极坐标与参数方程专题答案
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。
例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。
例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。
解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。
为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．解解（1）∵P点的极坐标为，答：∴=3，=．∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解答：解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．。
极坐标与参数方程-习题及答案
金材教育 极坐标与参数方程未命名1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.（1（写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程（（2）直线y =x 与C 1交于异于原点的A ,与C 2交于点B ，求线段AB 的长. 【答案】(1)x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4. (2)|AB |=√2.【解析】分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1，将曲线C 1的参数方程化为普通方程，由{x =ρcosθy =ρsinθ 求出C 2的直角坐标方程；（2）由直线的参数方程的意义，求出线段AB 的长。
详解：（1）C 1:{x =cosαy =1+sinα (α为参数）的普通方程是x 2+(y −1)2=1.∵ρsin (θ+π4)=2√2，整理得√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，∴C 2的直角坐标方程为x +y =4； 故C 1:x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4.（2）直线y =x 的极坐标方程为θ=π4，C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ， ∴点A (√2,π4),B (2√2,π4)，即ρA =√2,ρB =2√2， 于是|AB |=ρB −ρA =√2.点睛：本题主要考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法等，属于基础题。
考查了推理论证能力，运算求解能力。
2．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值．【答案】（1）；（2）85。
【解析】试题分析：（1）根据曲线的参数方程，两式相加消去参数，即可得到普通方程；由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，可化为直角坐标方程；（2）将，代入直角坐标方程，整理后，利用=t1t2即可求解．试题解析：（1）两式相加消去参数t可得曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，整理可得曲线的直角坐标方程．（2）将代人直角坐标方程得利用韦达定理可得，所以|MA||MB|=考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．3．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：{x=√55ty=9+2√55t（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,9)，求1|PA |+1|PB |. 【答案】(1)x 2+(y −4)2=16；2x −y +9=0. (2)4√59. 【解析】分析：（1）消元法解出直线C 1的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 2的直角坐标方程（2）将直线C 1的参数方程为代入圆C 2的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。
极坐标参数方程经典易错题型带答案
极坐标参数方程一、解答题（本大题共19小题，共228.0分）1. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{y =sinθx=3cosθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为{y =1−t x=a+4t，（t 为参数）．（1）若a =-1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为√17，求a ．【答案】解：（1）曲线C 的参数方程为{y =sinθx=3cosθ（θ为参数），化为标准方程是：x 29+y 2=1；a =-1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y -3=0； 联立方程{x 29+y 2=1x +4y −3=0， 解得{y =0x=3或{x =−2125y =2425，所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和（-2125，2425）．（2）l 的参数方程{y =1−t x=a+4t（t 为参数）化为一般方程是：x +4y -a -4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P （3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =|3cosθ+4sinθ−a−4|√17=|5sin(θ+φ)−a−4|√17，φ满足tanφ=34，且的d 的最大值为√17．①当-a -4≤0时，即a ≥-4时，|5sin （θ+φ）-a -4|≤|-5-a -4|=|5+a +4|=17 解得a =8和-26，a =8符合题意． ②当-a -4＞0时，即a ＜-4时|5sin （θ+φ）-a -4|≤|5-a -4|=|5-a -4|=17， 解得a =-16和18，a =-16符合题意．【解析】（1）将曲线C 的参数方程化为标准方程，直线l 的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；（2）曲线C 上的点可以表示成P （3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P 到直线l 的距离，再结合距离最大值为√17进行分析，可以求出a 的值． 本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C 上的点到直线l 距离的最大值求出a ．2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ（θ为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）设M 的极坐标为（√2，π4），过点M 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若|MA |=2|MB |，求AB 的弦长．【答案】解：（1）∵曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ（θ为参数）．∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4y =0， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρsinθ=0， 即曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）由点M 的极坐标为（√2，π4），设直线l 的参数方程是{x =1+t ⋅cosθy =1+t ⋅sinθ（θ为参数）①，曲线C 的直角坐标方程是x 2+y 2-4y =0，②， ①②联立，得t 2+2（cosθ-sinθ）t -2=0， ∴t 1t 2=-2，且|MA |=2|MB |，∴t 1=-2t 2， 则t 1=2，t 2=-1或t 1=-2，t 2=1， ∴AB 的弦长|AB |=|t 1-t 2|=3．【解析】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程与直角坐标方程的互化公式的合理运用．（1）由曲线C 的参数方程先求出曲线C 的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）先求出直线l 的参数方程，与曲线C 的直角坐标方程联立，得t 2+2（cosθ-sinθ）t -2=0，由此能求出AB 的弦长．3. