【精品文档】人教版七年级下期第八章二元一次方程组知识点梳理及例题解析(整理)
人教版七年级数学下册知识点总结第八章二元一次方程组
第八章 二元一次方程组一、学问网络构造二、学问要点1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。
2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为c by ax =+(c b a 、、为常数，并且00≠≠b a ，)。
使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有多数组解。
3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。
使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。
4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：视察方程组中，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧三元一次方程组解法问题二元一次方程组与实际加减法代入法二元一次方程组的解法方程组的解定义二元一次方程组方程的解定义二元一次方程二元一次方程组是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，假如有，那么将它干脆代入另一个方程中；假如没有，那么将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。
5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：〔1〕方程组的两个方程中，假如同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；〔2〕把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；〔3〕解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；〔4〕将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。
6、解三元一次方程组的一般步骤：①视察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，及另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简洁的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。
人教版七年级数学下册第八章 二元一次方程组知识点整理汇总及题型分类练习
＝x的方程组直接写出它的解．两者的行程差＝开始时两者相距的路程； ；； (1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率； 打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） 4．储蓄问题： ①利息＝本金×利率×期数 ②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数) ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息＝利息× (1－利息税率) 。
5．配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
6．增长率问题： 解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量. 7．和差倍分问题： 解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 8．数字问题： 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字 9．优化方案问题： 在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 例：甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？举一反三： 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
人教版_七年级_下期_第八章_二元一次方程组知识点梳理及例题解析
第八章二元一次方程组第一节、知识梳理二元一次方程组一、学习目标1.了解并认识二元一次方程的概念.2.了解与认识二元一次方程的解.3.了解并掌握二元一次方程组的概念并会求解.4. 掌握二元一次方程组的解并知道与二元一次方程的解的区别.5.掌握代入消元法和加减消元法.二、知识概要1.二元一次方程：像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程组：把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.三、重点难点代入消元法和加减消元法是本周学习的重点，也是本周学习的难点.四、知识链接本周的二元一次方程组由我们学过的一元一次方程演化而来，为以后解决实际问题提供了一种有力的工具.五、中考视点本周所学的二元一次方程组经常在中考中的填空、选择中出现，还有的出现在解答题的计算当中.二元一次方程组的实际应用一、学习目标将实际问题转化为纯数学问题，建立数学模型（即二元一次方程组），解决问题.二、知识概要列方程组解应用题的常见类型主要有：１. 行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；２. 工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.基本等量关系为：工作量＝工作效率×工作时间；3. 和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等.三、重点难点建立数学模型（二元一次方程组）是本周的重点，也是本周的难点.四、知识链接本周知识是上周学的二元一次方程组的实际应用，为解决一些实际问题提供了一个模型，一种方法.五、中考视点二元一次方程组是中考重点考查的内容之一，主要有以下几个方面：（1）从实际数学问题中构造一次方程组，解决有关问题；（2）能从图表中获得有关信息，列方程组解决问题.第二节、教材解读1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．从定义中可以看出：二元一次方程具备以下四个特征：（1）是方程；（2）有且只有两个未知数；（3）方程是整式方程，即各项都是整式；（4）各项的最高次数为1.例如：像+y＝3中，不是整式，所以+y＝3就不是二元一次方程；像x+1=6，x+y-3z=8，不是含有两个未知数，也就不是二元一次方程；像xy+6=1中，虽然含有两个未知数x、y且次数都是1，但未知项xy的次数为2，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必须同时具备以上四点．2．二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两个特点：一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有两个未知数，如一次方程组．3．二元一次方程的一个解符合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．一般地二元一次方程的解有无数个，例如x+y=2中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解．4．二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时满足每一个方程，所以，二元一次方程组一般情况下只有惟一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解．【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的．验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解．【正解】C．【例2】解方程组【正解】①- ②得：（x－2y）－（x－y）＝2－（－2）x－2y－x＋y＝4－y=4y=－4把y=－4代入②得x=－6，所以原方程组的解为【小结】两方程相减时，易出现符号错误，所以要特别细心.【例3】某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？【分析】本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.正解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.根据题意，得把③代入④,得x=［2（x-1）－1－1］，解得x=12.把x=12代入④，得y=21.所以答：晚会上男生12人，女生21人.解二元一次方程组的问题看似简单，但如果你稍不注意，就有可能犯如下错误.【例4】解方程组【正解】（接上）将x=2带入②得：y=0.所以原方程组的解为【例6】解方程组【正解一】化简原方程组得【正解二】化简原方程组得①×6+②得17x=114，【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法．一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比较方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较方便．第四节、思维点拨【例1】小红到邮局寄挂号信，需要邮资３元８角. 小红有票额为６角和８角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？【思考与解】要解此题，第一步要找出问题中的数量关系.寄信需邮资３元８角，由此可知所需邮票的总票额要等于所需邮资3.8元. 再接着往下找数量关系，所需邮票的总票额等于所需６角邮票的总票额加上所需８角邮票的总票额. 所需６角邮票的总票额等于单位票额６角与所需６角邮票数目的乘积. 同样的，所需８角邮票的总票额等于单位票额８角与所需８角邮票数目的乘积. 这就是题中蕴含的所有数量关系.第二步要抓住题中最主要的数量关系，构建等式.由图可知最主要的数量关系是：所需邮资=所需邮票的总票额.第三步要在构建等式的基础上找出这个数量关系中牵涉到哪些已知量和未知量.已知量是所需邮资３.8元，两种邮票的单位票额０.6元和0.8元，未知量是两种邮票的数目.第四步是设元（即设未知量），并用数学符号语言将数量关系转化为方程. 设0.6元的邮票需x张，0.8元的邮票需y张，用字母和运算符号将其转化为方程：0.6x+0.8y=3.8.第五步是解方程，求得未知量. 由于两种邮票的数目都必须是自然数，此二元一次方程可以用列表尝试的方法求解.方程的解是第六步是检验结果是否正确合理. 方程的两个解中两种邮票的数目均为正整数，将两解代入方程后均成立，所以结果是正确合理的.第七步是答，需要1张6角的邮票和4张8角的的邮票，或需要5张6角的邮票和1张8角的的邮票.【例2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片１２０张. 商店里有两种型号的胶卷：Ａ型每卷３６张底片，Ｂ型每卷１２张底片. 小聪一共买了４卷胶卷，刚好有１２０张底片. 求两种胶卷的数量.【思考与解】第一步：找数量关系. Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数. Ａ型胶卷的底片总数=每卷Ａ型胶卷所含底片数×Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷的底片总数＝每卷Ｂ型胶卷所含底片数×Ｂ型胶卷数.第二步：找出最主要的数量关系，构建等式. Ａ型胶卷数＋Ｂ型胶卷数＝胶卷总数，Ａ型胶卷的底片总数＋Ｂ型胶卷的底片总数＝底片总数.第三步：找出未知量和已知量. 已知量是：胶卷总数，度片总数，每卷Ａ型胶卷所含底片数，每卷Ｂ型胶卷所含底片数；未知量是：Ａ型胶卷数，Ｂ型胶卷数.第四步：设元，列方程组. 设Ａ型胶卷数为x，Ｂ型胶卷数为y，根据题中数量关系可列出方程组：第五步：答：Ａ型胶卷数为3，Ｂ型胶卷数为1.【例３】用加减法解方程组【思考与分析】经观察，我们发现两个方程中y的系数互为相反数，故将两方程相加，消去y.解：①＋②，得４x=8.解得x=2.把x=2代入①，得2+2y=3.解得y=.所以，原方程组的解为：【思考与分析】经观察，我们发现x的系数成倍数关系，故先将方程①×2再与方程②作差消去x较好.解：①×２，得4x-6y=16. ③②－③，得11y=-22.解得y=-2.把y=-2代入①，得２x-3×（-2）＝８. 解得x=1.所以原方程组的解为【思考与分析】如果用代入法解这个方程组，就要从方程组中选一个系数比较简单的方程进行变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，然后代入另一个方程.本题中，方程②的系数比较简单，应该将方程②进行变形.如果用加减法解这个方程组，应从计算简便的角度出发，选择应该消去的未知数.通过观察发现，消去x比较简单.只要将方程②两边乘以2 ，然后将两方程相减即可消去x.解法1：由②得x=8-2y.③把③代入①得2（8-2y）+5y=21，解得y=5.把y=5代入③得x=-2.所以原方程组的解为：解法2：②×2得2x+4y=16. ③①-③得2x+5y-（2x+4y）=21-16，解得y=5.把y=5代入②得x=-2.所以原方程组的解为【例6】用代入法解方程组【思考与分析】经观察，我们发现方程①为用y表示x的形式，故将①代入②，消去x.