量子力学§3.2一维方势阱
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量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
一维方势阱
(2.146)
(2.147)
或
(2.148)
因
（2.149）
故有
(2.150)
(2.151)
式中
(2.152)
但
(2.153)
其能级图解如图2.12所示。
图2.12 能带图解
由图2.12可见，只有当 的值在1与—1之间时对应的 值才是允许的能量取值。这样一来，其能量被分割成一段一段的带状结构。在带内能量可连续取值，叫做能带，而在能带之间能量不能取值，叫做禁带。
(2.174)
此方程有限的条件是
(2.175)
此时，有
(2.176)
方程（2.176）就是著名的厄米方程，通常用级数法求解，将 展为 的幂级数来求其解。
为此，令
(2.177)
对（2.177）式，求微商，得
(2.178)
(2.179)
将式（2.177），式（2.178）与式（2.179）代入式（2.176）中，就得到展开系数c的递推关系式为
注意到
(2.117)
则式（2.116）可进一步改写为
(2.118)
同理，由式（2.113），得
(2.119)
再由式（2.118）与式（2.119）消去 ，即得
(2.120)
式中 为一正整数。
显然，方程（2.120）乃是一个超越方程，它求不出严格的解析解，只能用数值法或图解法求其近似解。下面，我们就用图解法来求其近似解。为此，令
显然，其解 就是式（2.131）的渐近解。但是由波函数在 时的有限性条件，要求波函数的指数因子只能取负号，故有
(2.172)
为了求出在整个区间都合适的解，可以将渐近解中的系数A视为 的某一个待定函数 ，即令方程（2.311）的解为
(2.147)
或
(2.148)
因
（2.149）
故有
(2.150)
(2.151)
式中
(2.152)
但
(2.153)
其能级图解如图2.12所示。
图2.12 能带图解
由图2.12可见，只有当 的值在1与—1之间时对应的 值才是允许的能量取值。这样一来，其能量被分割成一段一段的带状结构。在带内能量可连续取值，叫做能带，而在能带之间能量不能取值，叫做禁带。
(2.174)
此方程有限的条件是
(2.175)
此时，有
(2.176)
方程（2.176）就是著名的厄米方程，通常用级数法求解，将 展为 的幂级数来求其解。
为此，令
(2.177)
对（2.177）式，求微商，得
(2.178)
(2.179)
将式（2.177），式（2.178）与式（2.179）代入式（2.176）中，就得到展开系数c的递推关系式为
注意到
(2.117)
则式（2.116）可进一步改写为
(2.118)
同理，由式（2.113），得
(2.119)
再由式（2.118）与式（2.119）消去 ，即得
(2.120)
式中 为一正整数。
显然，方程（2.120）乃是一个超越方程，它求不出严格的解析解，只能用数值法或图解法求其近似解。下面，我们就用图解法来求其近似解。为此，令
显然，其解 就是式（2.131）的渐近解。但是由波函数在 时的有限性条件，要求波函数的指数因子只能取负号，故有
(2.172)
为了求出在整个区间都合适的解，可以将渐近解中的系数A视为 的某一个待定函数 ，即令方程（2.311）的解为
2020高中物理竞赛-量子力学-波函数：一维方势阱(共24张PPT)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
➢ 思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
结论:无论Ua^2取何值,都有解(见下一页图)
一维方势阱偶宇称能谱图
§2.4 一维方势阱
b)奇宇称 波函数为sin(kx)
结论:当
时才有解(见下一页图)
一维方势阱奇宇称能谱图
§2.4 一维方势阱
c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱的特例
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
2020高中物理学 奥林匹克竞赛
量子力学 （基础版）
§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱§2.来自 一维方势阱➢ 一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱
一维方势阱波函数图象
一维方势阱波函数图象
§2.4 一维方势阱
➢ 思考题:
• 将势能为零的区间放大或者缩小一倍(分是足 够缓慢的变还是突变两种情况)时,波函数和能 级怎么变?
• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
§2.4 一维方势阱
a)偶宇称 波函数为 cos(kx)
关键:用
在
连续以代替波函数
以及导数的连续.好处在于去掉波函数中常数的影响
§2.4 一维方势阱
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
§2-3 薛定谔方程
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
一维方势阱
只有当超晶格被人工制备出来以后，K-P模型才变成了现实，即现在已真正有了这种空间周期结构的人工材料了。
2.6一维谐振子
本节我们来讨论一维谐振子问题。若在一维空间运动的粒子，其势能为
(2.165)
式中m为粒子的质量， 为振动频率，则这种运动粒子就叫做一维谐振子，一般说来，任何一个在平衡位置附近作往返运动的粒子都可以近似地视为一维谐振子。
(2.180)
将式(2.180)代入式（2.177）中，即可求得厄米多项式形式的解。
厄米多项式有三种重要表示：
（1）级数表示：
(2.181)
式中
（2）积分表示：
(2.182)
（3）微分表示：
(2.183)
厄米多项式具有如下的性质：
（1）递推关系：
(2.184)
（2）微分性质
(2.185)
（3）正交归一性：
(2.193)
能量最低的状态叫做基态，一维谐振子处于基态（n=0）时的能量值为
(2.194)
叫做零点能量，其余的状态叫做激发态。
图2.14一维谐振子能级图
最低的三个振动能级上的谐振子波函数为
(2.195)
(2.196)
(2.197)
这三个波函数的图形如图2.15所示，相应的模仿则如图2.16所示。
图2.15一维谐振子 的波函数
(2.88)
从而求得其反射系数R与透射系数T分别为
（2.89）
（2.90）
由此可见，对于方势阱而言，即使是在E>0的情形下，一般而论，其透射系数T小于1，而反射系数R则大于零，二者之和也是等于1。
显然，在 的特定情形下，其透射系数T等于1。这种透射亦叫共振透射。此时，有
(2.91)
2.6一维谐振子
本节我们来讨论一维谐振子问题。若在一维空间运动的粒子，其势能为
(2.165)
式中m为粒子的质量， 为振动频率，则这种运动粒子就叫做一维谐振子，一般说来，任何一个在平衡位置附近作往返运动的粒子都可以近似地视为一维谐振子。
(2.180)
将式(2.180)代入式（2.177）中，即可求得厄米多项式形式的解。
厄米多项式有三种重要表示：
（1）级数表示：
(2.181)
式中
（2）积分表示：
(2.182)
（3）微分表示：
(2.183)
厄米多项式具有如下的性质：
（1）递推关系：
(2.184)
（2）微分性质
(2.185)
（3）正交归一性：
(2.193)
能量最低的状态叫做基态，一维谐振子处于基态（n=0）时的能量值为
(2.194)
叫做零点能量，其余的状态叫做激发态。
图2.14一维谐振子能级图
最低的三个振动能级上的谐振子波函数为
(2.195)
(2.196)
(2.197)
这三个波函数的图形如图2.15所示，相应的模仿则如图2.16所示。
图2.15一维谐振子 的波函数
(2.88)
从而求得其反射系数R与透射系数T分别为
（2.89）
（2.90）
由此可见，对于方势阱而言，即使是在E>0的情形下，一般而论，其透射系数T小于1，而反射系数R则大于零，二者之和也是等于1。
显然，在 的特定情形下，其透射系数T等于1。这种透射亦叫共振透射。此时，有
(2.91)
量子力学§3.2一维方势阱
ka a ， 2 2
ctg
2V0 a 2
2 2 2
2 2 2V0 a 2 / 2 2 / 4
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 8 8 a
半壁无限深方势阱存在束缚定态。
为束缚态，相应于第二条
tan 线，第一条线仍存 2 在）。 V0 a 继续增大，则将出现更多激发态。
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
a 2、奇宇称态 2 ( x) ~ sin kx | x | 2 与上类似，由连续条件可得： k cot(ka / 2) cot
a为阱宽，V0为阱深。
V(x)
V0 V0
E
-a/2 0
a/2
势的特点：空间反射对称
x
讨论束缚态，即0 E V0
写出分区定态方程
在阱外(经典禁介区)
d2 2 1 2 (V0 E ) 1 0 2 dx (1)
在阱内(经典允许区)
d 2 E 2 2 2 0 2 dx
阱外
V ( x) ( x 0 x a)
定态薛定谔方程 阱外：
2 d 2 2 dx 2 2 ( x) E 2 ( x)
d ( x ) E ( x ) 1 1 2 dx 2
2 2
阱内：
根据波函数的统计解释 阱外
2 ( x) 0
令
2
2 (V0 E )
2 E k
1 '' k 1 0
(0 x a)
2 '' 2 0
2
x a
ctg
2V0 a 2
2 2 2
2 2 2V0 a 2 / 2 2 / 4
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 8 8 a
半壁无限深方势阱存在束缚定态。
为束缚态，相应于第二条
tan 线，第一条线仍存 2 在）。 V0 a 继续增大，则将出现更多激发态。
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
a 2、奇宇称态 2 ( x) ~ sin kx | x | 2 与上类似，由连续条件可得： k cot(ka / 2) cot
a为阱宽，V0为阱深。
V(x)
V0 V0
