量子力学一维定态问题
chapter 31 一维定态问题(上)
⎪⎩ 0，
x ≥a
另一组解为：
ψn
=
⎧⎪B cos ⎨
nπ
2a
x，
n
=
2k
+ 1,
x
<
a
⎪⎩ 0，
x ≥a
(12)
(11)和(12)两式可合并为一个式子
ψn
=⎪⎨⎧A′(sin
nπ
2a
xcos
nπ
2
+cos
nπ
2a
xsin
nπ
2
)
=
A′sin
nπ
2a
(x+a),
x <a
⎪⎩
0,
x ≥a
n = 1, 2 , 3, ⋅ ⋅ ⋅,
在该例中，粒子被束缚在阱内。通常把在
无限远处为零的波函数所描写的状态称为束 缚态(即粒子被约束于空间的有限区域)。一 般地，束缚态所属能级是分立的;
粒子的最低能级称为基态。在本例中是
n=1的态。基态能量为
E1
=
π2
8m a 2
≠
0，称为零点
能量，与经典粒子不同，这正是微观粒子波
动性的表现，“静止”波是没有意义的 ；
b.若势函数 V(r) 具有一阶奇点，则在奇点处波
函数Ψ连续，但波函数对空间坐标一级微商 Ψ'
不连续。但在非相对论量子力学中，在薛定谔方 程的意义下，粒子不能穿透势能为无穷大的空间 区域，故在这些区域内 Ψ＝0 ，但在该区域的边 界上，Ψ 仍然是连续函数。
现令 Ui为第i个区域中(i=1,2,….n)U(x)的(常数)
(15)
2i
将上式中的正弦函数写成指数函数，于是有
量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
量子力学9-10一维定态
+∞
−∞
∫ dxe
−i
px
ψ1 ( x )
φ1 ( p )
ap πa cos 2 2 −2 ap π = − , 2 2
谁对？谁错？
(− ∞ < p < +∞ )
2.2.2 有限深对称方势阱问题
含时薛定谔方程导引
哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用 量原理与费马原理
五大公设 (1)、第一公设 ——波函数公设 状态由波函数表示；波函数的概率诠释；对波函数 性质的要求。 (2)、第二公设 ——算符公设 (3)、第三公设 ——测量公设
(4)、第四公设 ——微观体系动力学演化公设，或薛定谔方 程 公设 (5)、第五公设 ——微观粒子全同性原理公设
由波函数及其导数在边界上的连续性，可得到
(ln cos kx )′ x = a / 2 = (ln e − βx )′
由此得到 令
x =a / 2
k tan( ka / 2) = β
ξ = ka / 2, η = βa / 2
( 20)
( 21)
则式(20)可化为
ξ tan ξ = η
( 22)
由(15), (18), (21)得到
很快，薛定谔就通过德布罗意论文的相对论性理论，
推导出一个相对论性波动方程，他将这方程应用于 氢原子，计算出束缚电子的波函数。但很可惜。因 为薛定谔没有将电子的自旋纳入考量，所以从这方 程推导出的精细结构公式不符合索末菲模型。他只 好将这方程加以修改，除去相对论性部分，并用剩 下的非相对论性方程来计算氢原子的谱线。解析这 微分方程的工作相当困难，在其好朋友数学家赫尔 曼·外尔鼎力相助下，他复制出了与玻尔模型完全 相同的答案。因此，他决定暂且不发表相对论性部 分，只把非相对论性波动方程与氢原子光谱分析结 果，写为一篇论文。1926年，他正式发表了这论 文。
量子力学补充2-一维势阱
由式（1）得 B = 0 波函数为： (x) Asin kx
由式（2）得 Asin ka 0 于是
ka n , k n a(n 1, 2,3)
即: k 2mE n a
由此得到粒子的能量 En
En
22
( 2ma 2
)n2 ,
n 1, 2, 3
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖 之间加一微小电 压Ub电子就会穿 过电极间的势垒 形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电 流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样 品表面的起伏。
o
n 4,E E4
n 3,E E3 n 2,E E2 n 1,E E1 ax
7
与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
n(x)
n
A sin( a
x)
(0 x a)
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
n (x) 2dx
0a A2
sin2 (n
a
x)dx
A2
a 2
1
得到 A 2 a
最后得到薛定谔方程的解为：
n(x)
2 sin( n x)
aa
(0 x a)
8
讨论
