高考数学考前三个月复习冲刺专题9 第42练坐标系与参数方程理

合集下载

坐标系与参数方程典型例题含高考题----答案详细)

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习精选《坐标系与参数方程》试题及答案解析.docx

高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）选修4-4 坐标系与参数方程1、设直线l 经过点M （1,5）、倾斜角为3π，则直线l 的参数方程可为( )A ．11235x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ B ．31152x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ C ．11235x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D ．11235x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 【答案】C【解析】由于过点（a ，b ）倾斜角为α 的直线的参数方程为x=a+ t ？cos α，y=b + t ？sin α (t 是参数)，而直线L 经过点M （1,5）、倾斜角为3π，则直线l 的参数方程可为112352x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩故选C.2、曲线 (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ) A. B ．1 C. D. 【答案】A【解析】因为曲线表示单位圆，其圆心在原点，半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会恒等于1(因为直角三角形中，两直角边之和大于斜边)．故最大值必大于1，排除B ，C ，D.3、已知点P 的极坐标为（2，），那么过点P 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A ．ρsin θ=B ． ρsin θ=2C ． ρcos θ=D ． ρcos θ=2【答案】A4、参数方程为，为参数）t t y tx (3221⎩⎨⎧-=+=则普通方程为（）A ．3x+2y-7=0 B.3x-2y-7=0 C ．3x+2y+7=0 D ．-3x+2y-7=0 【答案】A5、在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.1,2π⎛⎫⎪⎝⎭ B.1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(1,0) D ．(1，π) 【答案】B【解析】将极坐标方程左右两边同时乘以ρ得θρρsin 22-=,化为直角坐标方程y y x 222-=+,圆心为(0,-1),极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭,故答案选B.6、曲线的参数方程是211(0)1x t t t y t⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩是参数，，它的普通方程是（） A ． 2(1)(1)1x y --=B ．2(2)(1)x x y x -=-C ．211(1)y x =--D ．211xy x =+-【答案】B 7、圆()θθρsin cos 2+=的圆心坐标为（）A ．（1，4π）B.（21，4π）C.（2，4π）D.（2，4π）【答案】A 8、已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 和原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是（）A.（3，4）B.1212(,)55--C.(-3，-4)D.1212(,)55【答案】D9、已知实数y x ,满足，则的最小值是（）A ．55-．45C 51-D ．55 【答案】A【解析】先由2246120x y x y +-++= 化为圆的参数方程23x cos y sin αα⎩+-⎧⎨＝＝，将()2225|55x y cos sin sin αααθ--=-+=++利用()5555αθ⎡++∈-+⎣，求解．∵实数x，y满足2246120x y x y+-++=,∴23x cosy sinαα⎩+-⎧⎨＝＝，所以()222|5|5x y cos sinαααθ--=-+=++，()5555αθ⎡++∈-⎣Q，，min22525[2x y x y∴--∈∴-=- A.考点：直线与圆的参数方程10、将极坐标（2，32π）化为直角坐标为（）A．（0,2）B．（0，－2）C．（2,0）D．（－2,0）【答案】B【解析】332cos0,2sin222x yππ====-，所以选B．考点：极坐标化为直角坐标11、在柱坐标系中,两点24,,04,,333M Nππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的距离为( ) A.3 B.4C.5D.8【答案】C【解析】法一:由柱坐标可知M在Oxy平面上,N在Oxy平面上的射影坐标为N |MN |4,24,,0MN 5.3.,C π'∴'===⎛⎫ ⎪⎝⎭再由勾股定理得故选法二:可将M ？N 化为直角坐标,N(MN 5..C =-∴=故选12、在极坐标系) , (θρ(πθ20<≤)中,直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是__________. 【答案】213、在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________. 【答案】cos 3ρθ=14、在极坐标系中,极点到曲线22)4cos(=+θπρ的距离是_____________【答案】 15、已知曲线C的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最大值为______________ 【答案】316、已知直线l的参数方程为()x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数,若以直角坐标系xoy的原点O点为极点,以x轴正半轴为极轴,选取相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2sin()4πρθ=+,若直线l与曲线C交于A、B两点.(I)求直线l的倾斜角及l与坐标轴所围成的三角形的面积; (II)求| AB|.【答案】17、已知曲线22:149x yC+=，直线2:22x tly t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）．（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【答案】（1）2cos,3sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），062=-+yx（2）最大值为，最小值为．试题分析：第一问根据椭圆的参数方程的形式，将参数方程写出，关于直线由参数方程向普通方程转化，消参即可，第二问根据线段的长度关系，将问题转化为曲线上的点到直线的距离来求解．试题解析：（1）曲线C的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．直线l 的普通方程为062=-+y x ．（2）曲线C 上任意一点)sin 3,cos 2(θθP 到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则|5sin()6|sin30d PA θα==+-︒，其中α为锐角，且4tan 3α=．当sin()1θα+=-时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin()1θα+=时，|PA|取得最小值，最小值为．考点：椭圆的参数方程，直线的参数方程与普通方程的转换，距离的最值的求解．18、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为,3sin 3cos 2222=+θρθρ直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=t y tx 13t (为参数,)R t ∈.试在曲线C 上一点M ，使它到直线l 的距离最大.【答案】曲线C 的普通方程是1322=+y x ，直线l 的普通方程是033=-+y x设点M 的坐标是)sin ,cos 3(θθ,则点M到直线l 的距离是2|1)4sin(2|32|3sin 3cos 3|-+=-+=πθθθd当1)4sin(-=+πθ时,即Z k k ∈+=+,2324πππθ,Z k k ∈+=,452ππθd 取得最大值,此时22sin ,26cos 3-=-=θθ,综上, 点M 的坐标是)22,26(--时,M 到直线l 的距离最大19、已知圆锥曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x θ(为参数）和定点)3,0(A ,21,F F 是此圆锥曲线的左、右焦点。

