一维定态问题
6一维定态的一般性质自由粒子本征函数的规格化与箱归一化
21 ) c1 (1 3 31) 0 c2 (1 2
c1 3 ) (c2 2 c1 3 )1 0 1 (c2 2
令 c2 2 c1 3 ，则
1 1 0
2 d 2 2 dx 2 U ( x) ( x) E ( x) 作代换 x x ，则
证明：
2 d 2 2 dx 2 U ( x) ( x) E ( x)
考虑到 U ( x) U ( x) ，得
2 d 2 2 dx 2 U ( x) ( x) E ( x)
其次，讨论 E 0 的情况。 令 k 两个特解
2 E
，则
( x) k 2 ( x) 0
2 ( x) eikx
1 ( x) eikx
若 k 的取值范围选为从负无穷到正无穷，则两式统一成
k ( x) ceikx
它是能量的本征函数，相应的能量本征值为 k 2 2 Ek 2 显然， k表示动量。
( x) 2 ( x)1 ( x) c （与 x 无关的常数） 1 ( x) 2
2 E U ( x) 1 0 2 2 2 2 E U ( x) 2 0 上面两式两边分别乘以 2 和 1 ，然后相减，得
证明：
1
即
1 1
c3 1
c3 1 c2 2 c1 3
c2 c1 1 2 3 c3 c3
与假设矛盾。定理得证。
定理4：对一维束缚定态，所有能级都不简并。 证明：设对于同一能量本征值，存在两个独立的波函数，则
2 1 c 1 2
Chapter 3-1 一维定态问题(上)
当n分别是奇数和偶数时，满足 偶函数 → ψn ( −x) =ψn ( x) (n为奇数) (n为偶数)
奇函数 → ψn ( −x) =−ψn ( x)
即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称 这时的波函数具有偶宇称；当n为偶数时， 波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具 有奇宇称。本征函数所具有的这种确定的奇 偶性(宇称)是由势函数 对原点的这种对称性 而来的。关于这个问题，后面将就普遍情形 作专门讨论。
a.势U(x)中第一类不连续性的存在并不改 变加于函数的标准条件。事实上, 按Schrodinger 方程 ψ ′′ = (U − ε )ψ 在势的每一个不连续点，U出现一有限量的突 ψ 也如此，但ψ ′′ 的积分在这些点上保 然跳跃， ′′ 持连续: 因此ψ ′及ψ (理由更充足)处处连续。 （证明见：曾《量子力学导论》p53）
节点数 : 按定义，所谓节点，即本征函数 的零点(端点除外)，从图可以看出 ψ n 与x轴相 交(n-1)次，即ψ n 有(n-1)个节点。
§3.2.3 有限深对称方势阱
⎧ ⎪ 0, ⎪ V (x) = ⎨ ⎪V , ⎪ 0 ⎩ a x < 2 a x ≥ 2
(1)
a为阱宽，为势阱高度。 以下讨论束缚态情况 ( 0 < E < V0 ) , 前例可看成 是 V0 ≥ E 的极限情况。
⎧ d 2ψ + α 2ψ = 0 ( x < a) ⎪ 2 ⎨ dx ⎪ ψ =0 ( x ≥ a) ⎩
(3)
在 x < a 区域内的通解是
ψ = A sin α x + B cos α x
(4)
亦可取为ψ = c sin(α x +δ ) ， c 和 δ 待定。
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
Ψ ( x, t ) Ψ 0e
x i 2 π ( t )
Ψ 0e
i ( Et px)
波函数的物理意义：
2 | Ψ(r , t ) | —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
说明
• 单个粒子的出现是偶然事件； 大量粒子的分布有确定的统 计规律。
2 2
2mE k 2
2 1
三个区域的波函数分别为
Ⅰ区
Ψ1 ( x) A1eik1x B1eik1x
U0
Ⅰ E Ⅱ Ⅲ
Ⅱ区
Ⅲ区
Ψ 2 ( x) A2eik2 x B2eik2 x
Ψ 3 ( x) A3e
ik1 x
B3e
ik1x
B3 = 0
0
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续 x=0 处 x=a 处
(1)E > U0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非 全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2)E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍
可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应。
(3) 透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化， 随着势垒的加宽、加高透射系数减小。
Ψ 0 A sin k 0 B cos k 0 0
0
所以
a
x
B0
因此
Ψ x A sin kx
nπ k a
2
在 x = a 处连续，有
Ψ a A sin ka 0
2mE 其中 k 2 2 粒子 h 2 2 E n n E1 能量 n 2 8ma
Chapter 3-2 一维定态问题(下)
(23)
k 又因 k1 和 k3同数量级， 3 a >> 1 时，
e
2 k3 a
>> 4
(24)
a + b ≥ a b , ( a > 0 , b > 0 ) li m (∵ x→ ∞ 2 k3 k1 ∴ + ≥ 2 k3 k1 k3 ⎞ 1 ⎛ k1 e 2 k3a ≥ e 2 k3a > > 4 ) + ⎜ ⎟ k1 ⎠ 4 ⎝ k3
贯穿U(x)的总D为所有小方势垒 Ddx 之乘积
D = ∏ D dx = D 0 e
dx − 2
∫
a
b
2 m (U ( x ) − E )dx
(27)
§3.3 一维谐振子
一般说来，间断型的势场并非严格意义下的 物理势场。在物理上 V ( r ) 应该是 r 的连续函 数。特别是在物理的实际问题中，经常需要 处理连续振动体系，它们都可等价地看成无 穷多个谐振子的集合。
而要级数含有限项的条件是 λ 为奇数：
λ = 2 n + 1, n = 0,1, 2...
