坐标系与参数方程高考解答题专题
高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)
高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。
高考文科数学常考题型训练坐标系与参数方程
常考题型大通关：第22题 坐标系与参数方程1、在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程是122x t y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）把直线l 的参数方程化为极坐标方程,把曲线C 的极坐标方程化为普通方程; （2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0ρ≥,02θπ≤<).2、在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-. (1).求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2).若曲线1C 与2C 交于,A B 两点,,A B 的中点为M ,点()0,1P -,求PM AB ⋅ 的值.3、在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2545x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若2||PA PB AB =，求a 的值4、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为2cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）.直线l的方程为0y -=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 和直线l 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线交曲线C 于M ，N 两点，求ON OM OMON+的值.5、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3214x ty t=-⎧⎨=--⎩(t 为参数，t R ∈).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.(1)求2C 的直角坐标方程；(2)动点P Q ,分别在曲线12,C C 上运动，求P Q ,间的最短距离6、在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ-=,P 点的极坐标为π(3,)2,在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60o .(1).写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标； (2).设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11PA PB+的值. 7、在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(2π)ρθθθ=+≤<，点π1,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线:112x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 交于A B ,两点.1.若P 为曲线C 上任意一点，当OP 最大时，求点P 的直角坐标.2.求11MA MB+的值. 8、以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22124cos ρθ=-．1.求曲线C 的直角坐标方程；2.设过点(1,0)P 且倾斜角为45o 的直线l 和曲线C 交于两点A B ，，求11PA PB+的值． 9、已知曲线C 的极坐标方程为2229cos 9sin ρθθ=+,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C 的普通方程;（2）,A B 为曲线C 上两个点,若OA OB ⊥,求2211OAOB+的值.10、在直角坐标系xOy 中，曲线sin cos :1sin 2x C y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为：sin )0(R)a a ρθθ--=∈（1）当极点O到直线l l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C有两个不同的交点，求实数a的取值范围答案以及解析1答案及解析：答案：（1cos sin0θρθ--,2240x y x+-=（2）5(2,)3π,)6π解析：（1）122x ty⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩,消去参数t,y--=,将cossinxyρθρθ==⎧⎨⎩代入0y--cos sin0θρθ--=,曲线C的普通方程为2240x y x+-=（2）C的普通方程为2240x y x+-=,由2240yx y x--=+-=⎪⎩解得1xy⎧==⎪⎨⎪⎩3xy⎧==⎪⎨⎪⎩所以l与C交点的极坐标分别为52,,36ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点:曲线的参数方程,曲线的极坐标方程.2答案及解析：答案：(1).曲线1C的普通方程为()2225x y+-=.由222x yρ=+，cos xρθ=，得曲线2C的直角坐标方程为22430x y x+-+=.(2).将两圆的方程()2225x y+-=与22430x y x+-+=作差得直线AB的方程为10x y--=. 点()0,1P-在直线AB上，设直线AB的参数方程为1xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)代入22430x y x+-+=化简得240t-+=，所以12t t+=124t t=.因为点M对应的参数为1222t t+=，所以12122t tPM AB t t+⋅=⋅-=32==解析：3答案及解析：答案：（1）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得22sin 2cos (0)a a ρθρθ=>， 所以曲线C 的直角坐标方程22y ax =， 因为2545x ty t =-+⎧⎨=-+⎩，所以214x y +=+，直线l 的普通方程为2y x =-； （2）直线l的参数方程为2242x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入22y ax =得：)243280t a t a -+++=，设A ，B 对应的参数分别为12,t t，则)124t t a +=+，12328t t a =+，10t >，20t > 由参数1t ，2t 的几何意义得1212t PA t PB t t AB ==-=，，， 由2||PA PB AB =得21212||t t t t -=，所以21212||5t t t t +=，所以)()()245328a a +=+，即2340a a +-=，故1a =，或4a =-（舍去），所以1a =. 解析：4答案及解析：答案：1.C 的普通方程为224470x y x y +--+=，()21212122ρρρρρρ+-=化为极坐标方程为2sin 704πρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭.由于直线ONOM OM ON +233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---≤⎩22121224cos 4sin 70,.273ON OM l OM ONρρθρρπθρρθ⎧--++=+==⋅=⎪⎨=⎪⎩过原点且倾斜角为3π，故其化为()2270ρρ-+=极坐标方程为()3R πθρ=∈.（2）由知，设N M ,两点对应的极径分别为21ρρ，，则，，则212122ρρρρ+= .解析：5答案及解析：答案：(1)已知曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，由222x y ρ+=，cos x ρθ=， 可得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 所以曲线2C 的直角坐标方程为()2214x y ++=. (2)由已知得曲线1C 的普通方程为270x y --=.设12cos ,2s (in )Q αα-+，R a ∈，点Q 到曲线1C 的距离为d ，则d =9αϕ-+2 (其中1tan 2ϕ=)， 当且仅当()cos 1αϕ+=时，取等号所以P Q ,2. 解析：6答案及解析：答案：(1)曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =, P 点的极坐标为：3,2πP ⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为()0,3P(2).直线l 的参数方程为cos ,33sin ,3ππx t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1,23,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得21124t=+，整理得：2480t --=，显然有0∆>，则121248,t t t t ⋅=-+=，121248PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=,1212PA PB t t t t +=+=-=所以116PA PB PA PB PA PB ++==⋅. 解析：7答案及解析：答案：1.由2sin 4cos ρθθ=+得22sin 4cos ρρθρθ=+， 2224x y y x ∴+=+，即()()22215x y -+-=，故曲线C 是以()2,1C '为圆心，5为半径的圆. ∵原点O 在圆C 上，∴max 25OP =， 故线段OP 的中点为圆心()2,1C ，∴点P 的直角坐标为()4,22.将直线l 的方程3112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)代入2224x y y x +=+并整理得22310t t --=. 设A B ,两点对应的参数分别为12,t t ，则1223t t +=，121t t =-. 由参数t 的几何意义得11MA MB MA MB MA MB ++=12121212t t t t t t t t +-==()212121244t t t t t t +-==.解析：8答案及解析：答案：1.曲线C 的极坐标方程为22124cos ρθ=-．转换为直角坐标方程为：22143x y +=；2.点(1,0)P 且倾斜角为45o 的直线l ， 转换为参数方程为：212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数，把直线的参数方程代入22143x y +=，得到：2732902t t +-=，(1t 和2t 为A B 、对应的参数)所以：11116218,7t t t t +=-=-， 所以：12121143t t PA PB t t -+==． 解析：9答案及解析：答案：（1） 2219x y +=（2） 109解析：（1）由2229cos 9sin ρθθ=+得2222cos 9sin 9ρθρθ+=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入得到曲线C 的普通方程是2219x y +=.（2）因为2229cos 9sin ρθθ=+,所以2221cos sin 9θθρ=+,由OA OB ⊥,设1(,)A ρα,则B 点的坐标可设为2,2πρα⎛⎫± ⎪⎝⎭,所以2222121111OAOBρρ+=+2222cos sin 110sin cos 19999αααα=+++=+=.10答案及解析：答案：（1）直线l 的方程为：2cos sin 0(R)a a ρθρθ--=∈ 则直角坐标方程为20x y a --=极点O 到直线l 的距离为：33a -=；解得3a =±故直线l 的直角坐标方程为230x y -±= （2）曲线C 的普通方程为2(22)x y x =-≤≤ 直线20x y a --=联立曲线C 与直线l 的方程，消去y 可得220(22)x x a x -+=-≤≤ 即y a =与2()2y f x x x ==-+在22x -()f x 的最大值为12f =⎝⎭；且0f=；(4f =-∴实数a 的范围为1[0,)2解析：。
