一维定态的一般性质
一维定态性质
第三章 一维定态问题§3.1 一维定态的一般性质性质1、当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。
证明：分能级无简并和有简并两种情况（1） 能级无简并对应能级E ，只有一个独立的本征波函数。
设 )(x ψ为与E 对应的本征波函数)()(ˆx E x Hψψ= 取复共轭，因)()(*x V x V =，则)()(ˆ**x E x Hψψ= )(*x ψ也是与E 对应的本征波函数。
因无简并，则 αψψψψψi e C x C x C x x C x ====)()()()()(2***可取0=α，即)(x ψ可取为实函数。
（2）能级有简并对应某一能级E ，有两个或两个以上独立的本征波函数。
例如氢原子能级：eV 16.132nE n -=，波函数： )(r sl m nlm ψ， 简并度：22n f =.设集合 )}({x i ψ为与E 对应的本征波函数 f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ ==ψψ 取共轭得f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ** ==ψψ 集合 )}({*x i ψ 也是与E 对应的本征波函数。
只要)}({x i ψ中有一个波函数，例如j ψ不是实函数，那么就可用实函数 )(*j j ψψ+或 )]([*j j i ψψ--来取代j ψ，最后总能组合成一组实函数。
所以，当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。
下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。
空间反射变换：用算符P ˆ代表空间反射变换 )()(ˆx x P-=ψψ 本征方程： )()(ˆx x Pψπψ=可以证明 π为实数。
只有当 π为实数时上述方程才是本征方程。
因为按照基本假定，本征值与测量值相对应，而测量值总是实数。
宇称（parity ）：空间反射变换算符的本征值 π．宇称的可能取值：)()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ2x x P x P P x Pψψψψ=-== )()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ22x x P x P P x Pψπψπψψ=== )()(2x x ψπψ=211ππ=⇒=±即 ⎩⎨⎧-=负宇称正宇称，)(),()(ˆx x x P ψψψ空间反射不变的波函数具有正宇称。
6一维定态的一般性质自由粒子本征函数的规格化与箱归一化
21 ) c1 (1 3 31) 0 c2 (1 2
c1 3 ) (c2 2 c1 3 )1 0 1 (c2 2
令 c2 2 c1 3 ，则
1 1 0
2 d 2 2 dx 2 U ( x) ( x) E ( x) 作代换 x x ，则
证明：
2 d 2 2 dx 2 U ( x) ( x) E ( x)
考虑到 U ( x) U ( x) ，得
2 d 2 2 dx 2 U ( x) ( x) E ( x)
其次，讨论 E 0 的情况。 令 k 两个特解
2 E
，则
( x) k 2 ( x) 0
2 ( x) eikx
1 ( x) eikx
若 k 的取值范围选为从负无穷到正无穷，则两式统一成
k ( x) ceikx
它是能量的本征函数，相应的能量本征值为 k 2 2 Ek 2 显然， k表示动量。
( x) 2 ( x)1 ( x) c （与 x 无关的常数） 1 ( x) 2
2 E U ( x) 1 0 2 2 2 2 E U ( x) 2 0 上面两式两边分别乘以 2 和 1 ，然后相减，得
证明：
1
即
1 1
c3 1
c3 1 c2 2 c1 3
c2 c1 1 2 3 c3 c3
与假设矛盾。定理得证。
定理4：对一维束缚定态，所有能级都不简并。 证明：设对于同一能量本征值，存在两个独立的波函数，则
2 1 c 1 2
3.1一维定态的一般性质
1 2d 2 1 2d 2 1 2d 2
X 2 d 2 X x V 1 ( x ) Y 2 d 2 Y y V 2 ( y ) Z 2 d 2 Z z V 3 ( z ) E
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
2 d 2
2 d 2
Y 2 Z d 2 X x V 1 ( x ) X 2 d Z 2 Y y V 2 ( y ) X 2 d Y 2 Z z V 3 ( z ) E ( x , y , z )
两边除于 （ x ,y ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
当能级有简并时，用定 理2
定理2：对于能量的某个本征值E，总可找到方 程的一组实解，凡是属于 E 的任何解，均可表 成这一组实解的线性叠加。这组实解是完备的。