高考大题专项突破选修4—4 坐标系与参数方程

A,B 两点,则|AB|=
.
关闭
直线 ρcos θ-√3ρsin θ-1=0 化为直角坐标方程为 x-√3y-1=0,圆 ρ=2cos θ 化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,可知圆心(1,0)在直线 x-√3y-1=0 上,故|AB|=2.
关闭
2
解析答案
知识梳理双基自测自测点评
-15-
|4-2+1| 42+(-2)2
=
√320,
故弦长|AB|=2
1-
3 √20
2 = √555.
-24-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)解 ①由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. ②由①知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
设 P(4cos θ,3sin θ),则 P 到直线 AB 的距离为
d=|12cos��+152sin��-12|
=
12√2sin ��+π4 5
-12
.
当 θ=54π时,dmax=12√25+12.
故△ABP 面积的最大值为12×|AB|×12√25+12=6(√2+1).
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
-16-

【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程大题(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程大题1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k.4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4= 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y=33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．7.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．8.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.9.在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN|的最小值．10.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值．答案解析1.解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2=1.当α=π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k<-1或k>1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2-22tsin α＋1=0.于是t A ＋t B =22sin α，t P =2sin α.又点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.2.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝－4＋tsin α(t 为参数)，ρsin 2θ=2cos θ，即ρ2sin 2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2α-(2cos α＋8sin α)t ＋20=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2=20sin 2α，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20sin 2α=40，得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin 2α>0，所以α=π4.3.解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x 2＋y 2=ρ2代入得x 2＋y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3=0，由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2=-4cos α，t 1t 2=3. 不妨令|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，所以|PQ|=|t 1-t 2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t 1-t 2)2=|t 1|·|t 2|，则(t 1＋t 2)2=5t 1t 2，得(-4cos α)2=5×3，解得cos 2α=1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α=116，tan 2α=115，所以k=tan α=±1515.4.解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y23=1，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=32，得ρcos θ-ρsin θ=6， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)，点M 到直线x-y-6=0的距离d=|3cos β－3sin β－6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋62=6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π32，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3=-1时，|MN|有最小值，最小值为32-6，此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－32.5.解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4=2，即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y-2=0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2=1(t>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2-4y ＋4-t 2=0，所以Δ=16-4(1＋t 2)(4-t 2)<0，又t>0，解得0<t<3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y-2=0，故曲线C 上的点(tcos α，sin α)到l 的距离d=|tcos α＋sin α－2|2，故d max =t 2＋1＋22=62＋2，解得t=± 2.又t>0，∴t= 2.6.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x-3)2＋(y-2)2=4，即x 2＋y 2-23x-4y ＋3=0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.∵直线C 2的方程为y=33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，ρ2-5ρ＋3=0， ∴ρ1ρ2=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3. 7.解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12得ρcos θcos π3-ρsin θsin π3=12，即12ρcos θ-32ρsin θ=12，又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程为x-3y-1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2=4，∵P(1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2=4得7t 2＋43t-12=0，∴t 1·t 2=-127，故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=127.8.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y=2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y=2x ，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2＋y 2，y=ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y-3=0，即x 2＋(y ＋1)2=4.圆C 的圆心C(0，-1)到直线l 的距离d=55，所以|AB|=24－d 2=2955.9.解：(1)∵C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ=24， ∴4x ＋3y-24=0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y-24=0．∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2=1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2=1．(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧ x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x′＝22cos α，y′＝2sin α(α为参数)．设N(22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d=|4×22cos α＋3×2sin α－24|5=|241sin (α＋φ)－24|5=24－241sin (α＋φ)5其中φ满足tan φ=423．当sin(α＋φ)=1时，d 有最小值24－2415，所以|MN|的最小值为24－2415．10.解：(1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x-y-a ＋1=0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ-ρ2=0，得y 2=4x ．所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ． (2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2=4x ，得12t 2-2t ＋1-4a=0，由Δ=(-2)2-4×12×(1-4a)>0，得a>0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=-2t 2，当t 1=2t 2时，⎩⎨⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=136；当t 1=-2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=94，综上，a=136或94．。

高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习附答案解析

新《坐标系与参数方程》专题解析一、131．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】B 【解析】【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．3．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。