1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分 立值，即能量是量子化的。能量量子化是微观 世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可 取连续的任意值。电子(m=9.1×10-31千克)在宽 为a=10Å的势阱中运动，有En=0.38n2eV,
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程,一维定态问题
第一章+薛定谔方程，一维定态问题
本章主要介绍量子力学的基础概念和薛定谔方程的推导及其在
一维定态问题中的应用。
量子力学是描述微观世界中物质及其运动规律的理论。
在量子力学中，粒子的运动状态由波函数描述，波函数可以用来计算粒子在不同位置的概率密度。
薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，它描述了波函数随时间的演化规律。
一维定态问题是指一个粒子在一维空间中的运动状态是定态的，即粒子的波函数只包含一个能量本征态。
在一维定态问题中，薛定谔方程可以简化为一维薛定谔方程，可以通过求解该方程得到粒子的能量本征态和能量本征值。
本章将详细介绍薛定谔方程的推导过程和一维定态问题的求解
方法，包括定态薛定谔方程的解法和粒子在势阱和势垒中的运动规律。
同时还将介绍相关的数学工具和物理概念，如波函数、能量本征态、能量本征值和概率密度等。
通过学习本章内容，读者将能够了解量子力学的基本概念和薛定谔方程的应用，掌握一维定态问题的求解方法，为后续学习量子力学的进阶内容奠定基础。
- 1 -。
第一章 薛定谔方程,一维定态问题
第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。
在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。
这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。
一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。
一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。
将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。
对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。
通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。
第3章 一维定态问题
2 d ( x) 2mE 2 2 k ( x) 0 令： k 2 则： 2 dx
通解：
x Aeikx Beikx C coskx D sin kx
A, B, C, D 为常数，由标准条件和归一化条件确定。 ka ka a ka ka a C cos D sin 0 x C cos D sin 0 x 2 2 2 2 2 2
（3）能量间隔：
(n 1) 2 2 2 n 2 2 2 2 2 E n E n1 En (2n 1) 2 2 2m a 2m a 2m a2
n一定， a一定，
a En 0
En 2n 1 n En 2 0 En n En
2
V
a 时 2
d 2 ( x) 2 x x ( x ) ( x ) A ' e B ' e dx2
由有限条件，当
x a 2 x
( x) 0
粒子不可以进入Ⅱ区
I区： V 0
2 d 薛定谔方程： ( x) 2m E ( x) 0 dx2 2
( x)
E2
1 ( x)
n 1, 2,
a n sin x n 1, 2,3 2 a
E1
非对称二维无限深势阱
0 0 x a,0 y b V ( x, y) others
2 n12 n2 En ( 2 2) 2m a b 2
( p) ( p)
2
2
4 a
pa cos 2 2 2 2 2 a p
2
3
8.非对称一维无限深势阱
4 ( x)
V ( x)
量子力学典型例题解答讲解
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
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2 2
(1)
2 d2 h ( V(x))u (x) Eu (x) 2 2 2m dx2
(2)
u1 ( 2 ) u2 (1)
从而得
u2
d2
dx2
u 1 (x) u1
d2
dx2
u2 (x) 0
于是
( x) u1u2(x) c u u 2 1
现先证明位势若有有限大小间断时，波函 数的导数仍连续。由方程
(
d
2
2
V(x))u(x) Eu(x)
2m dx 2
即
d
h2 d2 2m dx2
u(x) [(E V(x)]u(x)
d2 由于 [E V(x)]u(x) 存在，即 dx 2 u(x) 存在，
即 dx
u(x)
的导数存在，所以 d u(x) dx
隧穿效应和扫描隧穿显微镜
V0 V(x) 0 x 0
