经典推理题目：海盗分金问题
海盗理论
“海盗分金”是一个理论模型。
5名海盗打算瓜分抢来的100块金币。
他们习惯于按照自己的民主方式进行分配。
首先抽签决定自己的号码（1，2，3，4，5），然后由1号提出分配方案，5人进行表决，超过半数同意方案才能被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，1号死后，由2号提方案，4人表决，超过半数同意方案才能通过，否则2号同样被扔入大海，依次类推。
那么“第一个海盗提出怎样的分配方案才能使自己的收益最大化”并得以通过表决？标准答案是：1号强盗分给3号1枚金币，4号或5号强盗2枚，放弃2号，独得97枚。
分配方案可写成97，0，1，2，0。
推理过程是这样的：从后向前推，如果只剩4号和5号的话，5号一定会投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞金币。
所以4号唯有支持3号才能保命。
3号知道这一点，所以就会提（100，0，0）的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为己有，因为他知道4号一无所获也会投赞成票，再加上自己一票他的方案即可通过。
不过，2号推知到3号的方案，就会提出（98，0，1，1）的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。
由于该方案对4号和5号来说比在3号时分配更有利，他们将支持他而不希望由3号来分配。
这样，2号将拿走98枚金币。
不过，2号的方案会被1号多洞悉，1号将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。
由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松入囊中。
这无疑是1号能获取最大收益的方案了。
不过，这个答案首先需要建立在“每个海盗都是很聪明的人，都能很理智地判断得失，从而作出选择”的假定上。
每个“分配者”都能事先考虑清楚“挑战者”的分配方案是什么，然后拉拢“挑战者”分配方案中最不得意的人。
“强盗分金”的解题过程其实是人们如何观察世界、分析事物、审时度势，从而得出最佳选择的过程。
聪明人的问题
NO1(海盗分金币)5个海盗抢得100枚金币后，讨论如何进行公正分配。
他们商定的分配原则是：（1）抽签确定各人的分配顺序号码（1，2，3，4，5）；（2）由抽到1号签的海盗提出分配方案，然后5人进行表决，如果方案得到超过半数的人同意，就按照他的方案进行分配，否则就将1号扔进大海喂鲨鱼；（3）如果1号被扔进大海，则由2号提出分配方案，然后由剩余的4人进行表决，当且仅当超过半数的人同意时，才会按照他的提案进行分配，否则也将被扔入大海；（4）依此类推。
这里假设每一个海盗都是绝顶聪明而理性，他们都能够进行严密的逻辑推理，并能很理智的判断自身的得失，即能够在保住性命的前提下得到最多的金币。
同时还假设每一轮表决后的结果都能顺利得到执行，那么抽到1号的海盗应该提出怎样的分配方案才能使自己既不被扔进海里，又可以得到更多的金币呢？NO2(猜牌问题)-S先生、P先生、Q先生他们知道桌子的抽屉里有16张****牌：红桃A、Q、4黑桃J、8、4、2、7、3草花K、Q、5、4、6方块A、5。
约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉P先生，把这张牌的花色告诉Q先生。
这时，约翰教授问P先生和Q先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌?？于是，S先生听到如下的对话：P先生：我不知道这张牌。
Q先生：我知道你不知道这张牌。
P先生：现在我知道这张牌了。
Q先生：我也知道了。
听罢以上的对话，S先生想了一想之后，就正确地推出这张牌是什么牌。
请问：这张牌是什么牌？NO3(燃绳问题)烧一根不均匀的绳，从头烧到尾总共需要1个小时。