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =−5+√2costy =3+√2sint，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=−√2，A ，B 两点的极坐标分别为A(2，π2)，B(2，π)． （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最小值．【答案】解：（1）由{x =−5+√2cost y =3+√2sint ，化简得：{x +5=√2costy −3=√2sint ，消去参数t ，得（x +5）2+（y -3）2=2， ∴圆C 的普通方程为（x +5）2+（y -3）2=2． 由ρcos （θ+π4）=-√2，化简得√22ρcosθ-√22ρsinθ=-√2，即ρcosθ-ρsinθ=-2，即x -y +2=0， 则直线l 的直角坐标方程为x -y +2=0；（Ⅱ）将A （2，π2），B （2，π）化为直角坐标为A （0，2），B （-2，0）， ∴|AB |=√(0+2)2+(2−0)2=2√2，设P 点的坐标为（-5+√2cos t ，3+√2sin t ）， ∴P 点到直线l 的距离为d =|−5+√2cost−3−√2sint+2|√2=|−6+2cos(t+π4)|√2，∴d min =4√2=2√2，则△PAB 面积的最小值是S =12×2√2×2√2=4．【解析】（1）由圆C 的参数方程消去t 得到圆C 的普通方程，由直线l 的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据x =ρcosθ，y =ρsinθ转化为直角坐标方程即可； （2）将A 与B 的极坐标化为直角坐标，并求出|AB |的长，根据P 在圆C 上，设出P 坐标，利用点到直线的距离公式表示出P 到直线l 的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB 面积的最小值．此题考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，熟练掌握参数方程与普通方程间的转换是解本题的关键．4. 已知直线l ：{x =1+12ty =√36t（t 为参数），曲线C 1：{x =cosθy =sinθ（θ为参数）．（1）设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；（2）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的√32倍，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值． 【答案】解：（1）l 的普通方程y =√33(x −1)，C 1的普通方程x 2+y 2=1，联立方程组{y =√33(x −1)x 2+y 2=1， 解得l 与C 1的交点为A （1，0），B(−12，−√32)，则|AB|=√3；（2）C 2的参数方程为{x =12cosθy =√32sinθ（θ为参数），故点P 的坐标是(12cosθ，√32sinθ)，从而点P 到直线l 的距离是|12cosθ−32sinθ−1|2=|√102sin(θ−φ)+1|2，由此当sin （θ-φ）=1时，d 取得最大值，且最大值为√104+12．【解析】本题考查参数方程与普通方程的转化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．（1）设l 与C 1相交于A ，B 两点，利用普通方程，求出A ，B 的坐标，即可求|AB |； （2）点P的坐标是(12cosθ，√32sinθ)，点P 到直线l 的距离是|12cosθ−32sinθ−1|2=|√102sin(θ−φ)+1|2，即可求它到直线l 的距离的最大值．5. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C 1的参数方程为{y =sinαx=cosα，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C 2的极坐标方程为ρ=-2sinθ．（1）求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；（2））若P 是C 1上任意一点，过点P 的直线l 交C 2于点M ，N ，求|PM |•|PN |的取值范围．【答案】解：（1）消去参数可得x 2+y 2=1，因为α∈[0，π），所以-1≤x ≤1，0≤y ≤1， 所以曲线C 1是x 2+y 2=1在x 轴上方的部分，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．…（2分） 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y +1）2=1…（5分） （2）设P （x 0，y 0），则0≤y 0≤1，直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：{y =y 0+tsinαx=x 0+tcosα（t 为参数）．…（7分）代入C 2的直角坐标方程得（x 0+t cosα）2+（y 0+t sinα+1）2=1， 由直线参数方程中t 的几何意义可知|PM |•|PN |=|1+2y 0|，因为0≤y 0≤1，所以|PM |•|PN |=∈[1，3]…（10分）【解析】（1）求出C 1的普通方程，即可求C 1的极坐标方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出C 2的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程为：{y =y 0+tsinαx=x 0+tcosα（t 为参数），代入C 2的直角坐标方程得（x 0+t cosα）2+（y 0+t sinα+1）2=1，由直线参数方程中t 的几何意义可知|PM |•|PN |=|1+2y 0|，即可求|PM |•|PN |的取值范围．本题考查三种方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{y =sinα−cosαx=sinα+cosα（α为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）在以O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+12=0，已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB |．【答案】解：（1）曲线C 的参数方程为{y =sinα−cosαx=sinα+cosα（α为参数）． 由已知sinα=x+y 2，cosα=x−y 2，整理得：普通方程为(x+y 2)2+(x−y 2)2=1，化简得x 2+y 2=2．（2）由√2ρsin （π4-θ）+12=0，知ρ(cosθ−sinθ)+12=0，化为普通方程为x -y +12=0 圆心到直线l 的距离h =√24，由垂径定理|AB|=√302． 【解析】（1）直接把参数方程转化为直角坐标方程．（2）首先把极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离和垂径定理求出结果．本题考查的知识要点：直角坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，垂径定理得应用．7. 在直角坐标系xoy 中，已知点P （0，√3），曲线C 的参数方程为{x =√2cosφy =2sinφ（φ为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=√32cos(θ−π6)．（Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求1|PA|+1|PB |的值． 【答案】解：（Ⅰ）点P 在直线l 上，理由如下：直线l ：ρ=√32cos(θ−π6)，即2cos(θ−π6)=√3，亦即√3ρcosθ+ρsinθ=√3，∴直线l 的直角坐标方程为：√3x +y =√3，易知点P 在直线l 上． （Ⅱ）由题意，可得直线l 的参数方程为{x =−12ty =√3+√32t （t 为参数），曲线C 的普通方程为y 24+x 22=1． 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得5t 2+12t -4=0， 设两根为t 1，t 2， ∴t 1+t 2=-125，t 1•t 2=-45，∴|PA |+|PB |=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=4√145， ∴1|PA|+1|PB|=|PA |+|PB ||PA|⋅|PB|=4√145|−45|=√14．【解析】（Ⅰ）点P 在直线l 上，理由如下：直线l ：ρ=√32cos(θ−π6)，展开可得√3ρcosθ+ρsinθ=√3，可得直线l 的直角坐标方程即可验证． （Ⅱ）由题意，可得直线l 的参数方程为{x =−12t y =√3+√32t（t 为参数），曲线C 的普通方程为y 24+x 22=1．