【2016二轮讲练测精品数学】热点三 函数、数列、三角函数中大小比较问题【新课标】【讲】【教师版】【理】
三角函数与数列复习资料(含解析)
向左平移π个单位得到
y＝cos
x＋π 6
，再把
y＝cos
6
x＋π 6
图象上各点的横坐标变为原来的1得到 2
C2.故选
D.
变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．如本题易错点有二：
一是不改变函数名直接伸缩，平移而出错；二是解法一中先伸缩后平移的改变量出错.
题型 2 利用三角函数图象求解析式
2
6
6
称，故
B
正确；在
－π，π 63
上
2x＋π∈
－π，5π 66
，故
y＝g(x)在
－π，π 63
上没有单调性，故
C
错误；由
x＝5π，
6
12
5π，0 可得 g(x)＝0，故 y＝g(x)的图象关于点 12 对称，故 D 正确．故选 C.
本题易错点有两个：一是平移规则不熟悉而导致 g(x)解析式错求为 g(x)＝sin2x；二是不会利用 y＝ Asin(ωx＋φ)性质的整体代换意识解决此类问题.
π，2π
2π，π
3
3 (k∈Z)，所以 2 3 是减区间， 3 是增区间，D 项错误．故选 D.
4.(2018·江苏高考)已知函数
y＝sin(2x＋φ)
－π<φ<π 22
的图象关于直线 x＝π对称，则φ的值是________. 3
答案 －π 6
解析
由题意可得
sin
2π＋φ 3
＝±1，所以2π＋φ＝π＋kπ，
-2-
题型 1 三角函数的图象与变换
2x＋2π
(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cosx，C2：y＝sin
2015年高考理数二轮复习讲练测 热点03 函数、数列、三角函数中大小比较问题(练)(解析版)]
![2015年高考理数二轮复习讲练测 热点03 函数、数列、三角函数中大小比较问题(练)(解析版)]](https://img.taocdn.com/s3/m/2ad9b937376baf1ffc4fad20.png)
1.练高考1.【2014高考湖北卷理第10题】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-2.【2014高考江苏卷第10题】已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【答案】(【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得0m <<．3.【2014辽宁高考理第8题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A.0d < B.0d > C.10a d < D.10a d >4.【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为_________．5.【2014全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.6.【2014浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=，则tan θ的最大值 .2.练模拟1．【2015届宁夏银川市唐徕回民中学高三上学期期中考试】已知三角形ABC 的三边长c b a ,,成等差数列，且84222=++c b a ，则实数b 的取值范围是（ ）A.(0,B.C.(0,D.2．【2015届山东省枣庄市第三中学高三1月月考】已知定义域为R 的函数2cos 3sin ()2cos a a x xf x x++=+ （a ，b R ∈）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43. 【2015届江苏省宿迁市高三上学期第一次摸底考试】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()f x x x =+，则关于x 的不等式()2f x <-的解集是 ．4. 【2014-2015学年浙江省杭州地区六校高一上学期期中考试】给出定义：若2121+≤<-M x M （其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作M x =}{.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论： ①函数()y f x =的定义域为R ，值域为1[0,]2； ②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称； ③函数()y f x =是偶函数； ④函数()y f x =在11[,]22-上是增函数. 其中正确结论的是 （把正确的序号填在横线上）.()2kx k Z =∈对称，故②对；在②的证明中，令0=k ，得)()(x f x f =-，即函数为偶函数，故③对；由③得函数为偶函数，在11[,]22-不可能为单调函数；故选①②③.5. 【2014-2015学年浙江省杭州地区六校高一上学期期中考试】函数22)(2+-=x x x f 在区间 [0,]m 上的最大值为2，最小值为1，则m 的取值范围是 .3.练原创1.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 ．2．在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ,前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 最大，则d 的取值范围________.3．在ABC ∆中，,sin 22tanC BA =+若1AB =，则12AC BC +的最大值 ．4．函数1()2sincos()2262π=++x x f x 的最大值为 ．5．已知函数4411()11sin cos f x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的最小值为 . 【答案】9。
高三数学二轮复习资料：热点问题2三角形中的三角函数(学生版).docx
高中数学学习材料唐玲出品热点问题2 三角形中的三角函数一、填空题1．在锐角三角形ABC 中，A B BC 2,1==，则AC 的取值范围是_________．2．若ABC 的内角,A B 满足sin 2cos()sin B A B A =+，则B 的最大值为_________．3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =．当3s i n c o s ()4A B π-+取最大值时，A 的大小为_________．4．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC 面积的最大值为_________．5．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则m 的取值范围是_________．6．已知ABC 的三内角,,A B C 成等差数列，且角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．则下列命题中正确的有_________．（把所有正确的命题序号都填上） ①3B π=；②若,,a b c 成等比数列，则ABC 为等比三角形；③若2a c =，则ABC 为锐角三角形；④若2AB AB AC BA BC CA CB =++，则3A C =；⑤tan tan 30A C ++>，则ABC 为钝角三角形．7．在直角ABC 中，两条直角边分别为,a b ，斜边和斜边上的高分别为,c h ，则c h a b ++的取值范围是 ．8．在直角ABC 中，8,3,,,2AB BC B A B π===分别在平面直角坐标系中,x y 的正半轴上滑动，O 为坐标原点，则OC 长的最大值为 ．二、解答题9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若4,8b BA BC ==．（1）求22a c +的值；（2）求函数2()3sin cos cos f B B B B =+的值域．10.在锐角ABC 中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，向量2(2s i n (),3),(c o s 2,2c o s 1),2BA CB =+=-m n 且,m n 共线． （1）求角B 的大小；（2）如果1b =，求ABC 的面积的最大值．11.已知函数2()3sin cos cos (,f x m x x m x n m n =++∈R ）在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，当0m >时，()1,sin 4sin()f A B C π==-， 当ABC 的面积为3，求边长a 的值．12．在ABC 中，已知3tan tan tan tan 3A B A B --=．（1）求角C 的大小；（2）设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2c =，且ABC 是锐角三角形，求22a b +的取值范围；（3）若ABC 的面积为3，求ABC 的周长的最小值．。
【2016二轮讲练测精品数学】热点三 函数、数列、三角函数中大小比较问题【新课标】【练】【学生版】【理】
