定态一维势阱.ppt
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量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
量子力学课件(一维势阱)
例1：电子在a 1.0 10 m
2
的势阱中 .
2 h 2 15 E n2 n 3 . 77 10 eV 2 8ma 2 h 15 （近似于连续） E 2n n 7 . 54 10 eV 2 8ma
当 a 0.10nm 时, E n 75.4eV（能量分立）
§7 箱中粒子
( x)
2 nπ sin x a a
第二章 薛定谔方程
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和概率密度
2
n
n4
2 2 nπ ( x) sin x a a 2 n
16E1
n3 n2
n 1 x0
a2
9 E1
4 E1
a
x0
a2
a
E1
Ep 0
§7 箱中粒子 7.3 箱中粒子的一些性质 1
§7 箱中粒子
第二章 薛定谔方程
求出解的形式画于图中。
量子力学结果分析： （1）E>V0情况 在经典力学中，该情况的粒子 可以越过势垒运动到x>a区域，而 在量子力学中有一部分被反弹回去， I 即粒子具有波动性的具体体现。 （2）E<V0情况
V
隧道效应
V0
II
III
o
a
x
在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回， 在x<0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同 ，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿 透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特 有的现象称“隧道效应”。
所以， B 0;
ka n
n 1,2,3,
n不能取零，否则无意义。
§7 箱中粒子 因为
第二章 薛定谔方程
量子力学一维势阱
III
(x)
2
2
(U
E )
III
(x)
0
xa
方程可 简化为：
d2
dx
2
I
2 I
0
d2
dx
2
II
2 II
0
d2
dx
2
III
2 III
0
U(x)
I
II
-a 0
III a
U(x)
I
II
-a 0
III
a
1 单值，成立； 2 有限：
当x - ∞ ， ψ 有限条件要求
C2=0。
d2
(x)
2
2
[U ( x)
E ]
(x)
0
β2
势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表达， 其上旳波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
d2
dx 2
I
(x)
2
2
(U
E )
I
(x)
0
x a
d2 dx 2
II
(x)
2
2
E
II
(x)
0
a xa
d2
dx 2
(r , t) (r , t)
称波函数具有偶宇称；
(r , t) (r , t)
称波函数具有奇宇称；
（3）假如在空间反射下，
(r , t) (r , t)
则波函数没有拟定旳宇称
（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子 旳状态
（1）n = 1, 基态，
0
n
1
n
sin
17.4定态薛定谔方程的应用——一维方势阱
=0（x0 xa）
由波函数连续性，边界条件 （0）= 0 （a）= 0
Acos 0 π
(ax)
AAscionsk(kxx
π
2
)
2
A sin ka = 0
ka = n
En
n2π2 2 2ma 2
k nπ a
n = 1,2,3……
2mEn 2
kn22 π 2 a2
d x2
2mE 2
0
(0
x a)
(2)解方程
令:
d2
d x2
k 2
0
2mE 2
k2
( x) Acos(kx )
2012-12-14（20）
大连理工大学 余 虹
1
( x) Acos(kx )
(3) 确定常数A、
势阱无限深，则阱外无粒子
A2a 1
A 2
2
a
π a
a
x )e i 2 π nt ——驻波
2012-12-14（20）
大连理工大学 余 虹
3
一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度
pn n 2
En
En
n
n= 3
p3 E3 9E1
3
2 sin 3π x aa
p2
n= 2
E2 4E1
n= 1
p1
E1
π2 2 2ma2
0
ax
0
2012-12-14（20）
大连理工大学 余 虹
2
2 sin 2π x aa
1
2 sin π x aa
52_5定态、一维势阱
则薛定谔方程为
iℏ
ℏ2 ˆ H = − ∇ 2 + U (r ) 2m
∂ ˆ ψ (r , t) = H ψ (r , t) ∂t
2
ℏ2 2 ∂ψ ( r , t ) iℏ = [− ∇ + U ( r )]ψ ( r , t ) 2m ∂t 二、定态薛定谔方程 定态薛定谔方程 若作用在粒子上的势场U (r )不显含时间 t 时， 薛定谔方程可用分离变量法求特解。 薛定谔方程可用分离变量法求特解。 这相应于经典力学中粒子机械能守恒的情况。 这相应于经典力学中粒子机械能守恒的情况。
→ k = 2mE ℏ > 0 。
12
2 mE 因为 k = ℏ2
2
ka = nπ
n = 1,2,3, ⋯
n = 1, 2 , 3 , ⋯
结论：
ℏ 2π 2 2 n ∴ En = 2 2 ma
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能 结果说明粒子被束缚在势阱中， 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
ϕ ( x ) = A sin( kx + B )
ϕ ( 0 ) = A sin B = 0 代入边界条件得： 代入边界条件得： ϕ ( a ) = A sin( ka + B ) = 0
