北师大版2018-专题突破——极坐标与参数方程专题

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北师版高考总复习一轮理科数精品课件选修4—4 坐标系与参数方程第1课时极坐标方程与参数方程

反思感悟直角坐标方程化为参数方程或极坐标方程的方法
(1)将直角坐标方程化为参数方程时,首先确定一个适当的参数,然后用该
参数表示出直角坐标方程中的x,y;
= cos,
(2)直角坐标方程化为极坐标方程的方法是直接将互化公式
代
= sin
入直角坐标方程化简整理.
对点训练1在直角坐标系xOy中,过点P
ρ>0,θ∈[0,2π),那么平面内的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)是一一对应的.
2.由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ=ρ(θ)的图形的对称性:若
π
ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于极轴对称;若ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线θ= 2
所在的直线对称;若ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于极点O对称.
为
=
=
2 2
,
2
+1
(t
2
-1
2 +1
为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极
坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos +
π
4
=
2
.
2
(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;
(2)已知点 A 在曲线 C 上,且点 A 到直线 l
2
的距离为 ,求点
典例突破
例1.(2021全国乙,理22)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出☉C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立
极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
= 2 + cos,
解:(1)☉C 的参数方程为

2018年北京市高考数学理 13专题十三极坐标与参数方程

第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,23⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案一、填空题 1.21+ 2.21二、解答题1.解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．3.解：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =．l 与O交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是s i nA B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB == 因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．。

2018届北师大版(理科数学) 解析几何、极坐标参数方程单元测试

十四、圆锥曲线（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·海淀区期末·9）点到双曲线的渐近线的距离是．【答案】2.（2018·海淀区期末·11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则 .【答案】23.（2018·丰台区期末·13）能够说明“方程的曲线是椭圆”为假命题的一个的值是．【答案】中任取一值即为正确答案4.（2018·海淀期末·5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C.或 D.或【答案】D5.（2018·海淀期末·8）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．的是A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个B.使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个【答案】C6. （2018·丰台区期末·7）过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】C7. （2018·通州区期末·2）已知点为抛物线上一点，那么点到抛物线准线的距离是A．B．C．D．【答案】C7. （2018·昌平区期末·11）已知直线，点是圆上的点，那么点到直线的距离的最小值是 .【答案】28. （2018·朝阳区期末·6）已知圆的圆心为.直线过点且与轴不重合，交圆于两点，点在点，之间.过作直线的平行线交直线于点，则点的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分【答案】B9. （2018·朝阳区期末·9）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为.【答案】10. （2018·东城区期末·13）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是.【答案】；十五、极坐标与参数方程（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018•西城期末·4）已知为曲线：（为参数）上的动点．设为原点，则的最大值是（A）（B）（C）（D）【答案】D2.（2018·海淀期末·2）在极坐标系中，方程表示的圆为【答案】D3.（2018·丰台期末·3）在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】B4.（2018·通州区期末·11）在极坐标系中，已知点是以为圆心，为半径的圆上的点，那么点到极点的最大距离是_______.【答案】35.(2018·通州区期末·12) 已知点的坐标是，将绕坐标原点顺时针旋转至，那么点的横坐标是_______.【答案】6.（2018·昌平区期末·10）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为.【答案】7.（2018·东城区期末·12）在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为.【答案】>1十六、解析几何综合题（一）试题细目表（二）试题解析1. （2018·西城区期末·19）（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意得，，所以．[ 2分]因为，[ 3分]所以， [ 4分]所以椭圆的方程为． [ 5分]（Ⅱ）若四边形是平行四边形，则，且.[ 6分]所以直线的方程为，所以，．[ 7分]设，．由得， [ 8分]由，得．且，． [ 9分]所以.． [10分]因为，所以．整理得， [12分]解得，或． [13分]经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．所以，或． [14分] 2. (2018·海淀区期末·18) 已知椭圆，点（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.【答案】解：（Ⅰ）：，故，，，有，. ……………..3分椭圆的短轴长为，离心率为.……………..5分（Ⅱ）结论是：. ……………..6分设直线：，，，整理得：……………..8分故，……………..10分……………..11分……………..12分故，即点在以为直径的圆内，故………..13分3.（2018·丰台区期末·19）在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.（Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）设点在曲线上，轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等，所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.设的方程为，则，即.所以的轨迹方程为.（Ⅱ）设，则，所以直线的斜率为.设与平行，且与抛物线相切的直线为，由得，由得，所以，所以点.当，即时，直线的方程为，整理得，所以直线过点.当，即时，直线的方程为，过点，综上所述，直线过定点.4.（2018·石景山期末·19）已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）因为，又，所以………2分设椭圆方程为,代入,得……4分椭圆方程为…………5分（Ⅱ）当时，斜率之和为…………6分设斜率为，则斜率为…………7分设方程为，与椭圆联立得代入化简得：，同理，，即直线的斜率为定值. …………14分5.（2018·通州区期末·18）已知椭圆过点，离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．【答案】解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点，离心率，所以，……………………2分所以由，得……………………3分所以椭圆的标准方程是……………………4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点作斜率为直线，所以直线的方程是.联立方程组消去，得显然设点，，所以，……………………7分因为轴平分，所以.所以……………………9分所以所以所以所以所以所以……………………12分所以因为，所以……………………13分6.（2018·房山区期末·18）已知直线过点，圆:,直线与圆交于两点.（）求直线的方程；（）求直线的斜率的取值范围；（Ⅲ）是否存在过点且垂直平分弦的直线?若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．【答案】（）设圆,圆心为，故直线的方程为，即 …………………5分（）法1：直线的方程为，则由得由得故…………………10分法2：直线的方程为，即，圆心为，圆的半径为1则圆心到直线的距离因为直线与有交于两点，故，故（Ⅲ）假设存在直线垂直平分于弦,此时直线过，，则，故的斜率，由（）可知，不满足条件所以，不存在存在直线垂直于弦。

