专题复习之坐标系与参数方程
坐标系与参数方程典型例题含高考题----答案详细)
选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
7.3坐标系与参数方程PPT课件
考点二 参数方程与普通方程的互化
例 2 (1)(2013·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数
方
程
为
x＝t＋1， y＝2t
(t
为参数)，曲线
C 的参数方程为
本 讲 栏
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数)．试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，
目 开
并求出它们的公共点的坐标．
因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
热点分类突破
专题七 第3讲
M 的轨迹的参数方程为
本
x＝cos α＋cos 2α， y＝sin α＋sin 2α
(α 为参数，0<α<2π)．
讲
栏 目
②M 点到坐标原点的距离
开
关 d＝ x2＋y2＝ 2＋2cos α(0<α<2π)．
当 α＝π，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点．
∴e＝
ac22＝
3b32－b2 b2＝
23＝
6 3.
热点分类突破
专题七 第3讲
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴为极轴
本 讲
建立极坐标系，曲线
C1
的参数方程为x＝tan1 φ， y＝tan12φ
(φ 为参
栏
目 数)，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲线 C1
P、Q
都在曲线
C：xy＝＝22scions
t， t
(t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0<α<2π)，M 为
本 PQ 的中点．
讲 栏
①求 M 的轨迹的参数方程；
专题复习(理科)坐标系与参数方程同步练习
高二数学苏教版<理>坐标系与参数方程同步练习（答题时间：40分钟）1. 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（ ）．A. 4)2(22=++y xB. 4)2(22=-+y xC. 4)2(22=+-y xD. 4)2(22=++y x 2. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）．A. 1=ρB.θρcos =C. θρcos 1-=D. θρcos 1=3. 在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧==''213)(y y x x A ⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x B 213)('' ⎪⎩⎪⎨⎧==''23)(y y x x C ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x D 23)(''4. 直线12+=x y 的参数方程是（ ）A. ⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B. ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C. ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D. ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （θ为参数） 5. 方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=21y t t x （t 为参数）表示的曲线是（ ）． A. 一条直线 B. 两条射线 C. 一条线段 D. 抛物线的一部分6. 参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθ2cos 1sin 22y x （θ为参数）化为普通方程是（ ）．A. 042=+-y xB. 042=-+y xC. 042=+-y x ]3,2[∈xD. 042=-+y x ]3,2[∈x7. 设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A. （23，π43） B. （23-，π45） C. （3，π45） D. （－3，π43）8. 在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（ ）． A. 34k <-B. 43-≥k C. R k ∈ D. R k ∈但0≠k 9. 已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是A. （3，4）B. 1212(,)55--C.（－3，－4）D. 1212(,)5510. 若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）．A. 相交过圆心B. 相交而不过圆心C. 相切D. 相离 11. 在极坐标系中，以)2,2(πa 为圆心，2a为半径的圆的方程是 ． 12. 在极坐标中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则|AB|＝ ．13. 设直线参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 23322（t 为参数），则它的斜截式方程为 ． 14. 已知直线l 经过点P （1，1），6πα＝倾斜角．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆422=+y x 相交于两点A 、B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积 15. 在气象台A 正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响．问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 所在地将遭受台风影响？持续多长时间？（注：41.12,65.27==）14. 解：（1）直线l 的参数方程为)(211231是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=， （2）因为A 、B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数分别为,,21t t 则点A ，B 的坐标分别为)211,231(11t t A ++，)211,231(22t t B ++． 以直线l 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到 02)13(2=-++t t ①因为21,t t 是方程①的解，从而.221-=t t 所以，2||)21()23()21()23(||||2122222121==+++=⋅t t t t t t PB PA 15. 解：如图，以气象台为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B 1的坐标为（－300，0）．根据题意，可知，t 小时后，B 的坐标为（︒+-45cos 40300t ，︒45sin 40t ），即（t 220300+-，t 220），因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B 在圆上或圆内时，气象台将受台风影响．所以令250||≤AB ，即222250)220()220300(≤++-t t整理得02752120162≤+-t t 解得475215475215+≤≤-t ，61.899.1≤≤t ，故大约2小时后，气象台A 所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时．yB2B1O A x。
专题：参数方程与坐标系