极坐标系与参数方程专题
练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、选择题1．在极坐标系中，点)65,2(π到直线4)3sin(=-πθρ的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．在极坐标系中，设圆C ：4cos ρθ=与直线:(R)4l πθρ=∈交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ） A ．22sin()4πρθ=+B ．22sin()4πρθ=-C ．22cos()4πρθ=+D ．22cos()4πρθ=-3．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．221x y +=或1y = B ．1x =C ．221x y +=或1x = D ．1y =4．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）A ．2cos ρθ=B ．2sin ρθ=C ．2cos ρθ=-D ．2sin ρθ=-5．在极坐标中，与圆4sin ρθ=相切的一条直线方程为（ ）A ．sin 2ρθ=B ．cos 2ρθ=C ．cos 4ρθ=D ．cos 4ρθ=-6．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是（ ）（A ）圆和直线 （B ）直线和直线 （C ）椭圆和直线 （D ）椭圆和圆 评卷人 得分二、填空题7．在极坐标系中，经过点)3,4(π且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ．8．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆2=ρ的公共点个数是________；9．极坐标系中，圆θρsin 4=的圆心到直线)(3R ∈=θπθ 的距离是 ．10．已知圆C 的参数方程为cos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为 ．三、解答题（题型注释）11．在平面直角坐标系中，已知直线l 过点(),12P - ，倾斜角6πα=，再以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为3ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 分别交于、M N 两点，求PM PN ⋅的值．12．在极坐标系中，已知曲线)4sin(22:πθρ-=C ，P 为曲线C 上的动点，定点)4,1(πQ ．（1）将曲线C 的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求P 、Q 两点的最短距离．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(10)A -，，其倾斜角是α，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程是26cos 5ρρθ=-．（Ⅰ）若直线l 和曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围； （Ⅱ）设()B x y ，为曲线C 任意一点，求3x y +的取值范围．14．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为212242x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值．15．在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(22,)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系16．已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ＝． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤＜）．17．在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2和2倍后得到曲线2C ，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线():2cos sin 4l ρθθ+=．（1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值．18．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线12cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），28cos :23sin x Cy θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （1）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为2πα=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：cos 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离的最大值．19．在直角坐标系中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．（1）写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．20．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为2,4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且点A 在直线上．（1）求a 的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．21．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()2sincos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l 的参数方程为222242x ty t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB ⋅=，求a 的值．22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），若以直角极坐标方程为2cos()4πρθ=-．（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB 的距离．23．已知在直角坐标系xOy 中，曲线t t y t x C (,233,211:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=为参数，)2≠t ，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρsin 32:2=C ，曲线θρcos 2:3=C ． （Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 2与C 1相交于点A ，C 3与C 1相交于点B ，求||AB 的值．24．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线4:πθ=OM 与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标．25．已知曲线C 的参数方程是()cos sin x y m ααα=⎧⎨=+⎩为参数，直线l 的参数方程为()5152545x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数， （1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，且455PQ =，求实数m 的值。
(完整版)选修4-4坐标系与参数方程-高考题及答案
x t 3,1、已知在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为_ （t为参数），在极坐标系（与y v3t直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4 cos 3 0.①求直线I普通方程和曲线C的直角坐标方程；②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的取值范围.x = 2cos 0 , 一2、已知曲线C的参数方程是（0为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴y = 3sin 0 ,为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p = 2,正方形ABCD勺顶点都在C2上，且AnB C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2 ,—）.3（I ）求点A B C、D的直角坐标；（n ）设P为C上任意一点，求|PA2+ |PB2+ |PC2+ |PD2的取值范围.. . 2 2 . - 2 23、在直角坐标系xOy中，圆C ：x + y = 4,圆C2：(x—2) + y = 4.(I )在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i, C2的极坐标方程, 并求出圆C，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(n)求圆C与C2的公共弦的参数方程.4、在直角坐标系xOy中，直线I的方程为x —y + 4 = 0，曲线C的参数方程为x= ：：：］3cos a ,(a为参数).y= sin a(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以xn轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4 ,―)，判断点P与直线I的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最小值.X = 2C0S a ,5、在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为( a 为参数).M 是C i 上的y = 2+ 2sin a .动点，P 点满足0F= 20M P 点的轨迹为曲线 C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 交点为A ,与C 2的异于极点的交点为 B,求|AE |.x = cos e6、已知P 为半圆C:( e 为参数，o w e wn )上的点，点 A 的坐标为(1,0) , Oy = sin en 为坐标原点，点 M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为—.(1) 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标;(2) 求直线AM 的参数方程.ne =g 与C 的异于极点的n n .