E
-a/2 0
a/2
势的特点：空间反射对称
x
讨论束缚态，即0 E V0
写出分区定态方程
在阱外(经典禁介区)
d2 2 1 2 (V0 E ) 1 0 2 dx (1)
在阱内(经典允许区)
d 2 E 2 2 2 0 2 dx
阱外
V ( x) ( x 0 x a)
定态薛定谔方程 阱外：
2 d 2 2 dx 2 2 ( x) E 2 ( x)
d ( x ) E ( x ) 1 1 2 dx 2
2 2
阱内：
根据波函数的统计解释 阱外
2 ( x) 0
令
2
2 (V0 E )
2 E k
1 '' k 1 0
(0 x a)
2 '' 2 0
2
x a
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱是一个理想的物理模型，它可以帮助我们理解量子力学的基本概念。
在这个模型中，粒子被限制在一个无限深的平方势能盒子中运动，它们的能量和波函数是离散的，具有不同的量子态。
对于一维无限深方势阱，我们可以推导出力公式。
根据量子力学的基本原理，粒子在势阱中运动时，受到的力是由势能的梯度决定的。
在一维无限深方势阱中，粒子受到的力是一个恒定的值，它的大小等于势阱两侧之间的势能差。
因此，力公式可以表示为： F = -dE/dx
其中，F是受力大小，E是能量，x是位置。
这个公式告诉我们，粒子受到的力和它的能量密切相关，而且在势阱两侧之间的能量差越大，受到的力就越大。
在费米气体中，一维无限深方势阱的力公式可以应用于描述粒子之间的相互作用。
费米气体是由费米子组成的系统，如电子、质子、中子等。
在这种气体中，费米子具有反对称的波函数，遵循泡利不相容原理，因此它们不能占据同一量子态。
这种排斥力可以通过一维无限深方势阱的力公式来描述，它可以帮助我们理解费米气体的行为和性质。
总之，一维无限深方势阱的力公式可以帮助我们理解量子力学的基本概念，而在费米气体中的应用则可以帮助我们理解费米子之间的相互作用和排斥力。
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ka k tan 2
令
ka a ， 2 2
tan
V0 a 2 2
2 2 2
2 (V0 E )
2 E , k
以上两式是 和所满足的超越方程组， 可用数值计算或图解法求解。 结果如右图所示：
在右图中，数值V0 a 2 给定，曲线（1）（ , 2） 的交点给出，的解， 由此求出E，
与（2）式联立，可确定 参数 和，从而确定能 量本征值。如右图。
V0 a 2 2
2 2
2
对奇宇称态则不同，只当
V0 a / 2 / 4
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 2 2 a 才可能出现最低的奇宇称能级。
x a, x 0
阱内
2 d 2 (x) E (x) 2 2 dx
(为了方便将波函数脚标去掉)
•令
k2
2 E 2
2 E k= 2
将方程写成 •通解
( x) k 2 (x) 0
(x) A sin kx B cos kx
式中 A 和 B 是待定系数
x a x a
1 n sin x n 2,4,6 2a a n 1 n (x) cos x n 1,3,5, 2a a 0
x a x a
x a
或表示 为
n 1 sin (xa) 2a n( x ) a 0
2 2
ⅲ本征函数系
( x) A sin kx
n x， 0 xa An sin n a x 0, x a 0
由归一化条件确定常数 A
( x)
0
a
*
( x)dx 1
2 An a
•本征函数 定态波函数
2 nπ (x) sin x n a a
a x 2 a a x 2 2 a x 2
有限性：
A2=0，C1=0。
考虑到空间反射不变性，即V ( x) V ( x)，
按照上节定理，其束缚态能量E的本征函数不简并，
且必有确定的宇称，因此 2 x 只能取
sin kx(奇宇称态) 或 cos kx (偶宇称态)形式。
2
n4
3 x
2 x
3 x
2
n3
E3
E2
2 x
2
n2
2 a
1 2a
1 x
E1
2 1 x
n1
o
a
o
a
对于不同的量子数，在阱 内某一特定的点，粒子出 现的概率是不同的。
2 Ψn | | n很大
n 时，
量子经典
En 0
a
平均效应明显
每个可能的值叫能量本征值，束缚态粒子能量取值分立 (能级 概念)。 能量量子化。 体系最低能量的态称为基态。其他态称为激发态。 基态能量不为零——量子效应，
2 2
（2）、当n 趋于无穷时,能量趋于连续（对应原理）。
能量是分立的，相邻能级间距：
(2n 1) 2 2 En En1 En 2 a 2
x a x a
当
n 为偶数时， n ( x) n ( x)
，即 n ( x) 具有奇宇称。
当 n 为奇数时， n ( x) n ( x) ，即 n ( x) 具有偶宇称。
本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： U ( x) U ( x) 而导致的。
由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：
பைடு நூலகம்
阱外
V ( x) ( x 0 x a)
定态薛定谔方程 阱外：
2 d 2 2 dx 2 2 ( x) E 2 ( x)
d ( x ) E ( x ) 1 1 2 dx 2
2 2
阱内：
根据波函数的统计解释 阱外
2 ( x) 0
符合玻尔对应原理
0, x a 3、若势阱为 ： V ( x) , x a
1 n sin ( x a ), n ( x) a 2a 0
n 2 2 2 n 2 2 2 En 2 2(2a ) 8a 2
( n 1,2,3,...)