专题：参数方程与坐标系一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tan α=ab 的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 (t 不参数)2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧ϕ+=ϕ+=sin r b y cos r a x (ϕ是参数)(2)椭圆 椭圆2222by ax +=1(a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (ϕ为参数)3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)4.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=⎩⎨⎧==)0(tan ,sin cos 222x x yyx y x θθθρ ρρ三、知识点、能力点提示考点1：参数方程，参数方程与普通方程的互化1.把下列参数方程化为普通方程：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）；⑵⎩⎨⎧=-=ty t x 431（t 为参数）解：⑴．∵⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x两边平方相加，得ϕϕ2222sincos1625+=+yx即1162522=+yx⑵．∵⎩⎨⎧=-=ty tx 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431y x ⋅-= ∴0434=-+y x2.在极坐标系()(02ρθθ,≤<π)中,曲线(ρcos θ+sin )1θ=与(ρsin θ-cos )θ=1的交点的极坐标为 .答案:(1)2π,解析:(ρcos θ+sin )1θ=化为直角坐标系下的方程为x+y=1,(ρsin θ-cos )1θ=化为直角坐标系下的方程为y-x=1,故交点满足 11x y y x +=,⎧⎨-=,⎩解之,得x=0,y=1.即 sin 1c o s 0ρθρθ=,⎧⎨=,⎩ ∵02θ≤<π,故12πρθ=,=.3.在极坐标系中,已知圆2ρ=cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a 的值.解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为222x y x +=, 即22(1)1x y -+=,直线方程为3x+4y+a=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有1=,解得a=-8,或a=2.故a 的值为-8或2.4.极坐标方程25ρ=cos θ化为直角坐标方程为 .解析:由25ρ=cos θ, 得225ρρ=cos θ, 即22225x y x +=, 故22525()416x y -+=.5.在极坐标系中,方程ρsin 4()πθ-=的直角坐标方程为 .解析:ρsin ()4πθρ-=sin θcos 4πρ-cos θsin 4π=22y -=即x-y+2=0.考点2：极坐标的应用 6.极坐标方程分别为4ρ=cos θ和3ρ=-sin θ的两个圆的圆心距为 .答案:52解析:两圆方程分别为222243x y x x y y +=,+=-, 知两圆圆心123(20)(0)2C C ,,,-,∴|12C C |52==. 7.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4ρ=cos θ于A 、B 两点,则|AB|= .答案:解析:曲线的直角坐标方程是224x y x +=, 直线的直角坐标方程是x=3, 圆心到直线的距离为1, 圆的半径为2, 故直线被圆所截得的弦长为=.8.两直线ρsin ()4πθ+=2 008ρ,sin ()24πθ-= 009的位置关系是 (判断垂直或平行或斜交).答案:垂直 解析:两直线方程可化为x+y=200y x -=200故两直线垂直.9.在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin 3θ=,则点(2)6π,到直线l 的距离为 .答案:2 解析:直线l 的极坐标方程为ρsin 3θ=,化为直线方程得y=3;点(2)6π,化为直角坐标即为1),于是点(2)6π,到直线l 的距离为2.10.直线l:ρsin ()42πθ+=与圆rρ=相切,则r 的值是 .答案:2解析:化ρsin ()42πθ+=为直角坐标方程得x+y=1,圆r ρ=化为直角坐标方程得222x yr +=,依题意得圆心(0,0)到直线的距离为2d r ===得2r =.四、高考真题1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2y ＝t －1(t 为参数)的普通方程为________．解析：由y ＝t －1得t ＝y ＋1代入x ＝3t ＋2. 得x ＝3y ＋5，即x －3y －5＝0. 答案：x －3y －5＝02．(2012年高考江西卷)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：利用公式法转化求解．直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.答案：ρ＝2cos θ3．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 上，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 解析：化参数方程为普通方程然后解方程组求解．C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)4．(2012年高考陕西卷)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为______． 解析：利用极坐标方程与直角坐标方程的互化求解．直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x . 将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.∴弦长为2×32＝ 3.答案： 35．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为________．解析：将直线l 的参数方程化为普通方程得x －y ＝0，将ρ＝2cos θ的两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.易知圆C 的圆心坐标为(1，0)，故圆心到直线l 的距离为|1－0|2＝22.答案：226．(2012年高考北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：将参数方程化为普通方程求解．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． 答案：27．(2012年高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________．解析：将极坐标方程化为普通方程求解．ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 答案：228．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π4)，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．解析：如图S △AOB ＝12×3×4×sin (π3－π6)＝3. 答案：39．(2012年高考安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．解析：将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解．极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0，2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0. ∴圆心(0，2)到直线 3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3. 答案： 3专题：参数方程与坐标系一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tan α=a b的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00 (t 不参数)2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧ϕ+=ϕ+=sin r b y cos r a x (ϕ是参数)(2)椭圆 椭圆2222by ax +=1(a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (ϕ为参数)3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)4.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=⎩⎨⎧==)0(tan ,sin cos 222x x yyx y x θθθρ ρρ 三、知识点、能力点提示考点1：参数方程，参数方程与普通方程的互化1.把下列参数方程化为普通方程：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t y t x 431（t 为参数）2.在极坐标系()(02ρθθ,≤<π)中,曲线(ρcos θ+sin )1θ=与(ρsin θ-cos )θ=1的交点的极坐标为 .3.在极坐标系中,已知圆2ρ=cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a 的值.4.