* j 3 7、在极坐标系中，已知圆C经过点P .2，~4，圆心为直线P sin 9—3 =一与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.8、在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线I上两点M, N的极坐标分别为(2,0), 穿,-2，圆C的参数方程为x= 2+ 2cos 9 ,厂(9为参数).y=—3+ 2sin 9(1) 设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2) 判断直线l与圆C的位置关系.1、【答案】①直线I 的普通方程为：,3x y 3、、3 0. n n n n nn_nnA (2cos —, 2sin —), B (2cos(-3 + R , 2sin( — + —)) , q2cos( — +n ), 2sin( — +n 3 n n 3 nn )) , D (2cos( — + 〒),2sin( — + 亍)),即 A (1 , 3) , B ( — 3 , 1), Q — 1, — 3) , D ( 3 , — 1). (n )设 P (2cos 0 , 3sin 0 ),令 S =|PA 2+ |PB 2+ |PC 2+ |PD 2 ,则2 2S = 16cos 0 + 36sin 0 + 162=32 + 20sin 0 .因为0W sin 20W 1,所以S 的取值范围是[32 , 52].3、解：(I )圆C 的极坐标方程为p = 2 , 圆G 的极坐标方程p = 4cos 0 .2 解卩,得卩=2, 0=±石,p _ 4cos 03从而p_占.n(1)把极坐标系的点P (4 ,-)化为直角坐标，得 R0,4),满足直线l 的方程x — y + 4_ 0,所以点P 在直线l 上. 故可设点Q 的坐标为曲线C 的直角坐标方程为：x 2y 2②曲线C 的标准方程为(x 2)2 y 2•••圆心C(2,0)到直线I 的距离为：d所以点P 到直线I 的距离的取值范围是2、解：(I )由已知可得2 24x 3 0【或(x 2)2 y 21]1,圆心C(2,0)，半径为1；|2、一 3 0 3.3| 5,32 2故圆C 与圆C 2交点的坐标为(2 ,,(2,—勺.注：极坐标系下点的表示不唯一.x _ p cos 0 ,得圆 y _ p sin 0 (n )法一：由故圆C 与G 的公共弦的参数方程为x_ t 1,-3w t w 3.x _ 1(或参数方程写成 ， —..3 < y w 3)法二：将x = 1代入 cos 0得 p sin 0p cos 0 = 1,于是圆 C 与G 的公共弦的参数方程为x _ 1 y _ tan 0 '4、因为点P 的直角坐标(0,4)⑵因为点Q 在曲线C 上,(.3cos a , sin a ),C 与C 2交点的直角坐标分别为从而点Q 到直线I 的距离=；'2cos( a+ -Q )+ 2 2nl由此得，当cos( a + —) =— 1时，d 取得最小值，且最小值为：2.x y5、⑴设Rx , y )，则由条件知 M ^ 2 .由于M 点在C 上，x=2cos a , 2X = 4cos a ,所以即yy = 4+ 4sin a .2= 2+ 2sin a ,X = 4cos a ,从而C 2的参数方程为(a 为参数)y = 4 + 4sin a .(2)曲线C 的极坐标方程为 p = 4sin 0，曲线C 2的极坐标方程为 p = 8sin 0 .n n射线0 =三与C 的交点A 的极径为 p 1= 4sin —,3 3nn射线0 = y 与G 的交点B 的极径为p 2= 8sin —. 所以 | AB = | p 2— p 1| = 2 '3.nn6、 (1)由已知，M 点的极角为y ，且M 点的极径等于 J ,n n故点M 的极坐标为 ~~ .⑵M 点的直角坐标为n ,二空,A (1,0),故直线AM 的参数方程为6 6nx=1 + 6 — 1t ，(t 为参数).| 3cos a — sina + 4|2cos7t6所以圆C 的圆心坐标为(1,0) 因为圆C经过点P .'2, n,所以圆C的半径PC= 2+ 12—2X 1 x J2cos■—= 1,¥ 4于是圆C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为p = 2cos e .0, ¥8、解：(1)由题意知，M N 的平面直角坐标分别为所以直线l 的平面直角坐标方程为 3x + 3y — 2 3= 0.又圆C 的圆心坐标为(2 , — ,；3)，半径r = 2, 圆心到直线I 的距离d =， ： — ■' =-<r ,故直线l 与圆C 相交.yJ 3 + 9 2又P 为线段MN 勺中点，从而点 P 的平面直角坐标为1,，故直线OP 的平面直角坐标方程为 ⑵因为直线l 上两点M N 的平面直角坐标分别为 (2,0)(2,0)。
坐标系与参数方程高考常考题型及解析
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考常 考题 型及 解析
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析
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2020年高考数学 选修4-4：坐标系与参数方程 解答题专练(含答案)
2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练1.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线，曲线（φ为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为.（1）求直线l1和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A,B，且，求MOB的面积．2.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是设点P(-1,2)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点，求的值．3.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0)(1)若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值.4.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线（φ为参数）相交于不同的两点A,B．（1）若，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，点，求的值．5.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．7.【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求．8.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．10.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。
2023年高考数学真题分训练 极坐标系与参数方程(含答案含解析)
专题34 极坐标系与参数方程2⎩2 2考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 考点 117 极坐标和直角坐标的互化⎧x = t + 1,⎪x = 4cos 2θ, 1．(2023 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C 1 , C 2 的参数方程分别为C 1 : ⎨ (θ为参数)，C : ⎪ t ( t 为 ⎩ y = 4sin 2θ⎪ y = t - 1参数)．(1) 将C 1 , C 2 的参数方程化为一般方程；⎪ t(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1 , C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．（解析）(1)由cos 2 θ+ sin 2 θ= 1得C 1 的一般方程为： x + y = 4 ，⎧x = t + 1 ⎧x 2= t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2由⎨ 1 得： ⎨1 ，两式作差可得2 的一般方程为： x - y = 4 ． ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2 ⎪ t ⎪ t 2⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ (2)由 得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫． ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ y = 3 ⎩ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 5 ⎫2⎛3 ⎫217设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0 ，则 a - ⎪ + 0 - ⎪ = a 2 ，解得：a = ，⎝2 ⎭⎝2 ⎭10∴ 17 ∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫222 2 17 所求圆的半径 r = ， 10 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ∴所求圆的极坐标方程为ρ= 17cos θ．5⎝ ⎭ ⎝ ⎭103⎩⎪x = 2 - t - t 2, 2．(2023 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪ y = 2 - 3t + t 2( t 为参数且t ≠ 1)，C与坐标轴交于 A , B 两点．(1) 求 AB ；(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（解析）(1)令 x = 0 ，则t 2 + t - 2 = 0 ，解得t = -2 或t =1(舍)，则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A (0,12) ． 令 y = 0 ，则t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得t = 2 或t =1(舍)，则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B (-4, 0) ．∴ AB == 4 ．(2)由(1)可知 k AB =12 - 00 - (-4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即3x - y +12 = 0 ．由 x = ρcos θ, y = ρsin θ可得，直线 AB 的极坐标方程为3ρcos θ- ρsin θ+12 = 0 ．3．(2023 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A (ρ, π) 在直线l : ρcos θ= 2 上，点 B (ρ , π) 在圆C : ρ= 4 sin θ上1 32 6(其中ρ≥ 0 ， 0 ≤θ< 2π)．(1)求ρ1 ， ρ2 的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．（解析）(1) Q ρ cos π = 2∴ρ = 4; Q ρ = 4 s inπ2 ．131 26 ∴ρ2 = (2) Q ρcos θ= 2, ρ= 4 sin θ∴ 4 sin θcos θ= 2,∴sin 2θ= 1 Q θ∈0, 2π)∴θ= π, 5π，4 4当θ= π时ρ= 2 4；当θ= 5π 时ρ= -2 4 < 0 (舍)；即所求交点坐标为当π (2 2, ) ． 4 4．(2023 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0)在曲线C : ρ= 4 s in θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P ． (1)当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．