薛定谔方程一维势阱
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量子力学-第二章-一维势阱
3
时间依赖薛定谔方程
根据能量守恒和时间演化，推导出薛定谔方程。
薛定谔方程的解析解
无限深势阱
假设粒子被限制在一个 无限深的势阱中，无法 逃逸。
波函数的边界条件
在势阱的边界处，波函 数必须满足特定的边界 条件。
波函数的对称性
在势阱中，波函数可能 具有对称或反对称的性 质。
薛定谔方程的数值解
有限差分法
含时薛定谔方程的一维势阱模型
含时薛定谔方程是一维势阱模型中描述粒子动态行为的方 程。该方程包含了时间依赖的势能项，可以描述粒子在时 间演化过程中受到的外部作用力。
含时薛定谔方程的解可以用来研究粒子在一维势阱中的动 态行为，例如粒子在受到激光脉冲作用时的运动轨迹和能 量变化。通过求解含时薛定谔方程，可以深入了解粒子在 一维势阱中的动力学性质。
01
将薛定谔方程转化为差分方程，通过迭代求解。
网格化方法
02
将连续的空间离散化为有限个网格点，对每个网格点上的波函
数进行求解。
量子隧穿效应
03
当势阱深度较小时，粒子有一定的概率隧穿势垒，从势阱中逃
逸。
03
一维势阱中的粒子行为
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
粒子在无限深势阱中的行为
时间依赖的一维势阱模型
时间依赖的一维势阱模型描述了粒子在一维空间中受到随时 间变化的势能作用的情况。这种模型可以用来研究粒子在时 间依赖的外部场中的动态行为，例如粒子在激光场中的运动 。
时间依赖的一维势阱模型需要求解含时薛定谔方程，该方程 描述了粒子在时间演化过程中的波函数变化。通过求解含时 薛定谔方程，可以了解粒子在时间依赖的势阱中的动态行为 。
量子力学2.6一维无限深势阱
2008.5
Quantum Mechanics
a、偶宇称态 由于这里内外解
(
2 (x)
x)和 '(
~ cos kx
x)在 | x | a
| x | a 2
处是连续的，
2
更方便的方法是取 ' 连续或 (ln )' 连续。
因此在x
a 处，有 2
ln(cos
kx)
' x a
2
ln(
ex
)
' x
a
，得
2
k tan ka
2
（5）
在x a 处，结果同上。 2
2008.5
Quantum Mechanics
令 则(5)式化为
ka， a
2
2
tan
（6）
（7）
由
2m(V0
E)
,
k
2mE
有
2mV0 2k 2
再利用(6)式,有
2
2
mV0 a 2 2 2
2008.5
(8)
2008.5
Quantum Mechanics
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E ) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
2008.5
Quantum Mechanics
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
2008.5
Quantum Mechanics
量子力学中的薛定谔方程及其求解
量子力学中的薛定谔方程及其求解量子力学是研究微观粒子行为的重要理论，其核心是薛定谔方程。
薛定谔方程描述了量子体系中粒子的波函数以及随时间演化的规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本原理，并讨论一些常见的求解方法。
一、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是波动方程，描述了量子体系中粒子的行为。
它的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = Hψ其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ是粒子的波函数，t 是时间，H是哈密顿算符。
薛定谔方程的左边代表了波函数随时间变化的导数，右边代表了粒子在量子力学描述下的总能量。
通过求解这个方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而揭示粒子的行为。
二、薛定谔方程的求解方法求解薛定谔方程是量子力学中的关键问题，涉及到很多数学方法和物理概念。
下面介绍几种常见的求解方法。
1. 一维自由粒子的求解方法对于一维自由粒子，其哈密顿算符可以简化为动能算符，即H = -ħ^2/2m * ∂^2/∂x^2。
将这个算符代入薛定谔方程，可以得到一维自由粒子的薛定谔方程为：iħ∂ψ/∂t = -ħ^2/2m * ∂^2ψ/∂x^2这是一个简单的偏微分方程，可以通过分离变量法求解。
假设波函数可以分解为时间部分和空间部分的乘积，即ψ(x, t) = φ(x) * χ(t)，代入薛定谔方程后可以分离变量，得到两个独立的常微分方程。
分别求解这两个方程，再将它们的解合并，即可得到一维自由粒子的波函数。
2. 一维势阱的求解方法一维势阱是限制粒子运动在有限空间内的一种势场。
在势阱中，波函数的形式将受到势场的影响。
求解一维势阱的薛定谔方程需要考虑势场对波函数的贡献。
对于势阱中的波函数，只有在势阱内部才能存在。
在势阱内部，薛定谔方程的形式与自由粒子类似，但是边界条件会影响波函数的形式。
边界条件一般为波函数在势阱边界处连续且导数连续。
