一维方势阱
16-3 一维势阱和势垒问题
]
ψ1 = A1 e + B1 e
ik1x
−ik1x
− ik 2 x
1
( x < 0)
( x > a)
U
通解: 通解
ψ 2 = A2 e
ik 2 x
1
+ B2 e
(0 ≤ x ≤ a )
U0
ψ 3 = A3 eik x + B3 e − ik x
处无反射波： 由 x > a 处无反射波： B 3 = 0 令 A1 = 1（以入射波强度为标准） 以入射波强度为标准） 由波函数的 标准条件得 O 可解得
§16-3 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中， 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题 →简化模型。 →简化模型 简化模型。 例如： 例如： 金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简化：交换动量) 简 相互碰撞 (简化：交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 无限深势阱
2 2πx p = ∫ |ψ | d x = ∫ sin dx a a 0 0
4 4 2 a a
2a πx 2 πx = ∫ sin d( ) aπ a a 0
4
a
1 πx 1 2 2 2π x = ( − sin ) π a 4 a
a
4
= 9.08 × 10 −2
0
练习： 练习
已知： 已知：
ψ = cx ( L − x )
A A2 ∞ 2 dx = ∫ dx = A arctg x − ∞ = A2π = 1 ∫∞ 1 + ix 1 + x2 − −∞
量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
一维方势阱
(2.147)
或
(2.148)
因
（2.149）
故有
(2.150)
(2.151)
式中
(2.152)
但
(2.153)
其能级图解如图2.12所示。
图2.12 能带图解
由图2.12可见，只有当 的值在1与—1之间时对应的 值才是允许的能量取值。这样一来，其能量被分割成一段一段的带状结构。在带内能量可连续取值，叫做能带，而在能带之间能量不能取值，叫做禁带。
(2.174)
此方程有限的条件是
(2.175)
此时，有
(2.176)
方程（2.176）就是著名的厄米方程，通常用级数法求解，将 展为 的幂级数来求其解。
为此，令
(2.177)
对（2.177）式，求微商，得
(2.178)
(2.179)
将式（2.177），式（2.178）与式（2.179）代入式（2.176）中，就得到展开系数c的递推关系式为
注意到
(2.117)
则式（2.116）可进一步改写为
(2.118)
同理，由式（2.113），得
(2.119)
再由式（2.118）与式（2.119）消去 ，即得
(2.120)
式中 为一正整数。
显然，方程（2.120）乃是一个超越方程，它求不出严格的解析解，只能用数值法或图解法求其近似解。下面，我们就用图解法来求其近似解。为此，令
显然，其解 就是式（2.131）的渐近解。但是由波函数在 时的有限性条件，要求波函数的指数因子只能取负号，故有
(2.172)
为了求出在整个区间都合适的解，可以将渐近解中的系数A视为 的某一个待定函数 ，即令方程（2.311）的解为
一维无限深势阱的能量
一维无限深方势阱的能量班级：姓名：学号：一维无限深方势阱的能量一、 引言：222220202()d E x d m dx d U x E x d ψ⎧-ψ=ψ<<⎪⎪⎨⎪-ψ+=ψ≥⎪ （1） （2）9/10m-020406080100120140160文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。
文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。
基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。
在中国古代，文案亦作" 文按"。
公文案卷。
《北堂书钞》卷六八引《汉杂事》:"先是公府掾多不视事，但以文案为务。
"《晋书·桓温传》:"机务不可停废，常行文按宜为限日。
" 唐戴叔伦《答崔载华》诗:"文案日成堆，愁眉拽不开。
"《资治通鉴·晋孝武帝太元十四年》:"诸曹皆得良吏以掌文按。
"《花月痕》第五一回:" 荷生觉得自己是替他掌文案。
"旧时衙门里草拟文牍、掌管档案的幕僚，其地位比一般属吏高。
《老残游记》第四回:"像你老这样抚台央出文案老爷来请进去谈谈，这面子有多大!"夏衍《秋瑾传》序幕:"将这阮财富带回衙门去，要文案给他补一份状子。
"文案音译文案英文:copywriter、copy、copywriting文案拼音:wén àn现代文案的概念:文案来源于广告行业，是"广告文案"的简称，由copy writer翻译而来。
量子力学3.2一维方势阱
sin kx(奇宇称态) 或 cos kx (偶宇称态)形式。
1、偶宇称态
2 (x) ~ cos kx
| x | a 2
1(x) A1e x
2 (x) B2 cos kx
3 (x) C2e x
xa 2
a x a
2
2
xa 2
由于这里内外解 (x)和 '(x)在 | x | a 处是连续的，
2a
0
x a x a
n 当 为偶数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有奇宇称。 n 当 为奇数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有偶宇称。
本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： U (x) U (x) 而导致的。
由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：
1 sin n (x a),
a 2a
0
x a x a
En
n222 2(2a ) 2
n222 8a 2
( n 1,2,3,...)