所以， 所以， B = 0;
ka = nπ
n = 1,2,3,⋯
11
n不能取零，否则无意义 不能取零，
n不能取零，否则无意义。 不能取零，否则无意义。 不能取零 除了波函数在阱内、阱外不能都为零之外， 除了波函数在阱内、阱外不能都为零之外， 还有以下原因： 还有以下原因： 从能量的意义看，可有 从能量的意义看，可有E ≥ 0， ， 但能否E 但能否 = 0呢？ 呢 在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中）， 在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中）， 由不确定关系可知，动量的不确定量应不为零 应不为零， 由不确定关系可知，动量的不确定量应不为零， 所以动量P 所以动量 > 0， → E > 0 ，
iℏ
ℏ2 ˆ H = − ∇ 2 + U (r ) 2m
∂ ˆ ψ (r , t) = H ψ (r , t) ∂t
2
ℏ2 2 ∂ψ ( r , t ) iℏ = [− ∇ + U ( r )]ψ ( r , t ) 2m ∂t 二、定态薛定谔方程 定态薛定谔方程 若作用在粒子上的势场U (r )不显含时间 t 时， 薛定谔方程可用分离变量法求特解。 薛定谔方程可用分离变量法求特解。 这相应于经典力学中粒子机械能守恒的情况。 这相应于经典力学中粒子机械能守恒的情况。
→ k = 2mE ℏ > 0 。
12
2 mE 因为 k = ℏ2
2
ka = nπ
n = 1,2,3, ⋯
n = 1, 2 , 3 , ⋯
结论：
ℏ 2π 2 2 n ∴ En = 2 2 ma
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能 结果说明粒子被束缚在势阱中， 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
ϕ ( x ) = A sin( kx + B )
ϕ ( 0 ) = A sin B = 0 代入边界条件得： 代入边界条件得： ϕ ( a ) = A sin( ka + B ) = 0
所以， 所以， B = 0;
ka = nπ
n = 1,2,3,⋯
11
n不能取零，否则无意义 不能取零，
n不能取零，否则无意义。 不能取零，否则无意义。 不能取零 除了波函数在阱内、阱外不能都为零之外， 除了波函数在阱内、阱外不能都为零之外， 还有以下原因： 还有以下原因： 从能量的意义看，可有 从能量的意义看，可有E ≥ 0， ， 但能否E 但能否 = 0呢？ 呢 在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中）， 在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中）， 由不确定关系可知，动量的不确定量应不为零 应不为零， 由不确定关系可知，动量的不确定量应不为零， 所以动量P 所以动量 > 0， → E > 0 ，
5-21-3定态、一维势阱
x2
a
0
2 a x 2 2 x 2 2x a2 a2 sin ( ) x dx (1 cos )dx 2 0 a a a a 3 2
px
2
x3 x (1 cos x ) dx 2 x cos x ( x 2 2 ) s in x 3
4
一维无限深方势阱
已知粒子所处的势场为
U ( x ) 0, U ( x ) ,
0 xa x 0, x a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称 为一维无限深方势阱。 * 其定态薛定谔方程
d ( x) U ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
12
图示:一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
( x)
4 x
4 x
E4
2
n4
3 x
E3
3 x
2
n3
2 x
2 x
2
n2
2
E2
1 x
E1
1 x
n 1
-a/2
x
a/2
-a/2
x
a/2 13
能量本征值En 对应的能量本征函数n(x) 组成完备集。 能量量子数 n 从 1至 在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一 组完备的本征函数展开,这组完备集满足正交性
期末考试安排
时间：1月8日（周五） 10:00 – 11:40 地点：第二主教学楼B101 答疑： 3 - 105 (1月6、7日全天)
答 疑 时 间 1月6日上午8:30-11:30 下午2:30-5:30 晚上6:30-9:30 1月7日上午10:00-11:30 下午2:30-5:30 晚上6:30-9:30 答疑老师
一维定态问题无限深方势阱
u(x)
2
=
2
sin 2
nπ
a a
0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
概率分布不均匀，存在概率为零的节点。 但：概率分布不随时间变化！
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(3) 束缚在势阱中的粒子的能量是量子化的
=E
E=n
π2 2
2ma2
n2 ,
平均值
∫ = E
+∞
ψ
−∞
*
(r
,
t
)
−
2
2m
∇2
+V
(r,t) ψ
(r , t )dτ
总能能算符：
Hˆ
=−
2
∇2
+V
(r,t)
pˆ 2 =
+V (r,t)
2m
2m
称为粒子的哈密顿算符。
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
含时薛定谔方程：
i
∂ψ
∂t
=
−
2
2m
∇2
+ V (r,t) ψ
(1) 粒子的位置 r
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
2
∇2 2m
+ V (r,t)ψ
【PPT】一维无限深势阱(讨论课).