证明：
设(x)是属于E能 的量 本征函数
它可以是实解，也可以为复解。 如为实解，则把它到 归实 结解集合中去
(注意我们的目的是组 找实 这解集)合. 现在只需证明如 ，为 则复 可解 以表为一 实组完备 解的线性叠加。
令 (x,y,z)X (x)Y (y)Z (z)
于是S-方程化为：
2 2 d d 2 2 d d x 2 2 d d y 2 2 X ( z x ) Y ( y ) Z ( z ) V 1 ( x ) V 2 ( y ) V 3 ( z ) ( x ,y ,z ) E ( x表 )的为 线性叠加
即
(x)1(i)
2
*(x)1(i)
实解线性叠加
2
定理3： 设V(x)具有空间反射不变性 V(-x)= V(x)
如ψ(x)是定态方程的属于能量为E的解，则 ψ(-x)也是方程的相应于能量为E的解。 证明： 对方 x 程 x ， 进 按 V ( 行 x ) 假 V (x )， 定
量子力学9-10一维定态
+∞
−∞
∫ dxe
−i
px
ψ1 ( x )
φ1 ( p )
ap πa cos 2 2 −2 ap π = − , 2 2
谁对？谁错？
(− ∞ < p < +∞ )
2.2.2 有限深对称方势阱问题
含时薛定谔方程导引
哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用 量原理与费马原理
五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设 状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数 性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设
(4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方 程 公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设
由波函数及其导数在边界上的连续性，可得到
(ln cos kx )′ x = a / 2 = (ln e − βx )′
由此得到 令
x =a / 2
k tan( ka / 2) = β
ξ = ka / 2, η = βa / 2
( 20)
( 21)
则式(20)可化为
ξ tan ξ = η
( 22)
由(15), (18), (21)得到
很快，薛定谔就通过德布罗意论文的相对论性理论，
推导出一个相对论性波动方程，他将这方程应用于 氢原子，计算出束缚电子的波函数。但很可惜。因 为薛定谔没有将电子的自旋纳入考量，所以从这方 程推导出的精细结构公式不符合索末菲模型。他只 好将这方程加以修改，除去相对论性部分，并用剩 下的非相对论性方程来计算氢原子的谱线。解析这 微分方程的工作相当困难，在其好朋友数学家赫尔 曼·外尔鼎力相助下，他复制出了与玻尔模型完全 相同的答案。因此，他决定暂且不发表相对论性部 分，只把非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结 果，写为一篇论文。1926年，他正式发表了这论 文。
专题-一维薛定谔方程的普遍性质 量子力学
2 η sh 2a
2 2 2 α1 + β1 - β2 =1
-iβ2 e ik l α1 + iβ1 e -ik l
这里 α1 ，β1 ，β2 均为实数。最后得系数递推公式
第一谷 第一垒 第二谷 第二垒
l=2b
l=2(a+ b)
-a 0 a
x
6
设电子总能量 E < V0 ，作为一般考虑，假定第n谷中的波函数为
n ( x ) Ane ik ( x nl ) Bne ik ( x nl ) ,
于是第0至第1谷情况区段中波函数解为
n 1 l a x nl a
ea ea
e a e a
e ik a ik e ik a
A 0 B ik e ik a 0
8
2ik a e ik l , A iη sh 2 a e ik l A1 ch 2 a i sh 2 a e 0 2ik a e ik l B0 ik l , B1 ch 2 a i sh 2 a e i η sh 2 a e
A An An-1 n 0 B = Ω B = Ω B n n-1 0
9
这里 α1 ，β1 ，β2 均为实数。最后得系数递推公式
A An An-1 n 0 B = Ω B = Ω B n n-1 0
1 k 1 k , η 2k 2 k
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程，一维定态问题
本章主要介绍量子力学的基础概念和薛定谔方程的推导及其在
一维定态问题中的应用。
量子力学是描述微观世界中物质及其运动规律的理论。
在量子力学中，粒子的运动状态由波函数描述，波函数可以用来计算粒子在不同位置的概率密度。
薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，它描述了波函数随时间的演化规律。