1 sin n x a 2a
n
(x)
1 cos n x a 2a
0
n 2,4,6 n 1,3,5,
x a x a x a
或表示 为
n(
x
)
1 a
sin n ( x a )
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
2、奇宇称态
2 (x) ~ sin kx
| x | a 2
与上类似，由连续条件可得：
k cot(ka / 2)
cot
与（2）式联立，可确定
参数 和，从而确定能
量本征值。如右图。
2
2
一维无限深方势阱中的能量本征态
一维无限深方势阱中的能量本征态1. 引言在量子力学中，一维无限深方势阱是一个经典的问题。
研究一维无限深方势阱中的能量本征态，可以帮助我们更好地理解量子力学中的基本概念和原理。
通过对这一问题的深入探讨，我们可以揭示能量本征态的性质、数学描述以及物理意义，从而为我们理解更为复杂系统的量子行为奠定基础。
2. 能量本征态的概念能量本征态是指在某一势场中，系统的波函数满足薛定谔方程，并且具有确定的能量值。
在一维无限深方势阱中，系统的势能在有限区间内为无穷大，而在无限远处为零。
在区间内，粒子的动能足够克服势能，所以能量本征态中的波函数不为零，在无穷远处趋于零。
3. 数学描述对于一维无限深方势阱，我们可以通过薛定谔方程来描述能量本征态。
薛定谔方程可以写作：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \] 其中 \( E \) 为能量本征值，\( \psi(x) \) 为能量本征态的波函数，\( m \) 为粒子的质量，\( \hbar \) 为约化普朗克常数。
在一维无限深方势阱中，我们可以通过求解该薛定谔方程得到能量本征态的波函数形式和能量值。
4. 能量本征态的求解与性质通过求解一维无限深方势阱中的薛定谔方程，我们可以得到一系列的能量本征态。
这些能量本征态之间呈现离散的能级，且能级间隔相等。
这一性质恰好符合了量子力学中的能量量子化条件，从而验证了能量本征态的物理意义。
5. 主题文字的再次提及通过以上对能量本征态的深入讨论，我们可以看到，一维无限深方势阱中的能量本征态不仅是一个重要的量子力学问题，更是我们理解量子力学基本原理的重要工具之一。
能量本征态的性质和数学描述为我们提供了在量子力学中理解和描述复杂系统的基础。
6. 总结与回顾通过本文对一维无限深方势阱中的能量本征态的全面评估，我们不仅了解了能量本征态的基本概念和数学表达，更深入地理解了能量本征态的物理意义。
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱是一个理想的物理模型，它可以帮助我们理解量子力学的基本概念。
在这个模型中，粒子被限制在一个无限深的平方势能盒子中运动，它们的能量和波函数是离散的，具有不同的量子态。
对于一维无限深方势阱，我们可以推导出力公式。
根据量子力学的基本原理，粒子在势阱中运动时，受到的力是由势能的梯度决定的。
在一维无限深方势阱中，粒子受到的力是一个恒定的值，它的大小等于势阱两侧之间的势能差。
因此，力公式可以表示为： F = -dE/dx
其中，F是受力大小，E是能量，x是位置。
这个公式告诉我们，粒子受到的力和它的能量密切相关，而且在势阱两侧之间的能量差越大，受到的力就越大。
在费米气体中，一维无限深方势阱的力公式可以应用于描述粒子之间的相互作用。
费米气体是由费米子组成的系统，如电子、质子、中子等。
在这种气体中，费米子具有反对称的波函数，遵循泡利不相容原理，因此它们不能占据同一量子态。
这种排斥力可以通过一维无限深方势阱的力公式来描述，它可以帮助我们理解费米气体的行为和性质。
总之，一维无限深方势阱的力公式可以帮助我们理解量子力学的基本概念，而在费米气体中的应用则可以帮助我们理解费米子之间的相互作用和排斥力。
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2.6一维谐振子
本节我们来讨论一维谐振子问题。若在一维空间运动的粒子，其势能为
(2.165)