【详解】曲线表示半圆：，所以.取，结合图象可得.故选：D 。

【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。

高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解.doc

高中数学高考总复习坐标系与参数方程习题及详解一、选择题x=一1 ~t1.极坐标方程P = g胡和参数方程（/为参数）所表示的图形分别是（）3=2 + /A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线［答案］D［解析］由p=cosO得p2=pcos<9, Ax2 +/-x=0.此方程所表示的图形是圆.X= — 1 —I消去方程中的参数/可得，x+y-l=o,此方程所表示的图形是直线.ly=2+t2.下列参数方程（f为参数）屮，与方程/ = x表示同一曲线的是（）{x=t［x=taiFfB.v=tan/x=tan/2l=tarT7［答案］B［解析］将/=x代入y=r得，y=x29故A错，将tant=y代入x=tan2Z中得，x=y2,［点评］平方得y2=\x\. 限定了x的取VtanzeR,故B正确，C、D容易判断都是错的.值必须非负, /•K=x,但白于y=y［\x\9故它必须满足尹20,而y2=x中的yWR.注意C中消去（得y=y［\x\9x=1+2/ [y=}-2t （/为参数）被圆x=3cosaj^=3sina（a为参数）截得的眩长为（4. 直线）C. 4^/7D. 2［答案］A兀=l+2f［解析］将直线宀化为普通方程得x+y=2,［y=\-2tx=3cosa r 入将圆 r • 化为普通方程得X 2+/ = 9.丿=3sina 圆心O到直线的距离宀眾，所以弦长1=2,段一孑=2护.二、填空题7.在极坐标系中，过圆p = 6cos&的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为［答案］”cos 〃=3［解析］解法一：圆p=6cos&的圆心极坐标（3,0）, ・•・直线/方程为〃cos0=3.解法二：由 p 2 = 6pcos6> 得 #+夕2=&,圆心 C （3,0）,・•・过圆心垂直于极轴（即x 轴）的直线方程为兀=3,其极坐标方程为〃cos 〃=3. ［点评］1.在极坐标方程不熟练的情况下，化为直角坐标方程求解后，再化为极坐标形式是基本方法，故应熟记互化公式.2.掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的形式，对提高解题速度至关重要.长度是8.x= 1 +3cos&（，为参数）被曲线J+3讪（0为参数）所截,则截得的弦的［答案］华兀=—1 +2f［解析］直线化为兀+2y+3=0；|x=l+3cos0圆仁l+3sin& 化为(Ll)+kl) =9,圆心C(l,l)到直线x+2y+3 = 0距离d=洋,半径r=3, 弦长为2寸/_护=弓^.x=cos611 .在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是 .zil (加是常数,0丘(一y=sm"十加兀，兀］是参数)，若曲线C 与x 轴相切，则加= ______ .［答案］±1［解析］VOC ： x 2+(y~m)2=\ 与 x 轴相切，・・加=± 1.x=3cos012.椭圆 4 .八的离心率是 ______________ ・歹=4sin&［答案］普2 2［解析］由已知可得椭圆的普通方程为等+話=1,tz =4, b=3, c =y ［l , e=：= 4 •与C2的位置关系为 _______ •［答案］相离［解析］圆 Cl ： (x-3)2+(y-2)2=4 的圆心 0(3,2)到直线 C 2： 4x+3y-7 = 0 的距离 d =¥>2,・・・0与C2相离.14. _______________________________________________________________ 在极坐标系中，过点(2迈，目作圆p=4sin^的切线，则切线的极坐标方程为 _________________［答案］“cos 〃=2 的直角坐标x=2迈cos 扌=2,尹=2迈sin 》=2,圆〃=4sim9化为直角坐标方程为x 2+y 2=4y 9即x 2+ (y-2)2=49则过点(2,2)的圆的切线方程显然为x=2,即pcos013.兀=3+2cos 〃已知曲线G ：仁2 + 2畑(&为参数)'x=l+3/曲线C 2：4（/为参数），则Gb=i —4/［解析］=2.三、解答题15.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），己知点/的直角坐标为（一2, 6）,点3的极坐标为（4,号），直线/过点力且倾斜角为务圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线/的参数方程和圆C的极坐标方程.JT［解析］・・•直线/过点（-2,6）,倾斜角为才，r ―返X=—2+ 2 z・•・直线/的参数方程为｛厂（/为参数），1円+务又圆心3的直角坐标为（0,4）,半径为4,・・・圆C的直角坐标方程为,+e—4）2=16,将x=p・cos0, y=0sin0代入化简得圆C的极坐标方程为“ = 8・sin&.16.在极坐标系中，直线/的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的x=2cosa正半轴建立平而直角坐标系，曲线C的参数方程为_ c @为参数），求直线/与曲y= 1 十cos2a线C的交点P的直角坐标.［解析］因为直线/的极坐标方程为0=¥（pWR）所以直线/的普通方程为y=©c,又因为曲线C的参数方程为x=2cosa”—-（«为参数）y= 1 + cos2a所以曲线C的直角坐标方程为尸护（冃―2,2］）,x=0 解箒仁。

