4一维定态(1)

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关于一维定态波函数宇称的一点讨论

关于一维定态波函数宇称的一点讨论
一维定态波函数是宇称最常用的描述方式之一，它定义了宇称中的量化变化。

主要有以下几方面涉及：
1、一维定态波函数是什么？
一维定态波函数（一维空间函数）是一种可以描述宇称的数学工具。

它由一系列来自函数的层次创建，它们可以描述宇称中的排斥、吸引力和阻尼等复杂变化。

2、一维定态波函数的用途
一维定态波函数可以用来模拟宇称中许多系统，包括物理系统、光学系统、声学系统、电子系统等。

通过一维定态波函数，可以准确地预测宇称中复杂物理反应的发展，从而实现对反应的工程控制和优化。

3、一维定态波函数的优势
（1）简洁：一维定态波函数的优势在于其表述简洁，便于建模分析；
（2）高效：一维定态波函数运算速度快，是目前研究最成熟的数学模型；
（3）精确：一维定态波函数之所以被广泛使用，是因为它提供了较为准确的实验结果，可以模拟系统受多种边界条件和气压等因素的影响；
（4）可扩展：一维定态波函数容易根据不同的实验结果进行扩展，保证研究准确性和可靠性。

4、一维定态波函数的应用
一维定态波函数的常见应用有洪水模拟、空气湍流模拟、物体表面力学定性和定量分析等。

此外，一维定态波函数还可用于太阳风抛射、油气藏流体流场模拟以及气象系统动力学模型建立等研究。

5、总结
一维定态波函数是描述宇称变化的最常用方式之一，它具有简便、高效、精准度高等优势，已被广泛应用于实际宇称模拟研究中，常用于洪水模拟、空气湍流模拟、物体表面力学定态和定量分析、太阳风抛射、油气藏流体流场模拟以及气象系统动力学模型建立等研究。

量子力学(二)习题参考答案

2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2）、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。不过，为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式，（16）、（17）变成或由（19）式，（16）、（17）变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0

Chapter 3-1 一维定态问题(上)

当n分别是奇数和偶数时，满足偶函数 → ψn ( −x) =ψn ( x) (n为奇数) (n为偶数)
奇函数 → ψn ( −x) =−ψn ( x)
即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n为偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。本征函数所具有的这种确定的奇偶性(宇称)是由势函数对原点的这种对称性而来的。关于这个问题，后面将就普遍情形作专门讨论。
a.势U(x)中第一类不连续性的存在并不改变加于函数的标准条件。事实上, 按Schrodinger 方程 ψ ′′ = (U − ε )ψ 在势的每一个不连续点，U出现一有限量的突 ψ 也如此，但ψ ′′ 的积分在这些点上保然跳跃， ′′ 持连续: 因此ψ ′及ψ (理由更充足)处处连续。（证明见：曾《量子力学导论》p53）
节点数 : 按定义，所谓节点，即本征函数的零点(端点除外)，从图可以看出 ψ n 与x轴相交(n-1)次，即ψ n 有(n-1)个节点。
§3.2.3 有限深对称方势阱
⎧ ⎪ 0, ⎪ V (x) = ⎨ ⎪V , ⎪ 0 ⎩ a x < 2 a x ≥ 2
(1)
a为阱宽，为势阱高度。以下讨论束缚态情况 ( 0 < E < V0 ) , 前例可看成是 V0 ≥ E 的极限情况。
⎧ d 2ψ + α 2ψ = 0 ( x < a) ⎪ 2 ⎨ dx ⎪ ψ =0 ( x ≥ a) ⎩
(3)
在 x < a 区域内的通解是
ψ = A sin α x + B cos α x
(4)
亦可取为ψ = c sin(α x +δ ) ， c 和 δ 待定。