2016高三二轮复习之讲练测之练案【新课标数学】热点三 函数、数列、三角函数中大小比较问题1.练高考()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<2.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期 （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-3.【2015高考上海，理13】已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>5.【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为_________．6.【2014浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由2.练模拟A 、b a c <<B 、c a b <<C 、c b a <<D 、b c a <<2．【2015届宁夏银川市唐徕回民中学高三上学期期中考试】已知三角形ABC 的三边长c b a ,,成等差数列，且84222=++c b a ，则实数b 的取值范围是（ ）b R ∈）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x >时不等式0)()(<'+x f x x f 恒成立，若A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>4. 已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，''()()()()f x g x f x g x >，且()()x f x a g x =（0,a >A ．6B ．7C ．8D ．9（ ）A ．()(),22,-∞-+∞B ．()(),44,-∞-+∞C ．()(),66,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞6.已知函数()ln f x x =，()1g x x =-．（1）求函数()y f x =图像在1x =处的切线方程；（2）证明：()()f x g x ≤；（3）若不等式()()f x ag x ≤对于任意的()1,x ∈+∞均成立，求实数a 的取值范围．3.练原创2．在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ,前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 最大，则d 的取值范围________.：。
2016广东高考理数大二轮专项训练三角函数的图象与性质1(含答案)
2016广东高考理数大二轮 专项训练 三角函数的图象与性质1(含答案)第1讲 三角函数的图象与性质考情解读 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ， tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质 函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上单调递减 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心： (k π2，0)(k ∈Z ) 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ―————————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin xy ＝sin ωx ―———————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值为________．思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式． 答案 (1)A (2)－34解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________. (2)已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 答案 (1)1825(2)D解析 (1)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. (2)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sin π4＝－1，又sin3π4>0，cos 3π4<0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.热点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式例2 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin(2x ＋2π3)D ．y ＝sin(2x －π6)(2)若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在[0，π2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．思维启迪 (1)先根据图象确定函数f (x )的解析式，再将得到的f (x )中的“x ”换成“x －π6”即可．(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数． 答案 (1)D (2)(－2，－1]解析 (1)由图知，A ＝1，3T 4＝11π12－π6，故T ＝π＝2πω，所以ω＝2，又函数图象过点(π6，1)，代入解析式中，得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，故φ＝π6.则f (x )＝sin(2x ＋π6)向右平移π6后，得到y ＝sin[2(x －π6)＋π6)＝sin(2x －π6)，选D.(2)由题意可知y ＝2sin(2x ＋π6)＋a ，该函数在[0，π2]上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin(2x ＋π6)在[0，π2]上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a <2，所以－2<a ≤－1.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3 B.163 3 C ．8D ．16(2)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小正值为( ) A.16 B.14 C.13D.12答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)． 则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝(2－a 2)2＋(a 2)2＝25，解得a ＝8，由此得，T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.(2)y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6，得到y ＝tan(ωx ＋π4－ωπ6)的图象，与y ＝tan(ωx ＋π6)重合，得π4－ωπ6＝k π＋π6，故ω＝－6k ＋12，k ∈Z ， ∴ω的最小正值为12.热点三 三角函数的性质例3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)． 解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时sin(2x ＋π4)＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象；若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值． 解 (1)由题意得：f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx － 3 ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π3)，由周期为π，得ω＝1，得f (x )＝2sin(2x －π3)，函数的单调增区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间 (1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min 2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解． (2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5．特别提醒进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身．真题感悟1．(2014·辽宁)将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增答案 B解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误．2．