一维方势阱中粒子的能量本征值
一维方势阱中粒子的能量本征值
王雅楠
赤峰学院物理与电子信息工程学院，赤峰024000
摘要：量子力学教学中一个基本的问题是用薛定谔方程处理一维方势阱中运动的粒子， 关键词：
1 一维势场中粒子的能量本征态的一般性质
设质量为m 的粒子在一维势场()V x 中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为
22
2
()()()2d Vx x E x m d x ψψ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦
（1） 在上式中，()()V x V x *
=（实数值）；E 为能量本征；()x ψ为相应的能量本征态。
以下是该方程的解，即能量本征态的一般性质：
定理一：设()x ψ施能量本征方程（１）的一个解，对应的能量本征值为E ，则()x ψ*也是方程（１）的一个解，对应的能量也是E 。
定理二：对应于能量的某个本征值E ，总可以找到方程（１）的一组实解，凡是属于E 的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。
定理三：设()V x 具有空间反射不变性，()()x V x V =-。
如()x ψ是方程（１）的对应于能量本征值E 的解，则()x ψ-也是方程（１）的对应于能量E 的解。
定理四：设()()V x Vx -=，则对应于任何一个能量本征值E ，总可以找到方程（１）的一组解（每个解都有确定的宇称），而属于能量本征值E 的任何解，都可用它们来展开。
定理五：对于()21V V -有限的阶梯形方位势12,;
(),,
V x a V x V x a <⎧=⎨
>⎩能量本征函数()x ψ及其
导数()x ψ'必定是连续的（但如果21V V -→∞，则定理不成立）。
定理六：对于一维粒子，设()1
x ψ与()2x ψ均为方程（１）的属于同一能量E
的解，
则
()()12x x ψψ'－()()21x x ψψ'＝常数（与x 无关）。
定理七：设粒子在规则势场()V x 中运动（()V x 无奇点），如存在束缚态，则必定不简并。
2 方势
方势阱是指如图所示一种理想的势能位形，当电子处在这样的一个势能的阱中时，其能量将产生量子化，即只可取一些分立的值，相应于这样的一些能量值1E , 2
E , 3
E
，…的
波函数1()x ϕ，2()x ϕ，3()x ϕ ，…的形状也将不相同。
3理论推导并计算各种一维方势阱的能量本征值
3.1理论推导并计算一维无限深方势阱的能量本征值
所谓一维无限深方势阱，就是粒子在势阱中的势能为零，而在势阱外势能等于无限大
一种情况是一维非对称无限深方势阱，即
质量为m
a
x
∞
∞
U U
()0
,0;
,0,.
x a V x x x a <<⎧=⎨
∞<>⎩
定态薛定谔方程为：
()2
22
02d E x a m d x
ψ
ψ-=<< 当0x <和x a >时，
()0x ψ=；
当0x a <<时 ，
2
222d E m d x
ψψ-= ()()()222
200d x m E x xa
d x
ψψ+=<< 令
k 代入薛定谔方程得：
()()22
2
0d x k x d x
ψψ+= 此方程的通解为：
()
s i n c o s x A k xB k x ψ=+ 由于阱壁无限高，所以()00ψ= ()0a ψ=
()()()()s i n 0c o s 00(
1)s i n c o s 0
(2)A B A a B a +=+=
由式（1）得B =0 波函数为：
()s i n x A
k x ψ= 由式（2）得：
s i n 0A k a =
于是
k a n
π= 即
()
1,2,3m E n a n π
== 由此得到粒子的能量本征值：
22
2
2
2m a
π
⎛⎫
⎪
⎭
质量为m的粒子只能在x a
<的区域内自由运动，势能函数为:
()
0,;
2
,.
