极坐标与参数方程专题复习

坐标系与参数方程一、考试大纲解析：1.坐标系（1）理解坐标系的作用；（2）了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；（3）能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；2.参数方程（1）了解参数方程和参数方程的意义；（2）能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程；（3）能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用；二、题型分布：极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。

由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。

三、知识点回顾 坐标系1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)与其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：6．直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θρcos a -= ⑷θρsin a =⑸θρsin a -= ⑹)cos(ϕθρ-=a对应图形如下：ϕθ=θρcos a=θρcos a-=θρsin a=图4θρsin a -=图5)cos(ϕθρ-=a7．圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ：⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a对应图形如下：θρcos 2a =图2θρsin 2a =图4θρsin 2a-=图5θρcos 2a -=a=ρ图1)cos(2ϕθρ-=a 图6参数方程1．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．常见曲线的参数方程如下：（1）过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．（2）中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）（3）中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或θθsin cos a y b x ==）（4）顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）四、直击考点：考点一：坐标的变化以与轨迹方程中参数方程与标准方程的互化 极坐标与直角坐标的互化：x⎩（直极互化 图）参数方程与标准方程的互化：标准方程化为参数方程：熟记常见曲线的参数方程即可。

参数方程转化为标准方程：牢记参数放一边，然后利用三角函数的知识点消参数。

（22sin sin cos 1,tan cos k θθθθθ+===如）例题：1把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）．A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩解答：D1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制．2.若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）．A ．23B ．23- C ．32D ．32-解答：D233122y t k x t --===--3.参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为． 解答：221,(2)416x y x -=≥22()()422222tt t t tty x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩． 4.分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数． 解：（1）当0t =时，0,cos y x θ==，即1,0x y ≤=且； 当0t ≠时，cos ,sin 11()()22tt t t x y e e e e θθ--==+-，而221x y +=，即2222111()()44tt t t x y e e e e --+=+-；（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2t t x e e -=±+，即1,0x y ≥=且；当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2t t y e e -=±-，即0x =；当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t tt t x e e ye e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即222cos sin 222cos sin tt x y e x y e θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222222()()cos sin cos sin t t x y x ye e θθθθ-⋅=+-， 即22221cos sin x y θθ-=． 实践练习：1.直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233(t 为参数)的倾斜角是2.方程⎩⎨⎧+=+-=ααsin 3cos 1t y t x （t 为非零常数，α为参数）表示的曲线是( )3.把弹道曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程．考点二：最值为题通过题意得到参数方程，一般情况下是利用参数方程中三角函数的有界型来求最值 例题1．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）．A ．B ．C D解析：C椭圆为22164x y +=，设,2sin )P θθ，24sin )x y θθθϕ+=+=+≤2．已知ABC ∆中，(2,0),(0,2),(cos ,1sin )A B C θθ--+(θ为变数)， 求ABC ∆面积的最大值． 解：设C 点的坐标为(,)x y ，则cos 1sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩，即22(1)1x y ++=为以(0,1)-为圆心，以1为半径的圆． ∵(2,0),(0,2)A B -， ∴||AB ==且AB 的方程为122x y+=-， 即20x y -+=，则圆心(0,1)-到直线AB=．∴点C 到直线AB 的最大距离为1，∴ABC S ∆的最大值是1(132⨯=+．实践练习：1．在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大．2．在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ，使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短（或最长）．3．A为椭221259x y +=上任意一点，B为圆22(1)1x y -+=上任意一点，求的最大值和最小值。

考点三：其他综合问题 例题：1．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么||MN =． 解析：14||p t显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴，即x轴，121||2||2|2|MN p t t p t =-=．2．直线12()2x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）． A ．125BCD解析：B11221x x t y t y ⎧=+⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=+⎪⎩，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=，1212||5t t -===，12|t t -=3．已知直线l 过定点3(3,)2P --与圆C ：5cos ()5sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数相交于A 、B 两点．求：（1）若||8AB =，求直线l 的方程；（2）若点3(3,)2P --为弦AB 的中点，求弦AB 的方程．解：（1）由圆C 的参数方程225cos 255sin x x y y θθ=⎧⇒+=⎨=⎩，设直线l 的参数方程为①3cos ()3sin 2x t t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数， 将参数方程①代入圆的方程2225x y += 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=，∴△216[9(2cos sin )55]0αα=++>， 所以方程有两相异实数根1t 、2t ， ∴12||||8AB t t =-==，化简有23cos 4sin cos 0ααα+=， 解之cos 0α=或3tan 4α=-，从而求出直线l 的方程为30x +=或34150x y ++=．（2）若P 为AB 的中点，所以120t t +=，由（1）知2cos sin 0αα+=，得tan 2α=-， 故所求弦AB 的方程为2242150(25)x y x y ++=+≤．实践练习：1．已知直线；l ：⎩⎨⎧+=--=t y t x 4231与双曲线（2）22=1相交于A 、B 两点，P 点坐标 P(-1，2)。