现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢？NO4(乒乓球问题)-假设排列着100个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。
条件是：每次拿球者至少要拿1个，但最多不能超过5个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个？以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球？NO5(喝汽水问题)-1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？NO6(分割金条)-你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。
(完整word版)经典的博弈论分析案例——“海盗分金”问题
经典的博弈论分析案例一一“海盗分金”问题5个海盗抢得100枚金币，他们按抽签的顺序依次提方案：首先由1号提出分配方案，然后5人表决，超过半数同意方案才被通过，否则他将被扔入大海喂鲨鱼，依此类推。
“海盗分金”其实是一个高度简化和抽象的模型，体现了博弈的思想。
在“海盗分金”模型中，任何“分配者”想让自己的方案获得通过的关键是事先考虑清楚“挑战者”的分配方案是什么，并用最小的代价获取最大收益，拉拢“挑战者”分配方案中最不得意的人们。
假设前提假定“每个海盗都是绝顶聪明且很理智”，那么“第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？” 推理过程从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。
所以，4号惟有支持3号才能保命。
3号知道这一点，就会提出（100，0，0）的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。
不过，2号推知3号的方案，就会提出（98，0，1，1）的方案，即放弃3 号，而给予4号和5号各一枚金币。
由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。
这样，2号将拿走98枚金币。
同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97, 0，1, 2, 0）或（97, 0，1, 0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。
由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。
这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。
分配方案可写成（97, 0, 1, 2, 0）或（97, 0, 1, 0, 2）。
分析1号看起来最有可能喂鲨鱼，但他牢牢地把握住先发优势，结果不但消除了死亡威胁，还收益最大。
【博弈论】海盗分金问题
【博弈论】海盗分⾦问题HDU 1538 A Puzzle for Pirates这是⼀个经典问题，有n个海盗，分m块⾦⼦，其中他们会按⼀定的顺序提出⾃⼰的分配⽅案，如果50%或以上的⼈赞成，则⽅案通过，开始分⾦⼦，如果不通过，则把提出⽅案的扔到海⾥，下⼀个⼈继续。
现在给出n，问第k个海盗（第n个海盗先提⽅案，第1个最后提⽅案）可以分到多少⾦⼦，还是会被扔到海⾥去。
⾸先我们讲⼀下海盗分⾦决策的三个标准：保命，拿更多的⾦⼦，杀⼈，优先级是递减的。
同时分为两个状态稳定状态和不稳定状态:如果当n和m的组合使得最先决策的⼈(编号为n)不会被丢下海, 即游戏会⽴即结束, 就称这个状态时"稳定的". 反之, 问题会退化为n-1和m的组合, 直到达到⼀个稳定状态, 所以称这种状态为"不稳定的".接下来我们从简单的开始分析：如果只有两个⼈的话：那么2号开始提出⽅案，这时候知道不管提什么，他⾃⼰肯定赞成，⼤于等于半数，⽅案通过，那么2号肯定把所有的⾦⼦都给了⾃⼰。
