坐标变换与参数方程教案全
参数方程教案
参数方程教案教学目标：1. 了解参数方程的基本概念和特点。
2. 学会确定参数方程所描述的曲线在平面直角坐标系中的几何特征。
3. 掌握参数方程与直角坐标方程之间的互相转化。
教学重点：1. 参数方程的定义和性质。
2. 参数方程表示的曲线在直角坐标系中的几何特征。
3. 参数方程与直角坐标方程之间的互相转化方法。
教学难点：1. 参数方程表示的曲线在直角坐标系中的几何特征的准确描述。
2. 参数方程与直角坐标方程之间的互相转化的应用。
教学方法：1. 探究法：通过引导学生观察曲线的特点，发现参数方程与直角坐标系的关系。
2. 归纳法：通过让学生总结已学内容，归纳参数方程与直角坐标方程之间的转化方法。
3. 演绎法：通过示例演绎，引导学生掌握参数方程与直角坐标方程之间的转化方法的应用。
教具准备：1. 教师：黑板、白板、彩色笔、教材、电子课件。
2. 学生：教材、笔、纸。
教学过程：Step 1：导入与概念解释（5分钟）教师通过提问导入参数方程的概念，引发学生对参数方程的兴趣。
然后简要解释参数方程的定义、性质和与直角坐标方程的关系。
Step 2：探究参数方程与直角坐标方程的关系（15分钟）教师给出一个简单的参数方程的示例，让学生通过求解并观察结果，发现参数方程所描述的曲线在直角坐标系中的特点和几何形状。
Step 3：参数方程与直角坐标方程的转化（20分钟）教师通过几个具体的例题，引导学生掌握参数方程与直角坐标方程之间的互相转化方法。
首先教师通过转化为直角坐标方程示范，然后让学生自己尝试将直角坐标方程转化为参数方程。
Step 4：参数方程的应用（15分钟）教师通过实际问题的应用例题，让学生在解决问题的过程中运用参数方程的概念与性质，加深对参数方程的理解和应用能力。
Step 5：巩固与拓展（10分钟）教师提出几个综合性的例题，让学生在课堂上独立解题并互相交流讨论。
教师根据学生的解答情况，进行指导和总结。
Step 6：课堂小结（5分钟）教师进行课堂小结，复习本节课的重点内容，并强调参数方程的重要性和应用范围。
坐标系与参数方程教案
坐标系与参数方程1、 极坐标系必备知识（1） 极坐标系的概念在平面内任取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一 个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记做ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对（θρ,）叫做点M 的极坐标，记作（θρ,）。
（2） 极坐标和直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是()y x ,，极坐标是（θρ,），可以得出它们之间的关系：θρcos =x ，θρsin =y 。
又可得到关系式：222y x +=ρ，)0(tan ≠=x xyθ。
这就是极坐标与直角坐标的互化公式。
（3） 圆的极坐标方程① 圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程为R =ρ；② 圆心在极轴上的点（a,0）处，且圆过极点O 的圆的极坐标方程为θρcos 2a =； ③ 圆心在点)2,(πa 处且过极点的圆的极坐标方程为πθθρ≤≤=0,sin 2a 。
例题选讲例1．在极坐标系中，过圆ρ=6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程。
解：由题意可知圆的标准方程为()2239x y -+=，圆心是(3．0)所求直线标准方程x ＝3，则坐标方程为ρcos θ＝3． 答案：ρcos θ＝3．评注：在研究极坐标问题时常常要把极坐标方程转化为普通方程解决问题。
例2．（08广东卷理13）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 ．分析：本题给出的是极坐标方程，而所求的交点为极坐标，可以直接求解。
解：联立解方程组cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=⎧≥≤<⎨=⎩解得6ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即两曲线的交点为)6π。
直角坐标系坐标系与参数方程数学教案
直角坐标系坐标系与参数方程数学教案【教案名称】：直角坐标系与参数方程的转化及应用【教学目标】：1.理解直角坐标系和参数方程的概念；2.掌握直角坐标系与参数方程之间的转化方法；3.能够应用直角坐标系与参数方程解决实际问题。
【教学重点】：1.直角坐标系与参数方程的概念；2.直角坐标系与参数方程的转化方法。
【教学难点】：【教学准备】：1.教师准备：投影仪、电脑；2.学生准备：纸和笔。
【教学过程】：一、引入（10分钟）1.教师通过投影仪展示直角坐标系的图片，让学生了解直角坐标系的概念和基本原理。
2.教师解释参数方程的概念，并通过实例引导学生理解参数方程代表了一种曲线的轨迹。
二、直角坐标系与参数方程的转化（30分钟）1.教师以一个简单的直角坐标系方程为例，将其转化为参数方程，详细解释转化的步骤和方法。
2.教师给学生讲解如何从参数方程反推回直角坐标系的方程，引导学生理解直角坐标系与参数方程之间的关系。
3.教师设计相关练习，让学生通过实践巩固掌握直角坐标系与参数方程的转化方法。
三、直角坐标系与参数方程的应用（40分钟）1.教师通过实际问题引导学生探究直角坐标系与参数方程的应用场景，如天梯问题、抛体运动问题等。
2.教师解答学生在探究过程中遇到的问题，引导学生分析解决问题的思路和方法。
3.教师设计相关练习，让学生通过实际应用问题的解决，巩固直角坐标系与参数方程的转化技巧。
四、归纳总结（10分钟）1.教师与学生一起总结直角坐标系与参数方程的转化方法和应用场景。
2.教师强调掌握直角坐标系与参数方程的转化方法对于解决实际问题的重要性。
【教学延伸】：教师可以引导有兴趣的学生进一步学习极坐标系与参数方程之间的转化方法和应用。