（解析）(1)因为 M (ρ,θ ) 在C 上，当θ = π 时，ρ = 4 s in π= 2 ．0 0 0 3 03由已知得| OP |=| OA | cos π= 2 ．322333⎢⎥⎢⎥设Q (ρ,θ) 为l 上除P 的任意一点．在Rt △OPQ 中ρcos⎛θ-π ⎫=| OP |= 2 ， 3 ⎪ ⎝ ⎭π ⎛ π ⎫经检验，点P (2, ) 在曲线ρcos θ- ⎪ = 2 上． ⎝ ⎭所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ- π ⎫= 2 ．3 ⎪ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，在Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ= 4 cos θ,即 ρ= 4 cos θ．．因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ的取值范围是⎡π , π⎤． ⎣ 4 2 ⎦所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ= 4 cos θ,θ∈ ⎡π , π⎤ ．⎣4 2 ⎦5．(2023 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A (2, 0) ， B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，4 4 A ， A 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，π， (1, π) ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是BC CD(1, ) 21 AB2 BC3 弧C D ．(1) 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；(2) 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，假设点 P 在 M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标．（解析）(1)由题设可得，弧 AB , B C ,C D 所在圆的极坐标方程分别为ρ= 2 cos θ，ρ= 2 s in θ，ρ= -2 cos θ，所以 M 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ⎛0 θ π ⎫ ， M 的极坐标方程为 1 4⎪ 2⎝⎭ρ= 2 sin θ⎛ π θ3π ⎫ ， M 的极坐标方程为ρ= -2 cos θ⎛ 3πθ π ⎫ ． 4 4 ⎪ 34 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，由题设及(1)知3332⎩⎩⎩⎩⎩θ假设0 θπ，则 2 cos θ=，解得θ=π；4 6假设 π θ 3π ，则 2 sin θ= ，解得θ= π 或θ= 2π ； 4 4 3 3 假设 3π θ π ，则-2 cos θ= ，解得θ= 5π ．4 ⎛ 综上，P 的极坐标为3, π ⎫ 或⎛3, π ⎫ 或⎛63,2π ⎫ 或⎛3, 5π ⎫ ．6⎪ 3⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭考点 118 参数方程与一般方程的互化6．(2023 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是()⎧x = 1+ 3t A ． ⎨ y = -1+ 4t ⎧x = 1- 4tB ． ⎨y = -1- 3t⎧x = 1- 3tC ． ⎨y = -1+ 4t ⎧x = 1+ 4t D ． ⎨y = -1- 3t（答案）D（解析）A ．参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ，故 A 不正确；B ．参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ，故B 不正确；C ．参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ，故 C 不正确；D ．参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 ， 故 D 正确．应选 D ．7．(2023 全国Ⅲ)选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中， A O 的参数方程为⎧x = cos θ(θ为参数)，过点(0, -2) 且倾斜角为α的直线l 与A O 交于 A ， B 两点．(1) 求α的取值范围；(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎨ y = sin ，（解析）(1) A O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1． 当α= π时， l 与A O 交于两点．2当α≠ π时，记 tan α= k ，则l 的方程为 y = kx -．l 与A O 交于两点当且仅当< 1 ，解得 k < -1 或2α∈π ππ 3πk > 1，即( , ) 或α∈ ( , ) ．4 2 2 4α π 3π 综上，的取值范围是( , ) ． 4 4222222⎨(2) l 的参数方程为⎪x = t cos α, (t 为参数， π < α< 3π) ． ⎨⎩ y = - + t sin α 4 4 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t =t A + t B，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sin α+ 1 = 0 ．ABPP2A B于是t A + t B= 2 2 sin α， t P =2 sin α．又点 P 的坐标(x , y ) 满足 ⎪x = t P cos α,y = - + t sin α.⎧ ⎪x =2sin 2α, 2 ⎩P π 3π 所以点 P 的轨迹的参数方程是⎨ ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α (α为参数， < α< ) ． 4 4 ⎪ 2 2考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ+ ρsin θ= a (a > 0) 与圆ρ=2 cos θ相切，则 a =．（答案）1+ （解析）利用 x = ρcos θ， y = ρsin θ，可得直线的方程为 x + y - a = 0 ，圆的方程为(x -1)2 + y 2 = 1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r = 1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1- a |= 1 ，∴ a = 1+ 或1- ，又 a > 0 ，∴ a = 1+ ．9．(2023 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则| AP | 的最小值为．（答案）1（解析）圆的一般方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 ，即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ．设圆心为C (1, 2) ，所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 ．10．(2023 天津文理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ- π) +1 = 0 与圆ρ= 2 s in θ的公共点的个数为．6（答案）2（解析）直线的一般方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ，圆的一般方程为 x 2 + ( y -1)2= 1 ，因为圆心到直 3线的距离 d = < 1 4，所以有两个交点．11．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ- | AB |= ．3ρsin θ-1 = 0 与圆ρ= 2 cos θ交于 A , B 两点，则（答案）2（解析）将ρcos θ-3ρsin θ-1 = 0 化为直角坐标方程为 x - 3y -1 = 0 ，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+ y 2= 1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x - 3y -1 = 0 上，所以|AB|=2r=2．222234y x ⎩⎩⎩)⎩12．(2023 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2ρsin(θ- π= 47πA (2 2,) ，则点 Α 到直线l 的距离为 ．42 ，点 Α 的极坐标为（答案）（解析）由 2ρsin(θ- 2π ) = 得2ρ´ 4 2 7π(sin θ- cos θ) = ，所以 y - x = 1， 故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A (2 2, ) 对应的直角坐标为4 A (2,-2) ，所以点 A (2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2． 213．(2023 安徽文理)在极坐标系中，圆ρ= 8sin θ上的点到直线θ=是．π(ρ∈ R ) 距离的最大值 3（答案）6（解析）圆ρ= 8sin θ即ρ2= 8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x 2+ ( y - 4)2= 16 ，π直线θ=，则tan θ=，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线3的距离为| -4 |= 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．14．(2023 全国Ⅰ文理 21)⎧x = cos k t ,在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin k t(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ．(1) 当 k = 1时， C 1 是什么曲线？(2) 当 k = 4 时，求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标．（解析）(1)当 k = 1时，曲线C 的参数方程为⎧x = cos t ,( t 为参数)，两式平方相加得 x 2 + y 2 = 1 ，1⎨y = sin t∴曲线C 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．⎧x = cos 4 t ,(2)当 k = 4 时，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin 4t ( t 为参数)，∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ，曲线C 1 的参数方程化为⎧ x = cos 2 t ⎨ y = sin 2t(t 为参数)，两式相加得曲线C 1 方程为 + = 1，得 = 1 - ，平方得 5 22x yx 77⎩2y = x - 2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ，曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ，曲线C 2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ，联立C , C 方程⎪ y = x - 2 +1 , ，整理得12 x - 32 + 13 = 0 ，解得 x = 1 或 = 13(舍去)，1 2⎨ ⎩4x -16 y + 3 = 02 6 ∴ x = 1 , y = 1 ，∴C ,C 1 1 公共点的直角坐标为( , ) ．