2018年高考数学真题专题汇编----极坐标与参数方程
(2021年整理)2018高考数学试题分项版_极坐标参数方程[解析版]
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2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）一、填空题1．(2017·北京理,11)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP｜的最小值为________．1．【答案】1【解析】由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即（x－1)2＋(y－2）2＝1,圆心坐标为C(1，2）,半径长为1。
2018届高考数学二轮参数方程与极坐标专题卷(全国通用)(11)
参数方程与极坐标1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,(1x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数，t R ∈），圆C 的参数方程为cos 1,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，[)0,2θπ∈），则圆心C 到直线l 的距离为（ ）A ．0B ．2C ．2【答案】C【解析】试题分析：直线l 的普通方程为10x y -+=，圆的直角坐标方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，所以圆心C 到直线l 的距离为d == C. 考点：直线的参数方程与圆的极坐标方程. 2．⊙O 1极坐标方程为θρcos 4=，⊙O 2参数方程为θθθ(sin 22cos 2⎩⎨⎧+-==y x 为参数)，则⊙O 1与⊙O 2公共弦的长度为( )A ．2B ．12+C ．22D ．1 【答案】C【解析】因为⊙O 1的普通方程为2240x y x +-=,⊙O 2的普通方程为22(2)4x y ++=,所以两圆作差可得0x y +=,所以圆O 1到直线x+y=0所以公共弦的长度为l ==3．已知点(1,0),M -直线:1l y x =+与曲线2c o s :(sin x C y ααα=⎧⎨=⎩为参数）两点相交于21,P P ，2121)2(;)1(P P MP MP 求求【答案】（1）1.2（2【解析】试题分析：解（1）曲线C ：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x 的一般方程为：1422=+y x 直线l ：1+=x y 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22221把直线方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22221代入曲线C ：1422=+y x ，得：062252=--t t 设21,t t 是方程的两根,则21MP MP =5621=t t 6分 21)2(P P =528564)522(4)(22122121=⨯+=-+=-t t t t t t . 12分 考点：直线与圆的位置关系点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。
2018年高考数学专项训练-极坐标和参数方程
2018年高考数学专项训练-极坐标和参数方程1.【2017·黑龙江伊春二中期末】在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．2.极坐标系中，已知圆ρ=10cos（1）求圆的直角坐标方程．（2）设P是圆上任一点，求点P到直线距离的最大值．3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．4.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=，直线l 的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．5.【2017·普宁一中】已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ+ρcos θ=10，以极点为直角坐标系原点，极轴所在直线为x 轴建立直角坐标系，曲线C 1的参数方程为（α为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）若点M 在曲线C 1上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值及该点坐标．6.【2018·成都龙泉中学】在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．7.已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2﹣2ρcos （θ﹣）=2．（1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设两圆交点分别为A 、B ，求直线AB 的参数方程，并利用直线AB 的参数方程求两圆的公共弦长|AB|．8.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l的参数方程为（t 为参数），α为直线l 的倾斜角，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB|=，求l 的斜率．9.【2017·江苏高考】在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,2,8ty t x （t 为参数）,曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==,22,22s y s x （s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.10.【2017·全国Ⅱ卷】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为4cos =θρ。
2018年高考数学真题专题汇编----极坐标与参数方程
（ 1）求 的取值范围； （ 2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
4.【 2018 江苏卷 21C】在极坐标系中，直线 l 的方程为 4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
sin( π 6
) 2 ，曲线 C 的方程为
参考答案
一、填空题
1.1 2
1
2.
2
二、解答题
1.解： （ 1）由 x cos ， y sin 得 C2 的直角坐标方程为 ( x 1)2 y2 4．
2018 年高考数学真题专题汇编 ----
极坐标与参数方程
一、填空题
1. 【 2018 北京卷 10】在极坐标系中，直线 cos 则 a=_______2cos 相切，
x 2.【2018 天津卷 12】 )已知圆 x2 y2 2 x 0的圆心为 C，直线
2 1 t,
（ 2）由（ 1）知 C2 是圆心为 A( 1,0) ，半径为 2 的圆．
2 ( t 为参数 )
y 3 2t 2
与该圆相交于 A，B 两点，则 △ ABC 的面积为
.
二、解答题
1.【 2018 全国一卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y k|x| 2.以坐标原点为 极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0 .