2 ( x,t ) －i E( x, t ) 2 ( x,t ) p x ( x, t ) 2 2 t x 自由粒子非相对论情况下：
2 px m 2 E Ek vx 2 2m
自由粒子波函数满足的微分方程：
2 i ( x , t ) ( x , t ) 2 t 2m x 2
2 2 2 2 三维： i ( 2 2 2 ) U (r , t ) t 2m x y z
引入拉普拉斯算符： 2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
2 2 U (r , t )] (r , t ) 则有： i (r , t ) [ t 2m —薛定谔方程 它是非相对论量子力学的基本方程。
4
a 2
3
2a 3
2 a
o
a
1 2a
一维无限深势阱结论总结：
能级
En n
2
2 2
2ma 2
能量是量子化的， n =1, 2, 3, … （量子数） 存在最低能量（零点能)
E1 0 2 2ma
2 2
这是不确定关系要求的，是量子客体具有波粒二 象性这种固有属性所决定的。
n 2,6,10,
L4处的概率密度极大.
三、有限宽势垒和隧道效应
有限宽势垒
势函数
0 U（x ) { U0 x0 x0
入射
U(x)
U0
透射?
E
反射
入射能量 E <U0
Ⅰ区
1
0 Ⅱ区
2
x
经典：电子不能进入E < U的区域(因动能 0)。 量子：电子可透入势垒。 电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气。
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U(x)
* 其定态薛定谔方程
2 2m
d 2( x)
dx2
U( x)( x)
E( x)
o
ax
9
(1) 在阱外粒子势能为无穷大，满足：
2 2m
d 2 ( x)
dx2
( x)
E( x)
x 0, x a
方程的解必处处为零。 ( x) 0
所以，粒子被束缚在阱内运动。
x 0, x a
根据波函数的标准化条件，在边界上
t)
1 2
1
(
x,
t)
3 2
2
(
x,
t
)
求叠加态的概率分布。
P12
|12 ( x, t)
|2
1 4
|1(x, t)
|2
3 4
| 2(x, t)
|2
3 cos( x) sin( 2
a
a
a
x) cos[(E2 E1)t / ]
12描述的不再是定态，两定态的叠加表示粒子从一定态到另 一定态的跃迁。若第三项表示振动电偶极子的电磁辐射。电磁 波的频率正是玻尔提出的原子发光的频率。
(0) 0,(a) 0
(2) 在阱内粒子势能为零，满足：
2 2m
d 2 ( x)
dx2
E( x)
o xa
10
2 2m
d 2 ( x)
dx 2
E ( x)
o xa
在阱内的薛定谔 方程可写为：
其中
k2
2m E 2
d 2 ( x)
dx2
2mE 2
(x)
k 2 ( x)
o xa
类似于简谐振子的方程，其通解：
组完备的本征函数展开,这组完备集满足正交性
* m
(
x)
n
(
x)dx
2 a
a sin( m x ) sin( n x )dx
0
a
a
1
a
a 0
cos(m
a
n
x)
cos(m a
n
x)dx
mn
mn 0, m n
mn 1, m n
所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的本征 值、独立完整的叠加在一起。
i
1 f (t)
df (t) dt
1 (r)
[
2 2m
2
U
(r)]
(r )
3
i
1 f (t)
df (t) dt
1 (r)
[
2 2m
2
U (r)] (r)
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边 必须等于同一个常数，设为E则有：
[ 2 2 U (r)] (r) E (r)
2m
i df (t ) Ef (t ) dt
t
2m
二、定态薛定谔方程
若作用在粒子上的势场U
(r)不显含时间
t
时，
薛定谔方程可用分离变量法求特解。
这相应于经典力学中粒子机械能守恒的情况。
设 : (r, t) (r) f (t)
i (r) df (t) 2
f
(t)2 (r)
U
(r)
(r )
f
(t )
dt
2m
两边除以(r) f (t)可得
下面以一维定态为例，求解已知势场的定态薛 定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而 看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。
8
• 一维无限深方势阱
已知粒子所处的势场为
U( x) 0, U( x) ,
0 xa x 0, x a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。
在阱外势能为无穷大，在阱壁上受