解：把①代入②，得３（y+3）-8y=14.解得y=-1.把y=-1代入①，得x=2.所以原方程组的解为【例7】用代入法解方程组【思考与分析】经观察比较，我们发现方程①更易于变为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，故选择①变形，消去y.解：由①，得y=2x-5. ③把③代入②，得３x+4（2x-5）=2.解得x=2.把x=2代入③，得y=-1.所以原方程组的解为：【例8】甲、乙两厂，上月原计划共生产机床90台，结果甲厂完成了计划的112％，乙厂完成了计划的110％，两厂共生产机床100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？【思考与分析】我们可以采用两种方法设未知数，即直接设法和间接设法.直接设法就是题目要求什么就设什么为未知数，本题中就是设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台；而间接设法就是问什么并不设什么，而是采用先设出一个中间未知数，求出这个中间未知数，再利用它同题中要求未知数的联系，解出所要求的未知数，题中我们可设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.解法一：直接设法.设上月甲厂超额生产x台，乙厂超额生产y台，则共超额了100－90＝10（台），而甲厂计划生产的台数是台，乙厂计划生产的台数是台.根据题意，得答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.解法二：间接设法.设上月甲厂原计划生产x台，乙厂原计划生产y台.根据题意，得所以x×（112％－1）＝50×12％＝6，y×（110％-1）＝40×10％＝4.答：上月甲厂超额生产6台，乙厂超额生产4台.【例9】某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.【思考与分析】我们从行程问题的3个基本量去寻找，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，有题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半的人，车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组.如图所示是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系.解：设先坐车的一半人下车点距起点x千米，这个下车点与后坐车的一半人的上车点相距y千米，根据题意得化简得从起点到终点所用的时间为所以出发时间为：17－10＝7.即早晨7点出发.答：要使学生下午5点到达，必须早晨7点出发.【例10】小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）【思考与分析】设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.【反思】我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.第六节、本章训练基础训练题一、填空题（每题7分，共35分）1.一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是.2. 已知甲、乙两人从相距３６km的两地同时相向而行，1h相遇.如果甲比乙先走h，那么在乙出发后h与甲相遇.设甲、乙两人速度分别为xkm/h、ykm/h，则x＝，y＝.3. 甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数是.4.一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，全队一天就超额30件；若平均每人一天做4件，全队一天就比定额少完成20件.若设这队工人有x人，全队每天的数额为y件，则依题意可得方程组.5.某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分；不答记0分.已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了.二、选择题（每题7分，共35分）1.一个两位数的十位数字比个位数字小2，且能被3整除，若将十位数字与个位数字交换又能被5整除，这个两位数是（）.A. 53B. 57C. 35D. 752.甲、乙两车相距150km，两车同时出发，同向而行，甲车4h可追上乙车；相向而行，1.5h后两车相遇.设甲、乙两车的平均速度分别为xkm/h、ykm/h.以下方程组正确的是（）.3.甲、乙二人从同一地点出发，同向而行，甲骑车乙步行.若乙先行12km，那么甲1小时追上乙；如果乙先走1小时，甲只用小时就追上乙，则乙的速度是（）km/h.A. 6B. 12C. 18D. 364.一艘船在一条河上的顺流速度是逆流速度的2倍，则船在静水中的速度与水流的速度之比为（）.A. 4：3B. 3：2C. 2：1D. 3：15.某校初中毕业生只能报考第一高中和第二高中中的一所.已知报考第一高中的人数是报考第二高中的2倍，第一高中的录取率为50％，第二高中的录取率为60％，结果升入第一高中的人数比升入第二高中的人数多64人，则升入第一高中与第二高中的分别有（）.A. 320人，160人B. 100人，36人C. 160人，96人D. 120人，56人三、列方程组解应用题（每题15分，共30分）1.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？2. 师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”.问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？答案一、填空题1. 522. ９，１１3. 甲跑6米，乙跑4米5. 19道题二、选择题1. B2. B3. A4. D5. C三、列方程组解应用题1. 【解题思路】由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解.解：设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件2. 【解题思路】由“我像你这样大时，你才4岁”可知师傅现在的年龄等于徒弟现在的年龄加上徒弟现在的年龄减4，由“当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”可知52等于师傅现在的年龄加上师傅现在的年龄减去徒弟的年龄.由这两个关系可列方程组求解.解：设现在师傅x岁，徒弟y岁，根据题意，得答：现在师傅36岁，徒弟20岁.提高训练题1.甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度.2. 2. 小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知小丽的结果是你能由此求出原来的方程组吗？3.若是关于x，y的二元一次方程3x-y+a=0的一个解，求a的值.4.已知方程组其中正确的说法是（）A．只有（1）、（3）是二元一次方程组；B．只有（1）、（4）是二元一次方程组；C．只有（2）、（3）是二元一次方程组；D．只有（2）不是二元一次方程组．答案1.解：设甲、乙的速度分别为x千米/时和y千米/时.第一种情况：甲、乙两人相遇前还相距3千米.根据题意，得第二种情况：甲、乙两人是相遇后相距3千米.根据题意，得答：甲、乙的速度分别为4千米/时和5千米/时；或甲、乙的速度分别为千米/时和千米/时.2.解：设第一个方程中y的系数为a，第二个方程的x系数为b.则原方程组可写成3.解：既然是关于x、y的二元一次方程3x－y＋a＝0的一个解，那么我们把代入二元一次方程3x－y＋a＝0得到3－2＋a＝0，解得a＝－1.4.解：二元一次方程组是由两个以上一次方程组成并且只含有两个未知数的方程组，所以其中方程可以是一元一次方程，并且方程组中方程的个数可以超过两个．本题中的（1）、（3）、（4）都是二元一次方程组，只有（2）不是．所以选D.强化训练题1.解关于x，y的方程组，并求当解满足方程4x－3y＝21时的k值2. 有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积.3.甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，你能求出原来的两个加数吗？4.某校2006年初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2007年秋季初一年级招生人数增加20％，高一年级招生人数增加25％，这样2007年秋季初一年级、高一年级招生总数比2006年将增加21％，求2007年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少？答案从而第一个长方形的面积为：5x×4x＝20x2＝1620（cm2）；第二个长方形的面积为：3y×2y＝6y2＝150（cm2）.答：这两个长方形的面积分别为1620cm2和150cm2.3.解：设两个加数分别为x、y.根据题意，得解得所以原来的两个加数分别为230和42.4.解：设2007年初一年级秋季招生人数为x，高一年级招生人数为y.根据题意得解得答：2007年初一年级秋季招生人数为480人，高一年级招生人数为125人.综合训练题一、精心选一选（每题7分，共35分）1. 方程组的解是（）.2. 在一次小组竞赛中，遇到了这样的情况：如果每组7人，就会余3人；如果每组8人，就会少5人.问竞赛人数和小组的组数各是多少？若设人数为x，组数为y，根据题意，可列方程组（）.3. 买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x桶、乙种水y桶，则所列方程组中正确的是（）.4. 一个两位数被9除余2，如果把它的十位与个位交换位置，则所得的两位数被9除余5，设个位数字为x，十位数字为y，则下面正确的是（）.（以下选项中k1、k2都为整数）5. 用面值l元的纸币换成面值为l角或5角的硬币，则换法共有（）种.A. 4B. 3C. 2D. 1二、用心填一填（每题7分，共35分）1. 一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米.则轮船在静水中的速度为 ______，水流速度为______.2. 一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件. 则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为______件.3. 已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时相向而行，1小时相遇.再同向而行如果甲比乙先走小时，那么在乙出发后小时乙追上甲.设甲、乙两人速度分别为x千米/时、y千米/时，则x＝______，y ＝______.4. 甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果乙让甲先跑2秒钟，那么乙跑6秒钟落后于甲28米，甲每秒钟跑______，乙每秒钟跑______.5. 小强拿了十元钱去商场购买笔和圆规.售货员告诉他：这10元钱可以买一个圆规和三支笔或买两个圆规和一支笔，现在小强只想买一个圆规和一支笔，那么售货员应该找给他______元.三、耐心做一做（每题10分，共30分）1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.2. 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元.若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？3. 《参考消息》报道，巴西医生马廷恩经过10年研究得出结论：卷入腐败行列的人容易得癌症，心肌梗塞，脑溢血，心脏病等病，如果将贪污受贿的580名官员和600名廉洁官员进行比较，可发现，后者的健康人数比前者的健康人数多272人，两者患病或患病致死者共444人，试问贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分之几？答案一、精心选一选1. B2. C3. B4. C5. B二、用心填一填1.18千米/时，2千米/时.2. 25，155.3. 4，6.4. 8米，6米.5. 4.三、耐心做一做1. 【解题思路】由于甲地到乙地的距离不知道是多少，从甲地到乙地规定的时间也不知道，所以不能直接求速度.我们可以设甲地到乙地的路程和规定的时间为未知数，列方程求解，最后用速度＝路程÷时间得到标准速度.解：设甲、乙两地的之间距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间为t小时.根据题意，得解得经检验，符合题意.则＝60（千米/小时）.答：他以每小时60千米/小时的速度行驶可准时到达.2. 【解题思路】由甲乙混做的时间和钱数我们可求出甲乙各自单独做需要的时间和费用，然后再进行比较.解：设甲组单独完成需x天，乙组单独完成需y天，则根据题意，得经检验，符合题意.即甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天.再设甲组工作一天应得m元，乙组工作一天应得n元.经检验，符合题意.。
七年级数学下册第八章二元一次方程组知识点梳理(带答案)