【板书设计】：x轴、y轴x=f(t)y=g(t)x=f(y)y=g(x)x=f(t)y=g(t)【教学反思】：本节课通过引入直角坐标系和参数方程的概念，让学生对两者有了初步的了解。
通过演示和实例讲解，学生能够理解直角坐标系和参数方程之间的转化方法。
阅读材料其他摆线-北师大版选修4-4坐标系与参数方程教案
坐标系与参数方程教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1.掌握二维直角坐标系和三维直角坐标系的定义和表示；2.理解二维和三维坐标系中的基本几何概念，如点、线、面等；3.掌握直线和平面的参数方程的概念和解法；4.能够应用参数方程求解二维和三维图形的问题。
二、教学内容1. 二维直角坐标系在数学中，直角坐标系是一个二维平面上的坐标系。
它由两条垂直的数轴组成，分别为水平的x轴和垂直的y轴。
x轴和y轴相交于原点，这个点的坐标为(0,0)。
我们可以通过二元有序对(x,y)表示平面上的点。
2. 三维直角坐标系除了二维的直角坐标系，我们还需要在三维空间中使用直角坐标系。
三维直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴，它们的交点称为空间原点。
我们可以通过三元有序组(x,y,z)表示空间中的点。
3. 直线和平面的参数方程在二维空间中，我们可以使用直线的斜率截距式表示直线方程，但是在三维空间中，这个方法无法使用，我们需要使用直线的参数方程。
直线的参数方程可以用向量或联立的方程表示。
在平面几何中，平面的方程通常表示为一般式或点法式。
但在三维空间中，我们也需要使用平面的参数方程。
平面的参数方程通常表示为一个点和两个方向向量的线性组合。
4. 应用参数方程解题在学习直线和平面的参数方程之后，我们可以用它们来解决更复杂的几何问题。
例如，在给定直线和平面的参数方程的情况下，可以计算它们的交点。
或者，如果给定一条直线和一个点，我们可以利用直线的参数方程计算出这条直线上距离该点最近的点。
三、教学方法1.在讲解直角坐标系的概念和表示方法时，可以使用PPT演示文稿或黑板进行展示；2.通过数学拓扑图和讲解，帮助学生理解坐标系中的基本几何概念；3.结合实例进行讲解，帮助学生理解直线和平面的参数方程的求解方法；4.设计课堂授课练习，让学生在解题中巩固所学知识。
四、教学步骤1. 理论部分1.介绍坐标系的概念和定义；2.分别讲解二维直角坐标系和三维直角坐标系的表示；3.介绍直线和平面的参数方程的定义和表示方法；4.演示几个典型的参数方程的例子。
坐标系与参数方程教案(教师版)
坐标系与参数方程主干知识一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。
）① 设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。
那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。
其中ρ称为极径，θ称为极角。
约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
4．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则x = 2ρ=y = tan θ=二、曲线的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： 00sin()sin()ρθ-α=ρθ-α几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过(,)2M b π且平行于极轴 图：方程：2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： 2220002cos()0r ρρρθθρ--+-=几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于(,0)M r （3）当圆心位于(,)2M r π图：方程：3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用： x = 2ρ= y = tan θ=三、参数方程1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数2．参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：⑴cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）； ⑵00(x x at t y y bt=+⎧⎨=+⎩为参数） （3）2sin cos x y θθ=⎧⎨=⎩[0,2)θπ∈ （4）1()21()2a x t t b y t t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数） （5）cos sin x a r y b r ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）☆参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！（2）普通方程化为参数方程常见化普通方程为参数方程，1、圆222()()x a y b r -+-=的参数方程。
高中数学参数与坐标教案
高中数学参数与坐标教案教学目标：1. 了解参数方程和坐标的基本概念；2. 学会根据参数方程确定图形的特点和性质；3. 掌握参数方程与坐标系之间的转换方法；4. 能够应用参数方程和坐标系解决实际问题。
教学重点：1. 参数方程的理解和应用；2. 参数方程与坐标之间的转换；3. 解决实际问题的能力。
教学难点：1. 参数方程与坐标系之间的转换方法；2. 实际问题的解决方法。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾直角坐标系和极坐标系的基本概念，并提出参数方程与坐标系的关系。