极坐标方程25ρ=cos θ化为直角坐标方程为 .5.在极坐标系中,方程ρsin 4()πθ-=的直角坐标方程为 .考点2：极坐标的应用6.极坐标方程分别为4ρ=cos θ和3ρ=-sin θ的两个圆的圆心距为 .7.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4ρ=cos θ于A 、B 两点,则|AB|= .8.两直线ρsin ()4πθ+=2 008ρ,sin ()24πθ-= 009的位置关系是 (判断垂直或平行或斜交).9.在极坐标系中,直线l 的方程为ρsin 3θ=,则点(2)6π,到直线l 的距离为 .10.直线l:ρsin ()42πθ+=r ρ=相切,则r 的值是 .四、高考真题1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2y ＝t －1(t 为参数)的普通方程为________．2．(2012年高考江西卷)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．3．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 上，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．4．(2012年高考陕西卷)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为______．5．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为________．6．(2012年高考北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．7．(2012年高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________．8．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π4)，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．9．(2012年高考安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．专题：参数方程与坐标系答案考点1：参数方程，参数方程与普通方程的互化 1.解：⑴．∵⎩⎨⎧==ϕϕs i n 4c o s 5y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x两边平方相加，得ϕϕ2222s i n c o s 1625+=+yx即1162522=+yx⑵．∵⎩⎨⎧=-=ty tx 431∴由4y t =代入t x 31-=，得 431y x ⋅-= ∴0434=-+y x2.答案:(1)2π,解析:(ρcos θ+sin )1θ=化为直角坐标系下的方程为x+y=1,(ρsin θ-cos )1θ=化为直角坐标系下的方程为y-x=1,故交点满足 11x y y x +=,⎧⎨-=,⎩ 解之,得x=0,y=1.即 sin 1c o s 0ρθρθ=,⎧⎨=,⎩ ∵02θ≤<π,故12πρθ=,=.3.解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为222x y x +=, 即22(1)1x y -+=,直线方程为3x+4y+a=0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有1=,解得a=-8,或a=2.故a 的值为-8或2.4.解析:由25ρ=cos θ, 得225ρρ=cos θ, 即22225x y x +=, 故22525()416x y -+=.5.解析:ρsin ()4πθρ-=sin θcos 4πρ-cos θsin 4π=22y -=即x-y+2=0.考点2：极坐标的应用 6.答案:52解析:两圆方程分别为222243x y x x y y +=,+=-, 知两圆圆心123(20)(0)2C C ,,,-,∴|12C C|52==. 7.答案:解析:曲线的直角坐标方程是224x y x +=, 直线的直角坐标方程是x=3, 圆心到直线的距离为1, 圆的半径为2, 故直线被圆所截得的弦长为=.8.答案:垂直 解析:两直线方程可化为x+y=200y x -=200故两直线垂直.9.答案:2 解析:直线l 的极坐标方程为ρsin 3θ=,化为直线方程得y=3;点(2)6π,化为直角坐标即为1),于是点(2)6π,到直线l 的距离为2.10.答案2 解析:化ρsin ()42πθ+=为直角坐标方程得x+y=1,圆r ρ=化为直角坐标方程得222x yr +=,依题意得圆心(0,0)到直线的距离为2d r ===得2r =. 四、高考真题1．解析：由y ＝t －1得t ＝y ＋1代入x ＝3t ＋2. 得x ＝3y ＋5，即x －3y －5＝0. 答案：x －3y －5＝02．解析：利用公式法转化求解．直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.答案：ρ＝2cos θ3．解析：化参数方程为普通方程然后解方程组求解． C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ≥0，y ≥0，x 2＋y 2＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴C 1与C 2的交点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)4．解析：利用极坐标方程与直角坐标方程的互化求解．直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x . 将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.∴弦长为2×32＝ 3.答案： 35．解析：将直线l 的参数方程化为普通方程得x －y ＝0，将ρ＝2cos θ的两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.易知圆C 的圆心坐标为(1，0)，故圆心到直线l 的距离为|1－0|2＝22.答案：226．解析：将参数方程化为普通方程求解．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0； 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点． 答案：27．解析：将极坐标方程化为普通方程求解．ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 答案：228．解析：如图S △AOB ＝12×3×4×sin (π3－π6)＝3. 答案：39．解析：将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解．极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0，2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0. ∴圆心(0，2)到直线 3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3. 答案：3。
选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程 知识点(一)坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 5.圆与直线一般极坐标方程（1）圆的极坐标方程若圆的圆心为 00(,)M ρθ，半径为r ，求圆的极坐标方程。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。
一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。
二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。
例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。
2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。
一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。
二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。
3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。
一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。
三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。
三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。