（ 1）求 C2 的直角坐标方程； （ 2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程 .
x 2cos θ， 2【. 2018 全国二卷 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 y 4sin θ（ θ为参数） ， 直线 l 的参数方程为
x 1 t cos α， （ t 为参数）．
专题22选修系列--参数方程与极坐标 2018年高考数学(文)(全国1专版)Word版含解析
【母题原题1】【2018新课标1，文22】在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.【母题原题2】【2017新课标1，文22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【母题原题3】【2016新课标1，文23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.【命题意图】1.掌握极坐标与直角坐标之间的转化公式，能利用极坐标的几何意义解题．2．理解参数方程中参数的几何意义并灵活应用几何意义进行解题. 【基础知识与解题技巧】 1．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数．（2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x =f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t 的关系y =g （t ），那么x f t y g t =⎧⎨=⎩（），（）就是曲线的参数方程．（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性． （2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． 2．几种常见曲线的参数方程 （1）圆以O ′（a ，b ）为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在（0，0）时，方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．（2）椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2=1（a >b >0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．（3）直线经过点P 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．1．【河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试】在平面直角坐标系中,已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程;(2)若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.整理得.因为直线与曲线有两个不同的交点，所以,化简得.又,所以，且. 设方程的两根为,则，，所以,所以 .由，得，所以,从而，即的取值范围是.点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试】已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线的极坐标方程是.直线的参数方程为（为参数，）.设，直线与曲线交于两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围.由，得化简得（其中），∴∴。
2018年北京市高考数学理 13专题十三 极坐标与参数方程
第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,23⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 参考答案 一、填空题 1.21+ 2.21二、解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故2cos sin 0αα+=， 于是直线l 的斜率tan 2k α==-．3.解：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =．l 与O交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π． （2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=． 于是s i nA B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB == 因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．。
2018年高考数学分类汇编专题十三极坐标与参数方程
《2018年高考数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线21,232⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 二、解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ过点且倾斜角为的直线与交于两点． （1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 参考答案 一、填空题1.21+2.21 二、解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2221k =+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． (02，αl O ⊙A B ，αAB P当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，221k =+，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 2απ≠tan k α=l 2y kx =-l O 22||11k <+1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 222sin 10t t α-+=22sin A B t t α+=2sin P t α=P (,)x y cos ,2sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩P 2sin 2,22cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos236AB==因此，直线l被曲线C截得的弦长为23。
2018年高考理科数学分类汇编---参数方程极坐标
2018年全国高考理科数学分类汇编——参数方程极坐标1.（江苏）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．2.（全国1卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．3. （全国2卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．4.（全国3卷）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．5.（天津）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．。
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2018年高考数学真题专题汇编----
极坐标与参数方程
一、填空题
1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，
则a =__________．
2.【2018天津卷12】)已知圆22
20x y x +-=的圆心为C
，直线1,
232
⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
x y (t 为参数)
与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .
二、解答题
1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
2cos 30ρρθ+-=.
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.
2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），
直线的参数方程为
（为参数）． xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩
，
θl 1cos 2sin x t αy t α
=+⎧⎨
=+⎩，
t
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），
过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为π
sin()26
ρθ-=，曲线C 的方程为
4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
参考答案 一、填空题 1.21+ 2.
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1 二、解答题
1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．
（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．
C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，
θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P
由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与
2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两
个公共点．
当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2
2=，故
4
3
k =-或0k =．
经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．
当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，
2=，故0
k =或4
3
k =
． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4
||23
y x =-
+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为
116
42
2=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则
cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t
．
又由①得α
αα2
21cos 31)
sin cos 2(4++-
=+t t ，故， 于是直线的斜率．
3.解：（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2
απ
=
l O 2
απ
≠
tan k α=
l y kx =l
O |1<1k <-1k >(,)42αππ
∈(,)24απ3π∈α(,
)44
π3π
l cos ,
(sin x t t y t αα
=⎧⎪⎨
=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2
A B
P t t t +=
A t B
t 2sin 10t α-+
=A B t t α+
=P t αP (,)x
y cos ,
sin .
P P x t y t αα=⎧⎪⎨
=⎪⎩
所以点的轨迹的参数方程是为参数，
． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，
所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4
的圆． 因为直线l 的极坐标方程为π
sin()26
ρθ-=，
则直线l 过A （4，0），倾斜角为
π6
， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =
π6
． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =
π2
， 所以π
4cos
6
AB == 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．
P 2,2222
x y αα
⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α44απ3π<<)。