将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得5t 2+12t -4=0，可得|PA |+|PB |=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2，即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{y =2+tsinαx=tcosα(t 为参数，0≤α＜π），曲线C 的参数方程为{y =2+2sinβx=2cosβ(β为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设C 与l 交于M ，N 两点（异于原点），求|OM |+|ON |的最大值． 【答案】解：（1）∵曲线C 的参数方程为{y =2+2sinβx=2cosβ(β为参数）， ∴消去参数β，得曲线C 的普通方程为x 2+（y -2）2=4， 化简得x 2+y 2=4y ，则ρ2=4ρsinθ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）∵直线l 的参数方程为{y =2+tsinαx=tcosα(t 为参数，0≤α＜π），∴由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点（0，2），也就是圆C 的圆心，则∠MON =π2， 不妨设M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ+π2)，其中θ∈(0，π2)，则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4sinθ+4sin(θ+π2)=4(sinθ+cosθ)=4√2sin(θ+π4)， 所以当θ=π4，|OM |+|ON |取得最大值为4√2．【解析】本小题考查曲线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．（1）曲线C 的参数方程消去参数β，得曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过圆C 的圆心（0，2），则∠MON =π2，设M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ+π2)，则|OM |+|ON |=4√2sin(θ+π4)，当θ=π4，|OM |+|ON |取得最大值为4√2.9. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =2sinαx=2+2cosα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{y =2+2sinβx=2cosβ（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α（0＜α＜π2），将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2；θ=α-π6，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP |•|OQ |的最大值．【答案】解：（1）曲线C 1的参数方程为{y =2sinαx=2+2cosα（α为参数），利用平方关系消去参数可得：曲线C 1的普通方程为（x -2）2+y 2=4，展开可得：x 2+y 2-4x =0，利用互化公式可得：ρ2-4ρcosθ=0， ∴C 1极坐标方程为ρ=4cosθ．曲线C 2的参数方程为{y =2+2sinβx=2cosβ（β为参数），消去参数可得： 曲线C 2的普通方程为x 2+（y -2）2=4，展开利用互化公式可得C 2极坐标方程为ρ=4sinθ． （2）设点P 极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．点Q 极坐标为(ρ2，4sin(α−π6))，即ρ2=4sin(α−π6)．则|OP|⋅|OQ|=ρ1ρ2=4cosα⋅4sin(α−π6)=16cosα⋅(√32sinα−12cosα)=8sin(2α−π6)−4．∵α∈(0，π2)，∴2α−π6∈(−π6，5π6)， 当2α−π6=π2，即α=π3时，|OP |•|OQ |取最大值4．【解析】（1）曲线C 1的参数方程为{y =2sinαx=2+2cosα（α为参数），利用平方关系消去参数可得曲线C 1的直角坐标方程，利用互化公式可得曲线C 1极坐标方程．曲线C 2的参数方程为{y =2+2sinβx=2cosβ（β为参数），消去参数可得：曲线C 2的普通方程，利用互化公式可得C 2极坐标方程．（2）设点P 极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．点Q 极坐标为(ρ2，4sin(α−π6))，即ρ2=4sin(α−π6)．代入|OP |•|OQ |，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、直线与曲线相交弦长公式、直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{y =1+sint x=cost（t 为参数），曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y -2）2=4．以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=α，（0＜α＜π）（1）求曲线C 1、C 2的极坐标方程；（2）设点A 、B 为射线l 与曲线C 1、C 2除原点之外的交点，求|AB |的最大值． 【答案】解（1）由曲线C 1的参数方程{y =1+sint x=cost（t 为参数）消去参数t 得x 2+（y -1）2=1，即x 2+y 2-2y =0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ．由曲线C 2的直角坐标方程x 2+（y -2）2=4，得x 2+y 2-4y =0， ∴曲线C 2的极坐标方程ρ=4sinθ．（2）联立{ρ=2sinθθ=α，得A （2sinα，α），∴|OA |=2sinα， 联立{ρ=4sinθθ=α，得B （4sinα，α），∴|OB |=4sinα． ∴|AB |=|OB |-|OA |=2sinα．∵0＜α＜π，∴当α=π2时，|AB |有最大值2．【解析】（1）由曲线C 1的参数方程消去参数t 得x 2+（y -1）2=1，由此能求出曲线C 1的极坐标方程；由曲线C 2的直角坐标方程转化为x 2+y 2-4y =0，由此能求出曲线C 2的极坐标方程．（2）联立{ρ=2sinθθ=α，得A |OA |=2sinα，联立{ρ=4sinθθ=α，得|OB |=4sinα．由此能求出|AB |的最大值．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查弦长的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．11. 在直角坐标系xOy 中，将曲线C ：{x =1+costy =12sint（t 为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C 1；以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρcos(θ−π6)=3√3． （1）求曲线C 1的极坐标方程；（2）已知点M （1，0），直线l 的极坐标方程为θ=π3，它与曲线C 1的交点为O ，P ，与曲线C 2的交点为Q ，求△MPQ 的面积．【答案】解：（1）∵曲线C ：{x =1+costy =12sint （t 为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C 1，∴由题意知，曲线C 1的参数方程为{y =sint x=1+cost（t 为参数）， ∴曲线C 1的普通方程为（x -1）2+y 2=1，即x 2+y 2-2x =0， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ （2）设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2）， 则由{θ1=π3ρ1=2cosθ1，得P 的极坐标为P （1，π3），由{θ2=π32ρ2cos(θ2−π6)=3√3，得Q 的极坐标为Q （3，π3）．∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1-ρ2|=2， 又M 到直线l 的距离为√32，∴△MPQ 的面积S △MPQ =12×√32×2=√32．【解析】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化公式的合理运用． （1）由题意求出曲线C 1的参数方程，从而得到曲线C 1的普通方程，由此能求出曲线C 1的极坐标方程．（2）设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），由直线l 的极坐标方程为θ=π3，它与曲线C 1的交点为O ，P ，与曲线C 2的交点为Q ，分别求出P ,Q 的极坐标，从而求出|PQ |=|ρ1-ρ2|=2，再由M 到直线l 的距离为√32，能求出△MPQ 的面积．12. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2√2sin （θ-π4），直线l 的参数方程为{y =1+t x=−tt 为参数，直线l 和圆C 交于A ，B 两点． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设l 上一定点M （0，1），求|MA |•|MB |的值． 【答案】（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）∵圆C 的极坐标方程为：ρ=2√2sin （θ-π4）=2√2（sinθcos π4-cosθsin π4）=2sinθ-2cosθ， ∴ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ，∴圆C 的直角坐标方程x 2+y 2=2y -2x ，即（x +1）2+（y -1）2=2． （Ⅱ）直线l 的参数方程为{y =1+t x=−t，t 为参数， 直线l 的参数方程可化为{x =−√22t ′y =1+√22t ′，t ′为参数，代入（x +1）2+（y -1）2=2，得（-√22t ′+1）2+（√22t ′）2=2， 化简得：t '2-√2t ′-1=0， ∴t 1′⋅t 2′=-1，∴|MA |•|MB |=|t 1′⋅t 2′|=1．【解析】（Ⅰ）圆C 的极坐标方程转化为ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ，由此能求出圆C 的直角坐标方程．（Ⅱ）直线l 的参数方程化为{x =−√22t ′y =1+√22t ′，t ′为参数，代入（x +1）2+（y -1）2=2，得t '2-√2t ′-1=0，由此能求出|MA |•|MB |．本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．13. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程{y =1+sinϕx=cosϕ（其中φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 极坐标方程是ρsin （θ+π3）=2，射线OM ：θ=π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【答案】解：（Ⅰ）∵圆C 的参数方程{y =1+sinϕx=cosϕ（其中φ为参数）． ∴圆C 的普通方程为x 2+（y -1）2=1，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴圆C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．…………（5分） （Ⅱ）∵直线l 极坐标方程是ρsin （θ+π3）=2，射线OM ：θ=π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ， ∴把θ=π6代入圆的极坐标方程可得ρP =1， 把θ=π6代入直线l 极坐标方程可得ρQ =2， ∴|PQ |=|ρP -ρQ |=1．…………（10分）【解析】（Ⅰ）先求出圆C 的普通方程，由此能求出圆C 的极坐标方程．（Ⅱ）把θ=π6代入圆的极坐标方程可得ρP =1，把θ=π6代入直线l 极坐标方程可得ρQ =2，由此能求出|PQ |．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14. 在平面直角坐标系xOy 中曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t2（其中t 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ−π4）=-√22．（1）把曲线C 1的方程化为普通方程，C 2的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，AB 的中点为P ，过点P 作曲线C 2的垂线交曲线C 1于E ，F 两点，求|EF||PE|⋅|PF|．【答案】解：（1）曲线C 1的参数方程为{y =2t x=2t 2（其中t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：y 2=2x ．曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ−π4）=-√22．转换为直角坐标方程为：x -y -1=0．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且中点P （x 0，y 0）， 联立方程为：{y 2=2x x −y −1=0，整理得：x 2-4x +1=0 所以：x 1+x 2=4，x 1x 2=1， 由于：x 0=x 1+x 22=2，y 0=1．所以线段AB 的中垂线参数方程为{x =2−√22ty =1+√22t （t 为参数），代入y 2=2x ，得到：t 2+4√2t −6=0，故：t 1+t 2=−4√2，t 1•t 2=-6，所以：EF =|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√14， |PE ||PF |=|t 1•t 2|=6 故：|EF||PE|⋅|PF|=2√146=√143．【解析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果． （2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =2+sinαx=2+cosα，（α为参数），直线C 2的方程为y =√3x ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；（2）若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|．【答案】解：（1）曲线C 1的参数方程为{y =2+sinαx=2+cosα（α为参数），直角坐标方程为（x -2）2+（y -2）2=1，即x 2+y 2-4x -4y +7=0，极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0 直线C 2的方程为y =√3x ，极坐标方程为tanθ=√3；（2）直线C 2与曲线C 1联立，可得ρ2-（2+2√3）ρ+7=0，设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2√3，ρ1ρ2=7， ∴1|OA|+1|OB|=|ρ1+ρ2||ρ1ρ2|=2+2√37．【解析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论； （2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求1|OA|+1|OB|．本题考查三种方程的转化方法，考查极坐标方程的运用，属于中档题．16. 设直线l 的参数方程为{x =1+12ty =t +1，（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C 是什么曲线； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |． 【答案】解：（Ⅰ）由于ρsin 2θ=4cosθ， 所以ρ2sin 2θ=4ρcosθ，即y 2=4x ，因此曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线． （Ⅱ）{x =1+12ty =t +1，化为普通方程为y =2x -1，代入y 2=4x ，并整理得4x 2-8x +1=0，所以|AB|=√1+k 2|x 2−x 1|， =√1+22⋅√(x 2+x 1)2−4x 1x 2， =√5×√22−4×14=√15．【解析】（Ⅰ）直接把极坐标方程转化为直角坐标方程．（Ⅱ）首先把参数方程转化为直角坐标方程，进一步利用直线和圆锥曲线的位置关系，建立方程组利用弦长公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，弦长公式的应用．17. 在平面直角坐标系xoy ，已知椭圆的方程为：x 220+y 212=1，动点P 在椭圆上，O 为原点，线段OP 的中点为Q ．（Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q 的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 的参数方程为{x =12t y =√32t ，（t 为参数），l 与点Q 的轨迹交于M 、N两点，求弦长|MN |．【答案】解：（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x ，y ），则点P 的坐标为（2x ，2y ）， 由点P 在椭圆上得(2x)220+(2y)212=1，化解可得：x 25+y 23=1①．