二、讲解参数方程（15分钟）1. 介绍参数方程的定义和表示方法；2. 通过例题讲解参数方程与图形的关系；3. 引导学生思考参数方程的应用场景。
三、讲解坐标与参数方程的转换（20分钟）1. 介绍参数方程与坐标系的转换方法；2. 通过实例演示参数方程转换为直角坐标系和极坐标系的过程；3. 练习相应的题目巩固知识点。
四、实际问题解决（15分钟）1. 给出实际问题，要求学生利用参数方程和坐标系解决；2. 引导学生分析问题、建立参数方程和运用坐标系解决问题。
五、总结与评价（5分钟）1. 整理本节课的主要内容和重点知识；2. 要求学生对本节课进行自我评价，并提出问题和建议。
六、作业布置（5分钟）老师布置适当数量的习题作业，以巩固学生对参数方程与坐标的理解和运用。
教学反思：1. 每个环节的时间控制要合理，确保学生能够充分理解和消化所学知识；2. 老师应该引导学生积极思考，培养学生的问题解决能力；3. 作业的布置要有针对性，既巩固知识点又提高学生的解决问题的能力。
参数方程教案
参数方程教案教案名称：参数方程教学案教学目标：1. 了解参数方程的概念和基本性质。
2. 掌握参数方程与直角坐标系之间的转换。
3. 学习如何绘制和分析参数方程描述的曲线。
教学重点：1. 参数方程的定义和表示。
2. 参数方程与直角坐标系之间的转换方法。
3. 使用参数方程绘制和分析曲线的技巧。
教学难点：1. 参数方程与直角坐标系之间的转换。
2. 如何使用参数方程绘制和分析曲线。
教学准备：1. 教师准备示例题和练习题，以及相应的教学材料。
2. 学生准备笔记本和作业本，以及绘图工具。
教学过程：Step 1：导入引导学生回顾直角坐标系中的函数和曲线方程的概念，并提问是否存在其他表示方式。
Step 2：引入参数方程概念1. 向学生解释参数方程的定义和含义：参数方程是一组用参数表示的方程，参数的变化会导致曲线的形状和位置改变。
2. 提供示例方程，比如x = cos(t)，y = sin(t)，引导学生理解参数t的作用。
Step 3：参数方程与直角坐标系的转换1. 介绍如何将参数方程转换为直角坐标系中的函数方程：通过消元参数的方法，将参数方程中的参数表示为变量和常数的关系。
2. 通过示例方程，如x = 2t，y = t + 1，演示如何将参数方程转换为直角坐标系中的函数方程。
Step 4：使用参数方程绘制曲线1. 要求学生在笔记本上记录示例方程，并按照给定的参数范围，计算对应的坐标点。
2. 使用计算的坐标点，绘制曲线，并分析曲线的形状和特点。
Step 5：练习与巩固1. 发放练习题，让学生自主练习，提醒他们注意平面几何的知识，在绘制曲线时进行相应的分析。
2. 教师对学生的练习结果进行讲评，解答疑惑。
Step 6：拓展与应用1. 介绍参数方程在物理学和工程学中的应用，如描述运动轨迹和曲线造型等。
2. 提供更复杂的参数方程练习题，让学生进行拓展和应用。
Step 7：总结与归纳1. 教师对参数方程的概念和性质进行总结，并与学生一起归纳常见的参数方程形式。
第1讲 坐标系与参数方程(教案) (2)
第1讲 坐标系与参数方程高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.热点一 极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).例1 (2017届江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模)在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫2，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．解 以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A ⎝⎛⎭⎫2，π2的直角坐标为(0,2)，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0.当线段AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以点B 的直角坐标为(－1,1)． 所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，34π. 思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．跟踪演练1 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2，C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2， 所以|MN |＝ρ1－ρ2＝ 2.因为C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12×2×1×sin 45°＝12.热点二 参数方程与普通方程的互化 1．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．例2 (2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917 .由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.思维升华 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．跟踪演练2 (2017届广西柳州市模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ＝2sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，求|PM |的值． 解 (1)因为直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0.