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 押题精练1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M (m,0)，N (n,2)，P (π，0)，且mn <0，则f (x )在下列哪个区间中是单调的( )A ．(0，π4)B ．(π4，2π3)C ．(π2，3π4)D ．(2π3，π)答案 B解析 ∵mn <0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M 点在原点时，此时T ＝π，则ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x )，在(π4，3π4)上为减函数，(0，π4)上为增函数；当图象的最高点在y 轴上时，即N 点在y 轴上，34T ＝π，ω＝32，∴f (x )＝2sin(32x )，在(0，2π3)上是减函数，(2π3，π)上为增函数．所以f (x )在(π4，2π3)上是单调的．2．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π6)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到y ＝sin(2x －π6)的图象．所以g (x )＝sin(2x －π6)．令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π6]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.∴－12<k ≤12或k ＝－1.(推荐时间：50分钟)一、选择题 1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 答案 C解析 由三角函数的定义可知，初始位置点P 0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π30，针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6. 2．(2014·四川)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度答案 A解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24答案 A解析 依题意知T 2＝2π3－π6，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，将点(π6，1)代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，φ＝π6，故y ＝sin(2x ＋π6)，与y 轴交点纵坐标为12. 4．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6B.7π12C.7π6D.7π3答案 C解析 由题中图象知T 4＝π3－π12，所以T ＝π，所以ω＝2.则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫7π12，－A 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2， 所以A ＝7π12，所以A ·ω＝7π6. 5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)<f (π)，则下列结论正确的是( )A ．f (1112π)＝－1 B ．f (7π10)>f (π5) C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z ) 答案 D解析 由f (x )≤|f (π6)|恒成立知x ＝π6是函数的对称轴，即2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又f (π2)<f (π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sin φ<sin φ.所以sin φ>0，得φ＝π6，即f (x )＝sin(2x ＋π6)， 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． 6．已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6答案 A解析 因为A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的五个点，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，所以T ＝4×(π12＋π6)＝π，所以ω＝2， 因为A (－π6，0)，所以f (－π6)＝sin(－π3＋φ)＝0,0<φ<π2，φ＝π3. 二、填空题7．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案 3π8 解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8. 8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案 32解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin(2x ＋π3)． 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12. 又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)， ∴f (x 1＋x 2)＝f (2×π12)＝f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝32. 9．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________． 答案 [－32，3] 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]． 10．给出命题：①函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x )(x ∈R )的最小值等于－1；②函数y ＝ sin πx cos πx 是最小正周期为2的奇函数；③函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π2]上单调递增的； ④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________． 答案 ①④解析 对于①，函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x ) ＝sin(π3－x )，所以其最小值为－1； 对于②，函数y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数，但其最小正周期为1； 对于③，函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π4]上单调递增，在区间[π4，π2]上单调递减； 对于④，由⎩⎨⎧sin 2α<0cos α－sin α<0⇒cos α<0，sin α>0，所以α一定为第二象限角． 三、解答题11．已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的解析式；(3)若f (23α＋π12)＝125，求sin α. 解 (1)f (x )的最小正周期T ＝2π3. (2)由函数的最大值为4，可得A ＝4.所以f (x )＝4sin(3x ＋φ)．当x ＝π12时，4sin(3×π12＋φ)＝4， 所以sin(π4＋φ)＝1， 所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ， 因为0<φ<π，所以φ＝π4. 所以f (x )的解析式是f (x )＝4sin(3x ＋π4)． (3)因为f (23α＋π12)＝125， 故sin(2α＋π4＋π4)＝35. 所以cos 2α＝35，即1－2sin 2α＝35， 故sin 2α＝15.所以sin α＝±55.12．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在x ∈[0，π2]上的值域． 解 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ， 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 即ω＝k 2＋13(k ∈Z )． 又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2， ∵x ∈[0，π2]，∴53x －π6∈[－π6，2π3]， ∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2]．。
【教育资料】高考数学(理)专题练习题：函数、数列、三角函数中大小比较问题(无答案)学习精品