(1) 阶梯位势：讨论最简单的定态问题
x 0
当 E V0
2 2 d
(
V0 )u(x) Eu(x) x 0
2
2m dx 2
2m dx 2
( h2 d2
2m dx2
V(x))u(x) Eu(x)
（1）定理 1：一维运动的分立能级(束缚态) ， 一般是不简并的。
简并度（degeneracy）：一个力学量的某个 测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波 函数中测得，则称这一 测量值是具有 n 重简 并度。 如某能量本征值有 n 个独立的定态相对应 ， 则称这能量本征值是 n 重简并的。 证：假设 u1 , u 2 是具有同样能量的波函数
(c是与 x 无关的常数)
对于束缚态 x , ui 0（或在有限区域有 (x) u1u 某值使 u 2u1 2 (x) 0 ），所以 c＝0
( x) u1u2(x) 0 u u 2 1
若
u2 (x)u 1 (x)
不是处处为零，则有
u 2 u1 (ln u 2 ) (ln u1 ) u 2 u1
2 d2 h ( V(x))u (x) E u (x) （1） 1 1 1 2m dx2 2 d2 h ( V(x))u (x) E u (x) （2）
2m dx2
u * (1) u (2)*
2 1
2
2 2
h2
2m
* * (u* (x)u (x) u (x)u (x)) (E E )u 1 2 1 2 2 (x)u 1 (x) 2 1
量子力学一维定态问题
现在从最简单的问题来应用所得的原理和 方程：一维，不显含时间的位势。如
V(r) V(x) V(y) V(z)
V(r) V(r)
则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题 是解决三维问题的基础。
§3.1一般性质 设粒子具有质量 m ，沿 x 轴运动，位势 为 ，于是有 V(x)
连续，也就是波函数导数连续。
对于位势是无穷时 设
2
E V0
2
( V0 )u(x) Eu(x) 2 2m dx d
x 0
2 d
2
令
2m dx 2
u(x)
Eu(x)
x 0
k
2mE
2
2m(V0 E) Κ 2
所以，
2u u
k 2 u u
x 0
x 0
得解
Bex Cex u(x) Asin(kx ) x0 x 0
要求波函数有界，所以C＝0，
要求波函数 x=0 处连续，且导数连续
Asin B kA cos B
1 1 tan k K 当 E 给定，
V0 ,
(E1 E 2 )
u* 2 u1dx
d * * (u u u u 2 1 1 2 )dx 2m dx
h2
* h2 * (x) u1 (x)u 2 (x) ) 0 (u 2 (x)u1 2m
从而证得
*u dx 0 u 21
（3）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列， 一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值
范围内有 n 个节点（即有 n 个 x 点使
u n (x i ) 0，不包括边界点或∞远）。
基态无节点（当然处处不为零的波函数没 有这性质，如 eim (它是简并的)，同样，
多体波函数由于反对称性，而可能无这性质） （4）在无穷大位势处的边条件：根据坐标空 间的自然条件，波函数应单值，连续，平方可积
(
h2 d2
2m dx
V(x))I (x) E I (x) n n n 2
但对束缚态，没有简并，所以只有一个解， 因而 R n 和 In 应是线性相关的，所以
因此，
In R n
u n (x) (1 i)R n (x)
Ae i R n (x)
（2）不同的分立能级的波函数是正交的
tan 0 sin 0.
所以，
B 0
Asin kx x 0 u(x) x 0 0
于是，当 V0 , 方程有解
这表明，在无穷大的位势处，波函数为0， 边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导 数的连续性。当然，概率密度和概率通量矢总 是连续的。
§3.2
推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然 可保留一相位因子）。
证
(
V(x))u (x) E u (x) n n n 2m dx2
R n (x), In (x) 都是实函数）
h2 d 2
则
令 u n (x) R n (x) iIn(x)（ h2 d2 2m dx2
(
V(x))R n (x) En R n (x)
u 1 (x) Au2 (x)
应当注意: ⅰ. 分立能级是不简并的，而对于连续谱 时，若一端 u 0 ，那也不简并。但如两端 都不趋于0（如自由粒子），则有简并。 ⅱ．当变量在允许值范围内（包括端点）， 波函数无零点，就可能有简并存在。(因常数 c≠0)。 ⅲ．当 V(x) 有奇异点，简并可能存在。因 这时可能导致 u2 (x)u 1 (x) 处处为零。