第三章：一维定态问题

s=1时， EMBED Equation.3 （6）
为了使波函数ψ（x）满足标准条件，级数（4）必需中断。此外由于本题情形中应满足边界条件（波函数连续性），x=0时ψ（x）=0，即u（0）=0。因而必需取s=1，它的递推式是（6），因此如果级数（4）中断，而（4）的最高幂是n=2m，在（4）式中取s=1， EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，则在（6）式中取n为最高幂时：
EMBED Equation.3 (2)
但 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
考虑在原点0（x=0）处波函数 EMBED Equation.3 （x）和一阶倒数 EMBED Equation.3 （x）的连接性，有：
但 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
是归一化常数， EMBED Equation.3 是奇阶数厄米多项式。
#
［4］考虑粒子 EMBED Equation.3 在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数。
（解）本题中设想粒子从左侧入射。
在（x〈0〉区中有入射反射波
EMBED Equation.3 （1）
在（x>0区）中仅有透射波
EMBED Equation.3
由（3）得
EMBED Equation.3 (7)
式中的m=0,1,2,3,4,……
（7）式即我们需求的粒子的能级。
本题的波函数是 EMBED Equation.3
（0<x<a区）： EMBED Equation.3 （2）
（x>a区）： EMBED Equation.3 （3）

第一章薛定谔方程,一维定态问题

第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。

在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。

这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。

一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。

一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。

将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。

对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。

通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。

一维定态的一般性质

证明
2m 1 2 [ E V ( x)] 1 0 2
1 (15) 2 (14)
(14) (15)
2m [ E V ( x)] 2 0 2
1 2 2 1 0
( 1 2 2 1 ) 0
1 2 2 1 常数(与x无关)
得证
对束缚态
1 2 2 1
定理7 设粒子在规则势场V（x）（势场中无奇点）中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。证明设 1 和 2 是方程（3）的属于能量E的两个束缚态解
1 2 2 1
本征值E的解，则
是方程（3）的对应于能量 (x)
( 也是方程（3）的对应于 x)
能量本征值E的解。
证明
d2 d2 d2 x x, 2 2 , V ( x) V ( x) 2 dx d ( x) dx
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
得证
空间反射算符P定义为 P (r ) (r )
r r
按定理3，如V（－x）＝V(x)，则 ( x)与 (x) 都是对应于同一能量E的量子态。如果对应于某能量E，方程（3）的解无简并，则解必有确定的宇称。 P ( x) ( x) C ( x) P 2 ( x) CP ( x) C 2 ( x) ( x)
[ E V ( x)] ( x)有限， lim
0

a
a
dx[ E V ( x)] ( x) 0
(a 0 ) (a 0 )

( x) ( x)
连续得证

《一维定态问题》课件

《一维定态问题》PPT课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨一维定态问题，介绍定态和一维定态问题的基本概念，并讲解其数学描述、求解方法以及应用领域。
导言
一维定态问题是研究物理学等领域中的一类重要问题。它提供了理解系统行为和性质的基础，以及解决各种实际问题的方法。
定态和一维定态问题的基本概念
例题三
借助计算机模拟，展示一维定态问题的数值解法和仿真结果。
一维定态问题的应用
量子力学
一维定态问题在量子力学中有广泛的应用，例如描述电子在一维势场中的行为。
固态物理学
研究材料中晶格振动、电子能带等问题时，可以把复杂的多维系统简化为一维定态问题。
量子计算
一维定态问题为理解和实现量子计算提供了基础，如量子比特的储存和操作等。
总结和展望
通过本PPT课件，我们对一维定态问题有了更深入的了解。未来，我们可以进一步研究其在更复杂系统和实际应用中的应用。
定态是指系统在某个特定状态下具有稳定性和不变性。一维定态问题是针对一维系统中的定态进行研究和求解的问题。
一维定态问题的数学描述
数学上，一维定态问题可以通过使用定态薛定谔方程进行描述。这个方程描述了系统的波函数和能量的关系，是解决一维定态问题的关键。
一维定态问题的求解方法
1
经典方法
传统的求解一维定态问题的方法，如分离变量法、定态扰动法等。
2
量子力学方法
利用量子力学的基本原理和数学工具，如哈密法
借助计算机和数值计算技术，通过离散化和近似方法求解一维定态问题。
例题演示和讲解
例题一
例题二
通过实际例题，演示和讲解一维定态问题的求解过程和方法。
通过复杂的数学方程，在黑板上演示一维定态问题的解析求解过程。

