坐标系与参数方程专题复习

坐标系与参数方程专题复习
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1（Ⅰ）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为
1cos 1sin x a y a θ
θ=-+⎧⎨
=-+⎩
（θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值.
2、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,
2sin x y θθ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），
（Ⅰ）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的方程为πsin()4ρθ+l 被曲线C 截得的弦长．
3、已知圆的极坐标方程为06)4
cos(242
=+--π
θρρ
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点),(y x P 在该圆上，求y x +的最大值和最小值．
4、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos (sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），曲线C 2的参数方程为
cos (0,sin x a a b y b ϕ
ϕϕ=⎧>>⎨
=⎩
为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=与C 1，C 2各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2
π
α=时，这两个交点重合.
(Ⅰ)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求a 与b 的值； (Ⅱ)设当4
π
α=
时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当4
π
α=-
时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，
B 2，求直线A 1 A 2 、B 1B 2的极坐标方程.
5、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t
y t
=⎧⎨
=⎩ （t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为
极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.
6、 在直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为23cos 3sin x t α
α
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为().4
R π
θρ=∈
（1）求圆C 的直角坐标方程及其圆心C 的直角坐标；
（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求ABC ∆的面积.
参数方程与极坐标参考答案
1、解（Ⅰ）(0,0),(2,
),(22,)24
O A B π
π
对应的直角坐标分别为(0,0),(0,2),(2,2)O A B ，则过,,O A B 的圆的普通方程为22220x y x y +--=，将cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
代入得过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程为22cos()4
π
ρθ=-； …………………5分
（Ⅱ）圆2:C 1cos 1sin x a y a θθ
=-+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数）对应的普通方程为2
22)1()1(a y x =+++
1C 与2C 外切，2||22,2a a ∴+=∴=± …………………10分
2、（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(3)4x y -+=，即0562
2
=+-+x y x ，………………2分
将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得26cos 50ρρθ-+=；
所以，曲线C 的极坐标方程是26cos 50ρρθ-+=． …………………………5分
（Ⅱ）曲线l 的方程sin cos 1ρθρθ+=，则1x y +=, ………………………………………7分 将1x y =-代入22(3)4x y -+=解得0y =和2y =-
即交点(1,0)A ，(3,2)B -，弦长为22AB =. …………………………………………10分 3、解：（1）
即 ρ2﹣4
（
+
），
即 x 2+y 2﹣4x ﹣4y+6=0．（5分） （2）圆的参数方程为
，∴x+y=4+
（sinα+cosα）=4+2sin （α+
）．（8分）
由于﹣1≤sin （α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于 2．（10分）
4、 【解析】(Ⅰ) C 1是圆，C 2是椭圆
当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0）， 因为这两点间的距离为2，所以a =3…………………………………………2分 当2
π
α=
时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），
因为这两点重合，所以b =1……………………………………………………5分
(Ⅱ) C 1，C 2的普通方程分别为2
2
1x y +=和2219
x y += ………………………6分
当4
π
α=时，射线l 与C 1的交点A 1的横坐标为2x =
与C 2的交点B 1
的横坐标为x '= 当4
π
α=-
时，射线l 与C 1，C 2的交点A 2，分别与A 1，B 1关于x 轴对称
因此直线A 1 A 2 、B 1B 2垂直于极轴，故直线A 1 A 2 和B 1B 2的极坐标方程分别为
sin 2ρθ=
sin 10
ρθ=10分 5
、（Ⅰ）由cos 4πρθ⎛
⎫
+
=- ⎪
⎝
⎭
)cos sin ρθρθ-=-
)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=. 依题意，设()2cos ,2sin P t t ，则
P
到直线l
的距离2cos 4d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭
， 当24t k π
ππ+
=+，即3
2,4
t k k Z ππ=+∈
时，min 2d =. 故点P 到直线l
的距离的最小值为2. （Ⅱ）
曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，
∴对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，
()4t ϕ+>-（其中2
tan a
ϕ=
）恒成立，
4<，又0a >
，解得0a <<a
的取值范围为(.
6、解：（Ⅰ）圆C ：23cos 3sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)得圆C 的直角坐标方程：22(2)9x y -+=，圆心C
的直角坐标(2,0)C ．………………………………………………4分
（Ⅱ）1.直线的直角坐标方程：0x y -=；………………………………5分
2.圆心(2,0)C
到直线的距离d =
=C 的半径3r =，
弦长||AB ==8分
3.ABC ∆
的面积11
||22
AB d =
⨯=⨯=…………………10分。