2
a
x
V x
a
x
⎧
<
⎪⎪
=⎨
⎪∞≥
⎪⎩
定态薛定谔方程为：
阱外：()()
22
22
2
-
2
d
x E x
m d x
ψψ
⎡⎤
+∞=
⎢⎥
⎣⎦
阱内：()()
22
11
2
-
2
d
x E x
m d x
ψψ
=
当
2
a
x≥时，
()0
x
ψ=；
当
2
a
x<时，
22
2
2
d
E
m d x
ψ
ψ
-=
令
k
代入薛定谔方程得：
()
()
2
2
2
d x
k x
d x
ψ
ψ
+=
此方程的通解为：
()s i n c o s
x A k xB k x
ψ=+
由于阱壁无限高，所以02a ψ⎛⎫=
⎪⎝⎭ 02a ψ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
sin cos 0(1)
22sin cos 0(2)
22a a A B a a A B ⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-
解得：
s i n 02c o s 02a A k a B k ⎛⎫=
⎪⎝
⎭
⎛⎫=
⎪⎝⎭
A 和
B 不能同时为零，因此，得到两组解:
0c o s 02
0sin 02a A k a B k ⎛
⎫
==
⎪⎝
⎭
⎛
⎫==
⎪⎝
⎭
由此可解得：
,1,2,32
n
k a n π=
= 对于第一组解，n 为偶数；对于第二组解，n 为奇数。
由此可得体系的能量为：
222
2
,8n n
E n m a
π=
= 整数.
3.2理论推导并计算一维有限深方势阱的能量本征值 3.3理论推导并计算一维不对称方势阱的能量本征值
3.4理论推导并计算半壁无限高势场的能量本征值
结论
参考文献：
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注！）。
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
§2.2 方势
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrödinger 方程来处 理一类简单的问题——一维定态问题。 这样讨论的意义有： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其它基本原理；
（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论， 量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；
x a/2
, x a / 2
求粒子的能量和本征函数。
讨论
(1) 粒子的最低能量不为零
E1
2π 2
2ma 2
利用不确定性关系也可求解：
x ~ a p ~ / x a / x 则 E ~ p2 / 2m ~ (p)2 / 2m ~ 2 / 2ma 2 0
(2)波函数的对称性 当n奇数时，波函数为对称的
证明：按照假设有
ψ1
2m 2
[E
V
( x )]ψ1
0
(14)
ψ2
2m 2
[E
V
( x )]ψ 2
0
(15)
ψ1 (15) ψ2 (14) ψ1ψ2 ψ2ψ1 0
即 积分得
(ψ1ψ2 ψ2ψ1) 0 ψ1ψ2 ψ2ψ1 C
--------证毕
定理 7 设粒子在规则势场V(x)（(V(x)中无奇点)中运动，若存在
（4）一维问题是处理各种复杂问题的基础。
2.2.1 无限深方势阱， 离散谱
求解 S — 方程 分四步：
V(x)
（1）列出各势域的一维S—方程 I
II
III
（2）解方程
（3）使用波函数标准条件定解
（4）确定归一化系数
0
a
势函数
V
(
x)
量子力学_21一维势场中粒子能量本征态的一般性质
根据 V x 的性质进行讨论.
如V x是 x 的连续函数, 则 x与x 必 为 x 的连续函数.
但是如 V x不连续, 或有某种奇异性, 则 x
及其各阶导数的连续性问题需要具体分析.
定理5 对于阶梯形方位势
V (x) V1, V2 ,
xa xa
k 2 2 sh2a 4k 2 2ch2a
4k 2 2
k 2 2 sh 2 a 4k 2 2
1
1
4
V0
1
1
V0
sh 2
a
27
2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质
量量子子力学力教学程教程(第二版)
类似, 消去S, 可得出R, 而反射系数为
透射系数
R 2
k 2 2 sh2 a
对于一维粒子,则为 P x x.
如果对应于某能量 , 方程(1)的解无简并,
则解必有确定的宇称(parity).
P x x x
偶宇称解 (even parity)
P x x x
奇宇称解 (odd parity)
一维谐振子和一维对称方势阱都是具有空间反射 对称性，它们的能量本征态都有确定的宇称。
在上式中，V x V* x (实数值)
为能量本征值.
x为相应的能量本征态.
在求解能量本征方程(1)时，要根据具体物理问 题的边条件来定解．如束缚态条件, 散射态的边条件 等.