通过求解这个边界问题，可以得到一维势阱中的波函数。
3. 二维和三维量子体系的求解方法对于二维和三维的量子体系，薛定谔方程将变为偏微分方程。
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
§2-3 薛定谔方程
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
薛定谔方程的应用
aa
n 1,2,3...0 x a
待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中完 全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。
5
2 、方程解的物理意义
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
1)处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。
这是因为在阱壁处（即 x=0,x=a处）其Ψ(x)=0 ，只能是 波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两端 来回反射,必定形成德布罗意驻波。
2) 最低能量 (零点能) ——波动性
22
E1 2ma2 0
9
n 不能取 0 ，如 n=0 ，则意味着Ψ（ x ）＝ 0 ，即在方 势阱中到处找不到粒子,这显然是没有意义的。
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
n ＝ 1 时，称基态能级（零点能）。基态能不为零，是经典
物理不能解释的。
3) 能级间距
E
En1
En
(2n 1)
2 2
2ma 2
(2n 1)E1
可看出，能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。
对于微观粒子,若限制在原子尺度内运动时，ћ2~ma2，即阱宽 很小时，则能量的量子化是很显著的,因此必须考虑粒子的量子 性;
但即使是微观粒子，若其在自由空间运动 (相当于阱宽无穷
大) ，其能级间距就非常小,则可认为能量的变化是连续的;
一、一维无限深势阱
1 、一维无限深势阱薛定谔方程
U(x)
U(x)
1 ）势函数
0
a
x
阱内: （0＜x＜a) U x 0
阱外: (x<0 & x>a) U x
n 1,2,3...0 x a
待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中完 全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。
5
2 、方程解的物理意义
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
1)处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。
这是因为在阱壁处（即 x=0,x=a处）其Ψ(x)=0 ，只能是 波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两端 来回反射,必定形成德布罗意驻波。
2) 最低能量 (零点能) ——波动性
22
E1 2ma2 0
9
n 不能取 0 ，如 n=0 ，则意味着Ψ（ x ）＝ 0 ，即在方 势阱中到处找不到粒子,这显然是没有意义的。
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
n ＝ 1 时，称基态能级（零点能）。基态能不为零，是经典
物理不能解释的。
3) 能级间距
E
En1
En
(2n 1)
2 2
2ma 2
(2n 1)E1
可看出，能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。
对于微观粒子,若限制在原子尺度内运动时，ћ2~ma2，即阱宽 很小时，则能量的量子化是很显著的,因此必须考虑粒子的量子 性;
但即使是微观粒子，若其在自由空间运动 (相当于阱宽无穷
大) ，其能级间距就非常小,则可认为能量的变化是连续的;
一、一维无限深势阱
1 、一维无限深势阱薛定谔方程
U(x)
U(x)
1 ）势函数
0
a
x
阱内: （0＜x＜a) U x 0
阱外: (x<0 & x>a) U x
波函数薛定谔方程一维无限深势阱
En
En1
En
(2n 1)
h2 8ma 2
En En
2n 1 n2
n
En 0 En
能量可认为是连续的。经典物理可以看成是量子物
理在量子数n时的极限。
*五、一维方势垒 隧道效应
设想一维方势垒如图。一粒子处于 x < 0 的区域内，其
能量小于势垒高度Ep0。
经典物理：粒子不可能越过势垒进入 x>0 的区域。
15-8波函数 薛定锷方程一维无限深势阱
仙女座
背景 二十世纪20~30年代，经过德布罗意、薛定
谔、海森堡、玻恩、狄拉克等科学家的努力，建立 了描述微观粒子运动规律的量子力学。
德布罗意
海森伯
狄拉克
波恩
一、物质波波函数
微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述 其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。 波函数记作Ψ ( x, y, z, t )，常用复数形式来表示!