如果只有三个⼈的话：那么3号知道，如果⾃⼰死了，那么2号肯定能把所有⾦⼦拿下，对于1号来说没有半点好处。
那么他就拿出⾦⼦贿赂1号，1号拿到1个⾦⼦，总⽐没有好，肯定赞成3号，剩下的3号拿下。
如果只有四个⼈的话：那么4号知道，如果⾃⼰死了，那么1号拿到1个⾦⼦，2号什么都没有，3号拿下剩下的⾦⼦。
那他就可以拿出部分⾦⼦贿赂2号，2号知道如果4号死了，⾃⼰将什么都没有，他肯定赞成4号。
如此类推下去，如果n<=2*m时候，前⾯与n相同奇偶性的得到1个⾦⼦，剩下的第n个⼈全部拿下。
但是会有⼀个问题便是，如果⾦⼦不够贿赂怎么办：我们将问题具体化：如果有500个海盗，只有100个⾦⼦，那么前⾯200个已经分析过了。
对于201号来说，拿出100个⾦⼦贿赂前⾯的第200号分⾦⼦时拿不到⾦⼦的100个⼈。
⾃⼰不拿⾦⼦，这样刚好有101票保证⾃⼰不死，如果分给之前能拿到⾦⼦的⼈，那么之前拿不到⾦⼦的⼈反正⽆论如何也拿不到⾦⼦，不如把你杀了。
海盗分金博弈
方案。
海盗分金策略：海盗们需要根据自己和其他海盗的等级、
02
人数、分配方案等因素，制定出最优的分配方案，以获得
最大的收益。
03
海盗分金博弈：海盗们需要在博弈过程中，根据其他海盗 的行为和决策，调整自己的策略，以实现最优的分配方案。
04
海盗分金策略的优化：海盗们可以通过合作、沟通等方式， 优化自己的策略，以实现更高的收益。
参与者角色
2019
船长：海盗的 头领，负责分
配金条
2021
旁观者：观察海 盗分金的过程，
不参与决策
01
02
海盗：参与分 金的主要角色，
有决策权
2020
03
04
船员：海盗的 成员，服从船
长的命令
2022
博弈目标
01
海盗分金：每个 海盗都希望获得 尽可能多的金币
02
公平分配：每个 海盗都希望分配
方案公平合理
博弈的结果取决于参与者 的策略选择，不同的策略 选择会导致不同的结果。
参与者需要根据对方的策 略选择来调整自己的策略， 以实现最优的结果。
博弈的结果分析可以帮助 我们更好地理解博弈论的 基本原理和应用场景。
博弈最优解
01
海盗分金博弈： 一种多人参与 的博弈游戏
02
博弈结果：参 与者根据策略 选择，获得不 同的收益
03
避免冲突：每个 海盗都希望避免 与其他海盗发生
冲突
04
生存优先：每个 海盗都希望在分 金过程中保证自
己的生存
2 博弈策略
海盗分金策略
海盗分金规则：海盗按照等级从高到低依次提出分配方案，
01
如果方案被半数以上海盗同意，则按照该方案分配；否则， 提出方案的海盗将被扔进大海，然后由下一位海盗提出新的
海盗分金
海盗分金——博弈论的故事1（一）海盗分金5名海盗分100枚金币。
规则是大家抽签分出1—5号，并按顺序提方案。
1号首先提方案，5人表决，当超半数同意时有效；否则1号将被抛入大海。
然后，2号提方案，4人表决，评判方式同上。
以此类推。
假定每个人都很聪明，1号提出什么方案，能使自己收益最大？答案是：（97、0、1、0、2 ）或（97、0、1、2、0）。
推理：假定1—3号都抛入大海，那末4号也活不了，所以，4号必须保住3号。
据此，3号可提方案（100、0、0）。
2号推知3号方案，可提出（98、0、1、1）方案，来拉拢4号和5号。
1号推知2号方案，可推出上述方案，拉拢住3号，以及4号或5号中的1人。
（二）博弈论与博弈类型博弈（Game），本是游戏、竞赛的意思。
所要解决的核心问题是：参与博弈的其他人员会怎么做？我应采取怎样的对策来取得最佳效果？博弈的例子到处可见：讨价还价、划拳、小孩猜拳、下棋、打牌，以及“三十六计”、“田忌赛马”等。
博弈论作为一种理论，最先是由美国经济学家冯·诺伊曼在1937年提出来的，他与经济学家奥斯卡·摩根斯坦于1944年合著的《博弈论与经济行为》公认为博弈论诞生的标志。
今天，博弈论已为数学的一个较为完善的分支，并在许多领域被运用。
在经济学领域的影响被称为“现代经济学的一次大的革命”。
博弈类型：1.静态博弈与动态博弈。
前者指参与者同时行动、同时出牌或亮招，如招标、考试等；后者指参与者的行动有先后次序，如下棋、战争、商业竞争等。
2.完全信息博弈与不完全信息博弈。
前者指参与者互相都“知己知彼”，否则就是后者。