函数、数列、三角函数中大小比较问题1.若不等式对任意的正整数n 恒成立，则实数的取值范围是____2.已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______.3.已知函数在区间上是增函数，则下列结论正确的是__________（将所有符合题意的序号填在横线上）．①函数在区间上是增函数； ②满足条件的正整数的最大值为3； 4.已知是等差数列的前项和,且,给出下列五个命题:学+科网 ①;②;③;④数列中的最大项为;⑤.其中正确命题的是___________.5.若{}n a 是等差数列，首项110071008100710080,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．2019B ．2019C ．2019D ．20196.已知函数1()sin()62f x x πω=-+，x R ∈，且1()2f α=-，1()2f β=.若||αβ-的最小值为34π，则ω的值为（ ）A ．43 B ．23 C. 1 D ．83 7.若，则（ ） A.B. C. D. 8. 已知函数 是上的偶函数，且在区间上单调递增，A,B,C 是锐角三角形的三个内角，则下列不等式中一定成立的是 ( )A.B. C.D. 9.已知， ， ，则（ ）A.B. C. D. 10.已知，， ，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D.11.设cos17)a =+，22cos 131b =-，c =a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A. c a b << B.a c b << C.b a c << D.c b a <<12.设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（ ） A .132()()()323f f f << B. 231()()()323f f f << C.213()()()332f f f << D.321()()()233f f f <<13.已知ABC ∆的三边、、成等比数列，、、所对的角依次为、、. 则的取值范围是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）14. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)()1(1*+∈+N n nS S n n n ＜.若871a a <-，则（ ） A.n S 的最大值为8S B.n S 的最小值为8S C.n S 的最大值为7S D.n S 的最小值为7S15.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，抛物线的离心率为，，， ，则之间的大小关系是（ ）学=科网 A.B. C. D. 16.已知锐角满足，设，则下列判断正确的是（ ） A.B. C.D.17.已知函数．(I)求的最小正周期；(Ⅱ)求证：当时， ．18.已知数列， ， ，（ ），， 为数列的前项和．求证：（Ⅰ）；学+科网19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现这种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与投入（单位：万元）满足，．设甲大棚的投入为（单位：万元），每年能两个大棚的总收益为（单位：万元）．（1）求的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？20.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求角B 的值；（2）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围． 21.已知是等差数列， 是正项的等比数列，且， ， ．（I ）求、的通项公式．（II）求数列中满足的各项的和．22.设函数（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式。
专题2-3 函数、数列、三角函数中大小比较问题测-2018
2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标版文科数学】总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______ （一） 选择题（12*5=60分）1.【2018届北京市通州区高三上学期期末】已知a ， b R ∈， 0a b >>，则下列不等式一定成立的是 A.11a b> B. tan tan a b > C. 22log log a b > D. 22b a a b --⋅>⋅ 【答案】D2.【2018届福建省厦门市高三上期末】已知2log 0.3a =， 0.32b =， 20.3c =，则（ ） A. a b c >> B. c b a >> C. b a c >> D. b c a >> 【答案】D【解析】0.322log 0.30,21,00.31,?a b c b c a ∴===∴ 故选D. 3.设2(sin17cos17)2a =+ ，22cos 131b =- ，32c =，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A. c a b <<B.a c b <<C.b a c <<D.c b a <<【答案】A【解析】利用三角函数中两个和的正弦公式，及倍角公式，不难将a ，b ，c全部化为正弦函数，再利用正弦函数的单调性即可解答，∵2(sin17cos17)sin(1745)sin 622a =+=+= ， ∵22cos 131cos 26sin 64b =-==，3sin 602c == ，故选A. 4. 已知函数()y f x = 是()1,1-上的偶函数，且在区间()1,0- 上单调递增，A,B,C 是锐角三角形ABC 的三个内角，则下列不等式中一定成立的是 ( ) A. ()()sin cos f A f A > B. ()()sin cos f A f A < C. ()()sin cos f C f B < D. ()()sin cos f C f B > 【答案】C5.设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A .132()()()323f f f << B. 231()()()323f f f <<C.213()()()332f f f <<D.321()()()233f f f <<【答案】B【解析】当1x ≥时，()31xf x =-，单调递增，又因为函数的图像关于直线1x =对称，所以在(,1)-∞上单调递减，因为231111,323-<-<-，所以231()()()323f f f <<. 6.【2018届河北省衡水市武邑中学高三上学期第五次调研】若1,10a b c >>-<<，则（ ）A. c c ab ba <B. c ca b > C. a b log c log c < D. a b blog c alog c >【答案】D【解析】对于A ： 18,4,2a b c ===-则1122844,482c c c c ab ba ab ba --=⋅==⋅=∴>，故A 错；7.已知ABC ∆的三边a 、b 、c 成等比数列，a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C . 则sin cos B B +的取值范围是（ ） （A ）3(11]2+，（B ）13[1]22+， （C ）(12]， （D ）1[2]2，【答案】C 【解析】sin cos 2sin 4y B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， a 、b 、c 是等比数列，2b ac ∴=，()222111cos 1212222a c b c a c a B aca c a c +-⎛⎫⎛⎫==+-≥⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，03B π<<，2sin 124B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，12sin 24B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故选C.8.已知函数1()sin()62f x x πω=-+，x R ∈，且1()2f α=-，1()2f β=.若||αβ-的最小值为34π，则ω的值为（ ） A ．43 B ．23 C. 1 D ．83【答案】B 【解析】由题设1)6sin(-=-πωα,0)6sin(=-πωβ,则443T =π,即πωπ32==T ,故32=ω,故应选B. 9. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)()1(1*+∈+N n nS S n n n ＜.若871a a <-，则（ ） A.n S 的最大值为8S B.n S 的最小值为8S C.n S 的最大值为7S D.n S 的最小值为7S 【答案】C 【解析】∵⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧><+⇒<+⇒<+⇒-00000011787787787878a a a a a a aa a a a a ＜,∴n S 的最大值为7S ． 10.若{}n a 是等差数列，首项110071008100710080,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 【答案】C11.