北师大版2018-专题突破——极坐标与参数方程专题
极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用1．（2018?银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参
数），两曲线相交于M，N两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．
解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，
用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．
（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），
代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，
则t1+t2=12，t1?t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．
2．（2018?乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为
（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|?|AQ|的值．
解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．
（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上．
把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0．
由韦达定理可得t1?t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|?|AQ|=|t1?t2|=．
3．（2018?西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（I）求直线l和C的普通方程；
（II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣），求||PA|﹣|PB||的值．
解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，所以：直线l的普通方程为：
，
因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：．（II）直线l：的参数方程为：（t为参数），
代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17，
则：||PA|﹣|PB||=，=．
4．（2018?内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．
∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分）
∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分）（Ⅱ）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，
得，…（6分）设A，B两点对应的参数为t1，t2，
∵点P在曲线C的左下方，∴|PA|=t1，|PB|=t2，…（8分）
∴===3．…（10分）
5．（2018?上饶三模）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．
解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）
2+y2=4，
直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．
（2）将代入（x﹣2）2+y2=4，得t2﹣2tcosα﹣3=0，△=（2tcosα）2+12＞0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则
，
=
因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．
6．（2018?武昌区校级模拟）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．
（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．
解：（1）当时，由直线l的参数方程消去t得，
即直线l的普通方程为；因为曲线过极点，由ρcos2θ=4sinθ，得（ρcosθ）
2=4ρsinθ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y．
（2）将直线l的参数方程代入x2=4y，得t2cos2α﹣4tsinα﹣8=0，
由题意知，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则，，
∴=
=．
∵，cos2α∈（0，1]，，
当cos2α=1，即α=0时，|AB|的最小值为．
7．（2018?洛阳一模）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．
解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）
2+（y﹣1）2=3．
化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0…（5分）
（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）
2+（1+tsinα）2=3，
即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1?t2=﹣1．
∴|AB|=|t1﹣t2|==2．
∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．
即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）
8．（2018?新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：
sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1
整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，
由于（1，2）为中点坐标，
①当直线的斜率不存时，x=1．
②当直线的斜率存在时，，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，
即：直线l的斜率为﹣2．
9．（2018?合肥二模）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在
以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为
2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．解（Ⅰ）曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．∴2aρsinθ﹣ρ2cos2θ=0．即x2=2ay（a＞0）．
（Ⅱ）将代入x2=2ay，得，得．
∵a＞0，∴解①得．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|?|PN|，
即，∴，即，解得a=0或．∵，∴．
10．（2018?芜湖模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲
线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．
（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点（P在A，B之间），且|PA|=2|PB|，求实数a的值．
解：（1）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），
消参得曲线C1的普通方程为x+y﹣a﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．
两边同乘ρ得ρ2cos2θ+2ρcosθ﹣ρ2=0，即y2=2x．………（5分）
（2）将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2=2x，得+2+1﹣2a=0，
设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|=2|t2|，且P在A，B之间，则t1=﹣2t2，
∴，解得a=．………（10分）
11．（2018?深圳一模）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．在以
O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0
（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（a，1），设直线l与曲线C的两个交点为A，B，若|PA|=3|PB|．求a的值．解：（Ⅰ）直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．
转化为直角坐标方程为：4x﹣3y﹣4a+3=0．
曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，转化为直角坐标方程为：y2=8x．
（Ⅱ）设A、B的两个参数为t1和t2，则：，整理得：，
所以：．由，解得：．
由|PA|=3|PB|．则：t1=3t2或t1=﹣3t2，
当t1=3t2时，，解得：．
当t1=﹣3t2时，，解得：．
故：．
极坐标与参数方程专题（2）——极坐标系下ρ意义的应用