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
Ψ(x,y, z, t) Aei A: 称为该复数的模 θ : 称为该复数的幅角
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
y(
x,
t
)
Acos(2t x2xt
00
)
也可用复数形式来表示：
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
现的概率为：dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx ③ 粒子在全空间出现的概率为1，即：
Ψ(x,y, z, t)2dv 1 （归一化条件） 对于一维： Ψ(x,y, z, t) 2 dx 1
定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子
2 d E ,0 x a 2 2 d x 2
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
6-波函数 薛定谔方程 一维无限深势阱
P. 18 / 33 .
即：对非自由粒子
d 2
dx 2
8 2m
h2 (E
E p )
0
称为一维定态薛定谔方程。
三维定态薛定谔方程：
2
8 2m
h2
(E
E p )
0
其中， 2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
称为拉普拉斯算符。
薛定谔 (Erwin Schrödinger， 1887-1961) 奥 地利著名理论 物理学家，量 子力学的重要奠基人，同 时在固体比热、统计热力 学、原子光谱及镭的放射 性等方面的研究都有很大 成就。1933年与物理学家 狄拉克共同荣获诺贝尔物 理学奖。薛定谔还是现代 分子生物学的奠基人。
量子物作理者：杨§茂波田函数Of薛fic定eX谔p方版程 一维无限深势阱
P. 19 / 33 .
三、一维无限深势阱
设：一粒子被约束在 (o, a) 一维空间，其势能函数为
0 (0 x a)
E p ( x 0或 x a)
ψ(x) (0 x a)
0 (x 0或 x a)
概率密度w ＝|Ψ ( x, y, z, t ) |2 粒子在 dv 空间出现的概率： dG = |Ψ ( x, y, z, t ) |2dv
量子物作理者：杨§茂波田函数Off薛ic定eX谔p 方版程 一维无限深势阱
P. 8 / 33 .
若粒子只出现在一维空间，则其在 x～x+dx 空间出
现的概率为： dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx
d 2
dx 2
( i2
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已知粒子所处的势场为：V (x) 0, 0 x a V (x) , x 0, x a
粒子在势阱内受力为零，势能为零。
在阱外势能为无穷大，在阱壁上受
V (x)
极大的斥力。称为一维无限深势阱。
其定态薛定谔方程：
2 2m
d 2(x)
dx2
V (x)(x)
E ( x)
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o ax
对势场中三维运动的粒子
2 ( 2 2 2 ) V (x, y, z,t) i
2m x2 y2 z2
t
引入拉普拉斯算符：2 2 2 2 则有 x2 y2 z2
2 2 V (x, y, z,t) i
2m
t
再引入哈密顿算符：H
2
2
V (x,
y, z,t)
则有
2m
H
i
一般的薛定谔方程
隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏。
探针
因为隧道电流对针尖与样品 间的距离十分敏感。控制针尖高 度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
2m
dt
两边除以(r) f (t)可得：
1 (r)
[
2 2m
2 (r)
V
(r) (r)]
i
1 f (t)
df (t) dt
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式 两边必须等于同一个常数，设为E则有：
[ 2 2 V (r)] (r) E (r)
II
III
（2）E<V0情况
oa x
在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回，
在x<0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同
，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿
透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特
有的现象称“隧道效应”。
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
隧道效应和扫描隧道显微镜STM
1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和 罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质 来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象， 为此获得1986年诺贝尔物理奖。
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局 限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变 为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约 为1nm。
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于 他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作， 使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的 最显著的特点之一。
薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933 年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。
(x) Asin(nx), n 1,2,3,
a
由归一化条件 a Asin2 ( n x )dx 1 A 2
0
a
a
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
一维无限深方势阱中运动的粒子其定态波函数：
n (x) 0,
x 0, x a
n (x)
Asin( nx ),n
量子力学的处理方法
（1）已知粒子的m，势能函数V，即可给出薛定谔 方程
（2）由给定的初、边值条件，求出波函数
（3）由波函数给出不同地点、时刻粒子的几率 密度||2
下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
11.8 一维无限深方势阱
1、以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛 定谔方程的自然结果。
a
1,2,3,
0 xa
称 n为量子数；n(x) 为本征态；En 为本征能量。
讨论
1、存在最小能级
E1
2 2
2ma 2
，称为基态能量。
2、能量是量子化的。
3、能级间隔：En
En1
En
2 2 (2n 1)
2ma 2
当续的n ，能量, 可En视/ E为连2续/ n变化0。能级分布可视为连
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家。
1926年建立了以薛定谔方程为 基础的波动力学,并建立了量子力 学的近似方法。