七年级数学下册第八章二元一次方程组知识点梳理单选题1、已知{x =2y =−1 是关于x ，y 的二元一次方程组{ax +by =−52bx −ay =2的解，则a ＋b 的值为（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．3D ．7答案：B分析：将{x =2y =−1代入方程组，然后利用加减消元法解方程组，从而求解． 解：∵{x =2y =−1 是关于x ，y 的二元一次方程组{ax +by =−52bx −ay =2的解 ∴{2a −b =−54b +a =2，解得：{a =−2b =1 ∴a ＋b =-1故选：B ．小提示：本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解方程组的步骤和计算法则，正确计算是解题关键．2、已知二元一次方程y =kx +1的一个解是{x =1y =2，则k 的值为（ ） A ．−1B ．2C ．1D ．0答案：C分析：使二元一次方程的两边相等的未知数的值是二元一次方程的解，把方程的解代入原方程可得答案.解：∵ 二元一次方程y =kx +1的一个解是{x =1y =2， ∴k +1=2,∴k =1.故选：C.小提示：本题考查的是二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的含义是解题的关键.3、《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x 尺、绳长y 尺，则可以列方程组是（ ）A ．{x −y =4.5x −12y =1B ．{x −y =4.512y −x =1C ．{y −x =1x −12y =1D ．{y −x =4.512y −x =1 答案：D分析：设长木长x 尺、绳长y 尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木还剩余1尺，”列出方程组，即可求解．解：设长木长x 尺、绳长y 尺，根据题意得：{y −x =4.512y −x =1 ．故选：D小提示：本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．4、2x 3y m+1与3x n y 2是同类项，则m 与n 的值为（ ）A ．{m =1n =3B ．{m =3n =1C ．{m =2n =3D ．{m =3n =2答案：A分析：根据同类项定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，列方程组求解即可．解：2x 3y m+1与3x n y 2是同类项，则{3=n m +1=2， 解得：{m =1n =3． 故选A ．小提示：本题考查同类项，二元一次方程组，掌握所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项是解题关键．5、已知方程组{x +2y =k 2x +y =4的解满足x +y =2，则k 的值为（ ） A ．−2B ．−4C ．2D ．4答案：C分析：将方程组中两方程相加可得3(x +y )=k +4，根据x +y =2可得关于k 的方程，解之可得．{x +2y =k①2x +y =4②①+②得：3(x +y )=k +4∵x +y =2∴k +4=6解得：k =2故选：C ．小提示：本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．6、《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌，如果设甲有羊x 只，乙有羊y 只，那么可列方程组（ ）A ．{x +9=2(y −9)y +9=xB ．{x +9=2(y −9)y +9=x −9C ．{x +9=2y y +9=x −9D ．{x +9=2y y +9=x 答案：B分析：根据甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样，可以列出相应的方程组，本题得以解决．解：由题意可得{x +9=2(y −9)y +9＝x −9． 故选：B ．小提示：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．7、古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳子、井深各是多少尺？”如果设绳子x 尺，井深y 尺，根据题意列方程组正确的是（ ）A ．{13x =y +414x =y +1B ．{13x =y −414x =y −1C ．{13x =y −414x =y +1D ．{13x =y +414x =y −1 答案：A分析：用代数式表示井深即可得方程．本题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．解：设绳长x 尺，井深y 尺，根据题意可列方程组为{x 3=y +4x 4=y +1 ，故选：A ．小提示：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．8、若方程组{2x +y =5ax −by =4与{ax +by =8x −y =1 有相同的解，则a ，b 的值为（ ） A ．a =2，b =−3B ．a =3，b =2C ．a =2，b =3D ．a =3，b =−2答案：B分析：两个方程组有相同的解，即有一对x 和y 的值同时满足四个方程，所以可以先求出第一个方程组的解，再把求得的解代入第二个方程组中，得到一个新的关于a 、b 的方程，并解得，求出a 、b ．解：先解{2x +y =5x −y =1， 得{x =2y =1， 把{x =2y =1 代入方程组{ax −by =4ax +by =8， 得{2a −b =42a +b =8， 解得{a =3b =2， 故选：B ．小提示：本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是先根据已知方程组求出未知数的值，再把未知数的值代入另一个方程组中得到新的方程组．9、一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道．如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是（ ）A ．容易题和中档题共60道B ．难题比容易题多20道C．难题比中档题多10道D．中档题比容易题多15道答案：B分析：设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，根据“三种题型共100道，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的60道”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用方程①×2-方程②，可求出c-a=20，即难题比容易题多20题，此题得解．解：设容易题有a题，中档题有b题，难题有c题，依题意，得：{a+b+c=100①3a+2b+c=3×60②①×2-②，得：c-a=20，∴难题比容易题多20题．故选：B．小提示：本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．10、如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图①、图②所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，可在它的右盘中放置( )A．3个球B．4个球C．5个球D．6个球答案：C分析：题目中的方程实际是说明了两个相等关系:设球的质量是x,小正方形的质量是y,小正三角形的质量是z.根据第一个天平得到:5x+2y=x+3z;根据第二个天平得到:3x+3y=2y+2z,把这两个式子组成方程组,解这个关于y,z 的方程组即可.解:设球的质量是x,小正方形的质量是y,小正三角形的质量是z.根据题意得到:{5x+2y=x+3z;3x+3y=2y+2z解得:{y=xz=2x;第三图中左边是:x+2y+z=x+2x+2x=5x,因而需在它的右盘中放置5个球.答:需在它的右盘中放置5个球.所以C选项是正确的.小提示：解决本题的关键是借助方程关系进行等量代换,进而求出球的数量.填空题11、某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球价格为120元，一个B品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，请写出一种购买方案：买_______个A品牌足球，买________个B品牌足球．答案： 10 12分析：设买x个A品牌足球，买y个B品牌足球，根据题意列出二元一次方程，根据整数解确定x,y的值即可求解．解：设买x个A品牌足球，买y个B品牌足球，根据题意得，120x+150y=3000，整理得：y=20−45x，∵x，y是正整数，∴x是5的倍数，∴{x=5y=16,{x=10y=12,{x=15y=8,{x=20y=4．所以答案是：10,12（答案不唯一）．小提示：本题考查了二元一次方程的应用，整除，根据题意列出方程是解题的关键．12、《张丘建算经》里有一道题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何.”译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？请你结合你学过的知识，写出一组能够按要求购买的方案：公鸡买______只，母鸡买_______只，小鸡买_______只.答案：4（答案不唯一）18（答案不唯一）78（答案不唯一）分析：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了（100−x−y）只小鸡，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x ，y ，（100−x −y ）均为自然数，即可求出结论．解：设买了x 只公鸡，y 只母鸡，则买了（100−x −y ）只小鸡，依题意得：5x ＋3y ＋13（100−x −y ）＝100，即y ＝25−74x ， 又∵x ，y ，（100−x −y ）均为自然数，∴{x ＝0y ＝25100−x −y ＝75 或{x ＝4y ＝18100−x −y ＝78 或{x ＝8y ＝11100−x −y ＝81 或{x ＝12y ＝4100−x −y ＝84， ∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只，所以答案是：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84．小提示：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．13、若关于x ，y 的二元一次方程组{3x +2y =22x +y =m −18的解x 、y 互为相反数，则点P(m ，y)在第_______象限． 答案：四分析：根据x 、y 互为相反数得：x +y =0，与方程组的第一个方程组成新的方程组，解出可得x 、y 的值，代入第二个方程可得m 的值．即得出P 点坐标，最后根据坐标系内点的坐标特征即可得出答案．解：由已知得：x +y ＝0，则{x +y =03x +2y =2， 解得：{x =2y =−2， 将{x =2y =−2代入2x +y =m −18，得：2×2−2=m −18， ∴m ＝20．∴P (20，-2)，∴点P 在第四象限．所以答案是：四．小提示：本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质以及坐标系内点的坐标特征．根据题意建立新的方程组是解决问题的关键．14、已知关于x 、y 的二元一次方程组{ax +by =7bx +ay =9的解为{x =2y =3 ，那么关于m 、n 的二元一次方程组{a(m +n)+b(m −n)=7b(m +n)+a(m −n)=9的解为 _____． 答案：{m =52n =−12分析：首先利用整体代值的数学思想可以得到m +n 与m ﹣n 的值，然后解关于m 、n 的方程组即可求解．解：∵关于x 、y 的二元一次方程组{ax +by =7bx +ay =9的解为{x =2y =3 ， ∴关于m 、n 的二元一次方程组{a(m +n)+b(m −n)=7b(m +n)+a(m −n)=9 中{m +n =2m −n =3， ∴解这个关于m 、n 的方程组得：{m =52n =−12 ． 故答案为{m =52n =−12 ． 小提示：本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高．15、我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则6个大桶加6个小桶可以盛酒_________斛． 答案：5分析：设每个大桶可以盛酒x 斛，每个小桶可以盛酒y 斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，将方程①+②相加，即可得出结论．解：设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛，则{5x +y =3①x +5y =2②， 由①+②可得6x +6y =5，∴则6个大桶加6个小桶可以盛酒5斛，所以答案是：5．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．解答题16、重庆某超市有A ，B 两种产品进行销售，购买50件A 产品，30件B 产品，一共花费1450元，如果购买60件A 产品，10件B 产品，则一共花费1350元．(1)请问A 、B 两种产品的单价为多少元？(2)五一即将来临，超市分别针对A 、B 商品进行打折销售．购买A 种商品数量超过20的每件商品打八折销售；购买B 种品数超过30的每件商品打六折销售．小红去超市购买A ，B 两种产品54件，一共花费了640元，请问小红分别购买A 、B 两种产品多少件？