2023版高考数学一轮总复习选修4：坐标系与参数方程课件文

线.
过点(a,0),与极轴垂直的
直线.
图形
极坐标方程
(1)θ=α(ρ∈R)或
θ=π+α(ρ∈R),
(2)θ=α和θ=π+α.
ρcosθ =a
.
ρsinθ=a(0<θ<π)
.
考点2
参数方程
1. 参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,将参数方程化为普
通方程需消去参数.
形如ρcosθ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换)
根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,
得C1,C2的直角坐标方程分别为 3x-y-2=0,x2-y2=2.
考向1
极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化
(2)将 3x-y-2=0和x2-y2=2联立,消去y,
得x2-2 3x+3=0,解得x= 3,∴y=1,
(1)将曲线C1,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设P是曲线C1,C2的公共点,求点P的极坐标以及|PA|-|PB|的值.
考向1
解析
极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化
1
3
(1)曲线C1,C2的极坐标方程可化为 ρsinθ- ρcosθ=-1和
2
2
(ρcosθ)2-(ρsinθ)2=2,(极坐标方程化为直角坐标方程时构造
考点1
坐标系
2. 极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一定点 O,叫作极点,自
极点O引一条射线 Ox,叫作极轴;再选定一个长度单位,一
个角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向),
这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标:如图所示,设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM| 叫作点M

冲刺2020高考高三毕业班数学模拟试题选萃42 坐标系与参数方程(解析Word版)