一维定态问题是指一个粒子在一维空间中的运动状态是定态的，即粒子的波函数只包含一个能量本征态。
在一维定态问题中，薛定谔方程可以简化为一维薛定谔方程，可以通过求解该方程得到粒子的能量本征态和能量本征值。
本章将详细介绍薛定谔方程的推导过程和一维定态问题的求解
方法，包括定态薛定谔方程的解法和粒子在势阱和势垒中的运动规律。
同时还将介绍相关的数学工具和物理概念，如波函数、能量本征态、能量本征值和概率密度等。
通过学习本章内容，读者将能够了解量子力学的基本概念和薛定谔方程的应用，掌握一维定态问题的求解方法，为后续学习量子力学的进阶内容奠定基础。
- 1 -。
第3章 一维定态问题
2 d ( x) 2mE 2 2 k ( x) 0 令： k 2 则： 2 dx
通解：
x Aeikx Beikx C coskx D sin kx
A, B, C, D 为常数，由标准条件和归一化条件确定。 ka ka a ka ka a C cos D sin 0 x C cos D sin 0 x 2 2 2 2 2 2
（3）能量间隔：
(n 1) 2 2 2 n 2 2 2 2 2 E n E n1 En (2n 1) 2 2 2m a 2m a 2m a2
n一定， a一定，
a En 0
En 2n 1 n En 2 0 En n En
2
V
a 时 2
d 2 ( x) 2 x x ( x ) ( x ) A ' e B ' e dx2
由有限条件，当
x a 2 x
( x) 0
粒子不可以进入Ⅱ区
I区： V 0
2 d 薛定谔方程： ( x) 2m E ( x) 0 dx2 2
( x)
E2
1 ( x)
n 1, 2,
a n sin x n 1, 2,3 2 a
E1
非对称二维无限深势阱
0 0 x a,0 y b V ( x, y) others
2 n12 n2 En ( 2 2) 2m a b 2
( p) ( p)
2
2
4 a
pa cos 2 2 2 2 2 a p
2
3
8.非对称一维无限深势阱
4 ( x)
V ( x)
2.6 一维定态问题
§2.6 一维定态问题一．一维定态波函数的一般性质对一维定态问题，薛定谔方程为定理一：设是方程的一个解，对应能量为E,则也是方程的一个解，对应能量也为E。
证明：，对方程两边取复共轭，利用满足相同的方程，对应的能量都是E。
定理二：设具有空间反射不变性，即，如为方程的一个解，对应能量为E；则也为方程的一个解，对应能量也是E。
定理三：当时，如无简并，方程的解有确定的宇称。
即偶宇称：，或奇宇称：。
证明：因为和都是能量E的解，二者应表示同样的状态。
因此应只差一常数。
，则所以，，，。
二．一维无限深势阱，，，，令，方程的解为：，利用边界条件：得：，即：，，（时，，无物理意义）, 对应的波函数为：。
利用归一化条件： , 得：，归一化后的波函数为：。
束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。
基态：体系能量最低的态。
三．一维线性谐振子一维线性谐振子的势能为，体系的薛定谔方程为，进行如下变量代换：，，薛定谔方程变为：，变系数二级常微分方程。
，方程变为，解为，时，有限，将写成如下形式：，带入原方程将H按展成幂级数，时，有限,要求幂级数只有有限项。
级数只有有限项的条件是：，线性谐振子的能级为：，线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为。
零点能：，。
厄密多项式：递推公式: (1)（2）（3）（4）对应的波函数为：，归一化常数：四．势垒贯穿；薛定谔方程为，，(a)时令，方程变为：，，在区域，波函数：在区域，波函数：在区域，波函数：对投射波，不应有向左传播的波，即：。
利用波函数及微商在和的连续条件，我们有:::,解方程组：利用几率流密度公式：得出入射波、透射波、反射波的几率流密度入射波几率流密度：透射波几率流密度：反射波几率流密度：投射系数：反射系数：(b) 时令，方程变为：，方程的解形式为：利用边界条件得：其中双曲正弦函数，双曲余弦函数投射系数：隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
按经典力学：，如，则动能为负。
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得证
对于一维方势场，可证明下列定理：
定理5
对于阶梯方位势
V1 , V ( x) V2 ,
xa
xa (V2 V1 ) 有限，则能量本征函数 ( x) 及其导数必定
是连续的（但如果 (V2 V1 ) ，则定理不成立）。 证明
d2 2m ( x) 2 [ E V ( x)] ( x) 2 dx
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0
a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )
( x) ( x)
连续 得证
定理6 对于一维粒子，设 1 ( x) 和 2 ( x) 均为 方程（3）的属于同一能量本征值E的解，则 2 1 常数(与x无关) 1 2