下面先对该方程的解的一般性质进行讨论．
为此先讨论其一般解有关的七条基本性质．其 中前4条, 不仅对一维问题成立, 对于三维问题也同 样适用.
!
但对于某些不规则势阱,如一维氢原
子 V x 1/ x , 除基态外,其他束缚态均
量子力学3.2一维方势阱
sin kx(奇宇称态) 或 cos kx (偶宇称态)形式。
1、偶宇称态
2 (x) ~ cos kx
| x | a 2
1(x) A1e x
2 (x) B2 cos kx
3 (x) C2e x
xa 2
a x a
2
2
xa 2
由于这里内外解 (x)和 '(x)在 | x | a 处是连续的，
2a
0
x a x a
n 当 为偶数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有奇宇称。 n 当 为奇数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有偶宇称。
本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： U (x) U (x) 而导致的。
由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：
1 sin n (x a),
a 2a
0
x a x a
En
n222 2(2a ) 2
n222 8a 2
( n 1,2,3,...)
1 sin n x a 2a
n
(x)
1 cos n x a 2a
0
n 2,4,6 n 1,3,5,
x a x a x a
或表示 为
n(
x
)
1 a
sin n ( x a )
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
2、奇宇称态
2 (x) ~ sin kx
| x | a 2
与上类似，由连续条件可得：
k cot(ka / 2)
cot
与（2）式联立，可确定
参数 和，从而确定能
量本征值。如右图。
2
2
燕山大学考研量子力学习题
0
10
+ 。在 表象， 和 表示
为微扰， ≥ ，b 表征微扰强度，试利用微扰法求 的本征值和本征态 并与严格解进行对比。（对于 > ，精确到能量二级近似和态矢一级近 似，对于 = ，精确到能量一级近似和态矢零级近似）
四十七.1. 求谐振子受到微扰作用后能量本征值的二级修正，总哈密顿量的表达式
H
H0
为小量，
n
sin
cos
,
sin
sin
,
cos
为一方向单位矢量。
使用微扰法
求能量本征值精确到二级修正和本征函数精确到一级的表达式。
五十一.
一维无限深方势阱
V
x
0
0 x a
中存在微扰
(x 0, x a)
H
x
a 2
，其中
为小量。使用微扰理论计算无限深方势阱基态能量在微扰
后精确到二级微扰的表达式。（可以使用无穷求和的表示）
sin
,
cos
为一方向单位矢量，已知
t＝0
时刻电子
1
在
z
表象中的自旋波函数为
(0)
0
，求
t
时刻的自旋波函数
(t)
（提
eB
示自旋与磁场作用的哈密顿量 H
s
B
2c
n
n）
三十九. 有一个定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁 eB
场作用，磁场 B 指向正 x 方向。磁作用势为 H s B 2c x x
三十二.求证 eA
cos
A
i
n sin
A ，其中
A
为常矢量，
n
为
量子力学专题三(一维势场中的粒子)
量子力学专题三：一维势场中的粒子一、一维薛定谔方程边界条件和处理办法（熟练掌握）1、边界条件：A、束缚态边界条件：在无穷远处，找到粒子的概率为零，相应的波函数的值应该趋近于零；B、连续性边条件：a、波函数连续；b、波函数的一阶偏导数连续。
（注意：不一定同时成立！！）C、周期性边界条件：在求解角动量l分量的本征函数时，利用周期性边界条件可以确z定本征函数的归一化常数；在求解转子的能量本征函数时，亦可以利用周期性边界条件来确定其归一化常数。
2、处理方法：A、列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解；B、根据束缚态边条件，选择适合的解；C、根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；D、写出本征函数和对应的能量本征值。
二、一维方势阱：1、一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论（熟练掌握） A 、非对称势阱： a 、解题步骤：（1）写出各个区间的能量本行方程； （2）根据写出的微分方程，求出其通解；（3）根据连续性边界条件，确定其相位及其能量本征值的取值； （4）根据概率诠释，对波函数进行归一化处理，确定待定常数； （5）写出能量本征方程和对应的能量本征值。