在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。
反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。
参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。
总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。
坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。
高三第二轮专题复习极坐标与参数方程课件.ppt
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
双基自测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝ ＝2－＋1t－t， (t 为参
数)所表示的图形分别是( )．
A．直线、直线
答案 (－4,0)
4．(2013·广州调研)已知直线 l 的参数方程为：xy＝＝12＋t，4t (t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ________．
x＝2t，
解析 将直线 l 的参数方程：
化为普通方程得，y＝1＋2x，
y＝1＋4t
圆 ρ＝2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，圆心(0， 2)到
重点方法：<1>消参的方法；<2>极 坐标方程化为直角坐标方程的方法； <3>设参的方法。
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其
中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度
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专题复习之极坐标系与参数方程
一、知识精讲
（一）、极坐标
知识点一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0)
:(0)
x x y y
λλϕμμ'=>⎧⎨
'=>⎩ 的作用下,点P(x,y)对
应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
知识点二、极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.
一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.
特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标
(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
知识点三、极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示
:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.
知识点四、常见曲线的极坐标方程
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(
,)44
M ππ
可以表示为5(
,2)(,2),444444ππ
ππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44
ππ
的极坐标满足方程ρθ=. （二）、参数方程
知识点一、参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩
①,并
且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
知识点二、参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与
参数的关系()y g t =,那么()
()
x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y
的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
知识点三、圆的参数
如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数。
这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=， 它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θ
θθ
=+⎧⎨
=+⎩为参数。
知识点四、椭圆的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>其参数方程为
cos ()sin x a y b ϕ
ϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22
221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ
=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。
注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
但当02
π
α≤≤
时，相应地也有02
π
ϕ≤≤
，在其他象限内类似。
知识点五、双曲线的参数方程
以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为22
221(0,0),x y a b a b
-=>>其参数方程为
sec ()tan x a y b ϕϕϕ
=⎧⎨
=⎩为参数，其中3[0,2),.22ππϕπϕϕ∈≠≠且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22
221(0,0),y x a b a b
-=>>其参数方程为
c o t
((0,2).
c s c x b e y a ϕϕϕπϕπϕ=⎧∈≠⎨
=⎩
为参数，其中且 以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角。
知识点六、抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2
2(0)y px p =>的参数方程为2
2().2x pt t y pt
⎧=⎨=⎩为参数
知识点七、直线的参数方程
经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2
π
αα≠
的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过
000(,)
M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+⎧⎨=+⎩()t 为参数。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为
00cos sin x x t y y t α
α=+⎧⎨
=+⎩()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任一点(,)M x y 为终点的有向线段0M M
的数量，
当点M 在0M 上方时，t ＞0；当点M 在0M 下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。
我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
二、经典例题
1、下列在曲线sin 2()cos sin x y θ
θθθ
=⎧⎨
=+⎩为参数上的点是（ ）
A
．1(,2
B ．31
(,)42
-
C
． D
． 2、将参数方程2
2
2sin ()sin x y θ
θθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 3、极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）
A ．一条射线和一个圆
B ．两条直线
C ．一条直线和一个圆
D ．一个圆
4、已知点(,)P x y 是圆
222x y y +=上的动点， （1）求2x y +的取值范围；
（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
5、参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨
=+⎩为参数表示什么曲线？
6、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积
7
、求直线11:()
5x t l t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数
和直线2
:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P
与(1,5)Q -的距离。