式中m为粒子的质量， 为振动频率，则这种运动粒子就叫做一维谐振子，一般说来，任何一个在平衡位置附近作往返运动的粒子都可以近似地视为一维谐振子。
(2.180)
将式(2.180)代入式（2.177）中，即可求得厄米多项式形式的解。
厄米多项式有三种重要表示：
（1）级数表示：
(2.181)
式中
（2）积分表示：
(2.182)
（3）微分表示：
(2.183)
厄米多项式具有如下的性质：
（1）递推关系：
(2.184)
（2）微分性质
(2.185)
（3）正交归一性：
(2.193)
能量最低的状态叫做基态，一维谐振子处于基态（n=0）时的能量值为
(2.194)
叫做零点能量，其余的状态叫做激发态。
图2.14一维谐振子能级图
最低的三个振动能级上的谐振子波函数为
(2.195)
(2.196)
(2.197)
这三个波函数的图形如图2.15所示，相应的模仿则如图2.16所示。
图2.15一维谐振子 的波函数
(2.88)
从而求得其反射系数R与透射系数T分别为
（2.89）
（2.90）
由此可见，对于方势阱而言，即使是在E>0的情形下，一般而论，其透射系数T小于1，而反射系数R则大于零，二者之和也是等于1。
显然，在 的特定情形下，其透射系数T等于1。这种透射亦叫共振透射。此时，有
(2.91)
与之相应的能量为
(2.92)
（2.77）
（2.78）
(2.79)
式中 与 分别为粒子位于左方区间、势阱区间与右方区间中的波函数。
为方便起见，令
（2.80）
则上述三式可改写为
(2.81)
(2.82)
(2.83)
其解分别为
（2.84）
（2.85）
（2.86）
显然，C必须为零，利用 及其导数的连续性条件即可求得 与A关系为
(2.87)
（2） 的情形。
当 时， 为虚数，令
(2.154)
故只需将 用 代替即可。
(2.155)
利用
(2.156)
有
(2.157)
此时取 的极限得
(2.158)
(2.159)
（2.160）
设 ，则有
(2.161)
（2.162）
(2.163)
式中
(2.164)
由图2.13可见，只有当 的值在1与—1之间时对应的 值才是允许的能量取值，而这显然是被分割成一段一段的带状结构，在带内能量可取连续的值，在两带状之间的叫禁带，能量不能取值。
En叫做共振能级。当阱深与阱宽一定时，透射系数T与人射粒子能量E的关系如图2.7所示。
图2.7势阱的透射系数T与入射能量的关系
当粒子能量E与阱深一定时，有
(2.93)
又当入射粒子能量与阱宽一定时，透射系数是阱深U0的函数，且当满足
(2.94)
时，T=1。
（2）E<0的情形。
此时，粒子的波函数应满足的定态薛定谔方程为
由此可见，无论是 还是 ，只要是在周期场中运动，粒子的能量都取带状结构，叫做能带结构。
故能带结构是粒子在周期场中运动的特征。
图2.11所示的模型，在固体物理中叫做一维晶体的克朗尼克-彭尼模型（Kronig-Penny模型），也叫K-P模型。
这个模型在以前，只是一个理想模型。而今天它已变为现实，这应归功于江崎（Esaki）江崎等人于1970年首次提出超晶格，现在利用“分子束外延生长”技术已能制备出各种各样的超晶格和量子阱。
注意到
(2.117)
则式（2.116）可进一步改写为
(2.118)
同理，由式（2.113），得
(2.119)
再由式（2.118）与式（2.119）消去 ，即得
(2.120)
式中 为一正整数。
显然，方程（2.120）乃是一个超越方程，它求不出严格的解析解，只能用数值法或图解法求其近似解。下面，我们就用图解法来求其近似解。为此，令
(2.124)
式中
(2.125)
将式（2.123）所得到的各个能级的k2与相应的k1值代入式（2.124），即可得到与该能级相应的波函数。
图2.9表示能级，图2.10则表示前两个在记的波函数。
图2.9有限深方势阱的前几个能级图2.10基态能级与第一激发态能级波函数
由上面的讨论可知，当粒子的能量E小于零而大于—U0时，其能量值只能取一系列离散值。至于其取值的大小与多少，则完全由势阱的深度U0和宽度a决定。此时，粒子数的数波数函数 当 时，很快地趋于零，即粒子被束缚在势阱中。相应的量子态叫做束缚态，其中能量值最小的态叫做基态，其余的束缚态叫做激发态。