由此可求得线性谐振子之能级为
(10)
⎛ 1⎞ E = ω ⎜ n + ⎟ , n = 0,1,2... ⎝ 2⎠
(11)
即具有零点能，能级间隔 ∆E = En+1 − En = ω ， 这是量子力学的结果，它与经典谐振子及 Planck 量子论结果均不同。经典谐振子能量 连续，按Planck量子论有 En = n ω ，∆E = ω ， 但 E0 = 0 ，无零点能存在。
相比可略去，因而在 ξ → ∞ 时，上面的方 程(6)可写为：
d ψ dξ 2
2
量子力学典型例题分析解答
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
第一章 薛定谔方程,一维定态问题
第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。
在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。
这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。
一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。
一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。
将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。
对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。
通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。
一维定态的一般性质
2m 1 2 [ E V ( x)] 1 0 2
1 (15) 2 (14)
(14) (15)
2m [ E V ( x)] 2 0 2
1 2 2 1 0
( 1 2 2 1 ) 0
1 2 2 1 常数(与x无关)
得证
对束缚态
1 2 2 1
定理7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇 点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。 证明 设 1 和 2 是方程（3）的属于能量E的两 个束缚态解
1 2 2 1
本征值E的解，则
是方程（3）的对应于能量 (x)
( 也是方程（3）的对应于 x)
能量本征值E的解。
证明
d2 d2 d2 x x, 2 2 , V ( x) V ( x) 2 dx d ( x) dx
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
得证
空间反射算符P定义为 P (r ) (r )
r r
按定理3，如V（－x）＝V(x)，则 ( x)与 (x) 都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能 量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。 P ( x) ( x) C ( x) P 2 ( x) CP ( x) C 2 ( x) ( x)
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0
a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )
( x) ( x)
连续 得证
《一维定态问题》课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨一维定态问题，介绍定态和一维定态问 题的基本概念，并讲解其数学描述、求解方法以及应用领域。
导言
一维定态问题是研究物理学等领域中的一类重要问题。它提供了理解系统行 为和性质的基础，以及解决各种实际问题的方法。
定态和一维定态问题的基本概 念
例题三
借助计算机模拟，展示一维定 态问题的数值解法和仿真结果。
一维定态问题的应用
量子力学
一维定态问题在量子力学 中有广泛的应用，例如描 述电子在一维势场中的行 为。
固态物理学
研究材料中晶格振动、电 子能带等问题时，可以把 复杂的多维系统简化为一 维定态问题。
量子计算
一维定态问题为理解和实 现量子计算提供了基础， 如量子比特的储存和操作 等。
总结和展望
通过本PPT课件，我们对一维定态问题有了更深入的了解。未来，我们可以 进一步研究其在更复杂系统和实际应用中的应用。
定态是指系统在某个特定状态下具有稳定性和不变性。一维定态问题是针对 一维系统中的定态进行研究和求解的问题。
一维定态问题的数学描述
数学上，一维定态问题可以通过使用定态薛定谔方程进行描述。这个方程描述了系统的波函数和能量的 关系，是解决一维定态问题的关键。
一维定态问题的求解方法
1
经典方法
传统的求解一维定态问题的方法，如分离变量法、定态扰动法等。
2
量子力学方法
利用量子力学的基本原理和数学工具，如哈密法
借助计算机和数值计算技术，通过离散化和近似方法求解一维定态问题。
例题演示和讲解
例题一
例题二
通过实际例题，演示和讲解一 维定态问题的求解过程和方法。
通过复杂的数学方程，在黑板 上演示一维定态问题的解析求 解过程。
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2 n
当 n 时，(En En ) 0 ，能量视为连续变化.
12 – 5 一维定态问题
第十二章 量子物理基础
物理意义
当 n ，m，a 很大时，E 0 ，量子效应不明
显，能量可视为连续变化，此即为经典对应 .
例：电子在 a 1.0 102 m 的势阱中 .