极大的斥力。称为一维无限深方势 阱。
提纲
§4 薛定谔方程 • 力场中粒子的薛定谔方程 • 定态薛定谔方程
§5 一维势阱问题 分立谱 • 一维无限深方势阱
* 薛定谔方程
* 标准化条件及解的物理意义 分立谱
例2.8 叠加态的物理意义 作业：2-5; 2-6; 2-7
1
§4 薛定谔方程
一、力场中粒子的薛定谔方程 如果粒子在势场 U (r)中运动，能量 E p2 U (r)
Hˆ ( x)
2 2m
d 2 ( x)
dx2
U( x) ( x)
E ( x)
U(x) 0 0 x a
Hˆ ( x)
2 2m
d2 dx 2
(
2 x 2 2
a sin a ) 2m a2
2 sin x
aa
2 2
E1 2m a2
能级公式
En
2 2
2ma 2
n2
2 2
n 1,2,3, E1 2ma 2
a
d2 dx2
sinx )dx
a
22 a
a 0
2
a2
sin2
x
a
dx
22
a2
5. 验证不确定关系
x 2
(x
x)2
x2
2
x
a2 3
a2
2 2
a2 4
a2 (1
12
6
2
)
a2
4 2
px2
( px
px )2
px2
2
px
22
a2
a
x px 2
a
2
20
6. 基态能（有三种求法）
已知基态波函数
本征能量：
En
2 2
2ma 2
n2
n 1,2,3,
称n为量子数；n(x) 为本征态；En 为本征能量
零点能的存在
2 2
E1 2ma 2
称为基态能量
能量是量子化的，由标准化（边界）条件而来。
能级间隔
En
En1
En
2 2 (2n 1)
2ma 2
14
图示:一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
( x) Asin(kx B)
代入边界条件得：(0) Asin B 0 (a) Asin(ka B) 0
所以， B 0; ka n n 1,2,3,
n不能取零，否则无意义 11
n不能取零，否则无意义。 除了波函数在阱内、阱外不能都为零之外， 还有以下原因： 从能量的意义看，可有E 0，
(1
cos
2x )dx
a
a2 3
a2
2 2
2 x (1 cos x)dx
x3
2x cos x ( x2
2) sin x
3
a 2 x
d x
2i a x x
px
sin( )(i sin )dx
0a a
dx a
a
sin cos dx 0
0a a
a
px2
a 0
2 a
sin(x )(2
不确定关系
xp 2
取x a; p h 2a
估算得
E1
p2 2m
h2 8ma 2
2 2
2ma 2
21
实验上物理量的测量值，是各参加叠加态的可能的本征态的 本征值。可以用本征态出现的几率来计算物理量的平均值。
16
例2.8 叠加态的物理意义 (无限深势阱，坐标原点在阱中间p348)
1(x,t)
2 cos( x)e iE1t /
aa
2(x,t)
2 sin( 2 x)e iE2t /
aa
12 ( x,
[ 2 2 U (r)] (r) E (r)
2t) Hˆ (r, t) 以后我们只研究定态问题。
t
6
对量子力学做出突出贡献的科学家:
海森堡Heisenberg 德 1932 Nob 量子力学(矩阵力学)
薛定谔Schrodinger奥 1933 Nob 量子力学（波动力学）
(x) Asin( nx ),
a
n 1,2,3, 0 x a
由归一化条件 a A2 sin2( n x )dx 1
0
a
A 2 a
13
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
讨论
n ( x) 0,
x 0, x a
n(x)
2 sin( nx ),
a
a
n 1,2,3, 0 x a
4
时间部分： i df (t ) Ef (t ) dt
1 df (t ) E
f (t) dt
i
ln f (t) E t c i
f (t) Aexp( i Et)
可见E具有能量的量纲 与自由粒子波函数类比
它代表粒子的能量。
代入 (r, t) (r) f (t) 薛定谔方程的特解为
(r, t) (r) Aexp( i Et)
但能否E = 0呢？
在限定粒子的位置范围的情况下（在势阱中）， 由不确定关系可知，动量的不确定量应不为零，
所以动量P > 0， E > 0
k 2mE 0 。
12
因为
k2
2m E 2
ka n n 1,2,3,
结论：
En
2 2
2ma 2
n2
n 1,2,3,
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能 取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
n(x)
2 sin( nx ),
a
a
n 1,2,3, 0 x a
(x)
4x2
n4
4x 3x 2x
E4
E3
3x2
n3
2x2
n2
1x E1 o
E2
1 x 2