一维无线深方势阱
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2-6 一维无限深方势阱
0 ~ a 上的连续函数，都可以用正弦函数(35)来展开。
从细节上讲， 傅里叶级数是对周期函数进行展开， 所用的三角函数也是定义在无穷区间 上的周期函数。 比如， 已知函数 f x 在 0 ~ a 上的定义， 先将 f x 作奇延拓， 即在 a ~ 0 上，定义 f x f x ，然后将函数以 2a 为周期延拓到整个实轴上。因为是奇函数， 所以傅里叶级数中只出现正弦，基波周期为 2a 。这里我们只关注势阱内部分，将 f x 用 本征函数组(35)展开。当然，也可以对 f x 作偶延拓，再作周期性延拓，这样会得到余弦 级数；或者直接以 a 为周期作周期性延拓，得到标准形式的傅里叶级数，此时基波的周期为
通常把正交性和归一性合并为
ψn x ψm x dx 0
(29)
称本征函数组 ψ n x , n 1, 2, (4) 本征函数组
n
ψn x ψm x dx nm
(30)
是正交归一的。
ψ x , n 1, 2, 是完备的。也就是说，任何在势阱内的连续函数
i
Ent
, x a
(36)
利用欧拉公式，可以将其改写为指数形式
n x, t C1 exp x Ent C2 exp x Ent , x a (37) 2a 2a
1 nπ sin x , ψn x a 2a 0,
势阱宽度仍为 2a ，可以做参数替换 a 为
0 x 2a x 0, x 2a
(33)
a 将势阱宽度变为 a ，此时能级和能量本征函数变 2
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
163一维势阱和势垒问题
mn
0,
mn mn
克罗内克符号
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的方形势垒
数学形式：
U
(
x)
0,
U 0 ,
图形形式：
x 0(P区),x a(S区) 0 x a(Q区)
U
考虑粒子的动能 E小于势垒高
U0
度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
PQ S
o ax
U (x) 0, x 0和x a
1
(0 x a)
(x 0及x a)
2
势阱内 0 < x < a
d 2 1
dx2
2E
2
1
0
势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2
d x2
2E
2
0
E是粒子的总能量，E > 0，令 k
定态薛定谔方程变为
d 2
一维无限深方势阱的图形表达形式 ：
∞∞
U(x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一 维无限深方势阱。
0
ax
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
2
2
2
U
(r)
(r )
E
(r )
————定态薛定谔方程
①列出各区域的定态薛定谔方程
若在样品与针尖之间
加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势
垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
0,
mn mn
克罗内克符号
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的方形势垒
数学形式：
U
(
x)
0,
U 0 ,
图形形式：
x 0(P区),x a(S区) 0 x a(Q区)
U
考虑粒子的动能 E小于势垒高
U0
度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
PQ S
o ax
U (x) 0, x 0和x a
1
(0 x a)
(x 0及x a)
2
势阱内 0 < x < a
d 2 1
dx2
2E
2
1
0
势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2
d x2
2E
2
0
E是粒子的总能量，E > 0，令 k
定态薛定谔方程变为
d 2
一维无限深方势阱的图形表达形式 ：
∞∞
U(x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一 维无限深方势阱。
0
ax
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
2
2
2
U
(r)
(r )
E
(r )
————定态薛定谔方程
①列出各区域的定态薛定谔方程
若在样品与针尖之间
加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势
垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
2.6一维无限深势阱
2 2
O
a
x
第二章 波函数和薛定谔方程
2/33
Quantum mechanics
2
§2.6 一维无限深势阱
d 2 E 0, (a x a) U 0 , (| x | a) 2 2 dx U ( x) 2 2 d 0, (| x | a) ( E U ) 0, ( x a , x a ) 0 2 dx 2 2 (U 0 E ) 1/ 2 2 E 1/ 2 令： （ 2 ) , [ ] 2
第二章 波函数和薛定谔方程
4/33
Quantum mechanics
§2.6 一维无限深势阱
A sin( x ),(| x | a) 1 x x Be ,( x a), Ce ,( x a) 当x=±a处波函数连续可得: ctg( a ) ,( x a) ctg( a ) ,( x a)
Quantum mechanics
§2.9 例题
例1,设一维无限深方势阱宽度为a,求处于基态的 粒子的动量分布(P39). U(x) 0,(0 x a) 解：U ( x) ,( x 0),( x a)
2 d 2 ( x) E ( x) 0, (0 x a) 2 2 dx ( x) 0, (0 x, x a)
d ctg( x ),(| x | a) dx ,( x a), ,( x a) 0, ctg a , / 2, tg a ,
a A sin a Be ,( x a) A sin x,(| x | a) 0, 0, x a x A sin a Ce ,( x a) Be ,( x a), Ce ,( x a)
O
a
x
第二章 波函数和薛定谔方程
2/33
Quantum mechanics
2
§2.6 一维无限深势阱