b 、具体过程：)0(),0(0)(a x a x x x V <<><⎩⎨⎧∞=（1）列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解； 在0<x 和a x >区间，波函数为：0)(≡x ψ在ax <<0区间，能量本征方程为：)()(2222x E x dxdm ψψ=-对其变形，得2=+''ψψk其中，mE k2=（0>E ）。
解得： )sin()(δψ+=kx A x（2）根据束缚态边条件，选择适合的解；此处的束缚态边条件，即粒子在无穷远处出现的概率为零，在求解本征方程——在0<x 和a x >区间，波函数为：0)(≡x ψ——时已经应用了！（3）根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；在0=x 处，波函数连续，有0sin )0(==δψA ，则有0=δ。
一维无限深方势阱中的能量本征态
一维无限深方势阱中的能量本征态1. 引言在量子力学中，一维无限深方势阱是一个经典的问题。
研究一维无限深方势阱中的能量本征态，可以帮助我们更好地理解量子力学中的基本概念和原理。
通过对这一问题的深入探讨，我们可以揭示能量本征态的性质、数学描述以及物理意义，从而为我们理解更为复杂系统的量子行为奠定基础。
2. 能量本征态的概念能量本征态是指在某一势场中，系统的波函数满足薛定谔方程，并且具有确定的能量值。
在一维无限深方势阱中，系统的势能在有限区间内为无穷大，而在无限远处为零。
在区间内，粒子的动能足够克服势能，所以能量本征态中的波函数不为零，在无穷远处趋于零。
3. 数学描述对于一维无限深方势阱，我们可以通过薛定谔方程来描述能量本征态。
薛定谔方程可以写作：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \] 其中 \( E \) 为能量本征值，\( \psi(x) \) 为能量本征态的波函数，\( m \) 为粒子的质量，\( \hbar \) 为约化普朗克常数。
在一维无限深方势阱中，我们可以通过求解该薛定谔方程得到能量本征态的波函数形式和能量值。
4. 能量本征态的求解与性质通过求解一维无限深方势阱中的薛定谔方程，我们可以得到一系列的能量本征态。
这些能量本征态之间呈现离散的能级，且能级间隔相等。
这一性质恰好符合了量子力学中的能量量子化条件，从而验证了能量本征态的物理意义。
5. 主题文字的再次提及通过以上对能量本征态的深入讨论，我们可以看到，一维无限深方势阱中的能量本征态不仅是一个重要的量子力学问题，更是我们理解量子力学基本原理的重要工具之一。
能量本征态的性质和数学描述为我们提供了在量子力学中理解和描述复杂系统的基础。
6. 总结与回顾通过本文对一维无限深方势阱中的能量本征态的全面评估，我们不仅了解了能量本征态的基本概念和数学表达，更深入地理解了能量本征态的物理意义。
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。
其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。
在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。
1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。
这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。
2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。
解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。
3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。
对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。
这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。
4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。
这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。
个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。
对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。
能量本征态
三、一维谐振子(4)
2
