第二章 一维定态问题
量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
量子力学补充2-一维势阱
由式（1）得 B = 0 波函数为： (x) Asin kx
由式（2）得 Asin ka 0 于是
ka n , k n a(n 1, 2,3)
即: k 2mE n a
由此得到粒子的能量 En
En
22
( 2ma 2
)n2 ,
n 1, 2, 3
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖 之间加一微小电 压Ub电子就会穿 过电极间的势垒 形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电 流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样 品表面的起伏。
o
n 4,E E4
n 3,E E3 n 2,E E2 n 1,E E1 ax
7
与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
n(x)
n
A sin( a
x)
(0 x a)
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
n (x) 2dx
0a A2
sin2 (n
a
x)dx
A2
a 2
1
得到 A 2 a
最后得到薛定谔方程的解为：
n(x)
2 sin( n x)
aa
(0 x a)
8
讨论
1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分 立值，即能量是量子化的。能量量子化是微观 世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可 取连续的任意值。电子(m=9.1×10-31千克)在宽 为a=10Å的势阱中运动，有En=0.38n2eV,
量子力学课件03一维定态问题
范围内有 n 个节点（即有 n 个 x 点使 u (x ) = 0，不包括边界点或∞远）。
n
i
基态无节点（当然处处不为零的波函数没 有这性质，如 e imφ (它是简并的)，同样， 多体波函数由于反对称性，而可能无这性质） （4）在无穷大位势处的边条件：根据坐标空 间的自然条件，波函数应单值，连续，平方可积， 现先证明位势若有有限大小间断时，波函 数的导数仍连续。由方程
tan δ = 0 ⇒ sin δ = 0.
所以，
B→0
⎧ A sin kx x < 0 u(x) = ⎨ x>0 ⎩ 0
于是，当 V0 → ∞ , 方程有解
这表明，在无穷大的位势处，波函数为0， 边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导 数的连续性。当然，概率密度和概率通量矢总 是连续的。
§3.2 隧穿效应和扫描隧穿显微镜 (1)阶梯位势：讨论最简单的定态问题
h d (− + V(x))u1 (x) = E1u1 (x) （1） 2m dx 2
2 2
h d (− + V(x))u 2 (x) = E2u 2 (x) （2） 2 2m dx
u * × (1) − u 1 × ( 2) * 2
2
2
h ′′ − (u* (x)u1 (x) − u1 (x)u′′* (x)) = (E1 − E2 )u* (x)u1 (x) 2 2 2 2m
x<0
得解
⎧ Be −Κx + Ce Κx ⎪ u(x) = ⎨ ⎪ A sin(kx + δ ) ⎩ x>0 x<0
要求波函数有界，所以C＝0，
要求波函数 x=0 处连续，且导数连续
A sin δ = B kA cos δ = −ΚB
98799§2[1].1一维定态(讲稿)
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第二章 一维定态问题§ 2.1 一维定态的一般性质 § 2.2 方势阱 一、 无限深方势阱 二、 有限深对称方势阱 § 2.3 一维散射问题 § 2.4 δ 势一、δ 势阱中的束缚态二、δ 势垒的穿透（自学） § 2.5 一维谐振子 一、 本征方程 二、 级数解法 三、 本征值和本征波函数第二章作业 教材P80 ~ 82：3、4、5、6、12粒子在一维势)(x V 中运动，不含时薛定格方程为)()(ˆx E x Hψψ= )(2ˆ22x V dxd m H +-= 一般分为两类问题：（1）给定)(x V ，求E 和ψ―结构问题； （2）给定)(x V 和E ，求ψ―散射问题。