3.零和博弈与非零和博弈。
前者指“你赢的就是我输的”，如打麻将、下棋等；后者指大家的得失总和不为零，如势均力敌的战争会使两败俱伤，而商业合作会使“双赢”。
4.合作博弈与非合作博弈。
在非零和博弈中，分为这两种。
前者指博弈双方可都获利，如价格联盟；后者指博弈结果会对双方都不利。
史上最烧脑逻辑问题：海盗分金币问题。能看懂解析的都是天才！
史上最烧脑逻辑问题：海盗分金币问题。
能看懂解析的都是天才！不说废话，直接上题！海盗分金币问题：5个海盗抢得了100个金币，现对这100个金币进行分配。
分配规则如下：首先抽签决定分配顺序，然后1号海盗进行分配，剩余4个海盗对1号海盗的分配方案进行投票，如果达到半数投赞成票，则方案通过，否则，杀死1号海盗；继续由2号海盗提出分配方案，剩余3个海盗进行投票，规则同上，以此类推。
假设这5个海盗都是懂逻辑的天才，请问几号海盗分得最多？具体怎么分配才能达到利益最大化？这个问题按照常人的思维，太简单了，5个海盗，100个金币，平均每个人分20个就完事了。
但是对于5个都懂逻辑的海盗可不会这么想。
海盗的思维方式是这样的：1、保命最重要；2、在能够保命的前提下，尽量多分金币；3、在保证前两条的前提下，尽量杀死对方。
最终分配结果绝对超出你的想象！我们首先来解决第一个问题：抽签公平吗？如果在没有人作弊的前提下，抽签显然是最公平的方案，抽到几号签完全是个人运气，所以就不再纠结这个问题了，我们将讨论的重心放在分配的规则上。
直接考虑5个人的情况太复杂了，我们把问题简化一下，从最简单的情况入手。
（1）首先考虑2个海盗：此时1号海盗进行分配，2号海盗进行投票。
注意分配方案需要得到半数人的支持，而此时只有1个人拥有投票权，那么2号海盗就拥有1票否决权。
那么1号海盗应该怎么分配，2号才能同意呢？显然，平分的方案2号是肯定不可能同意的。
那有人会想到1号将所有金币都给2号，自己1个金币也不要。
那么这样分1号就能保命了吗？答案是否定的。
因为无论1号怎么分，2号都可以说不同意，然后就有资格杀死1号。
此时，100个金币仍然都是2号的，而且他还没有后顾之忧。
所以结论是：当只剩下2个海盗时，无论1号怎么分配，1号都是必死无疑！（2）接下来考虑3个海盗：此时1号海盗进行分配，2号和3号海盗进行投票。
此时有2个人拥有投票权，只需要争取到1个人同意就行了。
海盗分金的答案
假设前提假定“每人海盗都是绝顶聪明且很理智”，那么“第一个海盗提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化？”推理过程推理过程是这样的：从后向前推，如果1至3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币。
所以，4号惟有支持3号才能保命。
3号知道这一点，就会提出“100，0，0”的分配方案，对4号、5号一毛不拔而将全部金币归为已有，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。
不过，2号推知3号的方案，就会提出“98，0，1，1”的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。
由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。
这样，2号将拿走98枚金币。
同样，2号的方案也会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。
由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说，相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可轻松落入囊中。
这无疑是1号能够获取最大收益的方案了！答案是：1号强盗分给3号1枚金币，分给4号或5号强盗2枚，自己独得97枚。
分配方案可写成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。