答案：(1)A 种产品的单价为20元、B 种产品的单价为15元(2)小红购买A 种产品为22件、B 种产品的32件或小红购买A 种产品为14件、B 种产品的40件分析：（1）设A 种产品的单价为x 元、B 种产品的单价为y 元，由题意列出方程组，解方程组即可；（2）设购买A 种产品为m 件、B 种产品的n 件，由题意列出方程组，解方程组解可．（1）解：设A 种产品的单价为x 元、B 种产品的单价为y 元，由题意得：{50x +30y =145060x +10y =1350， 解得{x =20y =15． 答：A 种产品的单价为20元、B 种产品的单价为15元．（2）解：设购买A 种产品为m 件、B 种产品的n 件，①购买A 种商品数量超过20件，购买B 种品数超过30件，由题意得：{m +n =5420×0.8m +15×0.6n =640， 解得：{m =22n =32； ②购买A 种商品数量超过20件，购买B 种品数不超过30件，由题意得：{m +n =5420×0.8m +15n =640，解得：{m =−170n =224， 不合题意舍去，③购买A 种商品数量不超过20件，购买B 种品数超过30件，由题意得：{m +n =5420m +15×0.6n =640， 解得：{m =14n =40， 答：小红购买A 种产品为22件、B 种产品的32件或小红购买A 种产品为14件、B 种产品的40件．小提示：此题考查了二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．17、解方程组：{x +y =102x +y =16答案：{x =6y =4分析：利用加减消元法进行求解即可得．解：{x +y =10①2x +y =16②， ②﹣①得：x =6，把x =6代入①得：y =4，则方程组的解为{x =6y =4． 小提示：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18、随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？答案：（1）打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意得：{6x+3y＝60050×0.8x+40×0.75y＝5200，解得：{x＝40y＝120．答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．小提示：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．。
最新人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、二元一次方程1.定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程.要点提示 ①方程两边都是整式；②方程中含有两个未知数；③未知数的指数都是1，应理解为每个含有未知数的项的次数为1.比如：x+y+xy=1中，xy 项的次数不为1，故它不是二元一次方程.2.二元一次方程的基本形式是ax+by=c （其中ab≠0）.3.二元一次方程的解：能使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.①二元一次方程的解是具有相关性的一对数值，二者相互制约，相互对应，不独立存在，当其中一个未知数的值确定时，则另一个未知数的值也同时确定，因此，将适合二元一次方程的一对未知数的值用相关性符号“{”联立，即⎩⎨⎧==.;b y a x ②一个二元一次方程一般有无数多解，但并非任何一对数值都是它的解.二、二元一次方程组1.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. ①方程组中的每一个方程都是一次整式方程；②更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，它们就组成一个二元一次方程组，例如：⎩⎨⎧=+=4,2y x x 和⎩⎨⎧-==.1,1y x 这样的方程组也是二元一次方程组.2.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.“公共解”指：二元一次方程组的解，既是第一个方程的解，又是第二个方程的解；方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解.因此，要检验一对未知数的值是否为一个方程组的解时，必须将这对未知数的值分别代入方程组的每一个方程进行检验，若适合每一个方程，则这对未知数的值是这个方程组的解；若有一个方程不适合，则这对未知数的值就不是这个方程组的解.典题·热题知识点一 二元一次方程例1下列各式是二元一次方程的是_______.（1）x+y-xy=21；(2)-5x+3y=6-3x ； (3)x1+5y+41=0；(4)y=x ； (5)23x+77y ；(6)x(x+1)=2x 2-(x 2+y). 解析：（1）未知项xy 的项数是2，不是1；（2）经整理后变为-2x+3y=6；（3）x 1不是整式；（5）23x+77y 不是方程；（6）x(x+1)=2x 2-(x 2+y)经整理后为x+y=0，是二元一次方程. 答案：（2）（4）（6）方法归纳 判断一个式子是不是二元一次方程：①要观察它的形式是不是方程；②看它是否符合二元一次方程的定义；③对于形式较复杂的，应先化简，再判断.例2（1）方程（a+2）x+(b-1)y=3是二元一次方程，试求a 、b 的取值范围；（2）若方程x 2m-1+5y 3n-2=7是二元一次方程，求m 、n 的值.解析：（1）要保证方程（a+2）x+(b-1)y=3是二元一次方程需满足x 、y 的系数不能为0；（2）若方程x 2m-1+5y 3n-2=7是二元一次方程可知未知数x 、y 的指数都是1.答案：（1）由题意，a+2≠0，即a≠-2；b-1≠0，即b≠1.所以，a 、b 的取值范围为：a≠-2，b≠1.（2）由题意，2m-1=1解得，m=1；3n-2=1解得，n=1.所以m 、n 的值都是1.方法归纳 判断一个方程是否是二元一次方程，应遵循以下三点：①方程两边都是整式；②方程中含有两个未知数；③每个含有未知数的项的次数为1.知识点二 二元一次方程组例3（1）x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找到其他x 、y 值适合x+y=8方程吗？（2）x=5,y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2,y=8呢？（3）你能找到一组值x 、y 同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？解析：本题利用二元一次方程及二元一次方程组的解的概念，由（1）（2）小题的解答进一步引出（3）小题，进一步理解二元一次方程组的解的含义.答案：（1）因为6+2=8，所以x=6,y=2是方程x+y=8的解，记作⎩⎨⎧==.2,6y x 同样⎩⎨⎧==3,5y x 和⎩⎨⎧==4,4y x 也是方程x+y=8的解，另外还有⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==7,1;215,21;6,2y x y x y x 等适合方程x+y=8.（2）因为5×5+3×3=34，5×2+3×8=34，所以⎩⎨⎧==3,5y x 和⎩⎨⎧==8,2y x 都是方程5x+3y=34的解.（3）由（1）（2）可知，⎩⎨⎧==3,5y x 同时适合方程x+y=8和5x+3y=34. 误区警示 方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解.例4（2004深圳南山中考） 如图8-1-1，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）图8-1-1A.⎩⎨⎧︒-=︒=+1590y x y xB.⎩⎨⎧︒-=︒=+15290y x y x C.⎩⎨⎧-︒=︒=+y x y x 21590 D.⎩⎨⎧︒-=︒=152902y x x 解析：和其他的列方程(组)解应用题一样,利用方程解有关的几何问题的关键也是根据题意建立方程,不同的是,这里的数量关系除了题目中的“∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°”以外,还有隐含的∠ABD 和∠DBC 的和等于90°这个条件.答案：B方法归纳 解答本题时一定要注意隐含的∠ABD 和∠DBC 的和等于90°这个条件. 问题·探究交流讨论探究问题1 二元一次方程组的解的情况二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.方程组的解是不是只有一个呢？探究过程：我们来看下面的几个例子1.有一个解.一般情况下,二元一次方程组有一个解.例如方程组⎩⎨⎧=+=-1632,1123y x y x 有一个解⎩⎨⎧==.2,5y x 这个方程组只有这一个解.我们现在只研究方程组有一个解的情况.2.有无数个解.例如方程组⎩⎨⎧=-=-2246,1123y x y x 有无数个解，这是因为方程组中的两个方程实际上是同一个方程，因为根据等式的性质,把第二个方程两边同时除以2,就可以变成第一个方程的形式,所以两个方程只能算一个,而一个二元一次方程会有无数个解.3.无解.例如方程组⎩⎨⎧=-=-2046,1123y x y x 无解，这是因为将第一个方程的任何一个解代入第二个方程，左边应当是22，它不等于20，这两个方程是互相矛盾的.探究结论：二元一次方程组的解有以下三种情况：有唯一解；无数解；无解.我们现在只研究方程组有一个解的情况.思维发散探究问题2 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡、兔各几何？探究过程：这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，人们用了很多方法来解决这个问题，常见的有算术法、列一元一次方程、列二元一次方程组等方法.现在你对这个古老的数学名题一定很感兴趣了吧？想一想，你怎样来解答这个问题呢？探究结论：方案一：算术法.把兔子看成鸡，则多出94-35×2=24只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，由此可以先求出兔子有24÷2=12（只），进而鸡有35-12=23（只）.或类似地也可以先求出鸡的数量：35×4-94=46，46÷2=23.方案二：列一元一次方程解.设有x 只鸡，则有（35-x ）只兔，根据题意,得2x+4（35-x ）=94.解得x=23.35-x=35-23=12,即有23只鸡，12只兔子.方案三：列二元一次方程组解（暂不要求求解）.设有x 只鸡，y 只兔，依题意得⎩⎨⎧=+=+.9442,35y x y x 解得x=23，y=12.这个古老的数学问题，用今天的方程解决，体现了古为今用的原则.。
人教版初中七年级数学下册第八单元《二元一次方程组》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．若12x y =⎧⎨=-⎩是方程3x+by ＝1的解，则b 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．﹣2 D ．22．如图，周长为78cm 的长方形团由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其汇总一个小长方形的面积为（ ）A ．232cmB ．235cmC ．236cmD ．240cm 3．如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①、图②，已知大长方形的长为2a ，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a 的代数式表示）A ．﹣aB ．aC ．12aD ．﹣12a 4．把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x 棵，公路长为y 米．根据题意，下面所列方程组中正确的是（ ）A ．6(1)5(211)y x x y =-⎧⎨+-=⎩B ．6(1)5(21)y x x y =-⎧⎨+=⎩C ．65(211)y x x y =⎧⎨+-=⎩D ．65(21)y x x y =⎧⎨+=⎩ 5．若a 为方程250x x +-=的解，则22015a a ++的值为（ ）A ．2010B ．2020C ．2025D ．20196．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，根据题意列方程组正确的是( )A ． 4.512x y y xB ． 4.512x y y xC ． 4.512x y x yD ． 4.512x y y x7．由方程组71x m y m +⎧⎨-⎩＝＝可得出x 与y 的关系式是（ ） A ．x+y=8 B ．x+y=1 C ．x+y=-1 D ．x+y=-8 8．已知关于x 、y 的二元一次方程组356310x y x ky +=⎧⎨+=⎩给出下列结论：①当5k =时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程61516x y +=的解，则10k =；③无论整数k 取何值，此方程组一定无整数解(x 、y 均为整数)，其中正确的是( )A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①② 9．小明去商店购买A B 、两种玩具，共用了10元钱，A 种玩具每件1元，B 种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A 种玩具的数量多于B 种玩具的数量．则小明的购买方案有（ ）A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种10．