过构造函数的方法，另一种是通过利用积分中值定理的方法。
对于最佳常数的求解，可以采用类似于证明方法一的思路，构造一个特定的函数来达到最优解。
具体来说，我们需要构造一个函数，使得该函数在区间 [a,b] 上取到最大值，并且在该最大值处与 f(x) 相等。
通过求解该函数的表达式，可以得到最佳常数的值。
通过这两种方法的分析和证明，可以更加深入地理解定积分不等式及其最佳常数的概念和应用，加深对数学知识的掌握和理解。
- 1 -。
微积分法证明不等式
微积分法证明不等式
微积分法是一种强大的工具，可以用来证明各种不等式，包括在数学中最常见的不等式。
下面我们将着重介绍微积分法证明不等式的步骤和方法。
首先，给出待证明的不等式，并按照其数学符号和形式写出来，例如：f(x)≥g(x)。
其次，使用微积分法证明不等式，可以使用下面这几种方法：
（1）定积分法：
定积分法是指定义一个函数的积分，根据不等式的给定条件来确定积分的范围，然后用定积分公式，即积分的上下限，把函数的积分计算出来，从而证明不等式。
例如，当下限是a，上限是b时，可以用定积分法证明不等式：f(x)≥g(x)，可以把它写成∫a b f(x)dx
≥∫a b g(x)dx。
（2）不定积分法：
不定积分法是指不确定积分的范围，而是采用一些技巧来求解一个未给定的积分。
通常是不定积分，但也有一些情况可以使用定积分，从而证明不等式。
例如，当未给定积分的范围时，可以用不定积分法证明不等式：f(x)≥g(x)，可以把它写成∫f(x)dx≥∫g(x)dx。
（3）柯西不等式：
柯西不等式是一种常用的证明不等式的方法，例如，可以使用柯西不等式来证明不等式：f(x)≥g(x)，可以把它写成f(x)-g(x)≥0。
该不等式只要满足柯西不等式的条件，就可以证明f(x)≥g(x)。
最后，以上是微积分法证明不等式的步骤和方法。
只要使用此方法，就可以更准确地证明不等式，从而解决一些严苛的数学问题。
几类定积分不等式的证明_王阳
（苏州大学外国语学院 江苏苏州 215006）
犹太人对自己的生活是有着传统性的恪守，男婴出生第八天要 举行割礼仪式，是对再生的追求，也是对性的约束。一直生活在异
[摘 要]现代美国犹太人在美国这块“应许之地”、“希望之乡”的生 乡的犹太人对自己的身份经历了尴尬、模糊和认定的全面过程。在
分法先求出 f (x) 在[a,b] 上的最大、最小值，再用估值定理即可。
∫ 例：求证
2 exp(− 1 ) ≤ 2
1
−
2 1
exp(− x2 )dx
≤
2
2。
证：先求被积函数
f (x) = exp(− x2 ) 在 ⎡⎢⎣−
1, 2
1 ⎤ 上的最大 2 ⎥⎦
和最小值。
∫ ∫ λ f ( x )dx ≥ λ 1 f ( x )dx 。
0
0
三、利用柯西-许瓦兹不等式证明定积分不等式
( ) ∫ ∫ 当 所 求 证 的 不 等 式 中 含 有 ： b f 2 (x)dx, b f (x)dx 2 或
a
a
∫ ∫ b f (x)dx b g(x)dx 的形式时，可用柯西——许瓦兹不等式求证。
a
a
∵ f ′(x) = −2x exp(−x2 )
3.4 落地技术的对比研究
且经过 T 检验(p<0.01)，它们之间存在显著性差异，体现出两个项
最佳着地技术是尽可能加大脚跟与身体重心之间的水平距离，
目的较大差别。众所周知，助跑速度和起跳能力是决定跳跃成绩的 尽量利用身体重心的抛物线轨迹使双脚落得更远。从起跳脚离地后，
两个最为重要的因素，而在实际情况中，则恰恰是由于主观上要求 运动员身体重心抛物线的移动轨迹就已被决定。但在实际跳跃中，
定积分不等式证明方法
f x dx 表示由曲线 y f x ,x
b a b a
轴及直线
x a , x b 所围成的曲边梯形的面积的相反数.
（3） 如果连续函数 f x 正负不定, 则
f x dx 表示由曲线 y f x ,x 轴及直
线 xa , xb 所 围 成 的 一 些 小 曲 边 梯 形 的 面 积 的 代 数 和 , 有
a c a
性质 5
d
[1]
若
f x 在 a, b 上可积,且 f x 0 , c, d a, b ,则
b
f x dx f x dx .
c a
性质 6
[1]
若
f x 在 a, b 上可积, x a, b ,则
b
b a i f a ,即 n
定积分
f x dx 为一序列和的极限,这样我们可由一些序列和的不等式得到积分不
[3]
等式,下面首先给出著名的 Jensen 不等式 ,即 设 f x 为 a , b 上 的 连 续 下 凸 函 数 , 证 明 对 于 任 意 xi a, b 和 i 0 , （i=1,2,……,n）,
1.2 利用泰勒公式
定理 1
[2]
（泰勒定理）
若函数 f x 在 a , b 上存在直至 n 阶的连续导函数,在 x, x0 a, b ,至少存在一点 a, b ,
a, b 内存在{n+1}阶导函数,则对任意给定的
使得
f x f x0 f ' x0 x x0
f n x0 n!
f '' x0 2!
定积分不等式
2
a sin
x dx
3
0
0
4
分析:： 从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介
绍的一个等式
xf (sin x)dx
2
f (sin x)dx 变为[0,
] 上的积分，再用柯西不等式便可得结
0
0
2
论。
解：
xasin x dx
2 a sin x dx
证：令 F(x)
x
ax
tf (t)dt
x
f (t)dt ，则 F (a) 0, 且
a
2a
F (x) x a f (x) 1
x
1
f (t)dt
x
[ f (x) f (t)]dt 0
2
2a
2a
从而 F(x) F(a) 0, x [a,b]
取 x b ，便得 F (b) 0 ，结论得证．
a
a
b
b
（ii）| f (x)dx | | f (x) | dx .
a
a
d
b
（iii）若 f (x) 0 (x [a,b]), a c d b ,则 f (x)dx f (x)dx .
c
a
(iv)(柯西不等式)[ b f (x)g(x)dx]2 b f 2 (x)dx b g 2 (x)dx
a
2
被积函数中因子 x a b 关于积分区间中点具有某种对称性，而 f (x) 又单调，因此可想到前 2
面介绍的利用对称性计算积分的有关公式去处理．思路三：基于思路二的考虑，将积分区间二
等分，然后用积分中值定理或其它方法去证．思路四：由于 b (x a b ) f ( a b ) 0 故