2018版高考数学大一轮复习第十三章鸭部分13.1坐标系与参数方程第1课时坐标系教师用书文北师大版

第1课时坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ²x λ>0 ，y ′＝μ²y μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点Μ的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0 .这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程1．(2016²北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程．解点(2，π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2，2sin π2)，即(0,2)．∴过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y ＝2. 即为ρsin θ＝2.2．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ²OB ²sin∠AOB＝12³3³4³sin π6＝3. 3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．解由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt△DOB 中，易求DB ＝33a ，∴B 点的坐标为(33a ，a )．又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴(33a )2＋a 2－4a ＝0，即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.题型一极坐标与直角坐标的互化例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.(2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．解 (1)将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.(2)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于x 轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.题型二求曲线的极坐标方程例2 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋(y2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.思维升华求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．如图所示，因为圆C 经过点 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 |PC |＝2 2＋12－2³1³2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 题型三极坐标方程的应用例3 (2015²课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，所以△C 2MN 的面积为12.思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程； (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．(2016²广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解由ρsin(θ＋π4)＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－ 2222＝4 3.故所求弦长为4 3.1．(2015²广东)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解依题可知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－－2 ＋1|12＋－12＝522. 2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．解曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程为2x ＋4y ＋a ＝0. 因为圆与直线相切，所以|2³32＋4³0＋a |22＋42＝32，解得a ＝－3±3 5.4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程．解以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，且圆心为(1,0)．直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，求|PQ |的最大值．解对曲线C 1的极坐标方程进行转化：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.对曲线C 2的极坐标方程进行转化： ∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴|PQ |max ＝6＋6＋ 33 2＋32＝18.6．在极坐标系中，O 是极点，设A (4，π3)，B (5，－5π6)，求△AOB 的面积．解如图所示，∠AOB ＝2π－π3－5π6＝5π6，OA ＝4，OB ＝5，故S △AOB ＝12³4³5³sin 5π6＝5.7．已知P (5，2π3)，O 为极点，求使△POP ′为正三角形的点P ′的坐标．解设P ′点的极坐标为(ρ，θ)． ∵△POP ′为正三角形，如图所示， ∴∠POP ′＝π3.∴θ＝2π3－π3＝π3或θ＝2π3＋π3＝π.又ρ＝5，∴P ′点的极坐标为(5，π3)或(5，π)．8．在极坐标系中，判断直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系．解直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．9．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)．则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。