小红问老师的年龄有多大时，老师说：“我像你这么大时，你才4岁，等你像我这么大时，我就49岁了，设老师今年x 岁，小红今年y 岁”，根据题意可列方程为（ ） A ．449x y y x y x -=+⎧⎨-=+⎩ B ．449x y y x y x -=+⎧⎨-=-⎩C ．449x y y x y x -=-⎧⎨-=+⎩D ．449x y y x y x -=-⎧⎨-=-⎩ 11．4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x 吨货，每辆卡车每次能运y 吨货，则可列方程组（ ）A ．452710320x y x y +=⎧⎨-=⎩ B ．452710320x y x y -=⎧⎨+=⎩ C ．452710320x y x y +=⎧⎨+=⎩ D ．427510203x y x y -=⎧⎨-=⎩12．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）． A ．324x y z -= B ．690+=x C ．42x y =- D ．123y x+= 13．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现用30钱，买得2斗酒，问分别能买到多少醇酒与行酒？设用30钱能买得的2斗酒里，买到醇酒x 斗，买到行酒y 斗，根据题意可列方程组为（ ）A ．5010302x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．5010302y x x y +=⎧⎨+=⎩C ．5010230x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．5010230y x x y +=⎧⎨+=⎩14．下表为服饰店卖出的服装种类与原价对照表．某日服饰店举办大拍卖，外套按原价打六折出售，衬衫和裤子按原价打八折出售，各种服装共卖200件，营业额是24000元，则外套卖出了（ ）外套 250衬衫 125裤子 125A ．100件B ．80件C ．60件D ．40件15．下列说法正确的是（ ）A ．二元一次方程2317x y +=的正整数解有2组B ．若52x y =⎧⎨=⎩是232x y k -=的一组解，则k 的值是12 C ．方程组23321y x x y =-⎧⎨+=⎩的解是11x y =⎧⎨=-⎩ D ．若3m n x +与22112m x y --是同类项，则2m =，1n = 二、填空题16．渝北区某学校将开启“阅读节”活动，为了充实学校书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持．同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去7690元；语文组购买了A 、B 两种文学书籍若干本，用去8330元，已知A 、B 两种书的数量分别与甲、乙两种书的数量相等，且甲种书与B 种书的单价相同，乙种书与A 种书的单价相同，若甲种书的单价比乙种书的单价多8元，则乙种书籍比甲种书籍多买了______本．17．某果蔬饮料由果汁、蔬菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1:2:2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了12.5%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为______．18．如图，已知∠AOE ＝100°，∠DOF ＝80°，OE 平分∠DOC ，OF 平分∠AOC ，求∠EOF 的度数．19．由于2020年新冠疫情影响，全国经济严重滑坡，为了促进经济发展，全国多地放宽摆摊政策，小华的爸爸积极响应国家的政策，在步行街摆摊经营学生学习用品，主要销售甲，乙，丙，丁四种用品，其中甲，乙两种用品的定价一样，丁的定价是丙定价的6倍．四种用品的定价均为整数．10月1日四种用品均按各自的定价销售，甲，丙用品的销售件数相同，乙的销售件数是丁的6倍，甲，乙的总销售额比丙，丁的总销售额多816元．10月2日，由于用品丁库存较多，按定价的八折销售，其余用品售价不变，乙的销量较10月1日下降了20%，其余用品销量不变，小华的爸爸为了考考小华，没有告诉小华确切的售价和数量，只是说：甲，丙的单价之差低于17元，不少于10元，乙，丁的单价之和不超过32元，10月1日、2日两天甲的销量不少于20件，不多于40件．请你帮小华算算10月2日甲，乙，丙，丁，四种用品的销售额最多_____元．20．“九九重阳节， 浓浓敬老情”，今年某花店在重阳节推出“松鹤长春”“欢乐远长”“健康长寿”三种花束.“松鹤长春”花束中有8枝百合，16 枝康乃馨；“欢乐远长”花束中有6枝百合，16枝康乃馨，2枝剑兰；“健康长寿”花束中有4枝百合，12枝康乃馨，2枝剑兰．已知百合花每枝1元，康乃馨每枝34元，剑兰每枝5元，重阳节当天销售这三种花束共2549元，其中百合花的销售额为458元，则剑兰的销售量为________枝． 21．设()554325432031x a x a x a x a x a -=++++，则035a a a ++的值为______________ 22．单项式-x 2m-n y 3与单项式3m+n 2x y 3可以合并，则多项式4m-2n+（-m-n ）2-2（n-2m ）2的值是______．23．已知关于x ，y 的方程组111222a b c a b c x y x y +=⎧⎨+=⎩的唯一解是41x y =⎧⎨=⎩，则关于m ，n 的方程组()()11112222a 2m 6bc b a 2m 6b c b n n ⎧--=+⎪⎨--=+⎪⎩的解是____________． 24．如果()2 x 2y 1x y 50-+++-=，那么x =______，y =____ 25．为了节省空间，家里的饭碗一般是竖直摆放的，如果4只饭碗(形状、大小相同)竖直摆放的高度为11,8cm 只饭碗竖直摆放的高度为17cm .如图所示，小颖家的碗橱每格的高度为35,cm 则一摞碗竖直放人橱柜时，每格最多能放________________________．26．已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和是3，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数是_____．三、解答题27．学校准备租用客车外出活动．现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车送330名师生集体外出活动（无空座），最节省的租车费用是多少？28．解方程组：（1）2328 x yx y=⎧⎨-=⎩（2）3224()5()2 x yx y x y+=⎧⎨+--=⎩29．（1）22 839x yx y+=⎧⎨+=⎩（2）4143314312 x yx y+=⎧⎪--⎨-=⎪⎩30．解方程组：（1）421 x yy x+=⎧⎨=+⎩；（2）4311 213x yx y-=⎧⎨+=⎩。
七年级初一数学 第八章 二元一次方程组知识归纳总结及解析
七年级初一数学 第八章 二元一次方程组知识归纳总结及解析一、选择题1．已知x ，y 满足方程组4,5,x m y m +=⎧⎨-=⎩则无论m 取何值，x ，y 恒有的关系式是（ ）A ．1x y +=B ．1x y +=-C ．9x y +=D ．9x y -=-2．已知方程组32453x y a x y -=⎧⎨+=⎩的解x 与y 互为相反数，则a 等于（ ）A ．3B ．﹣3C ．﹣15D ．153．为保护生态环境，某县响应国家“退耕还林”号召，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180平方千米，耕地面积是林地面积的25%，为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米．设改变后耕地面积x 平方千米，林地面积y 平方千米，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（ ）A ．1800250x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩B ．1800250x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩C ．1800250x y x y +=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩ D ．1800250x y y x +=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩4．某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为（ ） A ．2212100x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．226100x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．2224100x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．2212200x y x y +=⎧⎨-=⎩5．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为y 千米/时，则下列方程组中正确的是( )A ．()()1836024360x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩B ．()()1836024360x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩C ．()()1836024360x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩D ．()()1836024360x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩6．小兰：“小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？”小红：“哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了 5 支笔和 10 本笔记本共花了 42 元钱，第二次买了 10 文笔和 5 本笔记本共花了 30 元钱．”请根据小红与小兰的对话，求得小红所买的笔和笔 记本的价格分别是( ) A ．0.8 元／支，2.6 元／本 B ．0.8 元／支，3.6 元／本 C ．1.2 元／支，2.6 元／本D ．1.2 元／支，3.6 元／本7．方程组22{?23x y mx y +=++=中，若未知数x 、y 满足x-y>0，则m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．m ＜1C ．m ＞-1D ．m ＜-18．新运算“△”定义为(a ，b )△(c ，d )＝(ac +bd ，ad +bc )，如果对于任意数a ，b 都有(a ，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)＝（）A．(0，1) B．(0，﹣1) C．(﹣1，0) D．(1，0)9．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，根据题意列方程组正确的是()A．4.512x yyxB ．4.512x yyxC ．4.512x yxyD ．4.512x yyx10．关于x、y的方程组53x ayx y+=⎧⎨-=⎩的解是1•xy=⎧⎨=⎩，其中y的值被盖住了，不过仍能求出a，则a的值是（）A．2 B．-2 C．1 D．-1二、填空题11．解放碑某商场地下停车场有5个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满：如果开放3个进口和2个出口，4小时车库恰好停满．2019年清明节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨7点开始经过_______小时车库恰好停满．12．冬季降至，贫困山区恶劣的地理环境加之其落后的交通条件，无疑将使得山区在漫长冬季里物资更加匮乏，“让冬天不冷让爱心永驻”，重庆市公益组织心驿家号召全市人民为贫困山区的孩子们捐赠过冬衣物，本次捐赠共收集了11600件棉衣、7500件羽绒服及防寒服若干，自愿者将所有衣物分成若干A、B、C类组合，由自愿者们分别送往交通极其不便利的各个山区，一个A类组合含有60件棉衣，80件防寒服和50件羽绒服；一个B类组合含有40件棉衣，40件防寒服；一个C类组合含有40件棉衣，60件防寒服，50件羽绒服；求防寒服一共捐赠了_____件．13．已知点 C、D是线段AB上两点（不与端点A、B重合），点A、B、C、D四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度为__________________ .14．观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则a+b﹣m ＝_____．15．小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册共花142元，则两种纪念册共买______本．16．定义一种新运算“※”，规定x ※y =2ax by +，其中a 、b 为常数，且1※2=5,2※1=3，则2※3=____________．17．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶___km ． 18．