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考（五）】已知椭圆22221x y a b +=的离心率为1e ，双曲线22221x y a b -=的离心率为2e ，抛物线22y px =的离心率为3e ， 31log 5e a =， 122log 15e b ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 132log 5e c =，则,,a b c 之间的大小关系是（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c b a >>D. b c a >> 【答案】D【解析】依题意， 1233101,1,1,log 0,e e e e <=∴< 22132log 0,log 0e e >=， 01325log 51c e ∴===，又1223122log log log 001551,5515e e e b a ⎛⎫==>==<= ⎪⎝⎭，b c a ∴>>，故选D.12.【2018届江西省南昌市高三一轮复习训练】已知锐角,αβ满足sin sin 2cos cos αββα+<，设()tan tan ,log a a f x x αβ=⋅=，则下列判断正确的是（ ）A. ()()sin cos f f αβ>B. ()()cos sin f f αβ>C. ()()sin sin f f αβ>D. ()()cos cos f f αβ> 【答案】A（二）填空题（4*5=20分）13.【2018届上海市徐汇区高三一模】若不等式()()11131n na n +--⋅<++对任意的正整数n 恒成立，则实数a的取值范围是____ 【答案】83,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】n 为偶数时131a n <-+最小值，即18333a <-= n 为奇数时131a n -<++最小值，即33a a -≤∴≥- 综上实数a 的取值范围是83,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭14.【2018届河南省郑州市高三第一次模拟】已知函数()()2,1{1,12,x x f x ln x x ≤=-<≤若不等式()5f x mx ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是_______.【答案】50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴实数m 的取值范围是50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．答案： 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是__________（将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】①②③16.【2018届贵州省铜仁市第一中学2高三上第二次月考】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且675S S S >>,给出下列五个命题:①0d <;②110S >;③120S <;④数列{}n S 中的最大项为11S ;⑤67a a <. 其中正确命题的是___________. 【答案】①②【解析】因为675S S S >>,所以760,0a a ,所以公差d<0,且670a a +>,则由等差数列的前n 项和公式与性质可得11111611()1102a a S a +==>,且()11212676712()120,2a a S a a a a +==+>>,又等差数列的前6项为正数,从第7项开始都是负数,所以数列{}n S 中的最大项为6S ,因此正确命题是①②.（三）解答题（6*12=72分）17. 【2018届北京市西城区高三上学期期末】已知函数()22sin cos 23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． (I)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)求证：当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时， ()12f x ≥-． 【答案】(Ⅰ) π；(Ⅱ)证明见解析.18.【2017届浙江省杭州市第二中学高三5月仿真】已知数列{}{},n n a b ， 01a =， 121nn na a a +=+，（ 0,1,2,n = ），(),1,2,3,nb n n == ， n T 为数列{}n b 的前n 项和．求证：（Ⅰ） 1n n a a +<； （Ⅱ）()311,2,3,4n na nb ≤⋅= ； （Ⅲ）()1,2,3,2n n na T n ≤⋅= ． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析故1141433n n n b b n b n +=+≥⋅+⋅ 4314213433n n n n =⋅+≥⋅+ 431413431n n n n >⋅+=⋅+++ 法二、只需证明()21160,1,2,9n n n a ≥= 由11n n n b b b +=+⇒ 221212n n nb b b +-=+ 故： ()()22222112n n n n n b b b b b ---=-+- ()222211(b b b ++-+()212211112132n n b n b b -≥-++++≥- 1n =时， 11324a =<， 2n ≥，可证： 163229n n n -≥>19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现这种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足8042P a =+，11204Q a =+．设甲大棚的投入为x （单位：万元），每年能两个大棚的总收益为()f x （单位：万元）． （1）求(50)f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益()f x 最大？【答案】（1）5.277；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元. 【解析】（1）因为甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元,所以()150804250150120277.54f =+⨯+⨯+=.（2）()()1180422001204225044f x x x x x =++-+=-++,依题意得202018020020x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩,故()()142250201804f x x x x =-++≤≤.令25,65t x ⎡⎤=∈⎣⎦,则()()2211422508228244f x t t t =-++=--+,当82t =,即128x =时,()max 282f x =,所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元.20.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求角B 的值； （2）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围．【答案】（1）3B π=或23π；（2）3,32⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.21.【2018届北京市西城区第13中学高三上学期期中】已知{}n a 是等差数列， {}n b 是正项的等比数列，且112a b ==， 514a =， 33b a =． （I ）求{}n a 、{}n b 的通项公式．（II ）求数列{}n a 中满足46n b a b <<的各项的和． 【答案】I ）31n a n =-， 2n n b =；（II ）632.【解析】试题分析： (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,等比数列{}n b 的公比为q,根据题意,可求得d 与q,从而可求得{}n a 、{}n b 的通项公式;(Ⅱ) 46n b a b <<,即461232n -<<,可求得6n =， 7， 821 ，于是满足46n b a b <<的各项的和为6721215632a a a S S +++=-= .22.【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】已知{}n a ， {}n b 分别为等差数列和等比数列， 11a b ≠， {}n b 的前n 项和为n S .函数()214f x x =的导函数是()'f x ，有()'n a f n =，且11,x a x b ==是函数3265y x x x =-+的零点.（1）求11,a b 的值；（2）若数列{}n a 公差为12，且点(),n n P a b ，当*n N ∈时所有点都在指数函数()xh x a =的图象上. 请你求出()xh x a =解析式，并证明： 1132n S ≤<.【答案】（1）112a =,（2）见解析∵()111113311111123213nnnn b q S q⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 因为0n b >，所以当1n =时， n S 有最小值为13，所以1132n S ≤<.。
