参数方程教案(绝对经典)

参数方程 1、概念： 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,xy都是某个变数t的函数()()xftygt①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)Mxy都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,xy的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程f(x, y)=0叫做曲线的普通方程. 2、直线的参数方程

过P（x0，y0），倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。 其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离． 根据t的几何意义，有以下结论． 设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t1和t2，则 ○1PA＝1t; PB＝2t; PBPA＝2121tttt;

○2AB＝21tt＝212214)(tttt． 2122121214)(ttttttttPBPA异号同号 ③．线段AB的中点所对应的参数值等于221tt． 3、圆的参数方程 圆心为(,)ab，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，

它的参数方程为：cos()sinxarybr为参数。 4、椭圆的参数方程 椭圆12222nymx，的参数方程为)(sincos为参数nymx， 5、双曲线的参数方程 双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为tancosbyax

6、抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)ypxp的参数方程为22().2xpttypt为参数 7、参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数,xy中的一个与参数t的关系,例如()xft,把它代入普通方程,求出另一个变数与

参数的关系()ygt,那么()()xftygt就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,xy的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 题型一 参数方程化为普通方程 例1、将下列参数方程化为普通方程：

1、2111tytx 2、313tytx 3、



sin3cos4yx

4、 112xtyt

答案：1、2)1(11xy 2、 231-）（xy 3、 191622yx 4、（） 5、参数方程(,sin22cos2sinyx为参数）的普通方程为（ ） A. 122xy B. 122yx C. )2|(|122xxy D. )2|(|122xyx 【答案】C 题型二 求曲线的交点坐标

例2、在极坐标系下，已知圆sincos:O和直线:l22)4sin(。(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；当),0(时，求直线l于圆O公共点的极坐标。 解：（1）圆sincos:O，即sincos2 圆O的直角坐标方程为：yxyx22，即022yxyx 直线:l22)4sin(，即1cossin则直线的直角坐标方程为：1xy，即01yx。

（2）由01022yxyxyx得10yx 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为)2,1(。

练习2 已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅰ）当时，求直线与曲线交点的极坐标. [解析] （Ⅰ）由，可得 所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，

曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分） （Ⅰ）当时，直线的方程为，化成普通方程为， 由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；, . 题型二 求距离

例3、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. [解析]（1）由曲线： 得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为： 由曲线：得：所以 即曲线的直角坐标方程为:

(2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为 所以当时，的最小值为，此时点的坐标为 练习3 在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度

单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为. （Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程； （Ⅰ）求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.

[解析]（Ⅰ）由得，则直线的普通方程为. 由得曲线的普通方程为. （5分） （Ⅰ）在 上任取一点，则点到直线的距离为 ， 当，即时， ，此时点. （10分)

例4、在平面直角坐标系中, 以为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方

程为, 直线l的参数方程为: (为参数) ，两曲线相交于, 两点. （Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅰ）若, 求的值． [解析] (Ⅰ) (曲线的直角坐标方程为, 直线的普通方程. （4分）

(Ⅰ) 直线的参数方程为(为参数),代入, 得到, , 对应的参数分别为, ，则

练习4 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为. (Ⅰ)判断点与直线的位置关系，说明理由； (Ⅰ) 设直线与曲线的两个交点为、，求PBPA和PBPA的值，以及点P到AB中点的距离.

[解析]（Ⅰ）直线即， :，点在上. (Ⅰ) 直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为， 将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，设两根为，. （10分）PBPA=6. A组专项训练 一、选择题

1．若直线的参数方程为12()23xttyt为参数，则直线的斜率为（ ）

A．23 B．23 C．32 D．32 答案：．D 233122ytkxt

2．下列在曲线sin2()cossinxy为参数上的点是（ ） A．1(,2)2 B．31(,)42 C．(2,3) D．(1,3) 答案：B 转化为普通方程：21yx，当34x时，12y

3．将参数方程222sin()sinxy为参数化为普通方程为（ ） A．2yx B．2yx C．2(23)yxx D．2(01)yxy 答案：C 转化为普通方程：2yx，但是[2,3],[0,1]xy

4．参数方程为1()2xttty为参数表示的曲线是（ ） A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线 答案：D 2y表示一条平行于x轴的直线，而2,2xx或，所以表示两条射线

5．与参数方程为()21xttyt为参数等价的普通方程为（ ）

A．214y2x B．21(01)4yx2x C．21(02)4yy2x D．21(01,02)4yxy2x 答案：D 22222,11,1,0,011,0244yyxttxxtty而得 6、直线112()3332xttyt为参数和圆2216xy交于,AB两点，则AB的中点坐标为（ ） A．(3,3) B．(3,3) C．(3,3) D．(3,3) 答案：D 2213(1)(33)1622tt，得2880tt，12128,42tttt

中点为11432333342xxyy 7、直线2()1xttyt为参数被圆22(3)(1)25xy所截得的弦长为（ ） A．98 B．1404 C．82 D．9343

答案：C 2222212122xtxtytyt，把直线21xtyt代入 22(3)(1)25xy得222(5)(2)25,720tttt

2121212()441tttttt

，弦长为12282tt

8、方程{𝑥=2𝑡−2−𝑡𝑦=2𝑡+2−𝑡（𝑡为参数）表示的曲线是( ) A. 双曲线 B. 双曲线的上支 C. 双曲线的下支 D. 圆 【答案】B

二、填空题 1．直线34()45xttyt为参数的斜率为______________________。