坐标变换与参数方程教案全

§16.1坐标轴的平移（一）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题2.1坐标轴的平移与旋转 创设情境 兴趣导入在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．例如，圆心在O 1(2,1),半径为1的圆的方程为1)1()2(22=-+-y x ．对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点1O 处，那么，对于新坐标系111x O y ，该圆的方程就是12121=+y x ．图2-1动脑思考 探索新知只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．图2-2如图2-2所示，把原坐标系xOy 平移至新坐标系111x O y ，1O 在原坐标系中的坐标为),(00y x ．设原坐标系xOy 两个坐标轴的单位向量分别为i 和j ，则新坐标系111x O y 的单位向量也分别为i 和j ，设点P 在原坐标系中的坐标为),(y x ，在新坐标系中的坐标为),(11y x ，于是有OP = x i +y j ，1O P = x 1i +y 1 j ， 1OO =x 0i +y o j ，因为 11OP OO O P =+， 所以 0011 x y x y x y +=+++i j i j i j ， 即 0101 )()x y x x y y +=+++i j i j （．（转下节）§16.1坐标轴的平移（二）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2会利用坐标轴平移化简曲线方程．（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】 （接上节）于是得到坐标轴平移的坐标变换公式⎩⎨⎧+=+=.,1010y y y x x x （2.1） 或 ⎩⎨⎧-=-=.,0101y y y x x x （2.2） 【想一想】公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？巩固知识 典型例题例1 平移坐标轴，将坐标原点移至1O （2，－1），求下列各点的新坐标： O (0,0)，A (2,1)，B (－1,2)，C (2,－4)，D (－3,－1)，E (0,5)． 解 由公式(2.2)，得⎩⎨⎧+=-=.1,211y y x x 将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为O （－2，1），A （0，2），B （－3，3）， C （0，－3），D （－5，0），E （－2，6）．例2 利用坐标轴的平移化简圆042422=--++y x y x 的方程，并画出新坐标系和圆. 解 将方程的左边配方，得9)1()2(22=-++y x ．这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点1O （－2，1），由公式（2.1）得112,1.x x y y =-⎧⎨=+⎩ 将上式代入圆的方程，得 92121=+y x ． 这就是新坐标系111x O y 中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．运用知识 强化练习1．平移坐标轴，把坐标原点移至1O （－1，－3），求下列各点的新坐标： A （3，2），B （－5，4），C （6，－2），D （1，－3），E （－5，－1）．2．利用平移坐标轴，化简方程226420x y x y ++-+=，并指出新坐标系原点的坐标． 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P40/练习1-2、P41/练习；教材P42/习题1-4§16.3 参数方程（一）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选 为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】创设情境兴趣导入如图2-6所示，质点M从点（1，0）出发，沿着与x轴成60º角的方向，以10 m/s的速度运动．质点所做的运动是匀速直线运动，其运动轨迹是经过点（1，0），倾斜角为60º的直线（x 轴上方的部分）．容易求得其方程为01y x -=>（）．【想一想】为什么要附加条件1x >？ 动脑思考 探索新知但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹与时间t 的关系．为此，我们分别研究运动轨迹上的点M ),(y x 的坐标与时间t 的关系，得10c o s 601,(0)10s i n 60,x t t y t ⎧=+⎪>⎨=⎪⎩即51,(0).x t t y =+⎧⎪>⎨=⎪⎩ 时间t 确定后，点M ),(y x 的位置也就随之确定. 【想一想】为什么要附加条件0>t ？由此看到，曲线上动点M (x ，y )的坐标 x 和y ，可以分别表示为一个新变量t 的函数．即可以用方程组⎩⎨⎧==).(),(t y y t x x （2.5） 来表示质点的运动轨迹．我们把方程（2.5）叫做曲线的参数方程，变量t 叫做参变量．相应地把以前所学过的曲线方程f (x ，y )＝0叫做普通方程．（转下节）M§16.3 参数方程（二）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选θ为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识典型例题例1写出圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程．解如图2-7所示，设圆上任意点P（x，y）联结OP，设角θ为参变量，则cossin x ry rθθ=⎧⎨=⎩为所求的圆的参数方程．与普通方程相类似，作参数方程所表示的曲线的图形时依然采用“描点法”．首先选取参变量的取值范围内的一些值，求出相应的x 与y 的对应值，以每一数对（x ，y ）作为点的坐标描出相应的点，最后将这些点连成光滑的曲线就是所求的图形．例2 作出参数方程32(R)x t t y t⎧=∈⎨=⎩ 的图形．解 由于,t ∈R 所以x ∈R ．选取参变量的取值范围内的一些值，列表：以表中的每对（x ，y ）的值作为点的坐标，描出各点，用光滑的曲线联结各点得到图形，如图2-8所示．【想一想】如果例2中的参变量t 换为θsin ，那么，曲线的范围会不会发生变化？ 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P48练习/1-3；教材P49练习/1-3；教材P52/习题1-4 (3)实践调查：辨识专业课本上的参数方程并指出参数方程中的参数．图2－7§16.3参数方程与普通方程互化（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程．（2）掌握圆心为坐标原点半径为R的圆的参数方程．了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程．能力目标：通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法，提高分析和解决问题的能力．【教学重点】把曲线的参数方程化为普通方程．【教学难点】难点是曲线的参数方程化为普通方程．【教学设计】参数方程与普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程．这是本章的教学重点和难点．有些参数方程是无法化为普通方程的．我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程．常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式．例题3的（1）和（2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变．（3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量x或y的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围．生产实际中，会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题．解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值．然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标．需要注意的是，将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解．另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解．椭圆、渐开线、摆线是与生产实际相联系的内容．在教学中，要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要．【课时安排】课时．【教学过程】动脑思考探索新知实际应用中，主要是将参数方程化为普通方程．其核心是消去参变量，常用的方法是加减消元法、代入消元法．巩固知识 典型例题例3 将下列参数方程化为普通方程．（1）1,3x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩；（3）51,(0)x t t y =+⎧⎪>⎨=⎪⎩． 解 （1）由11x t t x==得，代入3y t =，得3y x=． （2）由3cos x α=得22cos 9x α=， 由3sin y α=得22sin 9y α=． 将上面的两个等式两边分别相加，利用三角恒等式22sin cos 1αα+=，得229x y +=．【小提示】对于含有三角函数的参数方程，在利用加减消元法消去参数时，利用三角恒等式是经常使用的方法。