专题突破——极坐标与参数方程专题

极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t 几何意义的应用1．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 的参数方程为：（t 为参数），两曲线相交于M ，N 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若P （﹣2，﹣4），求|PM |+|PN |的值．2．在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P （1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求直线l 的参数方程（设参数为t ）和曲线C 的普通方程；（Ⅱ）求的值．3．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C （，），半径r=．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的取值范围．4．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．5.（2016年全国II ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，AB =求l 的斜率．极坐标与参数方程专题（2）——极坐标系下ρ意义的应用1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．3．已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．4．已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求的值．5．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（t 为参数，t ≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2cosθ．（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．6．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．7．（2011新课标）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P点满足2OP OM =uu u v uuu v，P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．8．（2015新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积．极坐标与参数方程专题（3）——求点到直线的距离1．（2017新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．2．（2016年全国III ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．3．（2015陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．4．在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C 1的极坐标方程为ρsin （θ﹣）=3，曲线C 2的参数方程为（θ为参数）．（1）将曲线C 1的极坐标方程化为直角方程，C 2的参数方程化为普通方程；（2）设P 是曲线C 1上任一点，Q 是曲线C 2上任一点，求|PQ |的最小值．极坐标与参数方程专题（4）——求轨迹方程1．(2018全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．（1）求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．3．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．4.（2013新课标Ⅱ）已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数上，对应参数分别为βα=与2βα=（02απ<<）M 为PQ 的中点。

2018高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1节坐标系教师用书文北师大版

坐标系与参数方程第一节坐标系[考纲传真] 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图1所示，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．图1(2)极坐标①极径：设M 是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长，ρ叫作点M 的极径． ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0.4．圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2.(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ＜π)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )【导学号：66482483】A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]3．(教材改编)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．x 2＋y 2－2y ＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，∴y －x ＝1.由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)．∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.]5．(2015·江苏高考)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C的半径．[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 2分圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，4分化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 6分则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为 6. 10分将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[解] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.2分由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.6分不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，8分于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ. 10分[规律方法] 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入转化．[变式训练1] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程． [解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2，2分∴x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1). 5分 (2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，8分代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，∴y ′＝x ′为所求直线l ′的方程. 10分(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. 4分(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 8分故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12. 10分[迁移探究1] 若本例条件不变，求直线C 1与C 2的交点的极坐标．[解] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝－2，θ＝π4，解得θ＝π4且ρ＝－2 2. 6分所以交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－22，π4. 10分 [迁移探究2] 本例条件不变，求圆C 2关于极点的对称圆的方程． [解] 因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C 2上，所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. 6分故所求圆C 2关于极点的对称圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋4＝0. 10分[规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．[变式训练2] (2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离． [解] (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线. 2分由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1.∴C 2是圆心为(1,0)，半径r ＝1的圆. 4分 (2)由(1)知点(1,0)在直线x －3y －1＝0上，因此直线C 1过圆C 2的圆心. 6分 ∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径．因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2. 10分(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆. 2分将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. 4分(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，8分从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1. 10分[规律方法] 1.第(1)问将曲线C 1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．[变式训练3] (2017·太原市质检)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧ x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.【导学号：66482484】 [解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3.∴ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32. 2分曲线C 2化为x 26＋y 22＝1.(*)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得ρ26cos 2θ＋ρ22sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin 2θ. 4分(2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，6分把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. 8分∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1. 10分[思想与方法]1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等．2．确定极坐标方程的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．[易错与防范]1．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ＜2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．。