量子力学建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等价 的理论—矩阵力学和波动力学。
相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程。
薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
例：电子在 a 1.0 102 m 的一维无限深势阱中
En
n2
h2 8ma 2
n2 3.77 1015 eV
E
2n
h2 8ma2
n 7.54 1015eV
（近似于连续）
若 a 0.10nm，同理可得
E n75.4eV （能量分立）
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dx2
x)
k
23
(
x)
0,
xa
d
22 (
dx2
x)
k12
2
(
x)
0,
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0 xa
薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波和反射 波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只
有透射波。粒子在 x 0 处的几率要大于在 x a 处
量（动量、能量等）。
（4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非相对 论关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
2、单能自由粒子（沿x方向匀速运动）的薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数
分别对时间和位置坐标求偏导数得：
(1887—1961)
在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年， 薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，建立 了势场中微观粒子的微分方程，并提出了一系列理论 体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。
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薛定谔方程 一维势阱
t
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
4、 定态薛定谔方程（即V(x,y,z)是不随时间变化）
若作用在粒子上的势场不显含时间 t ，在经典 力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，可用分离 变量法求薛定谔方程的特解。
设 : (r,t) (r) f (t)
2
f (t)2(r) V (r)(r) f (t) i(r) df (t)
(r,t) (r)Aexp( i Et) （定态波函数）
对应的几率密度与时间无关。即：
(r,t) (r,t) (r)(r)
处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在
空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测 量值的几率分布和平均值都不随时间变化。
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薛定谔方程 一维势阱
第十一章 量子物理学基础
第十一章 量子物理学基础
2、 势垒贯穿（隧道效应）
V
V (x) 0, x 0, x a
V0
V (x) V0 , 0 x a
在经典力学中,若粒子的动能 E V0 , 它只能在 I 区中运动。 在量子物理学中其定态薛定谔方程为：
I II III
Oa x
2 2m
d
21 ( x)
dx2
E1 ( x),
第十一章 量子物理学基础
求出解的形式如图
V V0
I
II
III
oa x
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第十一章 量子物理学基础
量子力学结果分析：
（1）E>V0情况
V
在经典力学中，该情况的粒子
V0
可以越过势垒运动到x>a区域，而
在量子力学中有一部分被反弹回去，
即粒子具有波动性的具体体现。 I
隧道效应
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第十一章 量子物理学基础
在阱外粒子势能为无穷大，满足：
2 2m
d 2(x)
dx2
(x)
E ( x)
x 0, x a
方程的解必处处为零： (x) 0 x 0, x a
根据波函数的标准化条件，在边界上 (0) 0,(a) 0
粒子被束缚在阱内运动。 在阱内粒子势能为零，满足：
x0
2 2m
d
22 (x)
dx2
V02 (x)
E 2
(x),Leabharlann 2 2md23 (x)
dx2
E 3 ( x),
xa
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0 xa
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第十一章 量子物理学基础
令：
k
2
2mE 2
k12
2m(V0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
d
21(
dx2
x)
k
21 (
x)
0,
x0
d
2 3 (
2m
2
(r)
2m 2
(
E
V
)
(r)
粒子在势阱内受力为零，势能为零。
在阱外势能为无穷大，在阱壁上受
V (x)
极大的斥力。称为一维无限深势阱。
其定态薛定谔方程：
2 2m
d 2(x)
dx2
V (x)(x)
E ( x)
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o ax
对势场中三维运动的粒子
2 ( 2 2 2 ) V (x, y, z,t) i
2m x2 y2 z2
t
引入拉普拉斯算符：2 2 2 2 则有 x2 y2 z2
2 2 V (x, y, z,t) i
2m
t
再引入哈密顿算符：H
2
2
V (x,
y, z,t)
则有
2m
H
i
一般的薛定谔方程
隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏。
探针
因为隧道电流对针尖与样品 间的距离十分敏感。控制针尖高 度不变，通过隧道电流的变化可 得到表面态密度的分布；
2m
dt
两边除以(r) f (t)可得：
1 (r)
[
2 2m
2 (r)
V
(r) (r)]
i
1 f (t)
df (t) dt
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第十一章 量子物理学基础
由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式 两边必须等于同一个常数，设为E则有：
[ 2 2 V (r)] (r) E (r)
II
III
（2）E<V0情况
oa x
在经典力学中，该情况的粒子将完全被势垒挡回，
在x<0的区域内运动；而在量子力学中结果却完全不同
，此时，虽然粒子被势垒反射回来，但它们仍有粒子穿
透势垒运动到势垒里面去，所以我们将这种量子力学特
有的现象称“隧道效应”。
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第十一章 量子物理学基础
隧道效应和扫描隧道显微镜STM
1981年在IBM公司瑞士苏黎士实验室工作的宾尼希和 罗雷尔利用针尖与表面间的隧道电流随间距变化的性质 来探测表面的结构，获得了实空间的原子级分辨图象， 为此获得1986年诺贝尔物理奖。
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局 限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变 为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约 为1nm。