由x =ρcosθ，y =ρsinθ，代入①得ρ2cos 2θ5+ρ2sin 2θ3=1，化简可得点Q 轨迹的极坐标方程为ρ2（3+2sin 2θ）=15． （Ⅱ）（法一）把直线l 参数方程{x =12t y =√32t （t 为参数）代入①得t 245+3t 243=1化简得：t 2=103． 所以t 1=√303，t 2=−√303， ∴弦长|MN|=|t 1−t 2|=2√303；（法二）由直线l 参数方程{x =12ty =√32t（t 为参数）知，直线l 过极点，倾斜角为π3，∴直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R))．由{θ=π3ρ2(3+2sin 2θ)=15解得：{θ=π3ρ1=√303或{θ=π3ρ2=−√303.． ∴弦长|MN|=|ρ1−ρ2|=2√303． （法三）由直线l 参数方程{x =12ty =√32t （t 为参数）知，直线l 的普通方程为y =√3x ，联立①解得{x 1=√306y 1=√102，{x 2=−√306y 2=−√102．弦长|MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=2√303．【解析】（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x ，y ），则点P 的坐标为（2x ，2y ），然后将点P 的坐标代入椭圆的方程可得出有关点Q 的坐标所满足的方程，即为点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）解法一是将直线l 的参数方程与椭圆C 的方程联立，消去x 、y ，得到关于t 的二次方程，并列出韦达定理，并利用弦长公式|MN |=|t 1-t 2|结合韦达定理可求出答案； 解法二是将直线l 的方程化为普通方程，将直线l 的普通方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理与弦长公式可计算出|MN |；解法三是写出直线l 与椭圆C 的极坐标方程，将直线l 的极坐标方程与椭圆的极坐标方程联立，列出有关ρ的二次方程，列出韦达定理，结合韦达定理以及|MN |=|ρ1-ρ2|可计算出答案．本题考查直线与椭圆的综合问题，同时也考查了参数方程与极坐标方程的应用，考查计算能力与变形能力，属于中等题．18. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ-2cosθ-6sinθ+1ρ=0，直线l 的参数方程为{x =3+12t y =3+√32t（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为（3，3），求|PA |+|PB |的值．【答案】解：（1）曲线C 的极坐标方程为ρ-2cosθ-6sinθ+1ρ=0， 可得：ρ2-2ρcosθ-6ρsinθ+1=0， 可得x 2+y 2-2x -6y +1=0，曲线C 的普通方程：x 2+y 2-2x -6y +1=0． （2）由于直线l 的参数方程为{x =3+12t y =3+√32t （t 为参数）．把它代入圆的方程整理得t 2+2t -5=0，∴t 1+t 2=-2，t 1t 2=-5， |PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|，|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6． ∴|PA |+|PB |的值2√6．【解析】（1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可．（2）把直线方程代入圆的方程化简可得t 的二次方程，利用根与系数的关系，以及|PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|求出|PA |•|PB |．本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数t 的几何意义，是基础题．19. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =a +√3costy =√3sint（t 为参数，a ＞0）．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1上一点A 的极坐标为（1，π3），曲线C 2的极坐标方程为ρ＝cosθ． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）设点M ，N 在C 1上，点P 在C 2上（异于极点），若O ，M ，P ，N 四点依次在同一条直线l 上，且|MP |，|OP |，|PN |成等比数列，求l 的极坐标方程． 【答案】解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =a +√3costy =√3sint（t 为参数，a ＞0）．转换为直角坐标方程为：（x -a ）2+y 2=3， 化简为：x 2+y 2-2ax +a 2-3=0，转换为极坐标方程为：ρ2-2a ρcosθ+a 2-3=0，把曲线C 1上一点A 的极坐标（1，π3），代入曲线得极坐标方程得到：a 2-a -2=0， 解得：a =2或a =-1（舍去）．所以曲线的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+1=0．（Ⅱ）由题意知：设直线l 的极坐标方程为θ=α（ρ∈R ）， 设点M （ρ1，α），N （ρ2，α），P （ρ3，α）， 则：ρ1＜ρ2．联立{ρ2−4ρcosθ+1=0θ=α得到：ρ2-4ρcosα+1=0，所以：ρ1+ρ2=4cosα，ρ1•ρ2=1． 联立：{ρ=cosθθ=α，得到：ρ3=cosα．由于|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，所以：ρ32=(ρ3−ρ1)(ρ2−ρ3)，则：2cos2α=4cos2α-1，，解得：cosα=√22所以直线l的极坐标方程为θ=π4（ρ∈R）．【解析】（Ⅰ）直接利用转化关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系，利用等比中项求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，等比中项的应用．。
极坐标系与参数方程专题
练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、选择题1．在极坐标系中，点)65,2(π到直线4)3sin(=-πθρ的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．在极坐标系中，设圆C ：4cos ρθ=与直线:(R)4l πθρ=∈交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ） A ．22sin()4πρθ=+B ．22sin()4πρθ=-C ．22cos()4πρθ=+D ．22cos()4πρθ=-3．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．221x y +=或1y = B ．1x =C ．221x y +=或1x = D ．1y =4．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）A ．2cos ρθ=B ．2sin ρθ=C ．2cos ρθ=-D ．2sin ρθ=-5．在极坐标中，与圆4sin ρθ=相切的一条直线方程为（ ）A ．sin 2ρθ=B ．cos 2ρθ=C ．cos 4ρθ=D ．cos 4ρθ=-6．参数方程2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，，为参数)和极坐标方程4sin ρθ=所表示的图形分别是（ ）（A ）圆和直线 （B ）直线和直线 （C ）椭圆和直线 （D ）椭圆和圆 评卷人 得分二、填空题7．在极坐标系中，经过点)3,4(π且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ．8．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆2=ρ的公共点个数是________；9．极坐标系中，圆θρsin 4=的圆心到直线)(3R ∈=θπθ 的距离是 ．10．已知圆C 的参数方程为cos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为 ．三、解答题（题型注释）11．在平面直角坐标系中，已知直线l 过点(),12P - ，倾斜角6πα=，再以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为3ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 分别交于、M N 两点，求PM PN ⋅的值．12．在极坐标系中，已知曲线)4sin(22:πθρ-=C ，P 为曲线C 上的动点，定点)4,1(πQ ．