2018高考数学坐标系与参数方程第2节参数方程教师用书文北师大版

第二节参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt并且对于t 取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ，消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.]4．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．(2，－4) [由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.①由⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，消去t 得y 2＝8x .②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．]5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[解] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1. 2分将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，8分解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝167. 10分已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，2分圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 4分 (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，8分解得－25≤a ≤2 5. 10分[规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形．[变式训练1] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．[解] 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，4分所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过椭圆的右顶点(3,0)，则3－0－a ＝0，所以a ＝3. 10分已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.【导学号：66482486】[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. 4分(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 8分当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 10分[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[变式训练2] (2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． [解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 2分又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).4分(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋y 2＝16，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，8分由参数方程的几何意义，|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝11. 10分(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，2分由于曲线C 2的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. 4分 (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，8分又d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 10分 [规律方法] 1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．[变式训练3] (2017·石家庄市质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA ||PB |的值． [解] (1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， ∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. 4分 (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得到t 2＋22t －3＝0，8分∴t 1t 2＝－3，∴|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝3. 10分[思想与方法]1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋tan 2θ＝1cos 2θ.2．利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法．3．将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分体现了转化与化归思想的应用．[易错与防范]1．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性．在消去参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围．2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．3．设过点M (x 0，y 0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)注意以下两个结论的应用：(1)|AB |＝|t 1－t 2|； (2)|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|.。

