选修4-4坐标系与参数方程知识点总结和同步练习(附答案)

同。
3．圆的参数
如图所示，设圆 O 的半径为 r ，点 M 从初始位置 M 0 出发，按逆时针方向在圆 O 上作
匀速圆周运动，设
M
(
x,
y)
，则
x

y

r r
cos sin
(为参数)
。
这就是圆心在原点 O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 OM 0 转过的角
度。
圆心为 (a, b) ，半径为 r 的圆的普通方程是 (x a)2 ( y b)2 r2 ，
数方程为

x y

x0 y0
t cos t sin

(t为参数) ，其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点，任一点
uuuuuur M (x, y) 为终点的有向线段 M 0M 的数量，当点 M 在 M 0 上方时， t ＞0；当点 M 在
M 0 下方时， t ＜0；当点 M 与 M 0 重合时， t =0。我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原 点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的
x2 a2

y2 b2
1(a

0,
b

0),
其参数方程为

x y

a b
sec tan
(为参数)
，其中
[0, 2 )且 , 3 . 22
焦点在
y
轴上的双曲线的标准方程是
y2 a2

x2 b2
1(a
0,b

0), 其参数方程为

x y

同时,极坐标 (, ) 表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系
Word 格式
.
.
中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 (x, y) ,极坐标是 (, ) ( 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
y0 ) ，倾斜角为 (

) 的直线 l
2
的普通方程是
y y0 tan (x x0 ), 而过 M 0 (x0 , y0 ) ，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为

x y

x0 y0
t cos t sin

(t为参数) 。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 M 0 (x0 , y0 ) ，倾斜角为 的直线 l 的参
b cot a csc
(为参数，其中且
(0,
2
)e
.
以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 y2 2 px( p 0) 的参数方程为
x 2 pt2

y

2
pt
(t为参数).
7．直线的参数方程
经过点
M 0 (x0 ,
点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 0 到 2 的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 0 时，相应地也
2 有 0 ，在其他象限内类似。
2
5．双曲线的参数方程
Word 格式
.
.
以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为
（1）求 2x y 的取值范围；
（2）若 x y a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。
2．求直线
l1
:

x y

1 5
t
3t (t为参数) 和直线 l2 : x y 2
3 0 的交点 P 的坐标，及点
P
与 Q(1, 5) 的距离。
3．在椭圆 x2 y2 1上找一点，使这一点到直线 x 2 y 12 0 的距离的最小值。 16 12
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足
极坐标方程即可.例如对于极坐标方程



,
点
M
(
,

)
可以表示为
44
(
,
2
)或(或 (,-

2 ))
44
44
5

, 等多种形式,其中,只有 ( , ) 的极坐标满足方
44
44
程 .
A． x2 y2 0或y 1 B． x 1 C． x2 y2 0或x 1 D． y 1
5．点 M 的直角坐标是 (1, 3) ，则点 M 的极坐标为（ ）
A． (2, )
B． (2, )
C． (2, 2 )
D． (2, 2k ), (k Z )
点M
直角坐标 (x, y)
极坐标 (, )
互化公式
x cos

y


sin
2 x2 y2 tan y (x 0)
x
在一般情况下,由 tan 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径
为 r 的圆
1．若直线的参数方程为

y

2

3t
(t为参数)
，则直线的斜率为（
）
源自文库
2
A．
3 3
C．
2
B． 2 3
D． 3 2
2．下列在曲线
x

y

sin 2 cos
sin

(为参数)
上的点是（
）
A． (1 , 2) B． ( 3 , 1) C． (2, 3) D． (1, 3)
Word 格式
.
.
数学选修 4-4 坐标系与参数方程
[综合训练 B 组]
一、选择题
x a t
1．直线
l
的参数方程为