（1）将曲线C 的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （2）求P 、Q 两点的最短距离．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(10)A -，，其倾斜角是α，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程是26cos 5ρρθ=-．（Ⅰ）若直线l 和曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围； （Ⅱ）设()B x y ，为曲线C 任意一点，求3x y +的取值范围．14．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为212242x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值．15．在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(22,)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系16．已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ＝． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤＜）．17．在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2和2倍后得到曲线2C ，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线():2cos sin 4l ρθθ+=．（1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值．18．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线12cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），28cos :23sin x Cy θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （1）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为2πα=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：cos 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离的最大值．19．在直角坐标系中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．（1）写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．20．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为2,4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且点A 在直线上．（1）求a 的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．21．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()2sincos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l 的参数方程为222242x ty t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB ⋅=，求a 的值．22．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），若以直角极坐标方程为2cos()4πρθ=-．（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB 的距离．23．已知在直角坐标系xOy 中，曲线t t y t x C (,233,211:1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=为参数，)2≠t ，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρsin 32:2=C ，曲线θρcos 2:3=C ． （Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C 2与C 1相交于点A ，C 3与C 1相交于点B ，求||AB 的值．24．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线4:πθ=OM 与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标．25．已知曲线C 的参数方程是()cos sin x y m ααα=⎧⎨=+⎩为参数，直线l 的参数方程为()5152545x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数， （1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，且455PQ =，求实数m 的值。
高考极坐标参数方程含答案(经典39题)(1)_看图王
方程． C1 与 C2 公共点的个数和 C 1 与C2 公共点的个数是否相同？说明你的理由．
29．在平面直角坐标系
xoy
中，圆
C
的参数方程为
x
y
4 cos 4 sin
（
为参数），直线
l
（2）求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A 、 B ，并求 | MA | | MB | 的值．
(2, )
6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆 C 的圆心为 3 ，半径 r=1，P 在圆 C 上运动。 （I）求圆 C 的极坐标方程；（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点 O 为原点， 以极轴为 x 轴正半轴）中，若 Q 为线段 OP 的中点，求点 Q 轨迹的直角坐标方程。
程是
4 cos
，直线 l
的参数方程是
x
3 y1 2
3 2 t.
t
,
（t
为参数）。求极点在直线 l
上的射影点
P
的
极坐标；若 M 、 N 分别为曲线 C 、直线 l 上的动点，求 MN 的最小值。
x 4 cos
8．平面直角坐标系中，将曲线
y
sin
（ 为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的
为
t
2
，Q
为
C
2
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线
C3
:
2x
y
7
0
（t
为参数）距离的最大值。
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◎
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极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
极坐标参数方程大题(含答案)
1、在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程； （2与圆交于点，求线段的长.2、在直角坐标系中，以原点为极点，点的，点，曲线．（1和直线的极坐标方程；（2）过点的射线交曲线于点，交直线于点，若，求射线所在直线的直角坐标方程.3、在平面直角坐标系中，直线（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为 （1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于两点，求xOy C O xC C ,M N MN O A B 22:(1)1C x y -+=AB O l C M AB N ||||2OM ON =l xOy l t O x C l C P C l B A ,4、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求直线和曲线的普通方程； （2）已知点，且直线和曲线交于两点，求的值5、在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. （1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，求.6、在平面直角坐标系中，直线（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若是直线C最大值.xOy C 244x k y k ⎧=⎨=⎩k x l l C (2,0)P l C A B ，||||||PA PB -l ()0,1P x C 4sin ρθ=l C l C A B 、xoy l t x 2sin ρθ=l ()1,A ρθl参考答案1、【答案】（1（2试题分析：（1）由，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标代入，得到，所以试题解析： （1（2得，∴，，∴2、【答案】（1）,；（2）.