由曲线C 的极坐标方程ρcos 2θ＝2sin θ， 得ρ2cos 2θ＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝2y .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 2＝2y ，得x 2－2x －6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.因为x 1＋x 2＝2，所以M (1,4)， 又点P 的直角坐标为(1,1)， 所以|PM |＝(1－1)2＋(4－1)2＝3.热点三 极坐标、参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．例3 (2017届湖南省衡阳市联考)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，求x ＋23y 的最大值．解 (1)直线l 的普通方程为3x －y ＋2－3＝0， 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入C ，得C ′：x 24＋y 2＝1，曲线C ′为椭圆．设椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋23y ＝2cos θ＋23sin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. 所以x ＋23y 的最大值为4.思维升华 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．跟踪演练3 (2017届湖南长沙雅礼中学月考)以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ＋ρcos θ＝10，将曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y 后得到曲线C 2. (1)求曲线C 2的参数方程；(2)若点M 在曲线C 2上运动，试求出点M 到曲线C 的距离的最小值．解 (1)将曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)化为x 2＋y 2＝1，由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，化为⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝12y ′，代入圆的方程，得⎝⎛⎭⎫13x ′2＋⎝⎛⎭⎫12y ′2＝1， 即(x ′)29＋(y ′)24＝1，可得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3cos α，y ′＝2sin α(α为参数)．(2)曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ＋ρcos θ＝10， 化为直角坐标方程为2y ＋x －10＝0，点M 到曲线C 的距离d ＝|3cos α＋4sin α－10|5＝|5sin (α＋φ)－10|5≥55＝5，其中tan φ＝34.所以点M 到曲线C 的距离的最小值为 5.真题体验1．(2017·北京)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________． 答案 1解析 由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上， ∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.2．(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α. 于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α＝|sin 2α－3cos 2α－3| ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. 押题预测1．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝13，求直线的倾斜角α的值．押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点．本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题． 解 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ， 即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α 代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4，得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4， 化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝13，故4cos 2α＝1，解得cos α＝±12.因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝π3或2π3.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，其中a >b >0.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2cos θ，射线l ：θ＝α(ρ≥0)．若射线l 与曲线C 1交于点P ，当α＝0时，射线l 与曲线C 2交于点Q ，|PQ |＝1；当α＝π2时，射线l 与曲线C 2交于点O ，|OP |＝ 3.