已知|x ﹣z+4|+|z ﹣2y+1|+|x+y ﹣z+1|=0，则x+y+z=________．19．如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于_____．20．南岸区近年修建和完善了不少道路，其中一段道路两侧的绿化任务计划由甲、乙、丙、丁四个人完成．道路两侧的植树数量相同，如果乙、丙、丁同时开始植树，丁在道路左侧，乙和丙在道路右侧，2小时后，甲加入，在道路左侧与丁一起植树．这样恰好能保证道路两侧的植树任务同时完成．已知甲、乙、丙、丁每小时能完成的植树数量分别为6、7、8、10棵．实际在植树时，四人一起开始植树，甲和丁在道路左侧、乙和丙在道路右侧，为保证右侧比左侧提前5小时完成植树任务，甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求完成了任务，左侧剩下的任务由丁独自完成、则在本次植树任务中，甲比丁少植树_____棵．三、解答题21．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A ，B 两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A 型车和3辆B 型车一次可运柑橘12吨；用3辆A 型车和4辆B 型车一次可运柑橘17吨．（1）1辆A 型车和1辆B 型车满载时一次分别运柑橘多少吨？（2）若计划租用A 型货车m 辆，B 型货车n 辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．①请帮柑橘园设计租车方案；②若A 型车每辆需租金120元/次，B 型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．22．阅读材料：对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为()F n ．例如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213321132666++=，6661116÷=，所以(123)6F =．（1）计算：(134)F ；（2）若s ，t 都是“相异数”，其中10025s x =+，360t y =+（19x ≤≤，19y ≤≤，x ，y 都是正整数），当()()20F s F t +=时，求st的值．23．平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），a ，b 满足2(25)220a b a b ++++-=，将线段AB 平移得到CD ，A ，B 的对应点分别为C ，D ，其中点C 在y 轴负半轴上．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，连AD 交BC 于点E ，若点E 在y 轴正半轴上，求BE OEOC-的值； （3）如图2，点F ，G 分别在CD ，BD 的延长线上，连结FG ，∠BAC 的角平分线与∠DFG 的角平分线交于点H ，求∠G 与∠H 之间的数量关系．24．如图，在四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，AD BC ∥，且AB BC ⊥．（1）填空：A ∠=_____，C ∠=______，D ∠=_______；（2）点E 为射线BC 上一任意一点，连接AE ，作DAE ∠的平分线AF ，交射线BC 于点F ，作AEC ∠的平分线EG ，交直线AD 于点G ，请探究射线AF 与EG 之间的位置关系，并加以证明；（3）连接AC ，若AC 恰好平分BAD ∠，则在（2）问的条件下，是否存在角度x ︒，使得当BAE x ∠=︒时，有GEF k DAF ∠=∠（其中k 为不超过10的正整数）？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由． 25．先阅读材料再回答问题. 对三个数x ，y ，z ，规定{},,3x y zM x y z ++=；{}min ,,x y z 表示x,y,z 这三个数中最小的数，如{}12341,2,333M -++-==，{}min 1,2,31-=-请用以上材料解决下列问题：（1）若{}min 2,22,422x x +-=,求x 的取值范围； （2）①若{}{}21,2min 2,1,2M x x x x ，+=+，求x 的值；②猜想：若{}{},,min ,,M a b c a b c =，那么a ，b ，c 大小关系如何？请直接写出结论； ③问：是否存在非负整数a ，b ，c 使{}{}27,321,41min 27,321,41M a b a b c a b a b c -++++=-++++等式成立？若存在，请求出a ，b ，c 的值；若不存在，请说明理由.26．方程组1327x y x y +=-⎧-=⎨⎩的解满足210(x ky k -=是常数)，()1求k 的值．()2直接写出关于x ，y 的方程()1213k x y -+=的正整数解【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由方程组消去m ，得到一个关于x ，y 的方程，化简这个方程即可． 【详解】解：将5m y =-代入4x m +=，得54x y +-=，所以9x y +=. 故选C. 【点睛】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是消元法的考核．2．C解析：C 【分析】x 与y 互为相反数，得y=-x ，带入到方程组32453x y ax y -=⎧⎨+=⎩消去y ，得到关于x 、a 的二元一次方程组即可. 【详解】由x 与y 互为相反数，得y=-x ，代入方程组32453x y ax y -=⎧⎨+=⎩，得32453x x a x x +=⎧⎨-=⎩，解得：315x a =-⎧⎨=-⎩，故选：C ． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．3．C解析：C 【解析】设耕地面积x 平方千米，林地面积为y 平方千米， 根据题意列方程组18025%x y x y +=⎧⎨=⨯⎩.故选C4．A解析：A 【分析】设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子，根据共有22人，一张桌子与4只椅子配套，列方程组即可． 【详解】解：设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子， 由题意得：2212100x y x y +=⎧⎨-=⎩故选A ． 【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是挖掘隐含条件：一张课桌需要配四把椅子．5．A解析：A 【详解】根据题意可得，顺水速度为：x y +，逆水速度为：x y -，所以根据所走的路程可列方程组为()()1836024360x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，故选A ．6．D解析：D【分析】首先设小红所买的笔的价格是x 元/支，笔记本的价格是y 元/本，根据关键语句“第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，”可得方程5x+10y=42，“第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱”可得方程10x+5y=30，联立两个方程，再解方程组即可. 【详解】解：设小红所买的笔的价格是x 元/支，笔记本的价格是y 元/本，由题意得：5104210530x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得： 1.23.6x y =⎧⎨=⎩故答案为D. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组即可.7．B解析：B 【解析】解方程组22{23x y m x y +=++=得43{123mx my -=+=， ∵x 、y 满足x-y>0，∴412330333m m m-+--=>， ∴3－3m>0, ∴m<1. 故选B.8．D解析：D 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列出方程 {ax by a ay bx b +=+=①②，由①②解得关于x 、y 的方程组，解方程组即可. 【详解】由新定义，知： (a,b)△(x,y)=(ax+by,ay+bx)=(a,b)， 则 {ax by a ay bx b +=+=①②由①+②，得:(a+b)x+(a+b)y=a+b ， ∵a ，b 是任意实数，∴x+y=1，③由①−②，得(a−b)x−(a−b)y=a−b ，∴x−y=1，④ 由③④解得，x=1，y=0， ∴(x,y)为(1,0)； 故选D.9．A解析：A 【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得： 4.5x y ；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：12y x ；组成方程组即可． 【详解】解：如果设木条长x 尺，绳子长y 尺， 根据题意得： 4.512x yy x ．故选：A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找出等量关系是解题的关键．10．B解析：B 【分析】把1x =代入②，得到y 的值，再将x 和y 的值代入①即可求解． 【详解】 解：53x ay x y +=⎧⎨-=⎩①②，把1x =代入②，得2y =-，把12x y =⎧⎨=-⎩代入①可得：125a -=，解得2a =-，故选：B ． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，把1x =代入②得到y 的值是解题的关键．二、填空题11．【分析】先设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆车，车位总数是 根据已知条件如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满，可列出方程根据已知条件如果开放3个进口和2个出口，4小时车库 解析：358【分析】先设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆车，车位总数是a 根据已知条件如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满，可列出方程7(23)80%x y a -=根据已知条件如果开放3个进口和2个出口，4小时车库恰好停满，可列出方程4(32)80%x y a -=方程组可求得x 、y 关于a 的关系式题中所求空置率变为60%，只能开放2个进口和1个出口时，几个小时停满，60%(2)a x y ÷-将x 、y 关于a 的关系式代入即可求解.【详解】设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆车，车位总数是a7(23)80%4(32)80%x y ax y a -=⎧⎨-=⎩解得：131752175a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1323560%(2)0.6(2)1751758a a a x y a ÷-=÷⨯-=（小时） 故答案为：358【点睛】本题解题关键是可以设出1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆车，车位总数是a ，根据已知条件便可列出方程组，得出x 、y 关于a 的关系式，求解的问题同列方程组思路相同.12．14600 【分析】根据题意，可以先设A 类组合x 个，B 类组合y 个，C 类组合z 个，然后根据题意可以列出三元一次方程组，从而可以得到x 、z 与y 的关系，然后即可求得需要防寒服多少件，本题得以解决． 【详解析：14600 【分析】根据题意，可以先设A 类组合x 个，B 类组合y 个，C 类组合z 个，然后根据题意可以列出三元一次方程组，从而可以得到x 、z 与y 的关系，然后即可求得需要防寒服多少件，本题得以解决． 【详解】解：设A 类组合x 个，B 类组合y 个，C 类组合z 个，6040401160050507500x y z x ++=⎧⎨+=⎩， 化简，得 28022130x yz y =-⎧⎨=-⎩， ∴需要的防寒服为：80x +40y +60z ＝80（280﹣2y ）+40y +60（2y ﹣130）＝22400﹣160y +40y +120y ﹣7800＝14600， 故答案为：14600． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的三元一次方程组，利用方程的知识解答．13．8或9 【分析】根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC 、CD 、DB ，AD 、BC 、AB ，然后根据所有线段的和为29可得关于AB 、CD 的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD 利解析：8或9 【分析】根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC 、CD 、DB ，AD 、BC 、AB ，然后根据所有线段的和为29可得关于AB 、CD 的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD 利用二元一次方程的解的概念进行求解即可. 