专题：极坐标与参数方程知识点及对应例题

极坐标及参数方程
一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念：
2．有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 3.极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式
二、参数方程知识点
（1）圆2
22)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为 )(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .
（2）椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.
sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .
（3）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩
⎨⎧+=+=.sin ,
cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.
三、点到直线的距离公式、直线与圆、圆与圆位置关系 极坐标方程典型例题
1.点()22-，
的极坐标为 。

2.已知圆C ：22(1)(3)1x y ++-=，则圆心C 的极坐标为_______(0,02)ρθπ>≤<
3.若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
4.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）
A ．201y y +==2x 或
B ．1x =
C ．201y +==2x 或x
D ．1y = 5.极坐标ρ=cos(
θπ
-4
)表示的曲线是( )
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
6.极点到直线()cos sin 3ρθθ+________ 。

7.在极坐标系中，点3
(2,)2
π到直线l ：3cos 4sin 3ρθρθ-=的距离为 .
8.在极坐标系中，点π(1,)2P 到曲线π3
:cos()242
l ρθ+=
上的点的最短距离为 ．
9.已知直线4sin cos :=-θρθρl ，圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）
10.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值。

11.在极坐标系中，直线(sin cos )2ρθθ-=被圆4sin ρθ=截得的弦长为
,
sin ,cos )
0(n t ,2
22θρθρθρ==≠=+=y x x x
y a y x
12.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知直线l 上
两点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π
，圆C 的参数方程θθ
θ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）。

（Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。

13.已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=,54253t
y t x （t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.
1.在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点(2,)6
π
到直线l 的距离为 ．
2.已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2π
ρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐
标为 ．
3.若直线⎩⎨⎧+=-=t y t
x 3221（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =________．
4.在极坐标系(ρ，θ)(02θπ≤＜)中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为 ．
（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点P Q 、都在曲线2cos ,
:2sin x C y ββ=⎧⎨
=⎩
（β为参数）上，对应参数分别为=βα与=2M απ（02απ<<），
M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，
0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
. （Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D
处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨
=-⎩
（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()2
2
121x y -+-=,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求
2C MN 的面积
（23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos ,
sin ,
x t y t α=⎧⎨
=∂⎩（t 为参数，t ≠0）其中0α
π≤，在以O 为极点，x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3
：ρθ=. (Ⅰ).求C 2与C 3交点的直角坐标；
(Ⅱ).若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.
（23）已知曲线C1的参数方程为x=4+5cost，y=5+5sint，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。

1.已知{}n a是递增的等差数列，2a，4a是方程2560
x x
-+=的根。

（I）求{}n a的通项公式；（II）求数列
2
n
n
a
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n项和.
2.
n
S为数列{
n
a}的前n项和.已知
n
a＞0，2
n n
a a
+=错误!未找到引用源。

.
（Ⅰ）求{
n
a}的通项公式；（Ⅱ）设错误!未找到引用源。

,求数列错误!未找到引用源。

}的前n 项和。