2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛1.设素数p 、正整数n 满足()2211nk p k=+∏.证明：2p n <.1.按照()211nk k=+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论.（1）若存在()1k k n ≤≤，使得()221pk+，则221p n ≤+.于是，2p n ≤<.（2）若对任意的()1k k n ≤≤，()221pk+，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且()21p k +. 则()22p k j-.于是，|()()p k j k j -+.当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <.2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()1212100n n x x x x x x n +++=，求n 的最大可能值.2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得1nii xn =≥∑，所以：1100ni i x =≤∏又等号无法成立，则199nii x=≤∏而()()()111111111n nnniiiii i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏则11198nniii i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ⇒+⇒≤⨯=取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立3.如图1，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，设ABD ACD ∆∆、的内心分别为12,I I ，12,AI D AI D ∆∆的外心分别为12O O 、，直线12I O 与21I O 交于点P .证明：PD BC ⊥.3.由1111O A O I O D ==及内心的性质，知1O 为ABD ∆外接圆弧AD 的中点.如图2，延长12,BI DI 交于点1J ，则1J 为ABD ∆中B ∠内的旁心，且1O 为11I J 的中点 类似地，延长12,DI CI 交于点2J ，则2J 为ACD ∆ 中C ∠内的旁心，且2O 为22I J 的中点过点D 作DP BC '⊥.只需证明12I O 、21I O 、DP '三线共点 对12DI I ∆用角元塞瓦定理，只需证明：212121121221sin sin sin 1sin sin sin P DI DI O O I I P DI O I I DI O '∠∠∠⋅⋅='∠∠∠ 事实上，由2222O J O I =，知212212O I J O I I S S ∆∆=，则212212122121212122122121212122sin sin 2sin sin O I J o I I S DI O O I J I J I O I I S O I I O I I I J I I I O ∆∆∠∠===∠∠⋅⋅同理：121212112sin sin O I I I J DI O I I ∠=∠，又2211sin cos sin cos P DI CDI P DI BDI '∠∠='∠∠所以只需证明：212121cos 1cos I J CDI I J BDI ∠=∠即2112I J I J 、在边BC 上的投影长度相同.如图3，设1212,,I I J J ，在边BC 上的投影分别为1212,,,H H K K则2112H K DK DH =-11()()221()2AB AD BD AD CD AC AB AC BC =+--+-=+-同理：121()2H K AB AC BC =+- 所以：2112H K H K =，命题得证4、给定整数(),2n k n k ≥≥，甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的n n ⨯的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行.如果某个人染色后，每个k k ⨯的正方形中都至少有一个黑色小方格，则游戏结束,此人获胜.问谁有必胜策略?4、解将方格纸按从上到下标记行，从左到右标记列.若21n k ≤-，则甲将第k 行第k 列的小方格染为黑色后，每个k k ⨯正方形中至少有一个黑格，因此甲获胜.下面假设2n k ≥，我们证明当n 为奇数时，甲存获胜策略；当n 是偶数时，乙有获胜策略.对于一个已经有若干个方格染为黑色的局面：如果有两个不相交的k k ⨯正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为奇数，我们称其为“好局面”；如果有两个不相交的k k ⨯正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为偶数，称其为“坏局面”.我们证明当某人面对好局面时，他有获胜策略^假设甲面对好局面，他先取定两个不相交的k k ⨯正方形A 和B ，其中都是白格，由于白格总数为奇数，可选取不在,A B 中的另一个白格，将它染为黑色，此时白格总数为偶数，且,A B 中仍然都是白格，因此变为一个坏局面轮到乙面对坏局面，如果他染色后.仍有两个不相交的k k ⨯正方形中都 是白格，此时白格总数是奇数，又回到好局面；如果他染色后，不存在两个不相交的k k ⨯正方形，注意到此时至少有一个全白格的k k ⨯正方形，设1,,m A A 是所有全白格k k ⨯正方形，则它们两两相交，故必包含于某个()()2121k k -⨯-的正方形S ，因此S 的中心方格P 是1,,m A A 的公共格，这样甲将P 染为黑色后，所有k k ⨯正方形中都含有黑格，于是甲获胜.总之，当某人面对好局面时，他可以在自己的下一回合获胜或是仍面对好局面，而游戏必在有限步内结束，因此他有获胜策略.由上述论证亦可知.当某人面对坏局面时，他要么让对方下一回合即可获胜，要么留给对方好局面，因此对方有获胜策略；在2n k ≥时.由于四个角上的k k ⨯正方形互不相交，且一开始都是白格.因此当n 是奇数时，一幵始是好局面，甲有获胜策略； 当n 是偶数时.一开始是坏局面，乙有获胜策略.5.已知九个正整数129,,,a a a （允许相同）满足：对任意的19i j k ≤<<≤，均存在与i j k 、、不同的()19l l ≤≤，使得100i j k l a a a a +++=；求满足上述要求的有序九元数组()129,,,a a a 的个数.5.对满足条件的正整数组()129,,,a a a ，将129,,,a a a 从小到大排列为129b b b ≤≤≤.由条件，知分别存在{4,5,,9}l ∈及{1,2,,6}l '∈，使得123789100l l b b b b b b b b '+++=+++=.①注意到，172839,,,l l b b b b b b b b '≥≥≥≥.② 结合式①，知结论②中的不等号均为等号 于是，238b b b ===.因此，设()1289,,,,(,,,,)b b b b x y y z =，其中，x y z ≤≤.由条件，知使100l x y z b +++=的l b 的值只能为y ，即2100x y z ++=.③ （1）当25x y z ===时，有()129,,,(25,25,,25)b b b =，此时，得到一组()129,,,a a a .（2）当,x z 中恰有一个为y 时，记另一个为w ，由式③知3100w y +=.该条件也是充分的.此时，y 可以取1,2,,24,26,27,,33这32种不同值，且每个y 值对应一组()129,,,b b b ，进而，对应九组不同的()129,,,a a a ，共有329288⨯=个数组()129,,,a a a .（3）当x y z <<时，由条件，知存在某个{,,}l b x y z ∈，使得3100l y b +=， 与式③比较得l y b x z +=+，则必有l b y =.故5025,x y z +==.该条件也是充分的.此时，对1224x =，，，，每个x 值对应一组()129,,,b b b ，进而，对应9872⨯=组不同的()129,,,a a a ，共有24721728⨯=个数组()129,,,a a a .综上，知符合条件的数组个数为128817282017++=.6.如图，在锐角ABC ∆中，点D E 、分别在边AB AC 、上，线段BE 与DC 交于点H M N ，、分别为线段BD CE 、的中点。