试题分析：（1）将代入化简得.同理求出点,的直角坐标分别为,，所以的直角坐标方程为，极坐标方程为；（2）设射线，代入曲线得,代入直线得：，代入求得，即方程为. 试题解析：(1)点,的直角坐标分别为,，所以直线的极坐标方程为；曲线化为极坐标为(2)设射线，代入曲线得,代入直线得：所以射线所在直线的直角坐标方程为 考点：坐标系与参数方程.cos ,sin x y ρθρθ==2250ρρ--=2250ρρ--=122ρρ+=125ρρ=-2cos ρθ=sin 3ρθ=3y x =cos ,sin x y ρθρθ==22(1)1x y -+=2cos ρθ=A B (0,3)A AB 3y =sin 3ρθ=:l θα=C 2cos M ρα=AB ||||2OM ON =tan 3α=3y x =A B (0,3)A AB sin 3ρθ=C 2cos ρθ=:l θα=C 2cos M ρα=AB l 3y x =3、【答案】（1（2试题分析：（1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；(2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（2）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法．试题解析：（1得直线得圆的直角坐标方程为把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得故可设，又直线l ，两点对应的参数分别为，，考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与圆的综合问题．4、【答案】（1）（2试题分析：（1）消去曲线C 中的参数可得C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的普通方程.（2）由直线的普通方程可知直线过P ，写出直线的参数方程，与曲线C 的普通方程联立，利用直线参数的几何意义及韦达定理可得结果. 【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以消去参数，得曲线的普通方程为y x ,y x ,θρcos =x θρsin =y θρcos θρsin 2ρρl C l C 1t 2t B A ,1t 2t 24y x =l l l C 244x k y k ⎧=⎨=⎩k k C 24y x =因为直线所以直线（2）因为直线经过点，所以得到直线（为参数）把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程及参数方程的互化，考查了直线参数方程及参数的几何意义，属于中档题.5、【答案】（1）直线(为参数）；曲线的直角坐标方程为；（2试题分析：（1）先根据直线参数方程标准式写直线的参数方程，利用化简极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆方试题解析：（1）直线(为参数）. ∵，∴，∴，即， 故曲线的直角坐标方程为.l l l 20P （，）l t l C l t C ()2224x y +-=l y sin ,x cos ρθρθ==l t 4sin ρθ=24sin ρρθ=224x y y +=()2224x y +-=C ()2224x y +-=（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，显然,∴,∴6、【答案】（1，曲线；（2）2试题分析：（1）消去参数可得直线的普通方程，利用公式可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2这个最大值易求．【详解】（1）∵直线（为参数），∴消去参数，得直线由，得直线C的极坐标方程为，即，∴由，，得曲线C的直角坐标方程为.（2）∵在直线C上，l C230t t--=∆>2121,3lt t t t+==-2220x y y+-=cos,sinx yρθρθ==l tlcos,sinx yρθρθ==l2sinρθ=22sinρρθ=222x yρ=+sin yρθ=2220x y y+-=()1,Aρθl2【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公是解题基础，在求论易得，学习时应注意体会．cos,sinx yρθρθ==。
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2015年极坐标与参数方程专题答案1【解析】根据直线的位置特点，设出所求直线上点的坐标为(ρ，θ)，结合三角形的知识建立ρ和θ之间的等式，即可求出该直线的极坐标方程．设直线上任意一点的坐标是(ρ，θ)，由正弦定理即2【解析】根据变换法则建立曲线C1的参数方程，求出普通方程，根据极坐标方程，曲线C2的方程也是圆，求出普通方程即可求出公共弦长．(α为参数)上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到1最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2所以C1为(x－1)2＋y2＝4.又C2为ρ＝4sinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，所以C1和C2公共弦所在直线为2x－4y＋3＝0，所以(1,0)到2x－4y＋3＝03．2【解析】1．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴正方向重合；(3)取相同的单位长度．2．参数方程化为普通方程常见方法有三种：(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数．(2)三角法：利用三角恒等式消去参数．(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．化参数方程为普通方程F(x，y)＝0时，在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性．由C1(x－4)2＋(y－3)2＝1；由C2：ρ＝2得x2＋y2＝4，两圆圆心距为5，两圆半径分别为1和2，故|AB|≥2，最小值为2.4由已知，以过原点的直线倾斜角θ为参数,则以。
所以所求圆的参数方程为本题考查与圆的参数方程有关的问题，涉及圆的标准方程和参数方程等知识，属于容易题。
5该题主要考查参数方程，极坐标系、极坐标方程以及它们的关系.64πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭对7．2【解析】本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题．化为普通方程为y2＝2px(p>0)，并且又∵|EF|＝|MF|＝|ME|，即有3p＝±2(负值舍去)，即p＝2.8【解析】考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．由已知得直线方程为y＝(x－x－2＝0，转化为极坐标方程为：2＝0，解得f(θ)＝9【解析】本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcosθ＝1得2x＝1①，由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x②，联立①②得y10【解析】考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，化难为易．曲线C1为参数)的普通方程是2x＋y－3＝0，曲线C2的普通方程是x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x线C2a11y标方程是y＝消去y得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.所以y 1＝1，y 2＝4.故线段AB12【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＝4，直线y因为x 2＝4的圆心y，－3y ＝0的距离为d13．2 【解析】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．方程转化为普通方程，直线为x ＋y ＝1，圆为x 2＋y 2＝9， 法一：圆心到直线的距离为d，所以直线与圆相交，答案为2. y 可得x 2－x －4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2. 14．