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第十一章 量子物理学基础
薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于 他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作， 使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的 最显著的特点之一。
薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933 年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。
(x) Asin(nx), n 1,2,3,
a
由归一化条件 a Asin2 ( n x )dx 1 A 2
0
a
a
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第十一章 量子物理学基础
一维无限深方势阱中运动的粒子其定态波函数：
n (x) 0,
x 0, x a
n (x)
Asin( nx ),n
量子力学的处理方法
（1）已知粒子的m，势能函数V，即可给出薛定谔 方程
（2）由给定的初、边值条件，求出波函数
（3）由波函数给出不同地点、时刻粒子的几率 密度||2
下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程
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第十一章 量子物理学基础
11.8 一维无限深方势阱
1、以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛 定谔方程的自然结果。
a
1,2,3,
0 xa
称 n为量子数；n(x) 为本征态；En 为本征能量。
讨论
1、存在最小能级
E1
2 2
2ma 2
，称为基态能量。
2、能量是量子化的。
3、能级间隔：En
En1
En
2 2 (2n 1)
2ma 2
当续的n ，能量, 可En视/ E为连2续/ n变化0。能级分布可视为连
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第十一章 量子物理学基础
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家。
1926年建立了以薛定谔方程为 基础的波动力学,并建立了量子力 学的近似方法。
量子力学建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等价 的理论—矩阵力学和波动力学。
相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程。
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第十一章 量子物理学基础
例：电子在 a 1.0 102 m 的一维无限深势阱中
En
n2
h2 8ma 2
n2 3.77 1015 eV
E
2n
h2 8ma2
n 7.54 1015eV
（近似于连续）
若 a 0.10nm，同理可得
E n75.4eV （能量分立）
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dx2
x)
k
23
(
x)
0,
xa
d
22 (
dx2
x)
k12
2
(
x)
0,
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0 xa
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第十一章 量子物理学基础
若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波和反射 波；粒子从I区经过II区穿过势垒到III 区，在III区只
有透射波。粒子在 x 0 处的几率要大于在 x a 处
量（动量、能量等）。
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2、单能自由粒子（沿x方向匀速运动）的薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数
分别对时间和位置坐标求偏导数得：
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在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年， 薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，建立 了势场中微观粒子的微分方程，并提出了一系列理论 体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。
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t
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第十一章 量子物理学基础
4、 定态薛定谔方程（即V(x,y,z)是不随时间变化）
若作用在粒子上的势场不显含时间 t ，在经典 力学中这相应于粒子机械能守恒的情况，可用分离 变量法求薛定谔方程的特解。
设 : (r,t) (r) f (t)
2
f (t)2(r) V (r)(r) f (t) i(r) df (t)
(r,t) (r)Aexp( i Et) （定态波函数）
对应的几率密度与时间无关。即：
(r,t) (r,t) (r)(r)
处于定态下的粒子具有确定的能量E、粒子在
空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测 量值的几率分布和平均值都不随时间变化。
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2、 势垒贯穿（隧道效应）
V
V (x) 0, x 0, x a
V0
V (x) V0 , 0 x a
在经典力学中,若粒子的动能 E V0 , 它只能在 I 区中运动。 在量子物理学中其定态薛定谔方程为：
I II III
Oa x
2 2m
d
21 ( x)
dx2
E1 ( x),
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求出解的形式如图
V V0
I
II
III
oa x
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量子力学结果分析：
（1）E>V0情况
V
在经典力学中，该情况的粒子
V0
可以越过势垒运动到x>a区域，而
在量子力学中有一部分被反弹回去，
即粒子具有波动性的具体体现。 I
隧道效应
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在阱外粒子势能为无穷大，满足：
2 2m
d 2(x)
dx2
(x)
E ( x)
x 0, x a
方程的解必处处为零： (x) 0 x 0, x a
根据波函数的标准化条件，在边界上 (0) 0,(a) 0
粒子被束缚在阱内运动。 在阱内粒子势能为零，满足：
x0
2 2m
d
22 (x)
dx2
V02 (x)
E 2
(x),Leabharlann 2 2md23 (x)
dx2
E 3 ( x),
xa
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令：
k
2
2mE 2
k12
2m(V0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
d
21(
dx2
x)
k
21 (
x)
0,
x0
d
2 3 (
2m
2
(r)
2m 2
(
E
V
)
(r)