1．（2018?顺德区一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．
（Ⅰ）求C2的极坐标方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．
解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，
曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，
故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．
（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），
将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=
．
2．（2018?内江一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于
不同于极点的点N，求|MN|的值．
解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，
极坐标方程为．
曲线C的普通方程为，极坐标方程为…（5分）
（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ）∴，
∵∴，∴射线OM的极坐标方程为．联立，
解得ρ=3．∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1．
3．（2016?晋中一模）已知曲线C 1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为
极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．
（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程
（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．
解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以C1：，即，所以；
C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即
．
（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，
把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），
所以|PQ|=|ρ2﹣ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．
4．（2015?新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中
0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C 2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．
同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，
解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．
（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠
；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，
当时，|AB|取得最大值4．
5．（2018?城关区校级模拟）已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求的值．
解：（1）由，得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，
得到曲线C的普通方程是．…（5分）
（2）因为，所以，
由OA⊥OB，设A（ρ1，α），则B点的坐标可设为，
所以===．…（10分）
6．（2018?衡阳二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）求|OA|?|OB|的最小值．
解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．
再转化为极坐标方程为：．
（2）根据题意：射线OB的极坐标方程为或
所以：|OA|=，=，
所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，
当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．
7．（2018?全国I模拟）在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|?|OP|=16，记P的轨迹为曲线C；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l与C的极坐标方程；
（2）设A的极坐标为（2，），点B在曲线C上，△OAB的面积为，求B点的直角坐
标．
解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，∴直线l的极坐标方程为l：ρcosθ=4．
设P（ρ，θ），（ρ＞0），M（ρ1，θ），（ρ1＞0），则ρ1cosθ=4，
∵M为l上的动点，P在线段OM上，满足
|OM|?|OP|=16，∴|OM|?|OP|=ρρ1=16，∴ρ=4cosθ，ρ＞0，
∴C的极坐标方程为ρ=4cosθ，ρ＞0．
（2）依题意设B点极坐标为（4cosα，α），则S△ABO=|AO|?|BO|sin∠AOB=
=2|sin（2α﹣）﹣|=，解得，此时B（2，），或α=﹣，此时B（2，﹣），化为直角坐标为B（3，）或B（1，﹣）．
8．（2018?石家庄一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．
解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y=+2，
曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r==2，∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），
∴曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4，
所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），
==4sin（）sin（）=2sinθcosθ+2
=sin2θ+=2sin（2）+，
当时，，所以△MON面积的最大值为2+．
极坐标与参数方程专题（3）——求取值范围或最值1．（2018?曲靖二模）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相
同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，曲线C2的参数方程为
（θ为参数）．
（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角方程，C2的参数方程化为普通方程；
（2）设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，求|PQ|的最小值．
解：∵曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，∴=3，
∴曲线C1的直角坐标方程为．
∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：x2+（y+2）
2=4．
（2）∵曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，﹣2）为圆心，以2为半径的圆，
圆心（0，2）到曲线C1：的距离d==4，
P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，∴|PQ|的最小值为：d﹣r=4﹣2=2．2．（2018?赤峰模拟）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐
标系，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的极坐标方程为
．
（1）求曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程；
（2）设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，求|MN|的最大值．
解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+y2=1，∵曲线C2的极坐标方程
为．∴=4cosθ+4sinθ，
∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y=0，
∴曲线C1，C2公共弦所在的直线的普通方程为4x+4y﹣1=0．
∴曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程4ρcosθ+4ρsinθ=1．
（2）∵曲线C1：x2+y2=1的圆心为C1（0，0），半径r1=1，
曲线C2：x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心C2（2，2），半径r2==2，|C1C2|==2，
∵设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，∴|MN|的最大值为：|C1C2|+r1+r2=2=4
+1．
3．（2018?洛阳三模）已知直线l的极坐标方程为，现以极点O为原点，
极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的参数方程为（φ为参数）．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；