§ 2.1一维定态的一般性质 共6条性质。
性质1、当)(x V 为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。
证明：分能级无简并和有简并两种情况 （1）能级无简并对应能级E ，只有一个独立的本征波函数。
设 )(x ψ为与E 对应的本征波函数)()(ˆx E x Hψψ= 取复共轭，因)()(*x V x V =，则)()(ˆ**x E x Hψψ= )(*x ψ也是与E 对应的本征波函数。
因无简并，则αψψψψψi e C x C x C x x C x ====)()()()()(2***可取0=α，即)(x ψ可取为实函数。
（2）能级有简并对应能级E ，有两个或两个以上独立的本征波函数。
例如，氢原子能级： eV 16.132nE n -=，波函数：)(r slm nlmψ， 简并度：22n f =设集合 )}({x i ψ为与E 对应的本征波函数 f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ ==ψψ 取共轭得f i x E x H ii ,,2,1),()(ˆ** ==ψψ 集合 )}({*x i ψ 也是与E 对应的本征波函数。
只要)}({x i ψ中有一个波函数，例如j ψ不是实函数，那么就可用实函数 )(*j j ψψ+或 )]([*j j i ψψ--来取代j ψ，最后总能组合成一组实函数。
一维定态问题无限深方势阱
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
Spherical coordinates
(r,θ ,ϕ )
x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ
r = x2 + y2 + z2
θ = arccos
z
x2 + y2 + z2
ϕ = arctan y
x
§2.5 力学量的平均值、算符表示—算符表示
角动量算符 Lˆ= r × pˆ 在球坐标系中的三个分量为
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
粒子在外场 V(r)中运动，体系的
定态薛定谔方程：
−
2
2m
∇2
+
V
(r)
u (r)=Eu (r)
求解该方程，可以得到体系的波函数和能量E。
例如：粒子束缚在一维无限深方势阱中
波函数 能量
u(x)
=
2 sin nπ x , a a,
0
En
=
π2 2
则V(r, t)的平均值为：
∫ ∫ +∞
= V (r,t) = V (r,t)ρ (r,t)dτ
+∞
ψ
*
(r
,
t
)V
(r
2.6 一维定态问题
§2.6 一维定态问题一．一维定态波函数的一般性质对一维定态问题，薛定谔方程为定理一：设是方程的一个解，对应能量为E,则也是方程的一个解，对应能量也为E。
证明：，对方程两边取复共轭，利用满足相同的方程，对应的能量都是E。
定理二：设具有空间反射不变性，即，如为方程的一个解，对应能量为E；则也为方程的一个解，对应能量也是E。
定理三：当时，如无简并，方程的解有确定的宇称。
即偶宇称：，或奇宇称：。
证明：因为和都是能量E的解，二者应表示同样的状态。
因此应只差一常数。
，则所以，，，。
二．一维无限深势阱，，，，令，方程的解为：，利用边界条件：得：，即：，，（时，，无物理意义）, 对应的波函数为：。
利用归一化条件： , 得：，归一化后的波函数为：。
束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。
基态：体系能量最低的态。
三．一维线性谐振子一维线性谐振子的势能为，体系的薛定谔方程为，进行如下变量代换：，，薛定谔方程变为：，变系数二级常微分方程。
，方程变为，解为，时，有限，将写成如下形式：，带入原方程将H按展成幂级数，时，有限,要求幂级数只有有限项。
级数只有有限项的条件是：，线性谐振子的能级为：，线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为。
零点能：，。
厄密多项式：递推公式: (1)（2）（3）（4）对应的波函数为：，归一化常数：四．势垒贯穿；薛定谔方程为，，(a)时令，方程变为：，，在区域，波函数：在区域，波函数：在区域，波函数：对投射波，不应有向左传播的波，即：。
利用波函数及微商在和的连续条件，我们有:::,解方程组：利用几率流密度公式：得出入射波、透射波、反射波的几率流密度入射波几率流密度：透射波几率流密度：反射波几率流密度：投射系数：反射系数：(b) 时令，方程变为：，方程的解形式为：利用边界条件得：其中双曲正弦函数，双曲余弦函数投射系数：隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