冲刺2020高考高三毕业班数学模拟试题选萃专题42 坐标系与参数方程1.（极坐标与数列交汇）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为()1cos28cos ρθθ-=，直线cos 1ρθ=与曲线C 相交于,M N 两点，直线l 过定点()2,0P 且倾斜角为α，l 交曲线C 于,A B 两点．（1）把曲线C 化成直角坐标方程，并求MN 的值；（2）若PA ，MN ，PB 成等比数列，求直线l 的倾斜角α．【答案】(1) 答案见解析 (2) 4a π=或34π 【解析】（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ=8ρcosθ， ∴x 2+y 2-x 2+y 2=8x ，即y 2=4x ．由ρcosθ=1得x =1，由124x y x =⎧=⎨⎩的M （1，2），N （1，-2），∴|MN |=4．（2）直线l 的参数方程为：{2x tcos y tsin αα=+=(t 为参数)，联立直线l 的参数方程与曲线C ：y 2=4x ，得t 2sin 2α-4t cosα-8=0，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2，则t 1+t 2=24cos sin αα，t 1t 2=-28sin α，因为|P A |，|MN |，|PB |成等比数列， ∴|P A ||PB |=|MN |2=16， ∴|t 1||t 2|=16，∴|t 1t 2|=16， ∴28sin α=16，∴sin 2α=12， ∵0≤α＜π，∴∴α=4π或α=34π．2．（参数方程与伸缩变换）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E .（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN ∆的面积．【答案】（1）2214x y +=（2）85.【解析】（1）依题意，E 的参数方程为2,,x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=.（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，所以l的参数方程为,22,2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +，联立22,22,1,4x y x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=，(245240∆=-⨯⨯>所以1225t t +=，即MN =，所以118sin 22425OMN S MN MO π∆=⋅⋅==.3.（极坐标、参数方程与面积）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）设曲线1l 的极坐标方程为(0)6πθρ=≥，曲线2l 的极坐标方程为(0)3πθρ=≥，求三条曲线C ，1l ，2l 所围成图形的面积.【答案】（1）4sin()3πρθ=+；（223π.【解析】（1）由条件得圆C 的直角坐标方程为(()2214x y -+-=，得2220x y y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得2cos 2sin 0ρθρθ--=，即2sin ρθθ=+，则4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由条件知曲线1l 和2l 是过原点O 的两条射线，设1l 和2l 分别与圆C 交于异于点O 的点A 和B ，将6πθ=代入圆C 的极坐标方程，得4,6A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以4OA =；将3πθ=代入圆C 的极坐标方程，得3B π⎛⎫⎪⎝⎭，所以OB =由（1）得圆C 的圆心为)C，其极坐标为2,6C π⎛⎫⎪⎝⎭，故射线1l 经过圆心C ，所以366COB πππ∠=-=，23ACB COB π∠=∠=.所以11sin sin 246COB S OC OB COB OA OB π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=扇形CAB 的面积为2122233CAB S ππ=⋅⋅=, 故三条曲线C ，1l ，2l所围成图形的面积为23COB CAB S S π∆+=. 4．（参数的意义）已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上. （1）若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，求FA FB ⋅的值；（2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 【答案】（1）122FA FB t t ⋅==；（2）16．【解析】(1) 曲线C 的直角坐标系方程为: 221124x y +=∴()F -∴直线l的参数方程为x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将,22t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入221124x y +=得：2220t t --= 设A B 、两点所对应的参数为12,t t ，则122t t ⋅=-∴2FA FB ⋅= (2) 设P 为内接矩形在第一象限的顶点,(),2sin P θθ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则矩形的周长()42sin 16sin 3l πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴当6πθ=即()3,1P 时周长最大，最大值为16．5．（极径的意义）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ (ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． (1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()R θαρ=∈，22(cos sin )10ρθθρ-++=（2）(2,【解析】（Ⅰ）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=.（Ⅰ）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=，当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，228sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径.