专题2-3 函数、数列、三角函数中大小比较问题练-2018
2018高三二轮复习之讲练测之练案【新课标文科数学】1.练高考1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z【答案】D2.【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项. 3.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65. 所以选A.4.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】5.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30 【解析】总费用600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 6. 【2017江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为23-.（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈， 从而π31cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-.2.练模拟1.【2018届福建省泉州市高中毕业班1月检查】已知 1.50.5a -=， 6log 15b =， 5log 16c =，则（ ） A. b c a << B. c b a << C. a b c << D. a c b << 【答案】A【解析】 1.5 1.5655log 15log 15log 16220.5-<<<<=b c a ∴<<故选A2.【2018届湖北省稳派教育高三上学期第二次联考】设实数,,a b c 满足： 221log 332,,ln a b a c a --===，则,,a b c 的大小关系为A. c<a<bB. c<b< aC. a <c<bD. b<c< a 【答案】A【解析】由题意得22223log 1log 33222222,1,ln 03333a b c --⎛⎫⎛⎫====>==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以c a b <<。
专题2.3 函数、数列、三角函数中大小比较问题测-2017
总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一） 选择题（12*5=60分）1. 【2016年高考北京】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +>【答案】C2.若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则有( ) A ．(2)(3)(0)f f g << B ．(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f << D ．(0)(2)(3)g f f << 【答案】D【解析】∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =，由()()xf xg x e -=得，(0)1g =-；()g x 为R 上的偶函数，故22(2)(2),(2)(2)f g e f f e --=--=，∴22(2)2e ef --=，同理可得33(3)2e ef --=，而33220e e e e --->->，故(3)(2)0f f >>，选D.3.设cos17)2a =+，22cos 131b =-，2c =，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A. c a b <<B.a c b <<C.b a c <<D.c b a <<【答案】A【解析】利用三角函数中两个和的正弦公式，及倍角公式，不难将a ，b ，c 全部化为正弦函数，再利用正弦函数的单调性即可解答，∵(sin17cos17)sin(1745)sin 622a =+=+=，∵22cos 131cos 26sin 64b =-==，sin 602c ==，故选A. 4.【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( ) （A ）c c a b < （B ）c cab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <【答案】C 【解析】用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,11223223⨯>⨯,选项B 错误,2313log 2log 22<,选项C 正确,3211log log 22>,选项D 错误,故选C ． 5.设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A .132()()()323f f f << B. 231()()()323f f f <<C.213()()()332f f f <<D.321()()()233f f f <<【答案】B6.当01a b <<<时，下列不等式中正确的是 （ ）A ．b ba a )1()1(1->- B ．b a b a )1()1(+>+ C ．2)1()1(b ba a ->- D ．b a b a )1()1(->-【答案】D7.【2016届池州一中月考试题】已知ABC ∆的三边a 、b 、c 成等比数列，a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C . 则sin cos B B +的取值范围是（ ）（A ）(11+，（B ）1[12+，（C ）(1 （D ）1[2【答案】C 【解析】sin cos 4y B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，a 、b 、c 是等比数列，2b ac ∴=，()222111cos 12222a c b c a B aca c +-⎛⎛⎫==+-≥= ⎪ ⎝⎭⎝，03B π<<，sin 124B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ C.8.【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考】已知函数1()sin()62f x x πω=-+，x R ∈，且1()2f α=-，1()2f β=.若||αβ-的最小值为34π，则ω的值为（ ）A ． 43B ．23 C. 1 D ．83【答案】B 【解析】 由题设1)6sin(-=-πωα,0)6sin(=-πωβ,则443T =π,即πωπ32==T ,故32=ω,故应选B.9. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)()1(1*+∈+N n nS S n n n ＜.若871a a <-，则（ ） A.n S 的最大值为8S B.n S 的最小值为8S C.n S 的最大值为7S D.n S 的最小值为7S 【答案】C 【解析】∵⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧><+⇒<+⇒<+⇒-00000011787787787878a a a a a a a a a a a a ＜,∴n S 的最大值为7S ． 10.【2016届安庆二中第三次月考】若{}n a 是等差数列，首项110071008100710080,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 【答案】C11.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为( )1920 C.910 D.12【答案】C【解析】因为OP AP⊥，所以在Rt AOP ∆中1sin2r OP OPα==，222cos 12sin 1OP αα=-=-，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而函数cos y α=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，所以当α最小时221OP -最大，因为221OP-为增函数则此时OP 最大.根据不等式表示的可行域可知当()4,2P -时max OP ==.综上可得α最小时()m a x2219(c o s )111010α=-=-=.故C 正确. 12.【江西省抚州市七校2017届高三上学期联考】将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若12()()9g x g x =，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A ．4912πB ．356πC ．256πD ．174π 【答案】A（二） 填空题（4*5=20分） 13.【2016高考北京】函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2. 14.