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极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用1．（2018•银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x，用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=12，t1•t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=．2．（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|•|AQ|的值．解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上．把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0．由韦达定理可得t1•t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=．3．（2018•西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（I）求直线l和C的普通方程；（II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣），求||PA|﹣|PB||的值．解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，所以：直线l的普通方程为：，因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：．（II）直线l：的参数方程为：（t为参数），代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17，则：||PA|﹣|PB||=，=．4．（2018•内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分）（Ⅱ）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，得，…（6分）设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵点P在曲线C的左下方，∴|PA|=t1，|PB|=t2，…（8分）∴===3．…（10分）5．（2018•上饶三模）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，所以直线l的参数方程为（t为参数）．（2）将代入（x﹣2）2+y2=4，得t2﹣2tcosα﹣3=0，△=（2tcosα）2+12＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，=因为cosα∈[﹣1，1]，所以的最大值为，最小值为．6．（2018•武昌区校级模拟）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．解：（1）当时，由直线l的参数方程消去t得，即直线l的普通方程为；因为曲线过极点，由ρcos2θ=4sinθ，得（ρcosθ）2=4ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（2）将直线l的参数方程代入x2=4y，得t2cos2α﹣4tsinα﹣8=0，由题意知，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，∴==．∵，cos2α∈（0，1]，，当cos2α=1，即α=0时，|AB|的最小值为．7．（2018•洛阳一模）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0…（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）8．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，①当直线的斜率不存时，x=1．②当直线的斜率存在时，，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．9．（2018•合肥二模）已知过点P（0，﹣1）的直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于点M，N，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．解（Ⅰ）曲线C的方程为2asinθ﹣ρcos2θ=0（a＞0）．∴2aρsinθ﹣ρ2cos2θ=0．即x2=2ay（a＞0）．（Ⅱ）将代入x2=2ay，得，得．∵a＞0，∴解①得．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|•|PN|，即，∴，即，解得a=0或．∵，∴．10．（2018•芜湖模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点（P在A，B之间），且|PA|=2|PB|，求实数a的值．解：（1）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），消参得曲线C1的普通方程为x+y﹣a﹣1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+2cosθ﹣ρ=0．两边同乘ρ得ρ2cos2θ+2ρcosθ﹣ρ2=0，即y2=2x．………（5分）（2）将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2=2x，得+2+1﹣2a=0，设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|=2|t2|，且P在A，B之间，则t1=﹣2t2，∴，解得a=．………（10分）11．（2018•深圳一模）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．在以O为极点、x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（a，1），设直线l与曲线C的两个交点为A，B，若|PA|=3|PB|．求a的值．解：（Ⅰ）直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为（t为参数）．转化为直角坐标方程为：4x﹣3y﹣4a+3=0．曲线C的方程为ρcos2θ+8cosθ﹣ρ=0，转化为直角坐标方程为：y2=8x．（Ⅱ）设A、B的两个参数为t1和t2，则：，整理得：，所以：．由，解得：．由|PA|=3|PB|．则：t1=3t2或t1=﹣3t2，当t1=3t2时，，解得：．当t1=﹣3t2时，，解得：．故：．极坐标与参数方程专题（2）——极坐标系下ρ意义的应用1．（2018•顺德区一模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2．即：，故C2的直角坐标方程为：．转化为极坐标方程为：．（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为极坐标方程为ρ1=1，由题意得到：A（1，），将B（ρ，）代入坐标方程：．得到，则：|AB|=．2．（2018•内江一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，极坐标方程为．曲线C的普通方程为，极坐标方程为…（5分）（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ）∴，∵∴，∴射线OM的极坐标方程为．联立，解得ρ=3．∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1．3．（2016•晋中一模）已知曲线C 1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），所以|PQ|=|ρ2﹣ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．4．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．5．（2018•城关区校级模拟）已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的普通方程；（2）A、B为曲线C上两个点，若OA⊥OB，求的值．解：（1）由，得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得到曲线C的普通方程是．…（5分）（2）因为，所以，由OA⊥OB，设A（ρ1，α），则B点的坐标可设为，所以===．…（10分）6．（2018•衡阳二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线OB的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．7．（2018•全国I模拟）在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|•|OP|=16，记P的轨迹为曲线C；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l与C的极坐标方程；（2）设A的极坐标为（2，），点B在曲线C上，△OAB的面积为，求B点的直角坐标．