18.4薛定谔方程在一维定态问题中的应用

探针
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.
2
E
2
k1
ik1x
2mE 2
O
V V0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
1 Ae
ik1x
Be
V 0
V 0
Ⅱ 区薛定谔方程为：
2 2 2 k2 2 0 2 x
x1
x2
x
k2
2
2m( V0 E ) 2
2 A2e k x B 2e k x
2 2
Ⅲ 区薛定谔方程为：
2 2 d x ˆ H x U x x E x 2 2m dx

2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 d 2 x U x x E x 阱外 2 2m dx
（2）定态薛定谔方程的通解
2 d 2 x E x 阱内 2 2m dx 2 d 2 x U x x E x 阱外 2 2m dx
阱外：
(x ) 0
阱内：令
2
k
2
d x 2 k x 0 2 dx
2 3 2 k3 3 0 2 x
k3
2
2mE 2
3 A3e
ik3x
Ⅰ区粒子进入Ⅲ区的概率为
E E
O
Ⅰ
V V0
Ⅱ Ⅲ
P
3 x 1 x
2
2
2

2 x 2 x
2
2
2
e

2a 2 m(V 0 E )
V 0
V 0

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为x2 ，动量的不确定量为p2，则（ A）
A. x1=， x2=a B. x1= 0， x2=a
C. p10， p2=0
D. p10， p20
2016/12/14
DUT 常葆荣
12
例题
设一维无限深势阱的宽度为a，（1）势阱中电子的波
长是否可以连续变化？（2）写出波长与a的关系式；（3）写出电子动量与a的关系式；（4）写出电子能
i(
Et
k1 x )
B1e
i(
Et
k1 x )
15
Ⅰ区
1
A1 e
i(
Et
k1 x )
B 1e
i(
Et
k1 x )
U0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ E B3 = 0
0
自左向右的入射波自右向左的反射波
Ⅱ区 Ⅲ区

2
A2e
i(
Et
k2 x )
B2e
i(
Et
x
概率密度不均匀，概率密度波函数只能是半个正弦波的整数倍，的峰值个数与量子数n相等。在阱壁处粒子出现的概率为0
2016/12/14
DUT 常葆荣 7
例题
在宽为a的一维无限深势阱中，粒子的波函数为 n ( x)
子在x=5a/6出现的概率密度；
概率表示式。解：第一激发态n=2, 基态n=1
（3）发现粒子概率最大的位置由概率密度对位置的极值求得：
d ( x) 8 3 xe2 x (1 x ) 0 dx
2
x1 0 x2 x3
1

可再由概率密度对位置的二阶导数求得，x1和 x2为极小值，在 x3有极大值。所以在x=1/处发现粒子的概率为最大。
2
d2 dx
2
0
0
2 cos x0 a
a 3a x 或 4 4
3a 4 a 4
（2）
2 1 ( x) sin x a a
P 1 dx
2
2016/12/14
3a 4 a 4
2 2 x P sin dx a a
1
DUT 常葆荣
1

68.2%
11
若自由空间中的电子沿x方向的位置不确定量为x1，动量的不确定量为p1, 宽为a的一维无限深势阱中电子的位置不确定量
2 *
DUT 常葆荣 8
2016/12/14
例题
一维运动的粒子处于如下波函数所描述的状态： Axe x ( x 0) ( x) 式中>0 ( x 0) 0 （1）确定归一化常数A;（2）求粒子的概率分布函数；
（3）在何处发现粒子的概率最大？
解：(1) 由波函数的归一化条件求归一化常数，
(3)
一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度
En
n=3
3 Pn
2
n
3
2
En
1
n
E
9E
2 3 3 sin x a a
2
n=2
2
1
2
E
2
4E
1
n=1
0
2 2 E1 2ma 2 a x
0
a
2 2 2 sin x a a 2 1 sin x a a
2016/12/14
DUT 常葆荣 3
（1）U 与t 无关，写出定态薛定谔方程 2 2 d e 2 2 (x 0 x a ) U e E e e 0 d 2 U E 2m dx 2 2m dx 2 d 2 (0 x a ) E 2 2 2m dx d 2mE 0 2 2 dx 2mE 2 k （2）解方程令: 2 d2 2 ( x) A cos(kx ) k 0 2 dx （3）确定常数A、k、由波函数连续性，边界条件 x =0处
(0)= e(0)= 0 (a)= e(a)= 0
4
x =a处
2016/12/14
DUT 常葆荣
x =0处由波函数连续性，边界条件
(0)= e(0)= 0 (a)= e(a)= 0