(1)求曲线C 1的普通方程；(2)设直线l ′：⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ≠0)与曲线C 2交于点R ，若α＝π3，求△OPR 的面积．押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势．解 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，且a >b >0，所以曲线C 1的普通方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，而其极坐标方程为ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1.将θ＝0(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，得ρ＝a ，即点P 的极坐标为(a,0)； 将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2， 即点Q 的极坐标为(2,0)．因为|PQ |＝1，所以|PQ |＝|a －2|＝1， 所以a ＝1或a ＝3.将θ＝π2(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θb 2＝1，得ρ＝b ，即点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫b ，π2， 因为|OP |＝3，所以b ＝ 3. 又因为a >b >0，所以a ＝3， 所以曲线C 1的普通方程为x 29＋y 23＝1.(2)因为直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ≠0)，所以直线l ′的普通方程为y ＝－3x (x ≠0)， 而其极坐标方程为θ＝－π3(ρ∈R ，ρ≠0)，所以将直线l ′的方程θ＝－π3代入曲线C 2的方程ρ＝2cos θ，得ρ＝1，即|OR |＝1.因为将射线l 的方程θ＝π3(ρ≥0)代入曲线C 1的方程ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ3＝1，得ρ＝3105，即|OP |＝3105，所以S △OPR ＝12|OP ||OR |sin ∠POR＝12×3105×1×sin 2π3＝33020.A 组 专题通关1．(2017届江苏如东高级中学等四校联考)已知极坐标系中的曲线ρcos 2θ＝sin θ与曲线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 曲线ρcos 2θ＝sin θ可化为x 2＝y ， ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2可化为x ＋y ＝2， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，解得A (1,1)，B (－2,4)， 所以|AB |＝(1＋2)2＋(1－4)2＝3 2.2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3＋3sin φ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P (1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1|PM |＋1|PN |的值．解 (1)依题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －3)2＝9，即x 2＋y 2－6y ＝0， 故x 2＋y 2＝6y ，故ρ2＝6ρsin θ， 故所求极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)设直线l 为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2＋y 2－6y ＝0中， 化简可得t 2－22t －7＝0，显然Δ>0. 设M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2，故⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝－7，1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝67.3．(2017届河北省衡水中学押题卷)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2 2.(1)求直线l 被圆C 截得的弦长；(2)若M 的坐标为(－1,0)，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|MA ||MB |的值．解 (1)将直线l 的参数方程化为普通方程，可得x －3y ＋1＝0，而圆C 的极坐标方程可化为ρ2＝8，化为普通方程，可得x 2＋y 2＝8， 圆心C 到直线l 的距离为d ＝11＋3＝12， 故直线l 被圆C 截得的弦长为28－⎝⎛⎭⎫122＝31. (2)把⎩⎨⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t代入x 2＋y 2＝8，可得t 2－3t －7＝0.(*)设t 1，t 2是方程(*)的两个根，则t 1t 2＝－7， 故|MA ||MB |＝|t 1t 2|＝7.4．(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以l 3与C 的交点M 的极径为 5.5．(2017届江西省重点中学协作体联考)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝23＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，2π3.