4、能量本征态（1） n d / 2 H n ( ) (1) n e e , n 0,1,2, . 因为 ( ) Ae H ( ) ， n d A 要根据 ( )的归一化条件确定，即 其中， * 2 2 ( ) ( ) d | A | H ( ) e d 1 n 1, m n n 由于 H m ( )H n ( )e d 2 n! mn mn 0, m n 得到 A An [a /( 2n n!)]1 2 a m 能量本征态 a x / 2
定态方程
2 2 [ V (r )] E (r ) E E (r ) 2m
V ( r ) 不显含t时的形式，是我们后
面讨论大多数物理问题的情况，为 方便，通常将略去 E (r ) 中的下标E。
4
简短回顾（3）
力学量算符
动量算符
动能算符
ˆ i p
ˆ T
ˆ ( r , t )dr F ( r , t ) F
粒子的波函数，满足薛定谔方程
2 2 i (r , t ) [ V (r , t )] (r , t ) t 2m
3
简短回顾（2）
V ( r )不显含t，能量 E 恒定 定态：
(r , t ) E (r )exp(iEt / )
2 1
e
a 2 x 2 / 2
E1 3 / 2 1 ( x) 2a axea x 1/ 4 E2 5 / 2 2 ( x)
1
0
/2
2 2
n
0
x
1/ 4
a 2 2 a 2 x 2 / 2 (2a x 1)e 2
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-一维势场中的粒子(圣才出品)
x)
xn
=
1
[
n2n−1 +
n
+ 2
1n+1
]
d dx
n
= [
n2n−1 −
n
+ 2
1n
+1
]
其中 =
。
2.2 课后习题详解
2.1 设粒子限制在矩形匣子中运动，即
求粒子的能量本征值和本征波函数，如 a=b=c，讨论能级的简并度。 解：在匣子内
,n
=
1，2，3,…
该本征能量表达式说明说明：并非任何 E 值所相应的波函数都满足本问题所要求的边
条件，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的（disorete）．
（2）无限深方势阱本证波函数
归一化波函数表示为
2．有限深对称方势阱 设
a 为阱宽，V0 为势阱高度．以下讨论束缚态（0＜E＜V0）情况． 束缚态能量本征函数（不简并）必具有确定宇称，因此只能取 sinkx 或 coskx 形式． （1）偶宇称态．
E
=
En
=
(n +
1)h, n 2
=
0,1, 2,…
此即谐振子的能量本征值．可以看出，谐振子的能级是均匀分布的，相邻的两条能级
的间距为 ．
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2.一维谐振子本征波函数
一维谐振子波函数常用的关系式如下
n
=
− 1 2 x2
2．势阱中的束缚态 要求束缚能量本征态（不简并）具有确定字称．以下分别讨论． （1）偶宇称态 归一化的束缚能量本征态波函数可表示为（取 C 为实数）
一维有限深方势阱能量本征值的推导过程
一维有限深方势阱能量本征值的推导过程好吧，今天我们来聊聊一维有限深方势阱的能量本征值，听起来有点高深，但别担心，我会尽量让它变得简单有趣。
想象一下你在一个很大的游乐场，四周围着高高的围墙，只有一个小门能进出。
这就是我们的势阱，里面的小子可以尽情玩耍，但出不去，真是像被困在了“笼子”里。
好啦，势阱的高度就是这围墙的高度，势阱的深度就是游乐场的“深度”。
这个“深度”可不是说人掉进去就会淹死，而是说在这个区域内，粒子能量的状态会发生变化。
像我们的小子，如果他的能量低于围墙的高度，那他就只能在这个游乐场里转悠。
想象一下，你有个小朋友，他拼命想往外跑，可是墙太高了，根本出不去。
他只能在里面玩各种游戏。
那么这个游乐场里有多少个不同的游戏呢？这就要说到能量本征值了。
每一个能量状态都对应着一个游戏，越高的能量对应着越刺激的游戏。
粒子在这个势阱里，就像个小孩子，能量越高，玩得越欢。
能量低的时候，玩得不开心，越过围墙根本不可能。
简单来说，能量本征值就是粒子在这个势阱里“玩”的规则和限制。
说到这里，咱们就得动手算一算了，别担心，这个算式并不复杂。
想象你在算一个简单的数学题。
我们用一个数学模型来描述这个势阱，叫做薛定谔方程。
听起来像个高深的名词，但其实就是一个公式，让你知道在这个“游乐场”里，粒子的行为如何。
我们把这个势阱的边界设定为某个值，这样粒子就只能在这个范围内活动。
计算的过程有点像拼图，边边角角都得对上。
你能得到一些特定的能量值，嘿，这就是本征值，像是每个游戏的入场券。
哇，终于到了关键时刻。
算出来的结果像是一个个数字的密码，每个数字背后都有一个小故事。
比如，第一个能量本征值就像你在游乐场里第一个能玩的游戏，简单但充满乐趣；第二个能量本征值就像升级了，难度加大，但挑战更刺激。
你会发现，随着能量的增加，粒子能“玩”的游戏越来越多，仿佛整个游乐场的乐趣都被打开了。
但别以为这就完事了，咱们还得考虑势阱的深度。
越深的势阱，粒子“玩”的方式也会不同。