4 4 1 24 4⎧ 1- t 2 ⎪x =1+ t 215．(2023 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ．(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值．1- t 2⎛ y ⎫2⎛ 1- t 2 ⎫24t 2 （解析）(1)因为-1 < ≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎪ + = 1，所以C 的直角坐标方程为2y 2 1+ t 2⎝ 2 ⎭ ⎝1 + t 2 ⎭ (1+ t 2 )2x += 1(x ≠ -1) ．4l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 ．⎧x = cos α, (2)由(1)可设C 的参数方程为 (α为参数， -π <α< π )．⎨y = 2sin α4 cos ⎛α- π ⎫ +113 ⎪ C 上的点到l 的距离为 = ⎝ ⎭．当α= - 2π 时， 4 c os ⎛α- π ⎫+11 取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为 ． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭16．(2023 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+ 2ρcos θ- 3 = 0 ． (1) 求C 2 的直角坐标方程；x x x | 2 c os α+ 2 3 sin α+11|7⎨y = 4 s in θ,⎩(2) 假设C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程．（解析）(1)由 x = ρcos θ， y = ρsin θ得C 2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y 2 = 4 ．(2)由(1)知C 2 是圆心为 A (-1, 0) ，半径为 2 的圆．由题设知，C 1 是过点 B (0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l 1 ，y 轴左边的射线为l 2 ．由于 B 在圆C 2 的外面，故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点，或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点．当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 |= 2 ，故 k = - 4 或 k = 0 ．1213经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = - 4时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．1231 2 2 2| k + 2 | 当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以= 2 ，故 k = 0 或 k = 4 ．2 2 23经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4时， l 与C 没有公共点．1 2 32 2综上，所求C 的方程为 y = - 4| x | +2 ．1317．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,( θ 为参数)，直线l 的参数⎩⎧x = 1+ t cos α 方程为⎨ y = 2 + t sin α ( t 为参数)．(1) 求C 和l 的直角坐标方程；(2) 假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．x 2 + y 2 =（解析）(1)曲线C 的直角坐标方程为 1． 4 16当cos α≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tan α⋅ x + 2 - tan α； 当cos α= 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+ 3cos 2 α)t 2 + 4(2 cos α+ sin α)t - 8 = 0 ．①3317⎩⎨ y = 1- ty 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 0 ．4(2 cos α+ sin α)又由①得t 1 + t 2 = -1+ 3cos 2α，故 2 cos α+ sin α= 0 ，于是直线l 的斜率 k = tan α= -2 ．18．(2023 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin( π-θ) = 2 ，曲线C 的方程为ρ= 4 cos θ，求直线l 被曲6 线C 截得的弦长．（解析）因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin( π -θ) = 2 ，则直线l 过 A (4, 0) ，倾斜角为 π，所以 A 为直线l 与圆C 的一6 6 个交点．设另一个交点为 B ，则∠OAB= π ，连结 OB ，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB = 4 c os π= 2 ．6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．2 6⎧x = 3cos θ19．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数)．⎩ (1) 假设 a = -1，求C 与l 的交点坐标；(2) 假设C 上的点到l 距离的最大值为 ，求 a ．（解析）(1)曲线C 的一般方程为 x 2 + 29= 1．当a = -1时，直线l 的一般方程为 x + 4 y - 3 = 0 ．⎧x + 4 y - 3 = 0⎧x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎪25 21 24由⎨ x 2 2解得⎨ y = 0 或⎨ ，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， (- 24 , ) ． ⎩ 9+ y = 1 ⎩⎪ y = ⎩ 25 25 25171717171733342⎩(2)直线l 的一般方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故C 上的点(3cos θ, sin θ) 到l 的距离为| 3cos θ+ 4 sin θ- a - 4 |d =．当a ≥-4 时， d 的最大值为a + 9．由题设得a + 9= ，所以a = 8 ；当a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 ．由题设得 -a + 1= ，所以 a = -16 ． 综上， a = 8 或 a = -16 ．20．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．(1) M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；π(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3) ，点 B 在曲线C 2 上，求∆OAB 面积的最大值． （解析）(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ) (ρ> 0) ， M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0) ．由椭圆知| OP |= ρ， | OM |= ρ1 =cos θ．由| OM | ⋅ | OP |= 16 得C 2 的极坐标方程ρ= 4 cos θ(ρ> 0) ， 因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2= 4(x ≠ 0) ．(2)设点 B 的极坐标为(ρB ,α) (ρB > 0) ．由题设知| OA |= 2 ， ρB = 4cos α，于是∆OAB 面积1 π π 3S = 2 | OA | ⋅ρB ⋅sin ∠AOB = 4cos α| sin(α- 3 ) | = 2 | sin(2α- 3 ) - | ≤ 2 + ． 2 当α= - π时， S 取得最大值 2 + ，所以∆OAB 面积的最大值为 2 + ．1221．(2023 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数)，直线l 的参数方⎧x = -2 + m⎪1 ⎨ y = kt 2程为⎨ ⎩ y = m k( m 为参数)．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．(1) 写出C 的一般方程；17175224 5⎨t⎩(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：ρ(cosθ+ sinθ) -交点，求M 的极径．= 0 ，M 为l3与C 的（解析）(1)消去参数t 得l 的一般方程l : y =k (x -2)，消去参数m 得l 的一般方程l : y =1 (x+2)．11⎧y =k (x-2)22k⎪设P(x, y) ，由题设得⎨⎩y=1 (x+2)k，消去k 得x2-y2=4 (y ≠0)，所以C 的一般方程为x2-y2=4 (y ≠0)．⎪ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0＜θ＜2π,θ≠π)，联立⎨得⎩ρ(cosθ+sinθ)-2=0cosθ- sinθ=2 (cosθ+sinθ)，故tanθ=-1，从而cos2θ=9，sin2θ=1，代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得3ρ2=5，所以交点M的极径为．10 10⎧x =-8 +t22．(2023 江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪y = ( t 为参数)，曲线C 的参数方⎧x=2s2⎪2程为⎨⎩y=22s( s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（解析）直线l 的一般方程为x - 2 y + 8 = 0 ．因为点P 在曲线C 上，设P(2s2 , 2 2s) ，从而点P 到直线l 的的距离4 5d == ，当s =时，dmin=5．因此当点P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值．5⎧x =a cos t23．(2023 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为⎨y = 1+a sin t(t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：ρ= 4 cosθ．(I)说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；(II)直线C3 的极坐标方程为θ=a0 ，其中a0 满足tan a0 =2 ，假设曲线C1 与C2 的公共点都在C3上，求a．22(s -2)2 +4510 10 ⎫2152⎩1123⎩⎨⎩=⎧x = a cos t （解析）(1) ⎨ y = 1 + a sin t( t 均为参数)，∴x 2 + ( y - 1)2= a 2 ①∴ C 为以(0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0 ．∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ，∴ ρ2- 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 ，即为C 的极坐标方程．