d 2 E 0, (a x a) U 0 , (| x | a) 2 2 dx U ( x) 2 2 d 0, (| x | a) ( E U ) 0, ( x a , x a ) 0 2 dx 2 2 (U 0 E ) 1/ 2 2 E 1/ 2 令： （ 2 ) , [ ] 2
第二章 波函数和薛定谔方程
4/33
Quantum mechanics
§2.6 一维无限深势阱
A sin( x ),(| x | a) 1 x x Be ,( x a), Ce ,( x a) 当x=±a处波函数连续可得: ctg( a ) ,( x a) ctg( a ) ,( x a)
Quantum mechanics
§2.9 例题
例1,设一维无限深方势阱宽度为a,求处于基态的 粒子的动量分布(P39). U(x) 0,(0 x a) 解：U ( x) ,( x 0),( x a)
2 d 2 ( x) E ( x) 0, (0 x a) 2 2 dx ( x) 0, (0 x, x a)
d ctg( x ),(| x | a) dx ,( x a), ,( x a) 0, ctg a , / 2, tg a ,
a A sin a Be ,( x a) A sin x,(| x | a) 0, 0, x a x A sin a Ce ,( x a) Be ,( x a), Ce ,( x a)
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
§2-3 薛定谔方程
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
量子力学3.2一维方势阱
且必有确定的宇称，因此2 x只能取
sin kx(奇宇称态) 或 cos kx (偶宇称态)形式。
1、偶宇称态
2 (x) ~ cos kx
| x | a 2
1(x) A1e x
2 (x) B2 cos kx
3 (x) C2e x
xa 2
a x a
2
2
xa 2
由于这里内外解 (x)和 '(x)在 | x | a 处是连续的，
2a
0
x a x a
n 当 为偶数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有奇宇称。 n 当 为奇数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有偶宇称。
本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： U (x) U (x) 而导致的。
由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：
1 sin n (x a),
a 2a
0
x a x a
En
n222 2(2a ) 2
n222 8a 2
( n 1,2,3,...)
1 sin n x a 2a
n
(x)
1 cos n x a 2a
0
n 2,4,6 n 1,3,5,
x a x a x a
或表示 为
n(
x
)
1 a
sin n ( x a )
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
2、奇宇称态
2 (x) ~ sin kx
| x | a 2
与上类似，由连续条件可得：
k cot(ka / 2)
cot
与（2）式联立，可确定
参数 和，从而确定能
量本征值。如右图。
2
2
sin kx(奇宇称态) 或 cos kx (偶宇称态)形式。
1、偶宇称态
2 (x) ~ cos kx
| x | a 2
1(x) A1e x
2 (x) B2 cos kx
3 (x) C2e x
xa 2
a x a
2
2
xa 2
由于这里内外解 (x)和 '(x)在 | x | a 处是连续的，
2a
0
x a x a
n 当 为偶数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有奇宇称。 n 当 为奇数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有偶宇称。
本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： U (x) U (x) 而导致的。
由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：
1 sin n (x a),
a 2a
0
x a x a
En
n222 2(2a ) 2
n222 8a 2
( n 1,2,3,...)
1 sin n x a 2a
n
(x)
1 cos n x a 2a
0
n 2,4,6 n 1,3,5,
x a x a x a
或表示 为
n(
x
)
1 a
sin n ( x a )
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
2、奇宇称态
2 (x) ~ sin kx
| x | a 2
与上类似，由连续条件可得：
k cot(ka / 2)
cot
与（2）式联立，可确定
参数 和，从而确定能
量本征值。如右图。
2
2
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱是一个理想的物理模型，它可以帮助我们理解量子力学的基本概念。
在这个模型中，粒子被限制在一个无限深的平方势能盒子中运动，它们的能量和波函数是离散的，具有不同的量子态。
对于一维无限深方势阱，我们可以推导出力公式。
根据量子力学的基本原理，粒子在势阱中运动时，受到的力是由势能的梯度决定的。
在一维无限深方势阱中，粒子受到的力是一个恒定的值，它的大小等于势阱两侧之间的势能差。
因此，力公式可以表示为： F = -dE/dx
其中，F是受力大小，E是能量，x是位置。
这个公式告诉我们，粒子受到的力和它的能量密切相关，而且在势阱两侧之间的能量差越大，受到的力就越大。
在费米气体中，一维无限深方势阱的力公式可以应用于描述粒子之间的相互作用。
费米气体是由费米子组成的系统，如电子、质子、中子等。
在这种气体中，费米子具有反对称的波函数，遵循泡利不相容原理，因此它们不能占据同一量子态。
这种排斥力可以通过一维无限深方势阱的力公式来描述，它可以帮助我们理解费米气体的行为和性质。
总之，一维无限深方势阱的力公式可以帮助我们理解量子力学的基本概念，而在费米气体中的应用则可以帮助我们理解费米子之间的相互作用和排斥力。
一维无线深方势阱
En
8 a 2
cos 0 sina 0
II . cos 0 2
由（3）式
则 sin 1
cos a 0
cos(a ) sin 0 ( 3 )
1
a ( n 2 )
( n 1 )
2 a
(n 0,1,2, )
所以
于是波
E
n
2 2
2
2
2
( n 1 ) 2
2 a
( 2n1)2 22 8 a 2
ψ(-a) = ψ(a) = 0。
则解为：
I 0, II A sin(x ), III 0.