(1)求直线l 以及曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△P AB 的面积．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ，消去t 得y ＝3x ，则ρsin θ＝3ρcos θ，∴θ＝π3，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．曲线C ：(x －1)2＋(y －23)2＝4， 则(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－23)2＝4， ∴曲线C 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－43ρsin θ＋9＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρcos θ－43ρsin θ＋9＝0，θ＝π3，得到ρ2－7ρ＋9＝0，设其两根为ρ1，ρ2， 则ρ1＋ρ2＝7，ρ1ρ2＝9， ∴|AB |＝|ρ2－ρ1|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝13.∵点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，2π3， ∴|OP |＝23，∠POB ＝π3，∴S △P AB ＝|S △POB －S △POA | ＝12×32×23×|AB |＝3132. B 组 能力提高6．(2017届广东省深圳市一模)在直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P ⎝⎛⎭⎫1，233，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线E 的极坐标方程；(2)若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值，并求出这个定值．(1)解 将点P ⎝⎛⎭⎫1，233代入曲线E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos α，233＝2sin α，解得a 2＝3，所以曲线E 的普通方程为x 23＋y 22＝1，极坐标方程为ρ2⎝⎛⎭⎫13cos 2θ＋12sin 2θ＝1.(2)证明 不妨设点A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2，ρ1>0，ρ2>0， 则⎩⎨⎧13(ρ1cos θ)2＋12(ρ1sin θ)2＝1，13⎣⎡⎦⎤ρ2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π22＋12⎣⎡⎦⎤ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π22＝1，即⎩⎨⎧1ρ21＝13cos 2θ＋12sin 2θ，1ρ22＝13sin 2θ＋12cos 2θ，所以1ρ21＋1ρ22＝56，即1|OA |2＋1|OB |2＝56， 所以1|OA |2＋1|OB |2为定值56.7．(2017届广西玉林、贵港质检)已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π4，曲线C 的参数方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4(θ为参数)． (1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的距离的最小值． 解 (1)点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫322，322，由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4， 得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①， 可得曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1.(2)直线2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的直角坐标方程为2x ＋4y －2＝0， 设点Q 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22＋cos θ，22＋sin θ，则M ⎝⎛⎭⎫2＋cos θ2，2＋sin θ2， ∴M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫2＋cos θ2＋4⎝⎛⎭⎫2＋sin θ2－222＋42＝|52＋cos θ＋2sin θ|25＝52＋5sin (θ＋φ)25，其中tan φ＝12.∴d ≥52－525＝10－12(当且仅当sin(θ＋φ)＝－1时取等号)，∴M 到直线l ：2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的距离的最小值为10－12.8．(2017届四川省大教育联盟三诊)已知α∈[0，π)，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)；在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 2的极坐标方程为ρcos(θ－α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6.(1)求证：l 1⊥l 2；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，P 为直线l 1，l 2的交点，求|OP ||AP |的最大值． (1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α－y cos α＝0. 