【2016高考上海】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】4 【解析】.当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =.15. 【2016广西桂林调研】已知m 、n 为正实数,向量()(),1,1,1m n ==-a b ,若b a ⊥,则12m n+的最小值为______．【答案】3+【解析】由b a ⊥，得1m n +=,则12m n +=()122333n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+=+ ⎪⎝⎭16.,u v 的最小值是 . 【答案】15-（三） 解答题（6*12=72分）17.【2016高考山东】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，18.若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列. （1）求等比数列124,,S S S 的公比； （2）若24S =，求{}n a 的通项公式； （3）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .【答案】（1）4；（2）21n a n =-；（3）m 的最小值为30.【解析】∵数列{}n a 为等差数列，∴112141,2,46S a S a d S a d ==+=+，∵124,,S S S 成等比数列， ∴2142S S S ⋅=， ∴ 2111(46)(2)a a d a d +=+，∴212a d d = ，∵公差d 不等于0，∴12d a =， （1）211144S a q S a ===； （2）∵24S =，∴124a d +=，又∵12d a =， ∴11,2a d ==， ∴21n a n =-； （3）∵3311()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+∴3111[(1)()2335n T =-+-+ 11()]2121n n +--+313(1)2212n =-<+， 要使20n m T <对所有*n N ∈恒成立，∴3202m ≥，30m ≥，∵*n N ∈， ∴m 的最小值为30. 19.【江西省抚州市七校2017届高三上学期联考】食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现这种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a（单位：万元）满足80P =+，11204Q a =+．设甲大棚的投入为x （单位：万元），每年能两个大棚的总收益为()f x （单位：万元）． （1）求(50)f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益()f x 最大？【答案】（1）5.277；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元.20.在ABC∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求角B 的值； （2）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围．【答案】（1）3B π=或23π；（2）⎣.21.【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考】已知函数)(2cos 3cos sin 2)(R x x x x x f ∈-=.（1）若21)(=αf 且)32,125(ππα∈，求α2cos ； （2）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（3）记函数)(x f 在]2,4[ππ∈x 上的最大值为b ，且函数)(x f 在)](,[b a b a <ππ上单调递增，求实数a的最小值.【答案】(1)8153+-；(2)32-=x y ；(3)1223. 【解析】（1）)32sin(22cos 32sin )(π-=-=x x x x f ， ∵21)(=αf ，∴41)32s i n (=-πα，∵)32,125(ππα∈，∴),2(32πππα∈-，∴415)32cos(-=-πα. ∴8153234121415)332cos(2cos +-=⨯-⨯-=+-=ππαα. （2）∵)32cos(4)('π-=x x f ，∴2)0('=f ，又3)0(-=f ，∴所求切线方程为32-=x y .（3）当]2,4[ππ∈x 时，]32,6[32πππ∈-x ，]2,1[)(∈x f ，∴2=b . 由πππππk x k 223222+≤-≤+-得)(12512Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ. 又函数)(x f 在)](,[b a b a <ππ上单调递增，∴]2125212[]2,[ππππππ++-⊆，a ， ∴ππππ2212<≤+-a ，∴1223min =a . 22.设函数()ln(1),()ln(1)1x f x a x g x x bx x=-+=+-+ （1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式()2111ln 1,2,12nk k n n k =-<-≤=⋅⋅⋅+∑ 【答案】（1）函数()f x 的最大值为(0)0f =；（2）b 的取值范围是[)+∞,1 ；（3）见解析.。
高中数学题型解法归纳《三角函数值大小比较》
【知识要点】1、sin ,cos ,tan y x y x y x ===正弦函数余弦函数正切函数的图象与性质R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭2、三角函数线（1）由于sin MP α=,所以MP 就叫角α的正弦线.正弦线的起点在垂足，终点在角的终边与单位圆的 交点.（2）由于cos OM α=,所以OM 就叫角α的余弦线.余弦线的起点在原点，终点在垂足.（3）由于tan AT α=，所以AT 就叫角α的正切线.正切线的起点在单位圆与x 轴正半轴的交点A ， 终点在过点A 的切线与角α的终边或反向延长线的交点.3、三角函数值大小的比较常用的方法是三角函数线和单调性两种方法. 【方法讲评】【例1】设,5sin=a ,5cos =b ,5tan=c 则（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．c b a << D ．b c a << 【解析】32sinsin55a ππ==，则25π是第一象限的锐角，根据三角函数线，所以c a b <<，故选A ．【点评】（1）本题中由于有正弦、余弦和正切，且角(0,)απ∈，所以选择三角函数线比较大小比较方便.（2）本题中,53sinπ=a 化简成32sin sin55a ππ==，这样三个角相同利用三角函数线比较更简洁. 【反馈检测1】设a=24sin 5π，b=39cos()10π-，c=43tan()12π-，则（ ）A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b【例2】 下列关系式中正确的是（ ）A ．000sin11sin168cos10<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11cos10sin168<<D ．000sin168cos10sin11<<【点评】由于要比较的对象只有正弦和余弦，所以可以通过诱导公式把它们统一化成正弦，再利用正弦函数的单调性解答. 学.科.网【反馈检测2】下列不等式中，正确的是（ ） A. 74sin 75sinππ> B.)7tan(815tan ππ-> C.)6sin()5sin(ππ->- D. )49cos()53cos(ππ->-高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第28讲：三角函数值大小比较参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】B【反馈检测2详细解析】函数x y sin =在区间]2,2[ππ-为单调递增函数，在区间]23,2[ππ为单调递增函数，由74sin 75sin 27475πππππ<⇒>>，由)6sin()5sin(65ππππ-<-⇒-<-，故A,C 错误；x y tan =在区间]2,2[ππ-为单调递增函数,)8tan()82tan(815tan ππππ-=-=, 由)7tan()8tan(78ππππ->-⇒->-,即)7tan()815tan(ππ->，故B 正确；,052cos )53cos(53cos )53cos(<-=--==-πππππ 04cos )49cos(>=-ππ，所以有)49cos()53cos(ππ-<-,故D 错误，综上所述，选B.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