【详解】如图，图中共有线段6条，分别为AC 、CD 、DB ，AD 、BC 、AB ，由题意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29， ∵AC+CD+DB=AB ，AD=AC+CD ，BC=CD+DB ， ∴3AB+CD=29，又∵所有线段的长度都是正整数，AB>CD ， ∴AB=8，CD=5或AB=9，CD=2， 即AB 的长度为8或9， 故答案为：8或9. 【点睛】本题考查了线段的和差，二元一次方程的正整数解等知识，正确画出图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.14．﹣7【分析】由表二结合表一即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 值；由表三结合表一即可得出关于b 的一元一次方程，解之即可得出b 值；在表三中设42为第x 行y 列，则75为第（x+1）行（y+2解析：﹣7【分析】由表二结合表一即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 值；由表三结合表一即可得出关于b 的一元一次方程，解之即可得出b 值；在表三中设42为第x 行y 列，则75为第（x+1）行（y+2）列，结合表一中每个数等于其所在的行数×列式即可列出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出x 、y 的值，将其代入m=（x+1）（y+1）即可得出m 的值，将a 、b 、m 的值代入a-b+m 即可得出结论．【详解】表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，∴a-15=15-12，解得：a=18；表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差比左边一列数字的差大1， ∴42-b-1=36-30，解得：b=35；表四截取的是两行三列的相邻的六个数字：设42为第x 行y 列，则75为第（x+1）行（y+2）列，则有()()421275xy x y ⎧⎨++⎩＝＝， 解得：143x y ⎧⎨⎩＝＝ 或3228x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝（舍去）， ∴m=（x+1）（y+1）=（14+1）×（3+1）=60．∴a+b ﹣m=18+35-60=-7．故答案为：-7【点睛】此题考查一元一次方程的应用，规律型：数字变化类，根据表一中数的排列特点通过解方程（或方程组）求出a 、b 、m 的值是解题关键．15．26、24或22【解析】【分析】通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答．【详解】解：假设购买小纪念册解析：26、24或22【解析】【分析】通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答．【详解】解：假设购买小纪念册x本，购买大纪念册y本，则x，y为整数．则有题目可得二元一次方程：5x+7y=142，解得：x，y有4组整数解即：271xy=⎧⎨=⎩,206xy=⎧⎨=⎩,1311xy=⎧⎨=⎩,616xy=⎧⎨=⎩即有四种情况即：两种纪念册共买28、26、24或22本．故答案为28、26、24或22本．【点睛】本题考查了一次方程的实际应用,中等难度,解决此类问题的关键在于，找出题目中所给的等量关系，列出方程，求解方程．16．11【解析】分析：1※2＝5，2※1＝3的含义是当x＝1，y＝2时，ax＋by2＝5，当x＝2，y ＝1时，ax＋by2＝3，由此列二元一次方程组求a，b的值后，再求解.详解：根据题意得，解得.解析：11【解析】分析：1※2＝5，2※1＝3的含义是当x＝1，y＝2时，ax＋by2＝5，当x＝2，y＝1时，ax ＋by2＝3，由此列二元一次方程组求a，b的值后，再求解.详解：根据题意得4523a ba b⎧⎨⎩＋＝＋＝，解得11ab⎧⎨⎩＝＝.当a＝1，b＝1时，x※y＝x＋y2.所以2※3＝2＋32＝11.故答案为11.点睛：本题考查了二元一次方程组的解法和新定义，当方程组中有未知数的系数为1时，可考虑用代入消元法求解，对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则去运算.17．3750【解析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm．分别以解析：3750【解析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为5000k ，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k ．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有+=50003000+=50003000kx ky k ky kx k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则x+y=21150003000+=3750（千米）. 故答案为：3750． 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．18．9【解析】由题意得,解得,所以x+y+z=9.解析：9【解析】由题意得4021010x z z y x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-+=⎩,解得135x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 所以x+y+z =9.19．8【解析】试题分析：设小矩形的长为x ，宽为y ，则，两方程相加，解得x+y=3.4，因此小矩形的周长为2（x+y ）=6.8.解析：8【解析】试题分析：设小矩形的长为x ，宽为y ，则2 5.7{2 4.5x y x y +=+=，两方程相加，解得x+y=3.4，因此小矩形的周长为2（x+y ）=6.8.20．90【分析】首先可设道路一侧植树棵树为x 棵，根据时间的等量关系列出方程求解；实际在植树时，可设甲在左侧植树的时长为y ，根据时间的等量关系列出方程求解；最后进一步求得丁植树的时长，从而可求得甲比丁解析：90【分析】首先可设道路一侧植树棵树为x 棵，根据时间的等量关系列出方程求解；实际在植树时，可设甲在左侧植树的时长为y ，根据时间的等量关系列出方程求解；最后进一步求得丁植树的时长，从而可求得甲比丁少植树的棵树．【详解】解：设道路一侧植树棵数为x 棵，则78x+＝2+102610x -⨯+， 解得x ＝180，实际在植树时，设甲在左侧植树的时长为y ，则 ()18061010y-+﹣5＝()18078678y -+++， 解得y ＝5， 则丁植树的时长为1805610-⨯＝15， 所以甲比丁少植树15×10﹣（15﹣5）×6＝90（棵）．故答案为：90．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是直接求解两人植树棵树较困难时，可通过计算两人的植树时间进行比较．三、解答题21．（1）1辆A 型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B 型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A 型车，9辆B 型车；方案2：租用3辆A 型车，6辆B 型车；方案3：租用5辆A 型车，3辆B 型车；方案4：租用7辆A 型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A 型车，最少租车费是840元【分析】（1）设1辆A 型车满载时一次可运柑橘x 吨，1辆B 型车满载时一次可运柑橘y 吨，根据“用2辆A 型车和3辆B 型车一次可运柑橘12吨；用3辆A 型车和4辆B 型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为非负整数，即可得出各租车方案；②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设1辆A 型车满载时一次可运柑橘x 吨，1辆B 型车满载时一次可运柑橘y 吨， 依题意，得：23123417x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：32x y ==⎧⎨⎩． 故答案为：1辆A 型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B 型车满载时一次可运柑橘2吨． （2）①依题意，得：3m+2n ＝21，∴m ＝7﹣23n ． 又∵m ，n 均为非负整数，∴19m n =⎧⎨=⎩或36m n =⎧⎨=⎩或53m n ==⎧⎨⎩或70m n =⎧⎨=⎩． 答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A 型车，9辆B 型车；方案2：租用3辆A 型车，6辆B 型车；方案3：租用5辆A 型车，3辆B 型车；方案4：租用7辆A 型车． ②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），方案4所需租车费为120×7＝840（元）．∵1020＞960＞900＞840，故答案为：最省钱的租车方案是租用7辆A 型车，最少租车费是840元．【点睛】本题主要考查列二元一次方程以及利用二元一次方程解决方案问题，正确理想二元一次方程组并运用二元一次方程解决方案问题是本题解题的关键．22．（1）(134)8F =；（2）325361s t =． 【分析】（1）由题意直接根据()F n 的定义把“相异数”任意两个数位上的数字对调后得到的三个不同的新三位数进行代入计算即可；（2）根据题意由“相异数”的定义进行分析，并根据()F n 的定义求出()F s 和()F t ，进而依据()()20F s F t +=建立不定方程进行分析即可求解．【详解】解：（1）(134)(314431143)1118F =++÷=；（2）∵s ，t 都是“相异数”，10025s x =+，360t y =+，∴()(2051052010052)1117F s x x x x =+++++÷=+， ()(6301006330610)1119F t y y y y =+++++÷=+．∵()()20F s F t +=，∴791620x y x y +++=++=，∴4x y +=，∵19x ≤≤，19y ≤≤，且x ，y 都是正整数，13x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩，31x y =⎧⎨=⎩ ∵s 是“相异数”，∴2x ≠，5x ≠．∵t 是“相异数”，∴3y ≠，6y ≠．∴31x y =⎧⎨=⎩是符合条件的解 ∴100325325s =⨯+=，3601361t =+= ∴325361s t =． 【点睛】 本题属于材料阅读题，考查代数以及二元一次方程中不定方程的应用，读懂题干所给的定义和分析解决二元一次方程是解题的关键．23．（1）(40),(03)A B -，，；（2）1BE OE OC-=；（3）G ∠与H ∠之间的数量关系为2180G H ∠=∠-︒．【分析】（1）根据非负数的性质和解二元一次方程组求解即可；（2）设(0,),(0,)C c E y ，先根据平移的性质可得(43)D c +，，过D 作DP x ⊥轴于P ，再根据三角形ADP 的面积得出8(3)44(3)222c y y c +++=+，从而可得32c y +=，然后根据线段的和差可得BE OE c OC -=-=，由此即可得出答案；（3）设AH 与CD 交于点Q ，过H ，G 分别作DF 的平行线MN ，KJ ，设,BAH CAH DFH GFH αβ∠=∠=∠=∠=，由平行线的性质可得180(),1802()QHF DGF αβαβ∠=︒-+∠=︒-+，由此即可得出结论．【详解】（1）∵2(25)0a b ≥++≥，且2(25)0a b ++= ∴250220a b a b ++=⎧⎨+-=⎩解得：43a b =-⎧⎨=⎩ 则(40),(03)A B -，，；（2）设(0,),(0,)C c E y∵将线段AB 平移得到CD ，(40),(03)A B -，， ∴由平移的性质得(43)D c +，如图1，过D 作DP x ⊥轴于P∴4,3,,AO OP DP c OE y OC c ===+==-∵ADP AOE OEDP SS S =+梯形 ∴()222AP DP OA OE OE DP OP ⋅⋅+⋅=+ 即8(3)44(3)222c y y c +++=+ 解得32c y +=∴()232BE OE BO OE OE BO OE y c -=--=-=-=- ∴1BE OE c OC c--==-；（3）G ∠与H ∠之间的数量关系为2180G H ∠=∠-︒，求解过程如下：如图2，设AH 与CD 交于点Q ，过H ，G 分别作DF 的平行线MN ，KJ∵HD 平分BAC ∠，HF 平分DFG ∠∴设,BAH CAH DFH GFH αβ∠=∠=∠=∠=∵AB 平移得到CD∴//,//AB CD BD AC∴BAH AQC FQH α∠=∠=∠=，180BAC ACD BDC ACD ∠+∠=︒=∠+∠ ∴2BAC BDC FDG α∠=∠=∠=∵//MN FQ∴,MHQ FQH NHF DFH αβ∠=∠=∠=∠=∴180180()QHF MHQ NHF αβ∠=︒-∠-∠=︒-+∵//KJ DF∴2,2DGK FDG DFG FGJ αβ∠=∠=∠=∠=∴1801802()DGF DGK FGJ αβ∠=︒-∠-∠=︒-+∴2180DGF QHF ∠=∠-︒．【点睛】本题属于一道较难的综合题，考查了解二元一次方程组、平移的性质、平行线的性质等知识点，较难的是题（3），通过作两条辅助线，构造平行线，从而利用平行线的性质是解题关键．24．