解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，∴直线l的极坐标方程为l：ρcosθ=4．设P（ρ，θ），（ρ＞0），M（ρ1，θ），（ρ1＞0），则ρ1cosθ=4，∵M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|•|OP|=16，∴|OM|•|OP|=ρρ1=16，∴ρ=4cosθ，ρ＞0，∴C的极坐标方程为ρ=4cosθ，ρ＞0．（2）依题意设B点极坐标为（4cosα，α），则S△ABO=|AO|•|BO|sin∠AOB==2|sin（2α﹣）﹣|=，解得，此时B（2，），或α=﹣，此时B（2，﹣），化为直角坐标为B（3，）或B（1，﹣）．8．（2018•石家庄一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y=+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r==2，∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y﹣1）2=4，所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），==4sin（）sin（）=2sinθcosθ+2=sin2θ+=2sin（2）+，当时，，所以△MON面积的最大值为2+．极坐标与参数方程专题（3）——求取值范围或最值1．（2018•曲靖二模）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角方程，C2的参数方程化为普通方程；（2）设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，求|PQ|的最小值．解：∵曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，∴=3，∴曲线C1的直角坐标方程为．∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为：x2+（y+2）2=4．（2）∵曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，﹣2）为圆心，以2为半径的圆，圆心（0，2）到曲线C1：的距离d==4，P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，∴|PQ|的最小值为：d﹣r=4﹣2=2．2．（2018•赤峰模拟）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程；（2）设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，求|MN|的最大值．解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+y2=1，∵曲线C2的极坐标方程为．∴=4cosθ+4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴曲线C1，C2公共弦所在的直线的普通方程为4x+4y﹣1=0．∴曲线C1，C2公共弦所在的直线的极坐标方程4ρcosθ+4ρsinθ=1．（2）∵曲线C1：x2+y2=1的圆心为C1（0，0），半径r1=1，曲线C2：x2+y2﹣4x﹣4y=0的圆心C2（2，2），半径r2==2，|C1C2|==2，∵设M点在曲线C1上，N点在曲线C2上，∴|MN|的最大值为：|C1C2|+r1+r2=2=4+1．3．（2018•洛阳三模）已知直线l的极坐标方程为，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的参数方程为（φ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；（2）若曲线C2为曲线C1关于直线l的对称曲线，点A，B分别为曲线C1、曲线C2上的动点，点P坐标为（2，2），求|AP|+|BP|的最小值．解：（1）直线l的极坐标方程为，∴，即ρcosθ+ρsinθ=4，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0；曲线C1的参数方程为（φ为参数）．∴曲线C1的普通方程为（x+1）2+（y+2）2=4．（2）∵点P在直线x+y=4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等．曲线C1是以（﹣1，﹣2）为圆心，半径r=2的圆．∴|AP|min=|PC1|﹣r=．所以|AP|+|BP|的最小值为2×3=6．4．（2018•黑龙江模拟）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）5．（2018•孝义市一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，P为曲线C上的动点，C与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．（1）求线段OP中点Q的轨迹的参数方程；（2）若M是（1）中点Q的轨迹上的动点，求△MAB面积的最大值．解：（1）由C的方程可得ρ2+3ρ2sin2θ=16，又ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，∴C的直角坐标方程为x2+4y2=16，即．设P（4cosθ，2sinθ），则Q（2cosθ，sinθ），∴点Q的轨迹的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）知点Q的轨迹的普通方程为，A（4，0），B（0，2），，所以直线AB的方程为x+2y﹣4=0．设M（2cosθ，sinθ），则点M到AB的距离为，∴△MAB面积的最大值为．6．（2018•思明区校级模拟）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．（1）求点B，C的直角坐标；（2）设P是圆C2：x2+（y+）2=1上的任意一点，求|PB2|+|PC|2的取值范围．解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4，∵正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0），∴B点的坐标为（2cos120°，2sin120°），即B（﹣1，），C点的坐标为（2cos240°，2sin240°），即C（﹣1，﹣）．（2）∵圆C2：x2+（y+）2=1，∴圆C2的参数方程，设点P（cosα，﹣），0≤α＜2π，∴|PB2|+|PC|2=+（cosα+1）2+sin2α=16+4cosα﹣4sinα=16+8cos（），∴|PB2|+|PC|2的范围是[8，24]．7．（2018•河南一模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），∴，又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，…（5分）∴，∴圆C的普通方程为=0．（2）设z=，圆C的方程=0．即（x+1）2+（y﹣）2=4，∴圆C的圆心是C（﹣1，），半径r=2，将直线l的参数方程为（t为参数）代入z=，得z=﹣t，又∵直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，∴﹣2≤t≤2，∴﹣2≤﹣t≤2，即的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）8．（2018•湖南三模）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C3的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）求出曲线C2，C3的参数方程；（2）若P，Q分别是曲线C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值．解：（1）曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，∴曲线C2的方程为+y2=1∴曲线C2的参数方程为，（α为参数）．∵曲线C3的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．即ρ2=﹣2ρsinθ，∴曲线C3的直角坐标方程为x2+y2=﹣2y，即x2+（y+1）2=1，∴曲线C3的参数方程为，（β为参数）．（2）设P（2cosα，sinα），则P到曲线C3的圆心（0，﹣1）的距离：d==．∵sinα∈[﹣1，1]，∴当sinα=时，d max=．∴|PQ|max=d max+r=+1=．9.（2018•大庆模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，∴曲线C的直角坐标方程为．由ρsin（θ+=，得，化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，∴x+y=2．∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．（Ⅱ）解：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为=．当时，．∴点Q到直线l的距离的最大值为．10．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．。

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