又ρcos(θ－α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6可变形为 ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 即直线l 2的直角坐标方程为 x cos α＋y sin α－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝0. 因为sin αcos α＋(－cos α)sin α＝0， 根据两直线垂直的条件可知，l 1⊥l 2. (2)解 当ρ＝2，θ＝π3时，ρcos(θ－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 所以点A ⎝⎛⎭⎫2，π3在直线ρcos(θ－α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6上． 设点P 到直线OA 的距离为d ，由l 1⊥l 2可知，d 的最大值为|OA |2＝1.于是|OP ||AP |＝d ·|OA |＝2d ≤2， 所以|OP ||AP |的最大值为2.。
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§16.1坐标轴的平移（一）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】揭示课题2.1坐标轴的平移与旋转 创设情境 兴趣导入在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．例如，圆心在O 1(2,1),半径为1的圆的方程为1)1()2(22=-+-y x ．对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点1O 处，那么，对于新坐标系111x O y ，该圆的方程就是12121=+y x ．图2-1动脑思考 探索新知只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．图2-2如图2-2所示，把原坐标系xOy 平移至新坐标系111x O y ，1O 在原坐标系中的坐标为),(00y x ．设原坐标系xOy 两个坐标轴的单位向量分别为i 和j ，则新坐标系111x O y 的单位向量也分别为i 和j ，设点P 在原坐标系中的坐标为),(y x ，在新坐标系中的坐标为),(11y x ，于是有OP =x i +y j ，1O P =x 1i +y 1 j ， 1OO =x 0i +y o j ，因为 11OP OO O P =+， 所以 0011 x y x y x y +=+++i j i j i j ， 即 0101 )()x y x x y y +=+++i j i j （．（转下节）§16.1坐标轴的平移（二）【教学目标】知识目标：（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2会利用坐标轴平移化简曲线方程．（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．【教学难点】坐标轴平移的坐标变换公式的运用．【教学设计】学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．【课时安排】1课时．【教学过程】 （接上节）于是得到坐标轴平移的坐标变换公式⎩⎨⎧+=+=.,1010y y y x x x （2.1） 或 ⎩⎨⎧-=-=.,0101y y y x x x （2.2） 【想一想】公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？巩固知识 典型例题例1 平移坐标轴，将坐标原点移至1O （2，－1），求下列各点的新坐标： O (0,0)，A (2,1)，B (－1,2)，C (2,－4)，D (－3,－1)，E (0,5)． 解 由公式(2.2)，得⎩⎨⎧+=-=.1,211y y x x 将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为O （－2，1），A （0，2），B （－3，3）， C （0，－3），D （－5，0），E （－2，6）．例2 利用坐标轴的平移化简圆042422=--++y x y x 的方程，并画出新坐标系和圆. 解 将方程的左边配方，得9)1()2(22=-++y x ．这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点1O （－2，1），由公式（2.1）得112,1.x x y y =-⎧⎨=+⎩ 将上式代入圆的方程，得 92121=+y x ． 这就是新坐标系111x O y 中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．运用知识 强化练习1．平移坐标轴，把坐标原点移至1O （－1，－3），求下列各点的新坐标： A （3，2），B （－5，4），C （6，－2），D （1，－3），E （－5，－1）．2．利用平移坐标轴，化简方程226420x y x y ++-+=，并指出新坐标系原点的坐标． 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P40/练习1-2、P41/练习；教材P42/习题1-4§16.3 参数方程（一）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选 为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】创设情境兴趣导入如图2-6所示，质点M从点（1，0）出发，沿着与x轴成60º角的方向，以10 m/s的速度运动．质点所做的运动是匀速直线运动，其运动轨迹是经过点（1，0），倾斜角为60º的直线（x 轴上方的部分）．