( x) A cos(kx )
x =a处
由 (0)= Acos =0 = 2
2 n sin x ，求（1）处于第一激发态的粒 a a
（2）当n=4时，写出粒子在a/4<x< 3a/4区间内出现的
(2)
2 2 n ( x ) ( x ) ( x ) sin x a a 2 2 2 5a 3 w( x ) x 5 a / 6 sin a a 6 2a 3a 3a 2 * 2 4 4 4 ( x ) ( x )d x a sin xd x a a 4 4 a
2016/12/14
DUT 常葆荣
10
例题
一维无限深势阱中粒子的本征函数为 n ( x)
求（1）发现处于第一激发态粒子概率最大的位置；
2 n sin x ， a a
（2）在a/4<x< 3a/4区间发现基态粒子的概率。
2 2 sin x 解：（1）令 2 ( x) a a
d2 dx
A2 a 1 2
n ( x) d x 1
a 0
DUT 常葆荣
A
2 a
5
定态波函数
( 0<x <a )
考虑时间因子讨论 (1)
n ( x)
2 n sin x a a
E nt
2
n =1.2.3……

n
ne
i

2
2 n s in( x )e i 2 n t a a
d 1 dx
d 2 dx
x0
d 2 dx
d 3 dx
x0
x a
x a
16
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从
而得到反射系数 R | B 1 | 2 / | A1 | 2和透射系数 T | A 3 | 2 / | A1 | 2
( k12 k 22 ) 2 sin 2 ( k 2 a ) R 2 ( k1 k 22 ) sin 2 ( k 2 a ) 4 k12 k 22 4 k12 k 22 T 2 ( k1 k 22 ) sin 2 ( k 2 a ) 4 k12 k 22
DUT 常葆荣 14
（1）U 与t 无关，写出三个区域的定态薛定谔方程
U(x)=
U0 （0<x<a） 0 （x0, xa）
Ⅰ区
Ⅱ区 Ⅲ区
d 2 1 ( x ) 2 k 1 1( x) 0 2 dx d 2 2 ( x ) 2 k 2 2 ( x ) 0 2 dx 2 d 3(x) 2 k 1 3( x) 0 2 dx
2016/12/14
DUT 常葆荣
1
量子力学处理问题的方法
1、分析、找到粒子在势场中的势能函数U，写出薛定谔方程。 2、求解，并根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数。 3、由 2 得出粒子在不同时刻、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。 2 d2 U E 2 2m d x
I U be
S
Ub：样品和探针之间的电压
S：样品表面和针尖的距离：样品表面的平均势垒高度
2.分辨样品表面离散的原子
1.测样品表面：控制Ｓ，使I 保持恒定；电子云~1nm
3.重新排列原子
2016/12/14
DUT 常葆荣 18
2016/12/14
DUT 常葆荣
19
2016/12/14
讨论
k
2 2
U0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
B3 = 0
0
2m(E U 0 )
2
a
(1)E > U0 , k2为实数，R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2)E < U0 , k2为虚数， T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应
能量本 n =1.2.3…… 征值
En
n 2ma 2
2
能量只能取分立值，能量量子化
E1
2 2
2ma 2
基态能量驻波
(2)

n
ne
i
E nt

2 n s in( x )e i 2 n t a a
粒子的物质波在势阱内形成驻波
2016/12/14
DUT 常葆荣 6
( x ) A cos(kx

n 由 (a)= Asinka =0 ka = n k a
2
) A sin kx
n =1.2.3…… n =1.2.3……
k2
归一化条件
2016/12/14
2mE
2
n 2 2 a2
2
n 2 2 2 En 2ma 2
21
量子力学结果
2016/12/14
En=(n+1/2)hv
DUT 常葆荣
例题
一个粒子沿x方向运动，可用下列波函数描述 1 ( x) C 1 ix （1）由归一化条件确定常数C;（2）求概率密度函数
2016/12/14
DUT 常葆荣 17
(3) E<<U0 , a不太小
T e

2a
2 m (U 0 E )
穿透概率