从而：122OA OB ρρ+=+= ()cos sin 4πααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭. 当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(2,.6．（参数方程、极坐标与三角函数）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是cos 5sin x t y t αα⎧=⎨=+⎩（t 是参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程是2cos 4πρθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）写出圆2C 的直角坐标方程；（Ⅰ）若曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，求sin cos sin cos αααα-+的值.【答案】（Ⅰ）22240x y x y +--=；（Ⅰ）3.【解析】（Ⅰ）sin cos 2cos 4sin 2cos 22ρθθθθθ=⋅+-=+⎭， 24sin 2cos ρρθρθ=+，∴2242x y y x +=+，∴圆2C 的直角坐标方程是22240x y x y +--=.（Ⅰ）因为曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线()tan 5tan 0y x αα=-⋅+<与圆2C 相切，2C 圆心为（1，2）=，解得tan 2α=-，所以sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα--==++.7.（参数方程、极坐标与三角函数性质）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=,2213x y +=；（2）2.【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α，sinα），α∈[0，2π）．点M 的极坐标（3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则1cos 1,sin 122P αα⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离2d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的距离的最大值为2． 8．（参数方程、极坐标与参数范围）在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =acost y =2sint（t 为参数，a >0）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π4)=−2√2. （1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =2√3时，求点P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 【答案】（1）4√2；（2）(0,2√3).【解析】（1）由ρcos (θ+π4)=−2√2，得√22(ρcosθ−ρsinθ)=−2√2,化成直角坐标方程得√22(x −y)=−2√2,∴直线l 的方程为x −y +4=0，依题意，设P(2√3cost,2sint)，则P 到直线l 的距离d =√3cost−2sint+4|√2=|4cos(t+π6)+4|√2=2√2+2√2cos(t +π6)，当t +π6=2kπ，即t =2kπ−π6，k ∈Z 时，d max =4√2，故点P 到直线l 的距离的最大值为4√2.（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∀t ∈R ，acost −2sint +4>0恒成立，即√a 2+4cos(t +φ)+4>0（其中tanφ=2a ）恒成立， ∴√a 2+4<4，又a >0，解得0<a <2√3. 故a 取值范围(0,2√3).9.（参数方程、极坐标与定值）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos sin x y αααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（Ⅰ）直线l 与y 轴交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：PA PB ⋅为定值. 【答案】（Ⅰ）曲线C ：224x y +=.l40y --=.（Ⅰ）见证明【解析】（Ⅰ）由题意，可得()()2222cos sin 4x y αααα+=++=，化简得曲线C ：224x y +=.直线l的极坐标方程展开为1cos sin 222ρθρθ-=，故l40y --=.（Ⅰ）显然P 的坐标为()0,4-，不妨设过点P 的直线方程为cos 4sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入C ：224x y +=得28sin 120t t α-+=，所以1212PA PB t t ⋅==为定值.10．（参数方程、极坐标与取值范围）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于两点M ，N ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求2211PMPN+的取值范围．【答案】(1) 2220x y y +-= (2) (2,6]【解析】（1）由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，把ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsin θ代入，可得x 2+y 2﹣2y ＝0． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣2y ＝0；（2）将直线l 的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程，得t 2+（2cos α﹣2sin α）t +1＝0．由△＝（2cos α﹣2sin α）2﹣4＞0，得sin2α＜0，且t 1+t 2＝﹣2cos α+2sin α，t 1t 2＝1．∴2221212122222221212()211242||||t t t t t t sin PM PN t t t t α++-+===-． Q sin2α＜0∴242sin α-(2,6]∈即2211||||PM PN +的取值范围是（2，6]．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