y

b

t
(t为参数)
，
l
上的点
P1
对应的参数是
t1
，则点
P1
与
P(a, b) 之间的距离是（ ）
A． t1
B． 2 t1
C． 2 t1
2 D． 2 t1
2．参数方程为
x
参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从
参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x f (t) ,把它代入普通方程,求
Word 格式
Word 格式
过点 (a, 0) ,与极轴
垂直的直线
过点 (a, ) ,与极
2
轴平行的直线
.
.
cos a( )
2
2
sin a(0 )
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(, ), (, 2 ), (, ), (, ), 都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的

x y

et 2(et
et et
)
(t为参数)
的普通方程为__________________。
3．已知直线
l1
:

x y
1 3t 2 4t
(t为参数)
与直线
l2
:
2x

4
y

5
相交于点
B
，又点
A(1,
2)
，
则 AB _______________。

t

1 t
(t为参数)
表示的曲线是（
）
y 2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
x

1
1 2
t
3．直线
(t为参数) 和圆 x2 y2 16 交于 A, B 两点，

y

3
3
3t 2
则 AB 的中点坐标为（ ）
A． (3, 3) B． ( 3,3) C． ( 3, 3) D． (3, 3)
它的参数方程为：
x

y

a b

r r
cos sin
(
为参数)
。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 x2 y2 1(a b 0), 其 a2 b2
参数方程为
x

y

a b
cos sin
(为参数)
，其中参数
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数
x f (t)

y

g
(t
)
①,并且对于
t
的每一个允许值,由方程组①所确定的点
M
(x,
y)
都在这条曲线上,那
么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于
.
.
出另一个变数与参数的关系
y

g (t )
,那么
x

y

f (t) g (t )
就是曲线的参数方程,在参数方程与
普通方程的互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，
关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不
2
42
3．将参数方程

x y

2 sin2 sin2

(为参数)
化为普通方程为（
）
A． y x 2 B． y x 2 C． y x 2(2 x 3) D． y x 2(0 y 1)
4．化极坐标方程 2 cos 0 为直角坐标方程为（ ）
圆心为 (r, 0) ,半径 为 r 的圆
圆心为 (r, ) ,半
2 径为 r 的圆
过极点,倾斜角为
的直线
r(0 2 )
2r cos ( )
2
2
2r sin (0 )
(1) ( R)或 ( R) (2) ( 0)和 ( 0)
2.极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示
,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射
线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆
时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴
.
.
坐标系与参数方程 知识点
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点
P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

:

x y

gx gy
( 0)
的作用
( 0)
下,点 P(x,y)对应到点 P(x, y) ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
单位长度相同。
Word 格式
.
.
选修 4-4
数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [基础训练 A 组] 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [综合训练 B 组] 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 [提高训练 C 组]
数学选修 4-4 坐标系与参数方程
[基础训练 A 组]
一、选择题
x 1 2t
3
3
3
3
6．极坐标方程 cos 2sin 2 表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
Word 格式
.
.
二、填空题
x 3 4t
1．直线

y

4

5t
(t为参数)
的斜率为______________________。
2．参数方程
为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极
坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ;以极轴 Ox 为始
边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 .有序数对 (, ) 叫做点 M 的极坐

称为离心角；焦点在
y
轴上的椭圆的标
准方程是
y2 a2

x2 b2
1(a
b

0),
其参数方程为

x y

b cos a sin
(为参数),
其中参数

仍为离
心角，通常规定参数 的范围为 ∈[0，2 ）。 注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一
4．直线
x


y

2 1t 2
1 1 2
t
(t为参数)
被圆
x2

y2

4
截得的弦长为______________。
5．直线 x cos y sin 0 的极坐标方程为____________________。
三、解答题
1．已知点 P(x, y) 是圆 x2 y2 2 y 上的动点，
标,记作 M (, ) .
一般地,不作特殊说明时,我们认为 0, 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0, )( ∈R).和直角坐标不同,平面内一个
点的极坐标有无数种表示.
如果规定 0, 0 2 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 (, ) 表示;