按经典力学：，如，则动能为负。
专题讲座2-一维问题
专题讲座2一维问题一、自由粒子问题自由粒子（处处()0V x =）。
在经典理论中它意味着等速运动，但是在量子力学中这个问题相当微妙。
定态薛定谔方程为: 222,2d E m dxψψ-=或者222,d k dxψψ=- 其中k ≡因此自由粒子的能量本征函数为ikxAe x =)(ψ（很容易看出自由粒子的能量本征函数也是动量算符的本征函数，p k = ）能量本征值为mk E 222 =对自由粒子没有边界条件去限制k 的取值（E 的取值）；∞<<∞-k ，是连续谱。
加上标准的时间因子，exp(/)iEt - ，自由粒子的定态解可以写作2()2(,),ki kx t mk x t Ae-ψ=显然，自由粒子的“定态”是传播着的波；0,0 k k k >⇒⎧≡±⎨<⇒⎩向右传播，向左传播.它们的波长是2/kλπ=，按照德布罗意公式（1.39式）它们具有动量.p k =我们的问题是这样的定态能否表示自由粒子真实的物理态呢？这些波的速度(t 前面的系数除以x 前面的系数)是2k v m==量子另一方面，一个具有能量2(1/2)E m v =（纯动能，既然势能0V =）的经典自由粒子的速度是2.v v ==量子经典表面看来量子力学波的传播速度只有它所代表的粒子经典速度的一半！我们马上会回到这个佯谬−这里还有一个更严重的问题需要我们首先面对：这个波函数是不可归一化的。
因为22*().kk dx Adx A ∞∞-∞-∞ψψ==∞⎰⎰对自由粒子来讲，分离变量解并不代表物理上可实现的态。
一个自由粒子不能存在于一个定态；或者，换句话说，不存在一个自由粒子具有确定能量（确定动量）这样的事情。
但是这个并不意味着分离变量解对我们没有用途，因为它们的数学地位是完全不依赖于它们的物理解释的。
含时薛定鄂方程的一般解仍旧是分离变量解的线性迭加（此时对连续变量k 的一个积分取代了对分立指标n 的求和）：(引入因子1/)现在这个波函数是可以归一化的（对适当的()k φ）。
《一维定态问题》课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨一维定态问题，介绍定态和一维定态问 题的基本概念，并讲解其数学描述、求解方法以及应用领域。
导言
一维定态问题是研究物理学等领域中的一类重要问题。它提供了理解系统行 为和性质的基础，以及解决各种实际问题的方法。
定态和一维定态问题的基本概 念
例题三
借助计算机模拟，展示一维定 态问题的数值解法和仿真结果。
一维定态问题的应用
量子力学
一维定态问题在量子力学 中有广泛的应用，例如描 述电子在一维势场中的行 为。
固态物理学
研究材料中晶格振动、电 子能带等问题时，可以把 复杂的多维系统简化为一 维定态问题。
量子计算
一维定态问题为理解和实 现量子计算提供了基础， 如量子比特的储存和操作 等。
总结和展望
通过本PPT课件，我们对一维定态问题有了更深入的了解。未来，我们可以 进一步研究其在更复杂系统和实际应用中的应用。
定态是指系统在某个特定状态下具有稳定性和不变性。一维定态问题是针对 一维系统中的定态进行研究和求解的问题。
一维定态问题的数学描述
数学上，一维定态问题可以通过使用定态薛定谔方程进行描述。这个方程描述了系统的波函数和能量的 关系，是解决一维定态问题的关键。
一维定态问题的求解方法
1
经典方法
传统的求解一维定态问题的方法，如分离变量法、定态扰动法等。
2
量子力学方法
利用量子力学的基本原理和数学工具，如哈密法
借助计算机和数值计算技术，通过离散化和近似方法求解一维定态问题。
例题演示和讲解
例题一
例题二
通过实际例题，演示和讲解一 维定态问题的求解过程和方法。
通过复杂的数学方程，在黑板 上演示一维定态问题的解析求 解过程。
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第二章 一维定态问题一 内容提要1 几个重要的一维定态问题[1] 一维无限深势阱 {0,00)(≤≥<<∞=x a x a x x V ,3,2,122222=μπ=n a n E n∞≥≤<<π⎩⎨⎧=ψx x a x a x n a x n ,000s i n 2)( [2] 一维线性谐振子2221)(x x V μω= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H e N x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] [3] 定轴转动子IL H2ˆˆ2ϕ=Im E n 222 =),3,2,1,0(21 =π=ψϕm e im n2 一维定态问题的性质 设)()(*x V x V =[1] 如果)(x ψ是定态S.eq 的解，那么)(x *ψ也是定态S.eq 的解。