E
n2
h2 8ma2
k n , n 1,2,3, 量子数
a
(x) Asin nπ x
a
U
o ax
归一化条件
2 dx
0a *dx
1
A2 a sin2 0
nπ a
xdx
1
A 2 a
(x) 2 sin n π x, (0 x a)
aa
12 – 5 一维定态问题
d2 3
dx2
2m 2
E 3
0
(x a)
U (x)
粒子的能量
E U0
U0
E
k12
2mE 2
k22
2m(U 0 2
E)
o ax
12 – 5 一维定态问题
d2 1
dx 2
k12 1
0
d2 2
dx 2
k22 2
0
d2 3
dx 2
k12 3
0
隧道效应
从左方射入 的粒子，在各区 域内的波函数。
第十二章 量子物理基础
波动方程
d2
dx 2
8π h2 2mE
0
U
波函数
0, (x 0, x a)
(x) 2 sin nπ x, (0 x a)
o
ax
aa
概率密度
(x) 2 2 sin2 n π x (0 x a)
aa
本征能量
En
n2
h2 8ma2
波函数的标准条件：单值、有限和连续 .
x 0, 0, B 0 (x) Asin kx
12 – 5 一维定态问题
第十二章 量子物理基础
x a, Asin ka 0 sin ka 0
sin ka 0, ka n k n , n 1,2,3, 量子数
12 – 5 一维定态问题
第十二章 量子物理基础
若在样品与针尖之间加 一微小电压，电子在外电场 作用下就会穿过两极间的绝 缘层流向另一极，产生隧道 电流，并通过反馈电路传递 到计算机上表现出来 . 且隧 道电流对针尖与样品间的距 离十分敏感 .
n2
3.77 1015eV
E
2n
h2 8ma2
n 7.54 1015eV
（近似于连续）
当 a 0.10nm 时, E n 75.4eV（能量分立）
12 – 5 一维定态问题
第十二章 量子物理基础
二 一维方势垒 隧道效应
U (x) 0, x 0, x a U0, 0 x a
12 – 5 一维定态问题
第十二章 量子物理基础
U , x 0, x a 0, (x 0, x a)
U 0, 0 x a
d 2
dx2
2mE 2
0
U
k
2mE 2
d2
dx 2
k 2
0
o
ax
通解 (x) Asin kx B coskx
第十二章 量子物理基础
扫描隧道显微镜 （STM）
1981年宾尼希和罗雷尔 利用电子的隧道效应制成了 扫描遂穿显微镜（STM）， 可观测固体表面原子排列的 状况。1986年宾尼希又研制 了原子力显微镜（AFM）.
由于电子的隧道效应，金属中的电子在表面以外
呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm .
只要将具有原子线度的极细探针以及被研究物质 的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近 （< 1nm）时，它们的表面电子云就可能重叠 .
a
U
k 2mE 2
基态能量
激发态能量
En
n2
h2 8ma2
o ax
E1
h2 8ma2
,
(n 1)
En
n2
h2 8ma2
,
(n 2,3,
)
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .
12 – 5 一维定态问题
第十二章 量子物理基础
2
x2
k 2
0
(x) Asin kx
量子数
n 1,2,3,
12 – 5 一维定态问题
(x) Asin nπ x
a n
n4
第十二章 量子物理基础
(x) 2 2 sin2 nπ x
aa n 2
16 E1
n3
n2 n 1
x0 a 2
a x0 a 2
9 E1
4 E1
a E1
Ep 0
12 – 5 一维定态问题
粒子的能量
E U0
U (x) U0 E
o ax
经典图像
当 E U 0 时，电子被反射的概率为1 . 当 E U0 时，粒子运动到 x 0 区域去的概率
也为1 .
12 – 5 一维定态问题
第十二章 量子物理基础
量子力学理论
能量大于U0 的粒子，其反射率一般不为零 .
能量低于U0 的粒子，其透射率一般不为零， 与势垒宽度 a，势垒高度和总能量差 (U0－E )
第十二章 量子物理基础
对应原理
在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经
典规律 . 能量
En
n2
h2 8ma2
,
(n 1,2,3,)
势阱中相邻能级之差
E En1 En
(2n
1)
h2 8ma2
E 1 m ,1 a2
能级相对间隔
En En
2n
h2 8ma
2
n2
h2 8ma 2
粒子穿过而进入 x a
(x)
1 2 3
oa
x
的区域，所以人们形象地
称之为隧道效应 .
V (r)
例：放射性原子核的 衰变过程
238U 衰变时所放射出的 粒
子，其能量约为4.2MeV，而势垒 高度却高于30MeV .
隧道效应的本质：来源于微观 粒子的波粒二象性 .
12 – 5 一维定态问题
有关 —— 隧道效应 .
隧道效应
从左方射入 的粒子，在各区 域内的波函数。
(x)
1 2 3
oa
x
12 – 5 一维定态问题
第十二章 量子物理基础
定态薛定谔方程的解
d 2 1
dx2
2m 2
E 1
0
(x 0)
d2 2
dx2
2m 2
(E
U0 ) 2
0
(0 x a)
第十二章 量子物理基础
1(x) A1 sin(k1x 1)
2 (x) Bek2x Cek2x
3 (x) A3 sin(k1x 3 )
(x)
1 2 3
oa
x
12 – 5 一维定态问题
第十二章 量子物理基础
粒子的能量虽不足以
超越势垒，但在势垒中似 乎有一个隧道，能使少量