容易求得其方程为01y x -=>（）．【想一想】为什么要附加条件1x >？ 动脑思考 探索新知但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹与时间t 的关系．为此，我们分别研究运动轨迹上的点M ),(y x 的坐标与时间t 的关系，得10c o s 601,(0)10s i n 60,x t t y t ⎧=+⎪>⎨=⎪⎩ 即51,(0).x t t y =+⎧⎪>⎨=⎪⎩ 时间t 确定后，点M ),(y x 的位置也就随之确定. 【想一想】为什么要附加条件0>t ？由此看到，曲线上动点M (x ，y )的坐标 x 和y ，可以分别表示为一个新变量t 的函数．即可以用方程组⎩⎨⎧==).(),(t y y t x x （2.5） 来表示质点的运动轨迹．我们把方程（2.5）叫做曲线的参数方程，变量t 叫做参变量．相应地把以前所学过的曲线方程f (x ，y )＝0叫做普通方程．（转下节）M§16.3 参数方程（二）【教学目标】知识目标：（1）理解曲线的参数方程的概念．（2）理解参变量的概念，会由参变量的取值范围确定函数的定义域．（3）会用“描点法”做出简单的参数方程的图像．能力目标：（1）通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法．（2）提高分析和解决问题的能力．【教学重点】参数方程的概念及用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学难点】难点是用“描点法”画出参数方程所表示的曲线．【教学设计】对求曲线的参数方程不做过多的叙述．例题1的作用在于完成求曲线的参数方程与解析几何中求曲线的方程相衔接．参变量选取的不同，曲线会有不同形式的参数方程．由于学生的工作岗位是技能型岗位，遇到的问题中，参变量一般都是给定的，所以不要在“为什么选这个量作参变量”上下工夫．例1中，结合图形介绍选θ为参变量即可．例题2是用“描点法”做出简单的参数方程的图像．用“描点法”作图关键是如何选点，一般都需要讨论范围和对称性，然后再选取一些点来用于描图．考虑到参数方程中，一般都已经确定参变量的取值范围，从中可以确定曲线的范围，而且讨论图形的对称性比较复杂，在实际作图中，只要求指明定义域，而不要求讨论对称性．对于基础比较好的学生可以在教师的指导下，做关于对称性的研讨．【课时安排】1课时．【教学过程】巩固知识典型例题例1写出圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程．解如图2-7所示，设圆上任意点P（x，y）联结OP，设角θ为参变量，则cossin x ry rθθ=⎧⎨=⎩为所求的圆的参数方程．与普通方程相类似，作参数方程所表示的曲线的图形时依然采用“描点法”．首先选取参变量的取值范围内的一些值，求出相应的x 与y 的对应值，以每一数对（x ，y ）作为点的坐标描出相应的点，最后将这些点连成光滑的曲线就是所求的图形．例2 作出参数方程32(R)x t t y t⎧=∈⎨=⎩ 的图形．解 由于,t ∈R 所以x ∈R ．选取参变量的取值范围内的一些值，列表：以表中的每对（x ，y ）的值作为点的坐标，描出各点，用光滑的曲线联结各点得到图形，如图2-8所示．【想一想】如果例2中的参变量t 换为θsin ，那么，曲线的范围会不会发生变化？ 继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材P48练习/1-3；教材P49练习/1-3；教材P52/习题1-4 (3)实践调查：辨识专业课本上的参数方程并指出参数方程中的参数．图2－7§16.3参数方程与普通方程互化（一）【教学目标】知识目标：（1）掌握由曲线参数方程求曲线普通方程的基本方法，会将简单的参数方程化为普通方程．（2）掌握圆心为坐标原点半径为R的圆的参数方程．了解椭圆及其的参数方程，了解圆的渐开线、摆线的参数方程．能力目标：通过参数方程的学习，了解通过选取适当的参变量来研究曲线的特征的方法，提高分析和解决问题的能力．【教学重点】把曲线的参数方程化为普通方程．【教学难点】难点是曲线的参数方程化为普通方程．【教学设计】参数方程与普通方程的互化的重点是将参数方程化为普通方程．这是本章的教学重点和难点．有些参数方程是无法化为普通方程的．我们只能将一些简单的参数方程化为普通方程．常用的方法是代入消元法和加减消元法，加减消元法中经常使用一些三角恒等式．例题3的（1）和（2），在消去参数化为普通方程后，取值范围并没有改变．（3）中给出了参变量的取值范围，化为普通方程后，必须对变量x或y的取值进行限制，以保证方程是等价变换，不改变方程所表示图形的范围．生产实际中，会遇到用参数方程表示的曲线和用普通方程表示的曲线的交点的问题．解决这类问题的一般的方法是将参数方程代入普通方程，求出对应参变量的值．然后，再将参变量的取值代入参数方程，从而求出交点的坐标．需要注意的是，将参数方程代入普通方程求参变量的值时，必须考虑到各种情况，不要丢解．另一种方法是将参数方程化为普通方程，再联立两个普通方程为方程组，求方程组的解．椭圆、渐开线、摆线是与生产实际相联系的内容．在教学中，要特别注意不要加大难度和添加过多的内容，要考虑到学生的实际水平和生产的实际需要．【课时安排】课时．【教学过程】动脑思考探索新知实际应用中，主要是将参数方程化为普通方程．其核心是消去参变量，常用的方法是加减消元法、代入消元法．巩固知识 典型例题例3 将下列参数方程化为普通方程．（1）1,3x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩；（3）51,(0)x t t y =+⎧⎪>⎨=⎪⎩． 解 （1）由11x t t x==得，代入3y t =，得3y x=． （2）由3cos x α=得22cos 9x α=， 由3sin y α=得22sin 9y α=． 将上面的两个等式两边分别相加，利用三角恒等式22sin cos 1αα+=，得229x y +=．【小提示】对于含有三角函数的参数方程，在利用加减消元法消去参数时，利用三角恒等式是经常使用的方法。