证明：H 为AMN ∆的垂心的充分必要条件是B C E D 、、、四点共圆且BE CD ⊥.6.如图4，延长MH ，与AC 交于点P ，延长NH ，与AB 交于点Q . 充分性。

由B C E D 、、、四点共圆知BDH CEH ∠=∠.又BE CD ⊥，从而，DHB EHC ∆∆、均为直角三角形. 注意到，M N 、分别为斜边BD CE 、的中点. 则.MDH MHD MHB MBH ∠=∠∠=∠，故90EHP HEC MHB HDB MBH HDB ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒ 所以：MH AC ⊥. 类似地，NH AB ⊥. 因此，H 为AMN ∆的垂心. 必要性.若H 为AMN ∆的垂心，则MP AN NQ AM ⊥⊥，.故sin sin sin sin DQ DH DHQ DH CHN DH EHQB BH BHQ BH EHN BH CH∠∠⋅===∠∠⋅ 类似地，EP DH EHPC BH CH⋅=⋅，于是EP DQ PC QB = 利用比例性质及,DM MB EN NC ==，知EC DB NC MB NC MB EN DMPC QB PC QB PN QM PN QM=⇒=⇒=⇒= 又因为H 为AMN ∆的垂心，所以，DMH ENH ∠=∠则QM PN DM ENMH NH MH NH =⇒= DMH ENH MDH NEH ⇒∆∆⇒∠=∠∽ 所以：B C E D 、、、四点共圆。

设四边形BCED 的外心为O易知，OM AB ⊥.从而，//OM NH . 类似地，//ON MH .于是，四边形MHNO 为平行四边形，即MH ON =.过点B 作MH 的平行线，与DC 交于点X 注意到，M 为边BD 的中点. 则22BX MH ON ==.由熟知的外心性质，知X 为BCE ∆的垂心. 因此，CX BE ⊥，即CD BE ⊥.7.设正整数2n q α=，其中，α为非负整数，q 为奇数.证明：对任意正整数m ，方程22212n x x x m+++=①的整数解()12,,,n x x x 的个数能被12α+整除.7.设方程①的解的个数为()()12n N m x x x ，，,,为方程①的一个非负整数解，不妨设其中有k 个非零项 注意到，()12n x x x ，,,的每个分量有正负两种情形，恰对应原方程的2k个整数解.设k S 为该方程恰有()12,k k n =，，个非零项的非负整数解的个数，则1()2nk kk N m S==∑.因为k 个非零项的非负整数解有kn C 种位置可选，所以，|kn k C S . 于是，要证明()12|N m α+，只需证明：12k knC α-+ 注意到，(1)(1)!kn n n n k C k --+=.则分子中2的因子个数至少为α，而分母中2的因子个数为[]2log 1122k i i i i k kk +∞==⎡⎤<=⎢⎥⎣⎦∑∑ 其中，[]x 表示不超过实数x 的最大整数。