(r 0)
x=0是一个孤立奇点，虽然在x=0点 (不连 x) (0) 0 续，但其基态波函数 ，所以也不是简并的。
2 2 i ( x, t ) [ V ( x)] ( x, t ) 2 t 2m x
（1）
对于定态，即具有一定能量E的状态，波函 i Et 数形式为 （2） ( x, t ) ( x)e
2 d 2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
( x)
( x)
f ( x) ( x ) ( x )
g ( x) ( x) ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) g ( x)
1 ( x) ( f ( x) g ( x)), 2
1 ( x) ( f ( x) g ( x)) 2
证明
2m 1 2 [ E V ( x)] 1 0 2
1 (15) 2 (14)
(14) (15)
2m [ E V ( x)] 2 0 2
2 1 0 1 2
2 1 ) 0 ( 1 2
本征值E的解，则
3）的对应于能量 (是方程（ x)
3）的对应于 ( 也是方程（ x)
能量本征值E的解。
证明
d2 d2 d2 x x, 2 2 , V ( x) V ( x) 2 dx d ( x) dx
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
在V（x）连续的 区域，
（11）
( x) ( x)
Hale Waihona Puke 连续在V（x）发生阶梯形跳跃处，V ( x) ( x) 有限跃变
在x~a邻域对方程（11）积分
0
lim
a
a
dx, 得
a 2m (a 0 ) (a 0 ) 2 lim dx[ E V ( x)] ( x) 0 a
得证
空间反射算符P定义为 P (r ) (r )
r r
按定理3，如V（－x）＝V(x)，则 ( x)与 ( x) 都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能 量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。 P ( x) ( x) C ( x) P 2 ( x) CP ( x) C 2 ( x) ( x)
1
1 2
1 1 2 2
(ln 1 2 ) 0 ln 1 2 ln C
1 C 2
得证
精品课件！
精品课件！
常碰到的两种奇异势场
（1）
0, V ( x)
0 xa x a, x 0
0 a
（2） δ势阱
V ( x) r ( x)
2 1 常数(与x无关) 1 2
得证
对束缚态
2 1 1 2
定理7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇 点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。 证明 设 1 和 2 是方程（3）的属于能量E的两 个束缚态解
2 1 1 2
取复共扼 得证
，则称 ( x)
2 d 2 * * [ V ( x )] ( x ) E ( x) 2 2m dx
若对应于能量E，只有一个能量本证函数 函数。
能量E无简并，此时相应的能量本征函数总可以取为实
定理2 对应于能量的某个本征值E，总可以找到 方程（3）的一组实解，凡是属于E的任何解，均 可表示为这一组实解的线性叠加。
C 2 1 C 1
C 1, P ( x) ( x) ( x) C 1, P ( x) ( x) ( x)
偶宇称 奇宇称
(r , t ) (r , t ) 则称波函数没有确定的宇称。
定理4 设V（－x）＝V（x），则对应于任何一 个能量本征值E，总可以找到方程（3）的一组解 （每一个解都有确定的宇称），而属于能量本征 值E的任何解，都可用它们来展开。 证明
本章内容主要包括： §3.1 一维定态的一般性质 §3.2 方位势 §3.3 一维散射问题
§3.4 δ 势
§3.5 一维谐振子
§3.1 一维定态的一般性质 一、教学目标
1. 掌握一维运动波函数的共同特点。
2.了解奇点的概念
3. 了解常碰到的两种势场。
二、教学内容
下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些 共同的特点。设粒子质量为m，沿x方向运动，势 能为V（x），则Schrodinger方程表示为：
（3） （4）
V ( x) V ( x)
*
定理1 设 ( x) 是方程（3）的一个解，对应的 能量本征值为E，则 * ( x) 也是方程（3）的一个 解，对应的能量也是E。
证明
V * ( x) V ( x)
2 d 2 [ V ( x)] ( x) E ( x) 2 2m dx
证明
实解
实解集合
( x) ( x) * ( x)
( x)
复解
* ( x)
( x) i( ( x) * ( x))
1 ( i ) 2
*
1 ( x) ( i ), 2
得证
定理3
设V（x）具有空间反射不变性，V（－x）
＝V（x）。如