[2] 如果)()(x V x V -= 则)(x -ψ也是定态S.eq 的解。
[3] 如果)(x V 是x 的连续函数，那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的；如果)(x V 为阶梯形方势⎩⎨⎧><=a x V a x V x V 21)(且12V V -有限，那么)(x ψ和)('x ψ也是连续的； 如果∞→-12V V 时，那么)(x ψ连续而)('x ψ不连续；二 例题讲解 1 设粒子处于一维无限深势阱中，{0,00)(≤≥<<∞=x a x a x x V ， 证明处于能量本征态)(x n ψ的粒子，)61(12)(2/2222π-=-=n a x x a x讨论∞→n 的情况，并与经典力学计算结果比较。
证明：2sin2)(0202a dx a x n x a dx x x x aan =π=ψ=⎰⎰ )61(124)()(2220222222π-=-ψ=-=-⎰n a a dx x x x x x x an 经典情况下，在区域),0(a 中粒子处于dx 范围中的几率为adx则 20a a dx x x a==⎰ 32022a a dx x x a==⎰ 1243)(222222a a a x x x x =-=-=- 2 设粒子处于一维无限深势阱中，粒子的波函数为)()(x a Ax x -=ψ，A 为归一化常数。
[1] 求A ；[2] 粒子处于能量本征态ax n ax n π=ψsin 2)(的几率n P 。
解：[1] 由归一化条件⎰⎰+∞∞-=-=ψadx x a Ax dx x 0221)]([)( 得530a A = 所以)(30)(5x a x ax -=ψ [2] )(x ψ用)(x n ψ展开，)()(x c x nnψ=ψ∑)c o s 1(154)()(33π-π=ψψ=⎰n n dx x x c n n 2662])1(1[240n nn n c P --π== 999.0])1(1[2402161≈--π=P 这表明)(x ψ与)(1x ψ的几率几乎相同。
3设粒子处于一维无限深势阱中的基态)1(=n ，设0=t 时势阱宽突然变为a 2，粒子的波函数来不及改变，即axa x x π=ψ=ψsin 2)()0,(1 问 [1] )0,(x ψ是否还是能量本征态？ [2] 粒子处于能量1E 的几率。
解：[1] 加宽后的一维无限深势阱的能量本征值和本征态分别是：22228a n n μπ=ε )0(2s i n 1)(a x ax n a x n <<π=ϕ这表明)0,(x ψ不是能量本征态。
当2=n 时 12E =ε [2] 将)0,(x ψ按照)(x n ϕ展开∑ϕ=ψ)()0,(x c x nndx x x dx x x dx x x c aan ann )0,()()0,()()0,()(20*ψϕ+ψϕ=ψϕ=⎰⎰⎰+∞∞-=dx x x an )0,()(0ψϕ⎰ 得212=c 所以粒子处于2ϕ上能量为12E =ε，出现的几率为2/122=c4 计算能量0>E 的粒子穿透δ势垒)()(0x V x V δ= )0(0>V 的透射系数。
解：相应的定态S.eq 为)()()](2[0222x E x x V dx d ψ=ψδ+μ- （1） 其解为：⎩⎨⎧><+=ψ-00)(x Cex Be e x ikxikxikx （2） 其中：222E k μ= 波函数在0=x 处必须满足的连续条件得：波函数值连续： C B =+1 （3）波函数的一阶导数是不连续的，对（1）两边作积分运算)0(00→ε⎰ε+ε-dx得：)0(2)0()0(02''ψμ=ψ-ψ-+V （4） 即： C V B C ik 022)1(μ=+- （5）由（3）、（5）两式解得： 2011k V i C μ+=（6） 于是透射系数 220422022221111// E V k V Ck C k j j T μ+=μ+==μμ==入透 （7）反射系数为：T R -=1 （8）x5 粒子在一维势场{0)(><∞=x x x V 中运动求归一化波函数。
解：粒子没有束缚态。