又由 处的连续性条件，得
(2.135)
A，B，C，D具有非零解（又叫非平庸解）的条件是，其系数行列式为零，即
(2.137)
展开并整理后得
(2.138)
或用 相除得
(2.139)
（2.140）
(2.142)
为方便起见，只讨论 的极限情形，此时，有：
(2.143)
(2.144)
(2.145)
同时，此时有
(2.121)
以及
(2.122)
可见，直线即式（2.121）与曲线式（2.122）在 内的交点即为所求的解，如图2.8所示。
图2.8有限限深方势阱能级图解
由
就有
(2.123)
将图中的直线与曲线族交点处的横坐标 的值代入上式即式（2.123）中，就求得粒子的能量值。由于与交点对应的 只取组离散值，故其能量值也只能取离散值，即在势阱中的能量值是量子化的，并把量子化的能量值叫做能级。最后，得到归一化的波函数：
的解也是周期性的，故有
下面先在第n周期 中求解式（2.129），即有
（2.130）
下面就E大于U0与E小于U0两种情形分别讨论如下：
（1） 的情形。
令
(2.131)
则式（2.130）的解为
(2.132)
同理，得在下一个周期（如第n+1个周期） 中的解为
(2.133)
由在 处的连续性条件，得
(2.134)
对于第一激发态 而言，当 时，有
按照经典力学的观点，处于第一激发态的谐振子只允许在 的区间中运动，而 的区间则属于经典禁区。但按照量子力学中关于波函数的统计解释，一维谐振子有一定的概率处于经典禁区之中，如图2.16所示。这显然是一种量子效应。
图2.16一维谐振子n=0，1，2的概率分布
至于零点能量 ，显然，这一能量是不能从振子上取走的，因为按照本质它乃是振子所固的能量。只能用减小频率 来改变振子本身的性质，才能把这种零点能量从振子上取走。不难证明，零点能量的存在乃是量子力学所特有的，它是与测不准原理共存的最小能量。与零点能量相应的振动叫做零点振动，其意义是即使当温度降低至绝对温度的零度时，谐振子也不会停止振动，故叫做零点振动，这已被实验所证实。
(2.95)
(2.96)
(2.97)
若令
(2.98)
则上面三式可改写为
(2.99)
(2.100)
(2.101)
其解分别为
(2.102)
(2.103)
(2.104)
由有限性条件可知，在左方区间为了使 有限，必须令A为零，同理，在右方区间为使 有限， 也必须为零，于是得
(2.105)
(2.106)
(2.107)
(2.174)
此方程有限的条件是
(2.175)
此时，有
(2.176)
方程（2.176）就是著名的厄米方程，通常用级数法求解，将 展为 的幂级数来求其解。
为此，令
(2.177)
对（2.177）式，求微商，得
(2.178)
(2.179)
将式（2.177），式（2.178）与式（2.179）代入式（2.176）中，就得到展开系数c的递推关系式为
2.4一维方势阱
本节我们要讨论一维方势阱问题。所谓一维方势阱指的是在一维空间中运动的微观粒子，其势能在一定的区间内，为一负值，而在此区间之外为零，即
（2.76）
其相应的势能曲线如图2.6所示
图2.6一维方势阱
下面我们就E大于与小于零的两种情形分别讨论如下：
（1）E>0的情形。
此时，描述粒子运动状态的波函数 所满足的定态薛定谔方程为
(2.186)
（4）完备性：
(2.187)
式中的展开系数为
(2.188)
由式（2.175）即可求得能量本征值En为
(2.189)
式中， 叫做振动量子数。
相应的 为
(2.190)
从而，得其波函数为
(2.191)
式中归一化常数Nn为
(2.192)
由式（2.189）可见，一维谐振子的能量也量子化的，如图2.14所示，且相邻两能级之间的间隔均为 ，即
再由连续性条件，即由
得
(2.108)
由
得
(2.109)
又由
得
(2.110)
由
得
(2.111)
由式（2.109）与式（2.108）之比，得
(2.112)
又由式（2.111）与式（2.110）之比得，
(2.113)
由式（2.112），得
(2.114)
利用公式
(2.115)
则式（2.114）可以改写为
(2.116)
(2.146)
(2.147)