企业中的一把手，在搞内部人控制时，经常是抛开二号人物，而与会计和出纳们打得火热，就是因为公司里的小人物好收买。
1号看起来最有可能喂鲨鱼，但他牢牢地把握住先发优势，结果不但消除了死亡威胁，还收益最大。
这不正是全球化过程中先进国家的先发优势吗？而5号，看起来最安全，没有死亡的威胁，甚至还能坐收渔人之利，却因不得不看别人脸色行事而只能分得一小杯羹。
不过，模型任意改变一个假设条件，最终结果都不一样。
而现实世界远比模型复杂。
首先，现实中肯定不会是人人都“绝对理性”。
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有10个强盗a~j，得到100个金币，决定分掉，分法怪异：首先a提出分法，b~j表决，如果不过半数同意，就砍掉a的头。
然后由b来分，c~j表决，如果不过半数同意，就砍掉b 的头。
依次类推，如果假设强盗都足够聪明，在不被砍掉头的同时获得最多的金币。
问：最后结果如何（精确结果）。
分析与解答
所有的海盗都乐于看到他们的一位同伙被扔进海里，不过，如果让他们选择的话，他们还是宁可得到一笔现金。
他们当然也不愿意自己被扔到海里。
所有的海盗都是有理性的，而且知道其他的海盗也是有理性的。
此外，没有两名海盗是同等厉害的——这些海盗按照完全由上到下的等级排好了座次，并且每个人都清楚自己和其他所有人的等级。
这些金块不能再分，也不允许几名海盗共有金块，因为任何海盗都不相信他的同伙会遵守关于共享金块的安排。
这是一伙每个人都只为自己打算的海盗。
最凶的一名海盗应当提出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子呢？
为方便起见，我们按照这些海盗的怯懦程度来给他们编号。
最怯懦的海盗为1号海盗，次怯懦的海盗为2号海盗，依次类推。
这样最厉害的海盗就应当得到最大的编号，而方案的提出就将倒过来从上至下地进行。
分析所有这类策略游戏的奥妙就在于应当从结尾出发倒推回去。
游戏结束时，你容易知道何种决策有利而何种决策不利。
确定了这一点后，你就可以把它用到倒数第2次决策上，依次类推。
如果从游戏的开头出发进行分析，那是走不了多远的。
其原因在于，所有的战略决策都是要确定：“如果我这样做，那么下一个人会怎样做？”
因此，在你以下海盗所做的决定对你来说是重要的，而在你之前的海盗所做的决定并不重要，因为你反正对这些决定也无能为力了。
记住了这一点，就可以知道我们的出发点应当是游戏进行到只剩两名海盗，即1号和2号的时候。
这时最厉害的海盗是2号，而他的最佳分配方案是一目了然的：100块金子全归他一人所有，1号海盗什么也得不到。
由于他自己肯定为这个方案投赞成票，这样就占了总数的50%，因此方案获得通过。
现在加上3号海盗。
1号海盗知道，如果3号的方案被否决，那么最后将只剩2个海盗，而1号将肯定一无所获。
此外，3号也明白1号了解这一形势。
因此，只要3号的分配方案给1号一点甜头使他不至于空手而归，那么不论3号提出什么样的分配方案，1号都将投赞成票。
因此，3号需要分出尽可能少的一点金子来贿赂1号海盗，这样就有了下面的分配方案：3号海盗分得99块金子，2号海盗一无所获，1号海盗得1块金子。
4号海盗的策略也差不多。
他需要有50%的支持票，因此同3号一样也需再找一人做同党。
他可以给同党的最低贿赂是1块金子，而他可以用这块金子来收买2号海盗。
因为如果4号被否决而3号得以通过，则2号将一块也得不到。
因此，4号的分配方案应是：99块金子归自己，3号一块也得不到，2号得1块金子，1号也是一块也得不到。
5号海盗的策略稍有不同。
他需要收买另两名海盗，因此至少得用2块金子来贿赂，才能使自己的方案得到采纳。
他的分配方案应该是：98块金子归自己，1块金子给3号，1块金子给1号。
这一分析过程可以照着上述思路继续进行下去。
每个分配方案都是惟一确定的，它可以使提出该方案的海盗获得尽可能多的金子，同时又保证该方案肯定能通过。
照这一模式进行下去，10号海盗提出的方案将是96块金子归他所有，其他编号为偶数的海盗各得1块金子，而编号为奇数的海盗则什么也得不到。
这就解决了10名海盗的分配难题。