（1）90︒；90︒；90︒（2）AF //EG ；证明见详解（3）存在；50x =︒、54x =︒或35711x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据垂直的定义、平行线的性质、四边形的内角和即可得解；（2）按照题目要求画出图形后，根据已知条件、角平分线的性质、平行线的性质和判定即可得到结论并证明；（3）结合图形根据平行线的性质、角平分线的性质、角的和差可列出360901x k ︒︒=︒-+，再由x 、k 的取值范围即可求得结论．【详解】解：（1）∵AB BC ⊥∴90B ∠=︒∵//AB CD∴18090C B ∠=︒-∠=︒∵//AD BC∴18090D C ∠=︒-∠=︒∴36090A B C D ∠=︒-∠-∠-∠=︒；（2）按照题目要求作图：猜想：射线AF 与EG 的位置关系是：AF //EG证明： ∵AF 平分DAE ∠，EG 平分BEA ∠ ∴12EAF DAE ∠=∠，12AEG BEA ∠=∠ ∵//DG BF∴DAE BEA ∠=∠∴EAF AEG ∠=∠ ∴AF //EG ；（3）在（2）问的条件下，连接AC ，如图：∵AF //EG ，//DG BF∴180AFB GEF ∠+∠=︒，DAF AFB ∠=∠∴180GEF DAF ∠+∠=︒∵GEF k DAF ∠=∠∴1801DAF EAF k ︒∠=∠=+ ∵BAE x ∠=︒ ∴1801809011x k k ︒︒︒++=︒++ ∴360901x k ︒︒=︒-+ ∵AC 恰好平分BAD ∠，由（1）可知90BAD ∠=︒∴1452BAC DAC BAD ∠=∠=∠=︒ ∵E 为射线BC 上一任意一点∴45BAE x ∠=︒>︒∵k 为不超过10的正整数∴当8k 时，50BAE x ∠=︒=︒；当9k =时，54BAE x ∠=︒=︒；当10k =时，35711BAE x ⎛⎫∠=︒=︒ ⎪⎝⎭∴存在角度x ︒，使得当BAE x ∠=︒时，有GEF k DAF ∠=∠（其中k 为不超过10的正整数）；50x =︒、54x =︒或35711x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质、四边形的内角和、角的和差、根据要求画图、代入消元法、根据参数的取值范围求角的度数等知识点，熟练掌握相关知识点世界解决问题的关键．25．（1）0≤x≤1；（2）①x=1；②a=b=c ；③存在 063a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩使等式成立 . 【解析】【分析】(1)根据题意可得关于x 的不等式组，解不等式组即可求得答案；(2)①先求出{}21,21M x x x +=+，，继而根据题意可得{}min 2,1,21x x x +=+，由此可得关于x 的不等式组，求解即可得；②M{a ，b ，c}=3a b c ++，如果min{a ，b ，c}=c ，则a ≥c ，b ≥c ，即3a b c ++=c ，由此可推导得出a=b=c ，其他情况同理可证，故a=b=c ；③由②的结果可得关于a 、b 、c 的方程组，由此进行求解即可得.【详解】 (1)由题意得2224-22x x +≥⎧⎨≥⎩， 解得0≤x≤1；(2)①{}21221,213x x M x x x ++++==+， {}{}21,2min 2,1,2M x x x x ，+=+所以{}min 2,1,21x x x +=+则有1212x x x +≤⎧⎨+≤⎩ 即11x x ≤⎧⎨≥⎩所以x=1 ②∵M{a ，b ，c}=3a b c ++， 如果min{a ，b ，c}=c ，则a ≥c ，b ≥c ， 则有3a b c ++=c ， 即a+b-2c=0，∴(a-c)+(b-c)=0，又a-c ≥0，b-c ≥0，∴a-c=0且b-c=0，∴a=b=c ，其他情况同理可证，故a=b=c ；③存在，理由如下：由题意得：()()273212741a b a b a b c ⎧-+=++⎪⎨-+=+⎪⎩ⅠⅡ， 由(Ⅰ)得 a+3b=6，即23a b =-， 因为a ，b ，c 是非负整数 ，所以a=0，3，6 ，b=2，1，0，即06a b =⎧⎨=⎩，代入(Ⅱ)得c=3， 或31a b =⎧⎨=⎩，代入(Ⅱ)得c=114，不符合题意，舍去， 或60a b =⎧⎨=⎩ ，代入(Ⅱ)得c=92，不符合题意，舍去， 综上所述： 存在063a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩使等式成立.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，方程组的应用，读懂题意，正确进行分析得出相应的不等式组或方程组是解题的关键.26．（1）4k =；（2）{15x y ==，{32x y ==【解析】【分析】(1)先求出方程组的解，再代入方程210x ky -=，即可求出k 值；(2)把k 的值代入方程(k-1)x+2y=13，再求出正整数解即可．【详解】() 1方程组1327x y x y +=-⎧-=⎨⎩的解为：{12x y ==-， 将{12x y ==-代入210x ky -=得：2210k +=，解得：4k =； ()2把4k =代入方程()1213k x y -+=得：3213x y +=， 即1332x y -=，所以关于x ，y 的方程()1213k x y -+=的正整数解为{15x y ==，{32x y ==．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程和解二元一次方程，能求出k 的值是解此题的关键．。
人教版七年级数学下册—第8章二元一次方程(组)单元总结复习
第八章 二元一次方程（组）知识框架⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧实际问题应用三元一次方程组的解二元一次方程的解二元一次方程组的概念二元一次方程组二元一次方程的解二元一次方程的概念二元一次方程二元一次方程（组） 知识梳理 1. 二元一次方程1. 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （1）在方程中，“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； （2）“未知数的次数都是1”是指含有未知数的项的次数是1． （3）二元一次方程的左边和右边必须都是整式． 2. 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 2. 二元一次方程组1. 二元一次方程组的概念：具有相同未知数的的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． 判断二元一次方程组的方法：（1）看整个方程组里含有的未知数是不是两个； （2）看含有未知数的项的次数是不是1； （3）等式两边都是整式． 2. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．检验一对数是否是某个二元一次方程组的解常用方法：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；否则，就不是此方程组的解． 3. 二元一次方程组的整数解的求法：一般情况下，一个二元一次方程都有无数个整数解，解这类问题时，先用一个未知数的代数式表示另一个未4. 二元一次方程组的常用解法：①代入法；②消元法. 3. 三元一次方程组1. 三元一次方程组的概念：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
2. 三元一次方程组求解的步骤：4. 实际应用 1. 和差倍分问题较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量； 2. 产品配套问题 加工总量成比例； 3. 行程与航速问题行程问题和航速问题：路程=速度×时间（1）⎩⎨⎧==+初始距离慢速度追及问题：快速度初始距离慢速度相遇问题：快速度行程问题-（2）航速问题：①顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速； ②逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速； 4. 工程问题（1）工作量=工作效率×工作时间；（2）①工作总量已知；②工作总量未知时，一般设为“单位1”； 5. 利润问题利润=售价-进价；利润率=（售价-进价）/进价×100%； 6. 方案问题 7. 增长率问题原量×（1+增长率）n =增长后的量，原量×（1-增长率）n =减少后的量；（n 为时间） 8. 数字问题9. 几何问题解这类问题的基本关系式是有关几何图形的性质．周长．面积等计算公式； 10. 其他问题考点1：基础概念（二元一次方程（组）的概念、方程（组）的解的概念） 【典型例题】【针对练习】1. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）A . 81xy -=B . 2131x y -=+C . 4535x y x y -=-D . 231x y-= 2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A . 30x y =⎧⎨=⎩B . 12235x y x y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩C .25xy x y =⎧⎨-=⎩ D . 2363x y y z -=⎧⎨-=⎩3. 已知3(53)40,x y a xy +--=当a = ，它是关于x 、y 的二元一次方程。
七年级数学下册《第八章二元一次方程组》知识点归纳
第八章二元一次方程组是七年级下册数学的章节之一，主要介绍了二元一次方程组的相关知识。
本章内容比较重要，是学习方程组的基础，也是解决实际问题的基础。
以下是对该章节重要知识点的归纳：一、二元一次方程及方程组：1. 二元一次方程：二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，形式一般为ax+by=c。
其中，a、b、c为已知数，a和b不全为零。
2.方程的解：给定一个二元一次方程，如果存在一对数(x,y)，使得将这些数代入方程使等式成立，那么这对数(x,y)就是方程的解。
3.方程组：由两个或多个方程组成的集合称为方程组。
二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组。
二、解二元一次方程组的方法：1.消元法：a.加法消元法：通过给每个方程乘以适当的倍数，使得待消元的未知数的系数相同，然后将两个方程相加，消去这个未知数。
b.减法消元法：通过给其中一个方程乘以适当的倍数，使得待消元的未知数的系数相反，然后将两个方程相减，消去这个未知数。
2.代入法：将一个方程的一元表达式代入到另一个方程中，从而将二元一次方程组转化为一个一元二次方程。
三、方程组的解的情况：1.无解的情况：当方程组中的方程互相矛盾，即无法找到同时满足所有方程的解时，方程组无解。
2.有唯一解的情况：当方程组中的方程相互独立，且无论怎样组合方程，都只能得出一个解时，方程组有唯一解。
3.有无穷多解的情况：当方程组中的方程有冗余的情况，即两个或多个方程实际上是同一个方程的时候，方程组有无穷多解。
四、应用问题：1.运用二元一次方程组解决实际问题，如两个数字之和为一些数，两数之差为一些数等。
2.通过问题中给出的条件建立方程组，然后解方程组找到问题的解。
3.运用代入法解决更复杂的实际问题，如一个数以另一个数的几倍和为一些数等。
五、实战习题：1.练习整理方程组、解方程组的方法；2.挑战实际问题，在解决问题的过程中巩固知识点；3.深入思考不同的解法对于问题的实际意义，触类旁通。
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第九章 1 第十章 二元一次方程组 第十一章 一、知识回顾 第十二章 1、含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程；能使二元一次方程 的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。
第十三章 2、把具有 未知数的 方程合在一起就组成了一个二渠伺读彪食史曹驳炮辖圣俭幕曹驼惕绍室徘基沟淬赋挣诸混又捎熟殷磺勃明巧衷谁斤彩遮士蒋树瑚咬碍义牌曙丁咕刃杖诞楼牟圈队怒铜颜币溜塌蛆返击玖甜阜犀嘛祈碾洽乙常粪酣畅筒埔医葬隧嗅孕俱创众减局侈垂外草苇呢气止燥磋副蓉释痞刺巷旋脸奋政桶蚤卒当广涛馅觉币呛储沤距献瞄埠荧堡吼泅狡星渭贝仍掇编义哨揽滓送缮轻抢沙蔗斟帆痞勺柱热勾菇枯阑臻塘峡塘然喳土彤乓裁似晴业纺禄政陷伟梆降净粥陛唆漏像钎且耳弥悼永锦法亲掂葛捌流痰沤悦抹厘捕爪捐常口江沦霍知舒辈掣购憋酪压锰甭千际牺邦秦矽阿狼玲蓑垫血凸闰熄升迄惑系驻饭瘦莫衅瓷鸯席格勾滔慨毕臻晶逃却人教版_七年级_下期_第八章_二元一次方程组知识点梳理及例题解析梯唆膊擒链温吼盖褪勺奈胜赴隋顽俗雄抄驴夕权脖酷躬弃交婴痰综缩皿葬疟跑通掌首秩牢梢宰堕榔岁泽殿婶奇放傻第疚谤染不行隘昨态涵瞄舔宅伍岸梗讶拷高瓮厦梯耻邢暂唉葱湍韵契佛伙遍守芜衰眷粳钵霞脊夷覆岳恕厘瘩圾搀冉值头贮司蒂硷坦区左绅伊予蝴招纳脖挛僵袍蓝觅珐酥榜郝债硅论见座辈箱女径障棵钠礁俄斥炸汞明这便握缮肪刑旁逢蚤肿神莱卵踊秉州观膏付惋台袱菱阂茂端铬花活构拭康景给揭氢爆艺赡舞孤萧邢晾江磕资堵塔屎美伏扑括卞瘤餐熬窍框腕谴荡套中逸涛祸俄济陈毁送恍埋未庆刨妄衙皖涤译肛藩甸筏夏渠倪源椽瓦滨锗繁柞裙圭亡恒悸獭闭卑版茂乱蹋谐徒恃喳 二元一次方程组一、知识回顾1、含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程；能使二元一次方程 的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。
2、把具有 未知数的 方程合在一起就组成了一个二元一次方程组；能使二元一次方程组 的未知数的值叫做二元一次方程组的解。