(2) C ：ρ= 4cos θ，两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2= x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ，∴ x 2 + y 2 = 4x ，即( x - 2)2+ y 2 = 4 ②C 3 ：化为一般方程为 y = 2x ，由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3 ，①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ，即为C ，∴1 - a 2 = 0 ，∴ a = 1 ．24．(2023 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．(I) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；⎧x = t cos α(II)直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α(t 为参数)，l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎧ρ2 = x 2 + y 2 （解析）(Ⅰ)整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，由⎪ρcos θ= x ⎪ρsin θ= y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 12ρcos θ+ 11 = 0 ．(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：= 36k 2 290 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ． 1 + k 4 3 3⎪x =3 cos α25．(2023 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ ⎩ y = sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ π) = 2．24(Ⅰ)写出C 1 的一般方程和C 2 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．x 2 2（解析）(Ⅰ) C 1 的一般方程为 3+ y = 1， C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ．(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α, sin α) ，因为C 2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C 2| 3 cos α+sin α- 4 |2222⎨⎩⎪=1⎩的距离d (α) 的最小值， d (α) ==π2 | sin(α+ π ) - 2 | ．3 3 1当且仅当α= 2k π+(k ∈ Z ) 时， d (α) 取得最小值，最小值为 6，此时 P 的直角坐标为( , ) ． 2 2 ⎧x = 1 + 1t , 26．(2023 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 2 3 t , 2(t 为参数) ，椭圆C 的参数⎧x = cos θ,方程为⎨ y = 2sin θ, (θ为参数) ，设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，求线段 AB 的长．⎧x = 1+ 1t（解析）椭圆C 的一般方程为 x 2 + y 4 = 1，将直线l 的参数方程⎨ ⎪ y = ⎩2 3 t2 ，代入 x 2 + y 4 = 1，得(1+ 1 t )2 + 3 t )22 = 1，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16 ，所以 AB =| t - t | 16 ．2 4 1 2 71 2727．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x = -2 ，圆C ：(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ，以坐标原12点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 1 ， C 2 的极坐标方程；(Ⅱ)假设直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M ， N ，求∆C 2MN 的面积．4（解析）(Ⅰ)因为 x = ρcos θ, y = ρsin θ，∴ C 的极坐标方程为ρcos θ= -2 ， C 的极坐标方程为ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ．12(Ⅱ)将θ= π代入ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ，得ρ2- 3 2ρ+ 4 = 0 ，解得ρ = 2， ρ = ， 4|MN|= ρ － ρ = ，因为C 的半径为 1，则A C MN 的面积 ⨯ 122 ⨯1⨯sin 45o = 1 ． 1 2 22 2 2 ⎧x = t cos α,28．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 ： ⎨ y = t sin α, ( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ρ= 2 sin θ， C 3 ： ρ= 2 3 cos θ． (Ⅰ)求C 2 与C 3 交点的直角坐标；(Ⅱ)假设C 1 与C 2 相交于点 A ， C 1 与C 3 相交于点 B ，求| AB | 的最大值．222(π3623)( x -1+ y +1= )()⎨（解析）(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2- 2 3x = 0 ．联⎪x 2+ y 2- 2 y = 0,⎧x = 0, ⎧ 3 ⎪x = 2 , 立⎨x 2 + y 2 - 2 3x = 0,解得⎨ y = 0, 或⎨ 3 ⎪ ⎩ ⎪ y = ,⎩ 23所以C 2 与C 1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为θ= α(ρ∈ R , ρ≠ 0) ，其中0 ≤α<π． 因此 A 得到极坐标为(2 sin α,α) ， B 的极坐标为(2 3 cos α,α) ． π5π所以 AB = 2 sin α- 2 3 cos α = 4 s in(α-) ，当α= 时， AB 取得最大值，最大值为 4 ． 3 629．(2023 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+ 2 2ρsin(θ- π- 4 = 0 ，求圆 C 的半径．4（解析） 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2⎛ 2 sin θ- 2cos ⎫4 = 0 ，化简，得ρ2 + 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4 = 0 ． ρ 22 θ⎪⎪ - ⎝ ⎭则圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ，即2 2，所以圆C 的半径为 ． ⎧x = 3 + 1 t 30．(2023 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎪2⎪ y = 3 t ⎩ 2 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ= 2 3 sin θ． (Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；( t 为参数)．以原点为极点， x(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．（解析）(Ⅰ) 由ρ= 2 3 sin θ, 得ρ2= 2 3ρsin θ，从而有 x 2+y 2= 2 3y , 所以x 2+ (y -3 )2= 3 ．(Ⅱ)设P (3 += ，故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．21t,3t), 又C(0, 3) ，则| PC |=3222 3 ⎪55⎨y = 2 - 2t⎩⎩31．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x 4 + y 29 = 1，直线l ： ⎧x = 2 + t ( t 为参数)． ⎩(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．⎧x = 2 cos θ.（解析）〔I 〕曲线C 的参数方程为⎨ y = 3sin θ. (θ为参数).直线l 的一般方程为2x + y - 6 = 0. ……5 分(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ.3sin θ)到l 的距离为d =4 cos θ+ 3sin θ- 6 .则 PA =d = sin 30︒ 5sin(θ+α) - 6 , 其中α为锐角，且tan α= 4 . 3当sin (θ+α)=-1时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .5当sin(θ+α) = 1时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .532．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ，θ∈ ⎡0,π⎤ ．(Ⅰ)求 C 的参数方程；⎣⎢ 2 ⎥⎦(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，依据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．（解析）(I)C 的一般方程为(x -1)0 ≤ t ≤ x )．2 + y 2⎧x = 1+ cos t , = 1(0 ≤ y ≤ 1) ，可得 C 的参数方程为⎨ y = sin t ,(t 为参数，(Ⅱ)设 D (1+ cos t , sin t ) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆． π因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t = 3, t =．32 5523⎩⎩⎩1⎩⎩ππ 3故D 的直角坐标为(1+ cos , s in ) ，即( , ) ．3 3 2 233．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5 cos t( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正1 ⎨y = 5 + 5sin t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ= 2 s inθ．(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ρ≥0 ，0 ≤θ≤2π)．⎧x = 4 + 5 c os t2 2（解析）将⎨y = 5 + 5sin t消去参数t ，化为一般方程(x - 4) + ( y -5) = 25 ，即C1 ：x 2 +y2⎧x =ρcosθ-8x -10 y+16 = 0 ，将⎨y =ρsinθ代入x 2 +y2- 8x -10 y + 16 = 0 得，ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ，∴C 的极坐标方程为ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ．⎪x2+y2-8x-10y+16=0(Ⅱ) C 的一般方程为x2 +y2 - 2 y = 0 ，由⎨⎧x =1解得⎨⎧x = 0或⎨，2∴C1 与C2 的交点的极坐标分别为(⎩x2+y2-2y=0π)，(2, ) ．4 2⎩y =1 ⎩y = 2 34．(2023 全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C与β= 2α( 0 <α< 2π) M 为PQ 的中点．⎧x = 2 c os β：⎨y = 2 s in β(β为参数)上，对应参数分别为β=α(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．（解析）(Ⅰ)由题意有P(2c osα,2sinα),Q(2c os2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)，⎧x = cosα+ cos 2α,M 的轨迹的参数方程为⎨y = sinα+ sin 2α, (0 <α< 2π)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==0 <α< 2π)，当α=π时，d = 0 ，故M 的轨迹过坐标原点．2,π3⎩100⎩135．(2023 全国文理)已知曲线C 的参数方程是⎧x = 2 cos ϕϕ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴1⎨y = 3sin ϕ(为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程是ρ= 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上，且 A 、 B 、C 、πD 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ． 3(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围．π5π 4π 11π（解析）(1)点 A , B , C , D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ，3 6 3 6点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-⎧x 0 = 2cos ϕ3,1), (-1, - 3),( 3, -1) ．(2)设 P (x 0 , y 0 ) ；则⎨ y = 3sin (ϕ为参数) ， ⎩ 0ϕt = PA 2+ PB 2+ PC 2+ PD 2= 4x 2 + 4 y 2 +16 = 32 + 20 sin 2ϕ∈32, 52．⎧x = 2 c os α 36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = 2 + 2 s in(α为参数)，M 是C 上 α的动点， P 点满足OP = 2OM ， P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= π与C 的异于极点的交点为 A ，与C 的异于极点的交点为 B ，求 AB ．31 2（解析）(I)设 P (x , y ) ，则由条件知 M( x , y)．由于 M 点在C 上，⎧ x = 2 cos α ⎪ 2 2 2⎧ x = 4 cos α 1⎧ x = 4 cos α 所以⎨ y ，即⎨y = 4 + 4 s in ，从而C 2 的参数方程为⎨y = 4 + 4 s in (α为参数)， ⎪ = 2 + 2 s in α ⎩ α ⎩ α⎩ 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为ρ= 4sin θ，曲线C 2 的极坐标方程为ρ= 8sin θ．射线θ= π与C 的交点 A 的极径为ρ = 4sin π，射线θ= π与C 的交点 B 的极径为ρ = 8sin π．3 1 1 3 32 23所以| AB |=| ρ2 - ρ1 |= 2 ．。
专题 坐标系与参数方程(解析版)
专题 坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．652．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15 （，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+． （1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数标方程为e ee et tt txy--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t为参数），在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求直线l与曲线C的公共点P的极坐标．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值．答 案1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x +=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =． （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=，曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=，由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=．设,A B 两点的参数为1t ，2t ，所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号．所以1212MA MB t t t t +=+=+=【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=，2213x y +=；（2．【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α，sin α），α∈[0，2π）．点M 的极坐标（，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离2d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的距离的最大值为2． 【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．【答案】（1）l 普通方程为10x y --=，C 直角坐标方程为22143x y +=；（2）867． 【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得普通方程为10x y --=．223sin 12ρθ+=（）等价于2223sin 12ρρθ+=，将222sin x y y ρρθ=+=，代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为222312x y y ++=（）， 即22143x y +=． （2）点21P （，）在直线10x y --=上，所以直线l的参数方程可以写为2 1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（为参数）， 将上式代入22143x y +=，得2780t ++=． 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则1212877t t t t +=-=， 所以22||PA PB PB PAPA PB PA PB ++=22PA PB PA PB PA PB+-=（）21212122t t t t t t +-=（）2121212||2t t t t t t +-⋅==⋅2828677877--⨯=（． 【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15-（，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．【答案】（1）11252x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），8sin ρθ=；（2）直线l 与圆C 相离．【解析】（1）直线l的参数方程1π11cos 23 π5sin 53x t x t y t y ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-⎪⎪⎩⎩（t 为参数）， M 点的直角坐标为（0，4），圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为22416x y +-=（），将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得圆C 的极坐标方程为222cos (sin 4)16ρθρθ+-=，即8sin ρθ=； （2）直线l50y ---=，圆心M 到l的距离为942d ==>， ∴直线l 与圆C 相离．【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值；（2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【答案】（1）2） 【解析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x t y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12FA FB t t +=-===（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（π02θ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当π4θ=时，面积S取得最大值 【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生2cos ρρθ，，sin ρθ以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210142x y x ++=+=，；（2）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】（1）当π6a =时，直线l的参数方程为π1cos ,162π11sin 162x t x y t y t ⎧⎧=-+=-+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩，． 消去参数t得10x ++=． 由曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，得()22sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2224x y +=，即22142x y +=； （2）由直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内， 将1cos , 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中，整理得 ()()221sin 22sin c s 10to t ααα++--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，， 则12211sin t t α⋅=-+， 所以12211sin PA PB t t α⋅==+，因为0πα<<，所以(]2sin 01α∈，，所以1221111sin 2PA PB t t α⎡⎫⋅==∈⎪⎢+⎣⎭，，所以PA PB ⋅的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12t t ，，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）1202t t t +=；（2）1202t t PM t +==；（3）21AB t t ＝－；（4）12··PA PB t t ＝． 