（2）若曲线C2为曲线C1关于直线l的对称曲线，点A，B分别为曲线C1、曲线C2上的动点，点P坐标为（2，2），求|AP|+|BP|的最小值．
解：（1）直线l的极坐标方程为，∴，
即ρcosθ+ρsinθ=4，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0；
曲线C1的参数方程为（φ为参数）．∴曲线C1的普通方程为（x+1）2+（y+2）
2=4．
（2）∵点P在直线x+y=4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等．
曲线C1是以（﹣1，﹣2）为圆心，半径r=2的圆．∴|AP|min=|PC1|﹣r=．所以|AP|+|BP|的最小值为2×3=6．
4．（2018?黑龙江模拟）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．
解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）
2=4．（2分），
x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，
化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）
（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）
△ABM的面积
所以△ABM面积的最大值为（10分）
5．（2018?孝义市一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴
建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．
（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；
（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．
解：（1）由C的方程可得ρ2+3ρ2sin2θ=16，又ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，
∴C的直角坐标方程为x2+4y2=16，即．
设P（4cosθ，2sinθ），则Q（2cosθ，sinθ），∴点Q的轨迹的参数方程为（θ为参数）．
（2）由（1）知点Q的轨迹的普通方程为，
A（4，0），B（0，2），，所以直线AB的方程为x+2y﹣4=0．设M（2cosθ，sinθ），
则点M到AB的距离为，
∴△MAB面积的最大值为．
6．（2018?思明区校级模拟）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，
曲线C1的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B，C的直角坐标；
（2）设P是圆C2：x2+（y+）2=1上的任意一点，求|PB2|+|PC|2的取值范围．
解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4，
∵正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0），
∴B点的坐标为（2cos120°，2sin120°），即B（﹣1，），
C点的坐标为（2cos240°，2sin240°），即C（﹣1，﹣）．
（2）∵圆C2：x2+（y+）2=1，∴圆C2的参数方程，
设点P（cosα，﹣），
0≤α＜2π，∴|PB2
|+|PC|2=+（cosα+1）2+sin2α
=16+4cosα﹣4sinα=16+8cos（），∴|PB2|+|PC|2的范围是[8，24]．
7．（2018?河南一模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．
解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），∴
，
又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，…（5分）∴，∴圆C的普通方程为=0．
（2）设z=，圆C的方程=0．即（x+1）2+（y﹣）2=4，
∴圆C的圆心是C（﹣1，），半径r=2，
将直线l的参数方程为（t为参数）代入z=，得z=﹣t，
又∵直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，
∴﹣2≤t≤2，∴﹣2≤﹣t≤2，即的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）
8．（2018?湖南三模）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C3的极坐标方程为
ρ=﹣2sinθ．
（1）求出曲线C2，C3的参数方程；
（2）若P，Q分别是曲线C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值．
解：（1）曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，∴曲线C2的方程为+y2=1
∴曲线C2的参数方程为，（α为参数）．
∵曲线C3的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．即ρ2=﹣2ρsinθ，
∴曲线C3的直角坐标方程为x2+y2=﹣2y，即x2+（y+1）2=1，
∴曲线C3的参数方程为，（β为参数）．
（2）设P（2cosα，sinα），则P到曲线C3的圆心（0，﹣1）的距离：
d==．
∵sinα∈[﹣1，1]，∴当sinα=时，d max=．∴|PQ|max=d max+r=+1=．
9.（2018?大庆模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
ρsin（θ+=．
（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．
解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，
∴曲线C的直角坐标方程为．
由ρsin（θ+=，得，化简得，
ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．
∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．
（Ⅱ）解：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，
点Q到直线l的距离为=．
当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．
10．（2017?新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，
∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，
∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）
2+y2=4（x≠0），
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，
∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|?（2+
）=2+．
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
高考数学极坐标与参数方程(基础精心整理)教师版
第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
(极坐标与参数方程)教学案( 4 )
高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 4 ) 常见曲线的极坐标方程 一、课前自主预习 1.将下列极坐标方程化为直角坐标方程 ⑴5=ρ, ⑵sin 2ρθ=, ⑶πθ4 3 =, 2.写出下列特殊图形的直线方程 图3 图1 _________________ _________________ ____________________ 图5 图4 ______________ ________________ 3.写出下列特殊图形圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O ____________________ ________________ ________________________ 图5 图4 _____________________ ____________________
4. 若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：_____________ 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：__________________________________ 二、课堂合作探究 例1：按下列条件写出它的极坐标方程: ⑴求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程.⑵求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程.⑶求过极点及??? ??6, 6πA 的直线方程.⑷求过点?? ? ??6,6πA 平行于极轴的直线⑸求过点?? ? ??6,6πA 且倾斜角为32π的直线方程.. 例2、:按下列条件写出圆的极坐标方程: (1)以()0,3A 为圆心,且过极点的圆(2)以?? ? ??2, 8πB 为圆心,且过极点的圆 (3)以极点O 与点()0,4-C 连接的线段为直径的圆(4)圆心在极轴上,且过极点与点??? ? ? 6,32πD 的圆 例3、自极点O 作射线与直线4=θρsos 相交于点M,在OM 上取一点P,使得OM ·OP=12,求点P 的轨迹方程.