纵观近几年高考对于大小比较问题的考查，重点放在与函数、数列、三角函数的大小比较问题上，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答，从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 函数中的大小比较问题函数是高中数学必修教材中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用判断单调性、最值、单调性、奇偶性、周期性等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路.1.1 指数函数中的大小比较问题比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等，是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性，要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”，还应注意中间量0，1等的运用．例1. 设253()5a =，352()5b =，252()5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>思路分析：首先比较b ，c 的大小，构造函数2()5x y =，再比较a 与c 的大小.点评：该题考查了指数函数单调性上的应用，难度中等，根据底数选择比较的顺序是解题的关键.1.2 对数函数中的大小比较问题比较对数值的大小时，要注意区分对数底数是否相等，是用对数函数的单调性，还是用对数函数的单调性，要注意对数函数图象的应用，还应注意中间量0，1等的运用．例2. 已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>思路分析：利用对数函数的单调性以及选择中间变量0，1进行比较. 解析：1032122110221,log 0,log log 3133a b c -<=<==<==>，∴c a b >>，故选C. 点评：该题考查了对数函数单调性上的应用，难度中等，构造合适的函数模型与选择比较顺序是解题的关 键.1.3 通过求函数的最值证明不等式在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来. 例3. 已知函数2()x f x ke x =-（其中k R ∈，e 是自然对数的底数)（1）若2k =-，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，求k 的取值范围；（3）在（2）的条件下，试证明：10()1f x <<.思路分析：（1）当2k =-时，2()2x f x e x =--，通过求导易知()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）由题意 可知，问题等价于'()20x f x ke x =-=有两个不同的实数根，分离参数可得2x x k e =，从而可将问题 转化为判断函数2()x x x eφ=的取值情况，考虑通过求导判断函数的单调性，即可知()x φ的值域，从而 可得实数k 的取值范围是2(0,)e；（3）由（2）可知，1201x x <<<，111'()20x f x ke x =-=，得 112x ke x =，从而122211111()2(1)1xf x ke x x x x =-=-=--+，即可证10()1f x <<.（3）由（2）可知，函数()f x 的两个极值点1x ，2x 满足1201x x <<<，由111'()20xf x ke x =-=，得112x ke x =，∴122211111()2(1)1x f x ke x x x x =-=-=--+，又∵1(0,1)x ∈，∴210(1)11x <--+<，即10()1f x <<.点评：该题考查导数的应用，考查学生综合分析问题、解决问题的能力，第二问是存在性问题，经常利用 参变分离法，转化为函数的最值求解，第三问，结合（2）利用求函数的最值来证明不等式即可. 2 数列与不等式相结合数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．2.1 数列中的不等问题例4. 若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大. 思路分析：根据等差数列的性质，将条件中给出的不等关系转化为转化为与n S 有关的信息.点评：此题以通项公式为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换，再利用前n 项和最大时的等价形 式：11n n nn S S S S -+≥⎧⎨≤⎩，从而求解问题． 2.2 数列参与的不等式证明此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的． 例5. 设函数()ln 1f x x px =-+（1）求函数()f x 的极值点；（2）当0p >时，若对任意的0x >，恒有()0f x ≤，求p 的取值范围；（3）证明：222222222ln 2ln 3ln 4ln 21(,2)2342(1)n n n n N n n n --+++⋅⋅⋅+<∈≥+ 思路分析：（1）由于()ln 1f x x px =-+，可知()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()px f x x -=，当0p ≤时， '()0f x >，()f x 在(0,)+∞上无极值点.当0p >时，令'()0f x =，∴1(0,)x p=∈+∞，列出'()f x 、 ()f x 随x 的变化情况表，从上表可以看出：当0p >时，()f x 有唯一极大值点1x p =；（2）由（1） 可知，当0p >时，()f x 在1x p =处却极大值11()ln f p p=，此极大值也是最大值.要使()0f x ≤ 恒成立，只需11()ln 0f p p=≤，解得1p ≥，即可求出p 的取值范围；(3)令1p =由（2）可知， ln 10x x -+≤，即ln 1x x ≤-即可得到 222222222222ln 1ln 2ln 3ln ln 123n n n n n n n n -≤-⇒≤⇒++⋅⋅⋅+ 22211111123n≤-+-+⋅⋅⋅+-，利用不等式放缩可得： 222111111(1)()(1)()232334(1)n n n n n --++⋅⋅⋅+<--++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+2212(1)n n n --=+，即可证明结 论.（2）由（1）可知，当0p >时，()f x 在1x p =处却极大值11()ln f p p=，此极大值也是最大值，要 使()0f x ≤恒成立，只需11()ln 0f p p=≤，解得1p ≥，故p 的取值范围为[1,)+∞；（3）令1p =， 由（2）可知，ln 10x x -+≤，即ln 1x x ≤-， 222222222222222ln 1ln 2ln 3ln 111ln 11112323n n n n n n n n n -≤-⇒≤⇒+++≤-+-++-=222111111(1)()(1)()232334(1)n n n n n --++⋅⋅⋅+<--++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ =11111111(1)()(1)()2334121n n n n n ---+-+⋅⋅⋅+-=---++2212(1)n n n --=+. 点评：近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明 不等式，这是一种趋势，应特别关注．3 三角函数的最值与综合运用1. 掌握求三角函数最值的常用方法：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等.2. 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性；（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.3.1 解三角形中的最值问题例6. 若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 .思路分析：首先利用正弦定理将条件中的角之间的关系转化为边之间的关系，再根据余弦定理的变式结合 基本不等式求最值.点评：此题正余弦定理为背景，首先利用正弦定理得到三角形边之间的关系，再以此关系为基础结合基本 不等式求得cos C 的最小值，体现了知识点的交汇．3.1 与三角函数有关的最值问题例7. 函数()2sin cos sin cos f x x x x x =++的最大值为______.思路分析：利用换元法，设sin cos x x t +=，从而将()f x 的形式进行化简，转化为关于t 的二次函数.点评：此题与三角函数有关的最值为背景，考虑到2(sin cos )12sin cos x x x x +=+，因此可以考虑采用换 元法解题，将其转化为二次函数求解．综合上面的三种类型，解决函数、数列、三角函数中的大小比较问题，解答时首先要找准模型，通过转化来解决，一般情况下，此类问题是几个知识点的交汇，需综合不等式、函数等性质解题.大小比较问题是函数、数列、三角函数的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点，同时也是高中数学必修课中的几大内容之一，解决大小问题不仅会用到函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和图象，同时，常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；而且在解决一些不等式、数列等问题中也会用最值来求解.：。