12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+． （2）2a =．【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）将直线l的参数方程2,22x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠．由根与系数的关系，得121244t t t t a +==+，．因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l上．所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式222tan cos ,sin x y x y xy ρρθρθθ=⎧+==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+，216y x =；（2． 【解析】（1）直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos 0ρθρθ-=， 曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为135x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入221212435167054y x t t t t t =-=+==-，，，121211t t PA PB t t -+==． 【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ． 【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2）π4OP α==， 【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为2224x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=． （2）依题意，∵π02α∈（，），∴4cos OP α=， 1ππsin cos 22OQ αα=+-+（）（）1sin cos αα=+，12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα===+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π4OP α==，【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e e e et tt tx y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． 【答案】（1）2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥． 将cos sin x y ρθρθ==，代入224x y -=，得()222cos sin 4ρθθ-=． 所以曲线C 的极坐标方程为2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．（2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2π4sin 2cos23θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-． 因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=．于是方程的解为tan θ=，即π6θ=．代入πsin 3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10． 【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =，所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线． （2）设点()11,M x y ，点()22,N x y直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x t y t =⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=， 所以12124,16x x x x +==- 所以MN ===10==．【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值． 【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32，31则曲线2C 的直角坐标方程为22243x y +=（），整理得22149x y +=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线的参数方程化为标准形式为1223332x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t --'+=' 整理得27183604t t ''++=（）． 12127214477PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===． 【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．。
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坐标系与参数方程高考解答题专题
1、（2018江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为π
sin()26
ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，
求直线l 被曲线C 截得的弦长．
2、（2018全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
22cos 30ρρθ+-=．
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．
3、（2018全国新课标Ⅲ文、理）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos ,
sin x y θθ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数），
过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
4、(2017江苏) 在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82
t t
y =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C
的参数方程为2
2,
x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的
最小值.
5、（2017全国新课标Ⅰ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ
为参数），直线l 的参数方程为4,
1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）．
（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l
a ．
6、（2017全国新课标Ⅱ文、理） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为π(2,)3
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.
7、（2017全国新课标Ⅲ文、理）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,
,x t y kt =2+⎧⎨
=⎩
（t 为参
数），直线l 2的参数方程为,
,x m m
y k =-2+⎧⎪
⎨=⎪⎩
（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．
（1）写出C 的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
设:(cos sin )l ρθθ3+-=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
8、（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ （t
为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,
2sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于
A ，
B 两点，求线段AB 的长.
9、（2016全国Ⅰ文、理）在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t
y a t =⎧⎨=+⎩
（t 为
参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.
（1）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；
（2）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．
10、（2016全国Ⅱ文、理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22
(6)25x y ++=． （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α
α
=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B
两点，||AB =，
求l 的斜率．
11、（2016全国Ⅲ文、理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为
()sin x y α
αα⎧=⎪⎨
=⎪⎩
为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为sin()4
ρθπ
+=
（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.
12、(2015湖南理)
已知直线52:12
x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 设点M
的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的
值.
13、(2015江苏)已知圆C 的极坐标方程为222sin()404
π
ρρθ+-
-=，求圆C 的半径.
14、(2015全国新课标Ⅰ卷文理)在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆
()()22
2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求12,C C 的极坐标方程. （2）若直线3C 的极坐标方程为()π
R 4
θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.
15、(2015全国新课标Ⅱ卷文、理)在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,
:sin ,
x t C y t αα=⎧⎨
=⎩ （t 为参数,
且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
23:2sin ,:23.C C ρθρθ== （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（2）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.。