设粒子的能量为0>E 则定态S.eq 为E E E x V dx d m ψ=ψ+-)](2[222 （1）当0<x 时 由于∞→)(x V 则有： 01=ψE （2）当0≥x 时 由于0)(=x V 由（1）式得：222222E E E dxd m ψ=ψ- （3） 令0222>=mEk 则有：)sin(2δ+=ψkx A E （4） 由 （2）、（4）得： {0)sin(0≥<δ+=ψx x kx A E （5） 又有在0=x 处连续的条件021==ψ=ψx E x E 得： 0=δ （6）则 {0sin 0≥<=ψx x kxA E （7） 下面求归一化系数A由于0>E 且为连续谱，故（7）可归一化为δ函数。
则有⎰⎰∞*∞∞-*==ψψ=-δ0''s i n s i n )()()(''k x d x x k A A dx x x E E k k E E ⎰∞*+--0''])c o s ()[c o s (21'dx x k k x k k A A k k利用公式 ⎰∞δ=π0)(cos 1x kxdx 得=-δ)('E E )]()([2'''k k k k A A k k+δ--δπ*因为 0'≠+k k 所以 0)('=+δk k则 =-δ)('E E )]([2'2k k A k -δπ （8）又有公式)(1)(x x δα=αδ 、 aa x a x a x 2)()()(22-δ++δ=-δ 得)()]()([212)(2)('2'''22'22'k k k m k k k k k m k k m E E -δ=-δ++δ=-δ=-δ（9） 将（9）代入（8）得：)(2)('2'2k k A k k k m k -δπ=-δ得： 41222)2(2Em k m A π=π= （10）6 一个质量是m 的粒子在一维无限深势阱)0(a x ≤≤中运动，t=0时刻的初态波函数为ax a x a x ππ+=ψsin )cos 1(58)0,( [1] 求在任意时刻t 的波函数；[2] 体系在 t=0 和任意时刻t 的平均能量； [3] 在时刻t ，在势阱的左半部)20(ax ≤≤发现粒子的几率。
解：=ππ+=ψa x a x a x sin )cos 1(58)0,()sin 2(54a x a π+)2sin 2(51a x a π215154ψ+ψ=[1]=ψ=ψ∑- /),(t iE n n n e c t x /2/1215154t iE t iE e e --ψ+ψ [2] t=0时22221*545154)0,(ˆ)0,(maE E dx x H x E π=+=ψψ>=<⎰同理可得任意时刻t 能量平均值同上。
[3]dx mat a x a x a a x a a x a dx t x t x a a )23cos 2sin sin 582sin 52sin 58(),(),(2222/022/0*πππ+π+π=ψψ⎰⎰ dx mata x a x a a x a a x a a ]23cos )3cos (cos 54)4cos 1(51)2cos 1(54[222/0ππ-π+π-+π-=⎰2223cos 151621mat ππ+=三 练习1 粒子在一维δ势阱中运动)()(x x Vv αδ-=，求粒子的束缚态能级与相应的归一化定态波函数。
[222222 α-=-=m m k E ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<α>α=ψαα-0)(22//x em x e m x x m x m] 2 粒子限制在二维无限深势阱中运动。
⎩⎨⎧∞<<<<=其他地方by a x y x V 0,00),(求粒子能级与波函数。
3 试求一维无限深势阱的中心为坐标原点，阱宽为a 。
试求能级与波函数。
4 量子体系的平面转子具有转动惯量z I ，转角为ϕ [1] 求体系的能级和波函数；[2] 在t=0时转子的波函数是ϕ2sin A ，求在0>t 时的波函数),(t ϕψ 注：（)2ˆ2ZZ I L H=[答案：)2,1,0(2,21)(22 ±±==π=ϕψϕm I m E e zm im ]5 粒子从右边入射，且粒子能量0V E >，求一维阶梯势的反射和透射系数，阶梯势为 0)0(00)(00<>>⎩⎨⎧=x V x V x V[答案：40202)(E V E V R+-=， 221R T-= ，当E V 430=时912=R ] 6一维无限深势阱中粒子质量为μ，势函数形式为 0,0)(0≤≥<<⎩⎨⎧∞=x a x a x V x V 求定态波函数和相应能量。
[答案： ,3,2,1202222=+μπ=n V an E n ，∞≥≤<<π⎩⎨⎧=ψx x a x a x n a x n ,000sin 2)(]。