(1,1) 【解析】本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C 1的直角坐标方程为：y 2＝x(x≥0)，C 2的直角坐标方程为：x2＋y 2＝2(1,1)．15．(1)ρ＝2cosθ【解析】考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，因此x2＋y2－2x＝0的极坐标方程为ρ＝2cosθ.考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当原不等式可化为2x－1＋2x＋1≤6，解得当x<原不等式可化为－2x＋1－2x－1≤6，解得x≥1－2x＋2x＋1≤6，解得x∈R16因为相切,所以容易得出结果.17【解析】消去参数后的普通方程为联所以它们的交点坐标为18．（2，2）【解析】设P为（a, b）,因为y轴与y＇轴重合，故P＇到yx轴距离为2，又因为∠xox＇=45°，则b=2，P（2，2）.设面β内任意一点P（x,y）由平面图形可知，x=19．3【解析】20)3,⎤⎡+∞⎦⎣cos,2sin,θθ==+消去参数22(1)k x+-21．2【解析】曲为普通方程曲线222324【解析】直线l 的直角坐标方程为33x y -=，如图，作出直线l ，线段CA 绕原点O 旋转2π后到11C A 位置，则所求面积S 为曲边四边形1OCAA 的面积减去曲边四边形11OCC A 的面积等于扇形1OAA 的面积减去扇形1OCC 31,2OA OC ==，∴22131[1()]4216S ππ=-=. 25．122=-y x 【解析】由参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t t t e e y e e x ，两式平方作差得，122=-y x ． 26．θρsin 4=【解析】把曲线C 的参数方()2cos 21sin x ty t =⎧⎪⎨=-⎪⎩t 参数)化为普通方程可得()2224x y +-=,再利用直角坐标到极坐标的转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得()()()22222cos sin 24cos sin 4sin 44ρθρθρθθρθ+-=⇒+-+=24sin 4sin ρρθρθ⇒=⇒=,故填4sin ρθ=.27．cos 2ρθ=【解析】∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=，由图象可知在M(2,0)处的切线为2x =，即cos 2ρθ=.28．3 4π【解析】直线的普通方程为tany xα=⋅，圆的直角坐标方程为()()22112x y-++=；直线被圆截得的弦长最大，即圆心到直线的距离d最小，2tan1tan1dαα+=≥+，当mind=时，3tan1,4παα=-=.29．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】曲线1C的直角坐标方程为320x y m++=，曲线2C的直角坐标方程为()2210x y y+=>，如图，直线与圆有两个不同的交点，即在直线1l（经过点B的直线）与2l（经过点A的直线）之间，当直线与1l重合时，1m=±，当直线经过点()1,0A时，12m=-，综上得11,2m⎛⎫∈--⎪⎝⎭. 30．2231．1【解析】如下图,301=32，解得直角坐标系方程是常用方法． 3334【解析】不妨设则由两点斜率的计算公式得,由题知(),则35．336【解析】直直角坐标系下方程为直角坐标方程为37．1则半圆与直线有且只有一个交点.故填1. 38．（1（2【解析】（1）先得到C 1的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标.（1（2本题考查极坐标方程的应用以及转化，考查学生的转化与化归能力.39．（1（2M的轨迹过坐标原点.【解析】（1）由题意有M（2）M点到坐标原点的距离为M的轨迹过坐标原点.本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.40．（1（2）直线与圆相交【解析】坐标系与参数方程无非就是坐标系之间的互化，之后就变为简单的解析几何问题也属于必得分题目。
（1（2本题主要考查坐标间的互化以及圆的参数方程的基本内容，属于简单题。
41．（1（2方程，求方程组的解，最后在转化为极坐标，注意转化成极坐标后的答案不唯一。
第二问主要是求得直线PQ 的直角坐标方程，根据所给的参数方程实现二者的联系，求得a,b. （1）联立得得与交点的极坐标为（2）由（1）可得，P ，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故PQ本题考查极坐标方程转化直角坐标方程以及直线的参数方程的简单应用 42．（1（2【解析】解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ. ρ＝2故圆C 1与圆C 2注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)(解法一)C1与C2交点的直角坐标分别为(1，(1．故圆C1与C2((解法二)在直角坐标系下求得弦C1C2的方程为x＝1(．将x＝1得ρcosθ＝1，从而于是圆C1与C243．（1）A(1，B(1)，C(－1，1)．（2）[32,52]【解析】解：(1)由已知可得即A(1，B(1)，C(－1，1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．44．ρ＝2cosθ【解析】解：在θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ. 45．（1）y（2）圆心到直线l的距离dr，故直线l与圆C相交．【解析】解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)又P为线段MN的中点，从而点P故直线OP的平面直角坐标方程为y(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)所以直线l＋3y－0.又圆C的圆心坐标为(2，半径r＝2，圆心到直线l的距离dr，故直线l与圆C相交．46．（1（2【解析】解：设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.将曲线C的参数方程化为普通方y2＝1.(1)当M 对应参数为t 0. 直线l为参数)．代入曲线C y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则t 0所以，点M (2)Cy 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋12＝0，因为|PA|·|PB|＝|t 1t 2||OP|2＝77. 得tan 2由于所以直线l47【解析】考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关4，0）数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：48．（1）点P（2【解析】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。
满分7分。
解：（1P （0，4）。
因为点P 的直角坐标（0，4所以点P（2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q从而点Qd 49．【解析】(1)由题得,圆心的直角坐标为,所以圆的直角坐标方程为,再利用极坐标与直角坐标的转化公式可得化简可故圆的极坐标方程为（2）设联立圆与直线方程|MA|·|MB|222(1)x -222(1)x -50．（1（2【解析】（1.（251．（1（2【解析】（1分（2）『解法1』：分分『解法2』：分分分52．（1（2【解析】解：（1 5分（210分53．（12【解析】(1)圆C2分分∴圆C分（2）因为点QQ的直角坐标为（2，-2）7分则点Q在圆CCQ时，MN的长度最小又圆心C（1，-1）分分54．（1（2【解析】①设Q(x，y)，则点P(2x，2y)，又P为C1上的动点，为参数)为参数)．所以C 2为参数)(或4x ＋3y －4＝0).（4分） ②由①可得点M(1，0)，且曲线ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，所以|MN|（7分）55．（1（2【解析】（1C 的直角坐标方程为4分（2l 't 为参数）．10分56．（1（2【解析】（1C 的直角坐标方程为4分（2l 't 为参数）．10分 57．（1（2【解析】（1）曲线C:分（2）:把(是参数)代入方程,得分分58．（1（2【解析】（1（2).,59．（1（2【解析】(1)(曲线C直线l(2)为参数),代入y 2=4x,设M,N 对应的参数分别为t 1,t 2所以|PM|+|PN|=|t 1+t 260．（1C2）3【解析】（1）圆C5分（28分分61．（1C 是顶点为O （0，0），焦点为F(1,0)的抛物线；（2）8【解析】（1）曲线C故曲线C 是顶点为O （0，0），焦点为F(1,0)的抛物线； 5分 （2故l 经过点（0，1）；(1,0)t 为参数）设A 、B分。