x＝2
x＝18
得y＝－4 或y＝12 ，
所以A(2，－4)，B(18,12)，
所以 AB＝ 18－22＋[12－－4]2＝16 2. 即线段 AB 的长为 16 2.
点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一. (2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性.
变式训练1 (2014·广东改编)在极坐标系中，曲线C1和C2 的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标. 解因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρsin2θ＝cos θ，得ρ2sin2θ＝ρcos θ，所以曲线C1的普通方程为y2＝x.
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.
解因为直线l与圆C有公共点，
故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－25a|≤4，解得－2 5≤a≤2 5.
题型三极坐标、参数方程及其应用
例 3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 x＝tcos α，
C1：y＝tsin α (t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sin θ，曲线 C3：ρ＝2 3cos θ.
常考题型精析
题型一极坐标与直角坐标的互化题型二参数方程与普通方程的互化题型三极坐标、参数方程及其应用
题型一极坐标与直角坐标的互化
例 1 在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极
坐标方程分别是 ρcos(θ＋4π)＝3 2和 ρsin2θ＝8cos θ，直线 l
与曲线 C 交于点 A、B，求线段 AB 的长.
直角坐标.
解设 P3＋12t， 23t，又 C(0， 3)，
则 PC＝
3＋12t2＋ 23t－ 32＝ t2＋12，
故当t＝0时，PC取得最小值，
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值.
解曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π.
因此 A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(2 3cos α，α). 所以 AB＝|2sin α－2 3cos α|＝4sinα－π3. 当 α＝56π时，AB 取得最大值，最大值为 4.
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；解消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝
由9. 2ρsinθ－π4＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0.
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.
(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.
解依题意，圆心C到直线l的距离等于2，
y2＝x， x＝1，由y＝1 得y＝1，
故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1).
题型二参数方程与普通方程的互化
例 2 (2015·福建)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数
x＝1＋3cos t，方程为y＝－2＋3sin t (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 2ρsinθ－π4＝ m(m∈R).
点评 (1)利用参数方程解决题，要理解参数的几何意义. (2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.
变式训练 3 (2015·陕西)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参
|1－－2＋m|
即
2
＝2，
解得 m＝－3±2 2.
点评 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等. (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等
价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、 y的取值范围.
专题9 系列4选讲
第42练坐标系与参数方程
题型分析·高考展望
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
常考题型精析高考题型精练
数方程为xy＝＝32＋3t12t，
(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为 ρ＝2 3sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
解由 ρ＝2 3sin θ，得 ρ2＝2 3ρsin θ，从而有 x2＋y2＝2 3y，所以 x2＋(y－ 3)2＝3.
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
解曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线 C3 的直角坐标方程为 x2＋y2－2 3x＝0.
x2＋y2－2y＝0，联立x2＋y2－2 3x＝0，
x＝0，解得y＝0，
或x＝ 23， y＝32.
所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 23，32.
变式训练 2 (2014·福建 ) 已知直线 l 的参数方程为
x＝a－2t，
x＝4cos θ，
y＝－4t
(t 为参数)，圆 C 的参数方程为y＝4sin θ
(θ 为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程；
解直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
解
∵ρcos(θ＋4π)＝ρcos θcos
π4－ρsin θsin
π 4
＝ 22ρcos θ－ 22ρsin θ＝3 2，
∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.
又∵ρsin2θ＝8cos θ，
∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ.
∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.
x－y＝6 解方程组y2＝8x ，