使用标准条件 3。连续：
1）波函数连续：
I 0,
II
A sin( x ),
III 0.
V(x)
I (a) II (a) Asin(a ) 0,
I
II
III
II (a) III (a)
§1 一维无限深势阱 §2 线性谐振子 §3 一维势散射问题
§1 一维无限深势阱
l （一）一维运动 l （二）一维无限深势阱 l （三）宇称 l （四）讨论
（一） 一维运动
当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其
Schrodinger 方程为：
Hˆ [ 2 2 V ( x, y, z)] ( x, y, z) E ( x, y, z) 2
Asin(a )0 Asin(a )0
Asin(a )cos Asin(a )cos
Acos(a )sin Acos(a )sin
0
0
(1) (2)
(1)+(2)
cos(a ) sin 0 ( 3 )
(2)-(1)
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势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示，
其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
d2
dx2
I
(x)
2
2
(V
2
E)
I
(x)
0
x a
d2
dx2
II
(x)
2
2
E
II
2 (x)
0
a x a
d2 dx2
III
(x)
2
2
(V
E)
III
(x)
0
xa
§2.7 一维定态问题
l 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理 一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四：
l （1）有助于具体理解已学过的基本原理； l （2）有助于进一步阐明其他基本原理；
l（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子 体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； l （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。
-
Asin(a )0 Asin(a )0
Asin(a )cos Asin(a )cos
Acos(a )sin Acos(a )sin
0
0
(1) (2)
(1)+(2)
cos(a ) sin 0 ( 3)
(2)-(1)
sin(a ) cos 0 (4)
§1 一维无限深势阱 §2 线性谐振子 §3 一维势散射问题
-
§1 一维无限深势阱 l （一）一维运动 l （二）一维无限深势阱 l （三）宇称 l （四）讨论
-
（一） 一维运动
当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其
Schrodinger 方程为：
H ˆ [ 2 2 V (x ,y ,z )] (x ,y ,z ) E(x ,y ,z ) 2
ψ(-a) = ψ(a) = 0。
-
则解为：
I 0, II A sin(x ), III 0.
使用标准条件 3。连续：
1）波函数连续：
I 0, II A sin( x ), III 0.
V(x)
I ( a )I( Ia ) A s ia n ) 0 ( , I
等式两 （ x ,边 y ,z)除 X (x )Y 以 (y)Z (z)
X 1 2 2 d d 2 2 X x V 1 ( x ) Y 1 2 2 d d 2 2 Y y V 2 ( y ) Z 1 2 2 d d 2 2 Z z V 3 ( z ) E
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
[ 2 dy 2 V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y )
II
III
I( a I ) I( a I )I A si a n ) 0 .(
• 2）波函数导数连续：
-a 0 a
l
在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是
因为：
l
若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ)
l
与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛
| x|a
I
II
III
-a 0 a
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
-
（1）列出各势域的 S — 方程
2
2
ddx22(x)V(x)(x)
E(x)
ddx22(x)22 [V(x)E](x)0
(x,
y,
z)
设 V ( x ,y ,： z ) V 1 ( x ) V 2 ( y ) V 3 ( z )
令 ( x ,y ： ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
2 2 d d 2 2 d d x 2 2 d d y 2 2 X ( z x ) Y ( y ) Z ( z ) V 1 ( x ) V 2 ( y ) V 3 ( z ) ( x ,y ,z ) E ( x ,y ,z ) Y 2 2 Z d d 2 2 X x V 1 ( x ) X 2 2 d Z d 2 2 Y y V 2 ( y ) X 2 2 d Y d 2 2 Z z V 3 ( z ) E ( x , y , z )
方程可 简化为：
d dx
2 2
I
2
II
2
II
0
d dx
2 2
III
2
III
0
-
V(x)
I
II
-a 0
III a
V(x)
I
II
-a 0
III
a
1。单值，成立； 2。有限：当x
-∞ ， ψ 有限条件要求
C2=0。
d dx
2 2
I
2
I
0
d dx
2 2
II
2
2 d 2
[ 2 dz 2 V3 ( z )] Z ( z ) E z Z ( z )
-
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)
E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：
所谓一维运 动就是指在 某一方向上 的运动。
2
2
2
V
(x,
y,
z)
(x,
y,
z)
E
II
0
d dx
2 2
III
2 III
0
I II
C1e x C2e x
Asin(x )
III B1e x B2ex
（3）使用波函数标准条件
I C1ex
2
2
2 (VE)
I (a) l i m C1ea 0
所 以 I 0
同理： III0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是
2 d 2
[
2
dx 2
V1 ( x )] X ( x )
Ex X (x)
2 d 2
[
2
dy 2
V2 ( y )]Y ( y )
E yY ( y )
2 d 2
[
2
dz 2
V3 ( z )] Z ( z )
Ez Z (z)
其中
-
EExEyEz
（二）一维无限深势阱
V(x)
0, |x|a
V(x)