Asin ka 0
B已经为零了 即 A≠0 要求 A不能再为零了
只能sin ka 等于零
ka nπ
(k 0)
nπ k (n 1,2,3,) a 2 2 由上式 n π 2 mE 2 n 但 k＝ 2 2 a
π 2 n (n 1,2,3,) 故能量可能值 En 2 2 a
ka a ， 2 2
ctg
2V0 a 2
2 2 2
2 2 2V0 a 2 / 2 2 / 4
2 2 2 2 2 即 V0 a ，或 V0 时 2 8 8 a
半壁无限深方势阱存在束缚定态。
i En t
( n 1,2,3,)
考虑到振动因子
e
n x,t n
i Ent ( x)e
2 nπ sin x a a
i Ent e
( n 1,2,3,)
薛定谔方程的一般解：......
讨论 1、能量
（1）、能量量子化
π 2 En n (n 1,2,3,) 2 2 a
第一、确定粒子势能表达式（有的问题直接给出）；
第二、写出定态薛定谔方程，引入参数，把方程化为 标准的微分方程，写出通解； 第三、利用波函数满足的标准条件（单值、有限、 连续），求能量本征值和本征函数。 第四、利用波函数的归一化条件，将波函数归一化。
二、一维有限深方势阱
0 | x | a / 2 V ( x) V0 | x | a / 2
2
(2)
令
2 (V0 E )
2 E k
方程(1)、（2）变为
1 '' 1 0
2
2 ' 'k 2 0
2
x x ( x ) A e A e 1 1 2 2 ( x) B1 sin kx B2 cos kx x x ( x ) C e C e 3 1 2
令
2
2 (V0 E )
2 E k
1 '' k 1 0
(0 x a)
2 '' 2 0
2
x a
0 xa xa
1 ( x) A1sinkx+A2coskx x x ( x ) B e B e 2 1 2
V0→∞时，结果与无限深势阱的奇宇称态能量一致。
三、一维半壁无限高方势阱
讨论束缚态，即0 E V0
( x) 0
d2 2 E 1 2 1 0 2 dx (0 x a)
x 0
d 2 2 2 (V0 E ) 2 0 2 dx
2
（x a)
波函数的连续性。
x 0 , (0) 1 (0) 0
1 ( x) A1 sin kx
波函数的有限性。
2 ( x ) B 2e
x
1 ( x) A1 sin kx
2 ( x ) B 2e x
kctgka
x a时 1 (a) 2 (a) ( a) 1(a) 2
即 n 0 的点且除去两端点） ； n 有 n 个极大值，两极大值之间有一零点， 共 n 1 个零点。
波函数与横轴相交次数（不含两端）称为节点数，显然为n-1
（2）、一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
( x)
4 x
E4
a 4 2
2a 3 3
4 x
tan
V0 a 2 2
2 2 2
由图可见，对偶宇称态，无论V0 a 的值多 么小 （ , 1） (2)方程组至少有一个根，即至少存 在一偶宇称的束缚态（基态） .
2
当V0 a 增大，使 ，
2 2 2 2
不仅会出现偶宇称的基态， 还会出现其第一激发态（仍
为束缚态，相应于第二条
tan 线，第一条线仍存 2 在）。 V0 a 继续增大，则将出现更多激发态。
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
a 2、奇宇称态 2 ( x) ~ sin kx | x | 2 与上类似，由连续条件可得： k cot(ka / 2) cot
a为阱宽，V0为阱深。
V(x)
V0 V0
E
-a/2 0
a/2
势的特点：空间反射对称
x
讨论束缚态，即0 E V0
写出分区定态方程
在阱外(经典禁介区)
d2 2 1 2 (V0 E ) 1 0 2 dx (1)
在阱内(经典允许区)
d 2 E 2 2 2 0 2 dx
§3.2一维方势阱
求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解
（4）定归一化系数
一、一维无限深方势阱
V(x)
粒子在阱内自由运动
V→∞
V→∞
不能到阱外 势函数
E
0
V=0 a
x
阱内
V ( x) 0
( 0 x a)
由波函数标准条件和边界条件定特解
通解是
(x) A sin kx B cos kx