2018年高考备考极坐标与参数方程专题
专题1 极坐标与参数方程 【基本方法】 1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)； 2．基本转化公式： cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? ， 222 (0) tan x y x y x ρ θ ?=+ ? ≠ ? = ?? ； 3．参数方程： () () x f t y g t = ? ? = ? ，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程； 4．直线的参数方程0 0cos sin x x t y y t αα =+ ? ? =+ ? (t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问. 【三年真题】 1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? (θ为参数)，直线l的 参数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. (1)若1 a=-，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l a. 2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数， a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. (I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4 θρπ =∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积. 【自主研究】 4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3 ρθπ =-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程； (II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )?? (其中)?∈R ，求PQ 的最大值． 5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θ θ ???=??＝cos sin (θ为参 数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3 π )， 直线l 的极坐标方程为ρcos(3 π ＋θ)＝6． (Ⅰ)求点P 到直线l 的距离； (Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值． 6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． (Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? (t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的 斜率．
高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤
极坐标与参数方程专题答案
2015年极坐标与参数方程专题答案 1 【解析】根据直线的位置特点，设出所求直线上点的坐标为(ρ，θ)，结合三角形的知识建立ρ和θ之间的等式，即可求出该直线的极坐标方程． 设直线上任意一点的坐标是(ρ，θ)， 由正弦定理 即 2 【解析】根据变换法则建立曲线C1的参数方程，求出普通方程，根据极坐标方程，曲线C2 的方程也是圆，求出普通方程即可求出公共弦长． (α为参数 )上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到 1 最后横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 所以C1为(x－1)2＋y2＝4. 又C2为ρ＝4sinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y， 所以C1和C2公共弦所在直线为2x－4y＋3＝0，所以(1,0)到2x －4y＋3＝0 3．2 【解析】1．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴正方向重合；(3)取相同的单位长度．2．参数方程化为普通方程常见方法有三种：(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数．(2)三角法：利用三角恒等式消去参数．(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．化参数方程为普通方程F(x，y)＝0时，在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性． 由C1 (x－4)2＋(y－3)2＝1；由C2：ρ＝2得x2＋y2＝4，两圆圆心距
为5，两圆半径分别为1和2，故|AB|≥2，最小值为2. 4 由已知，以过原点的直线倾 斜角θ为参数,则 以 。所以所求圆的参数方程 为 本题考查与圆的参数方程有关的问题，涉及圆的标准方程和参数方程等知识，属于容易题。5 该题主要考查参数方程，极坐标系、极坐标方程以及它们的关系. 6 4 π θ?? += ? ? ? 对 7．2 【解析】本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档 题． 化为普通方程为y2＝2px(p>0)，并且 又∵|EF|＝|MF|＝|ME|，即有3 p＝±2(负值舍去)，即p＝2. 8 【解析】考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．
高中数学-极坐标与参数方程
2 2 坐 标 系 与 参 数 方 程 一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 （1） 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建 立一一对应关系 （2） 平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向 ③坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴 ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点 ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y)之间可以建立一一对应关系 （3） 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段 P 1P 2 的中点为P ①两点间的距离公式|P 1P 2|＝ ??x ＝x 1＋x 2 ②中点P 的坐标公式? y ＋y ??y ＝ 1 2 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换 ?x′＝λx （λ>0） 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：? ?y′＝μy （μ>0） 的作用下，点 P(x ，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系 1. 定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一 （x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3 l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标 系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角 坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方 程为θρcos 4=.
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极 点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方 程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 )4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线???==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变 为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方 程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ????=+-=. 21, 233t y t x （t 为参数）。求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。
极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)
高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结 极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！ 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．
(2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：
二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示
2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
极坐标与参数方程专题复习
极坐标与参数方程专题复习
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试卷第8页，总6页 极坐标与参数方程专题复习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、知识点总结 1.直线的参数方程 (1)标准式过点()000P ,x y ，倾斜角为α的直线l (如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) 定点()000P ,x y 加t 个单位向量就是动点 于是，t 的绝对值就是定点和动点间的距离， (2)一般式?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 为参数) 转化为标准式 ??? ? ??? ++=++=t b a b y y t b a a x x 2202 20 2.圆锥曲线的参数方程。“1”的代换 (1)圆()() 22 2 x a y b r -+-=cos sin x a r y b r θ θ=+?? =+? (θ是参数) θ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，θ∈[]0,2π (2)椭圆122 22 =+b y a x cos sin x a y b θ θ=??=? (θ为参数)
试卷第8页，总6页 椭圆 1 22 22=+b y a y cos sin x b y a θ θ=?? =? (θ为参数) 3.极坐标 (1)极坐标与直角坐标互换。222cos sin x y x y ρρθρθ?=+? =??=? (2)过原点倾斜角为α的直线的极坐标方程：θα= (3)圆心在原点，半径为r 的圆极坐标方程：r ρ= 二、例题示范 题型一、坐标的互化。（略） 题型二、参数方程的本质（表示点）。 1、点到点、点到直线距离的最值。参数方程看做点带入距离公式。 2、点的轨迹方程。参数方程看做点，同时使用跟踪点发。 例1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+???=??（t 为参数），以 原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 23sin ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程； （2）点P 是直线l 上的点，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小.
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
高中数学选修4_4_极坐标与参数方程_知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系 (02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π - 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
北师大版2018-专题突破——极坐标与参数方程专题
极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用1．（2018?银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参 数），两曲线相交于M，N两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值． 解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x， 用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0． （Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数）， 代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2， 则t1+t2=12，t1?t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=． 2．（2018?乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为 （t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|?|AQ|的值． 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆． （2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上． 把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0． 由韦达定理可得t1?t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|?|AQ|=|t1?t2|=．
3．（2018?西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（I）求直线l和C的普通方程； （II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣），求||PA|﹣|PB||的值． 解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，所以：直线l的普通方程为： ， 因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：．（II）直线l：的参数方程为：（t为参数）， 代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17， 则：||PA|﹣|PB||=，=． 4．（2018?内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点． （Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为． ∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分） ∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分）（Ⅱ）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，
高中数学极坐标与参数方程知识点
高中数学极坐标与参数方程知识点极坐标与参数方程知识点 (一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函 数，即 x,f(t), ,y,f(t), 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程 组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称 参数( (二)常见曲线的参数方程如下: 1(过定点(x，y)，倾角为α的直线: 00 ,x,x，tcos0 (t为参数) y,y，tsin,0 其中参数t是以定点P(x，y)为起点，对应于t点M(x，y)为终点的有向线段PM00 的数量，又称为点P与点M间的有向距离( 根据t的几何意义，有以下结论( ABt,t1(设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t和t，则,,AB?BA 2(t,t),4t,t( BAAB t，tAB2(线段AB的中点所对应的参数值等于( ?2 2(中心在(x，y)，半径等于r的圆: 00 ,x,x，rcos0, (为参数) y,y，rsin,0 3(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆: ,,x,bcosx,acos, (为参数) (或 ) y,bsin,y,asin,
中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 ,x,x，acos,,0(,为参数) ,y,y，bsin.,0, 4(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线: 1 ,,x,btgx,asec, (为参数) (或 ) y,btg,y,asec, 5(顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线: 2x,2pt (t为参数，p,0) y,2pt 直线的参数方程和参数的几何意义 ,x,x，tcos,0过定点P(x，y)，倾斜角为的直线的参数方程是 (t为参 数)( ,00,yytsin,,，0, (三)极坐标系 1、定义:在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 M , , Ox 图1 2、极坐标有四个要素:?极点;?极轴;?长度单位;?角度单位及它的方向(极坐标与 ,直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应,
极坐标与参数方程习题
！ 极坐标与参数方程习题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、?? ?+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．8 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) . A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?3 4, 5π C 、?? ? ? ?- 3 2,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ? ? 3, 2π B 、?? ? ? ?34, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θ θ =+?? =? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). 】 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）
极坐标与参数方程专题复习汇编
坐标系与参数方程 一、考试大纲解析： 1?坐标系 （1） 理解坐标系的作用； （2） 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况； （3） 能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化； （4） 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义； 2?参数方程 （1） 了解参数方程和参数方程的意义； （2） 能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程； （3） 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用； 极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一， 在每年的高考试卷中，极坐标和参 数方程都是放在选作题的一题中来考查。 由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所 以在考试中一般不会有很难的题目。 三、知识点回顾 坐标系 的作用下，点P （x, y ）对应到点P （X , y ），称「为平面直角坐标系中的坐标伸缩.变换，简 称伸缩变换? 2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 0，叫做极点；自极点0引一条射线Ox 叫做极 轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这 样就建立了一个极坐标系。 3?点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点 0与点M 的距离|0M |叫做点M 的极径， 记为「；以极轴Ox 为始边，射线 0M 为终边的? xOM 叫做点M 的极角，记为二。有序 数对（OR 叫做点 M 的极坐标，记为M （几旳. 极坐标（几力与（亍门，2k 二）（k ?Z ）表示同一个点。极点 0的坐标为（0门）（” R ）. 4.若? :：: 0,则- ? 0,规定点（-匚力与点（：「）关于极点对称，即（-6力与（匚二 二） 表示同一点。 如果规定「7,0 V 2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （「门）表 示; 、题型分布: 1 .伸缩变换：设点P （x, y ）是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换申：丿 X 「X, ( ■ 0),