高中三角函数和数列部分公式
三角函数数列公式大全
三角函数数列公式大全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】三角函数公式：（1）.弧度制：180orad π=，'18015718oo rad π=≈弧长公式：l r α=，扇形面积公式：21122S r lr α==（2）定义式：设角α终边上一点为(),P x y ，22r OP x y ==+则：sin ,cos ,tan ;y x y r r xααα=== （3）同角基本关系式：22sin sin cos 1,tan ;cos ααααα+== （4）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
（5）两角和差公式：()sin sin cos cos sin ,αβαβαβ±=±()cos cos cos sin sin ,αβαβαβ±= ()tan tan tan ;1tan tan αβαβαβ±±=（6）二倍角公式：22tan sin 22sin cos ,tan 2;1tan αααααα==- 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;（7）降幂公式：()()22111sin cos sin 2,sin 1cos 2,cos 1cos 2;222ααααααα==-=+（8）合一公式：()22sin cos sin ,a b a b αααϕ+=++其中tan b aϕ=。
2．三角函数图像和性质：（二）、函数图像的四种变换：（三）、函数性质： 1.奇偶性：（1）定义：奇函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数。
偶函数：对于定义域内任何自变量x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数。
（2）图像：奇函数图像关于原点对称，若自变量可以取0，则()00f =;偶函数图像关于y 轴对称。
高中三角函数公式大全
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： ±α及±α与α的三角函数值之间的关系： sin（+α）= cosα cos（+α）= -sinα tan（+α）= -cotα cot（+α）= -tanα sin（-α）= cosα cos（-α）= sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanα sin（+α）= -cosα cos（+α）= sinα tan（+α）= -cotα
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+… +n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+… +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 正切定理: [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h -----------------------三角函数 积化和差 和差化积公式 记不住就自己推，用两角和差的正余弦： cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减，可以得到2组积化和差: 相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全以下为改写后的文章：高中三角函数公式大全三角函数公式：1.两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-XXX)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+XXX)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2.倍角公式tan2A = (2tanA)/(1-tanA)sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A-sin²A = 2cos²A-1 = 1-2sin²A 3.三倍角公式sin3A = 3sinA-4sin³Acos3A = 4cos³A-3cosAtan3A = tana·tan(A+π)·XXX(A-π) 4.半角公式sin(A/2) = ±√((1-cosA)/2)cos(A/2) = ±√((1+cosA)/2)tan(A/2) = ±√((1-cosA)/(1+cosA)) cot(A/2) = ±√((1+cosA)/(1-cosA)) 5.和差化积sin(a+b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a+b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a-b) = 2sin((a-b)/2)cos((a+b)/2)tan(a+b) = (tanA+tanB)/(1-XXX)6.积化和差sinA·sinB = (1/2)(cos(A-B)-cos(A+B)) cosA·cosB = (1/2)(cos(A-B)+cos(A+B)) sinA·cosB = (1/2)(sin(A+B)+sin(A-B)) cosA·sinB = (1/2)(sin(A+B)-sin(A-B)) 7.诱导公式sin(-A) = -sinAcos(-A) = cosAsin(π-A) = sinAcos(π-A) = -cosAsin(π+A) = -sinAcos(π+A) = -cosACos(π-a)=-cos aSin(π+a)=-sin aCos(π+a)=-cos aSin a万能公式：a^2 tan^2 a=a^2/(1+tan^2 a)a^2/(1-tan^2 a)=cos^2 a其他公式：2a sina+b cosa=(a^2+b^2)sin(a+c)，其中tanc=a sin(a)-b cos(a)=b/(a+cos a)1+sin a=(sin a+cos a)^2/2其他非重点三角函数：csc a=1/sin asec a=1/cos a双曲函数：sinh a=(e^a-e^-a)/2cosh a=(e^a+e^-a)/2XXX a公式一：对于任意角α，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα，cot(2kπ+α)=cotα公式二：对于任意角α，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，cot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα，cot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα，cot(π-α)=-cotα公式五：利用公式二和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα，cos(2π-α)=cosα，tan(2π-α)=-tanα，cot(2π-α)=-cotα公式六：对于±α及±α，与α的三角函数值之间的关系为：sin(+α)=cosα，cos(+α)=-sinα以下是一些常用的三角函数公式：tan（+α）= -cotα，cot（+α）= -tanα这两个公式表示正弦和余弦的相反数的比值等于余切和正切的相反数。
高中常用数学二级结论
高中常用数学二级结论高中常用数学二级结论涉及到很多方面，如三角函数、数列、平面几何等。
下面我将就其中一些结论进行详细阐述。
一、三角函数1.极角余弦定理对于任何一个三角形ABC，P点是其内部的一点，则有：cos PAC + cos PAB + cos PBC = 1 + cos ABC这个结论表明，对于任何一个三角形的内部一点P，它到三个角的余弦值之和等于常数1加上余弦值对应的角的和。
2.半角公式对于任意一个角A，在A/2的两遍，设AB，AC分别为A/2的角平分线，有：sin A/2 = √[1-cosA]/2cos A/2 = √[1+cosA]/2tan A/2 = sin A/(1+cosA)这个结论广泛应用于三角函数的计算中，可简化计算过程。
二、数列1. 常见数列的通项公式对于一些经常出现的数列，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等，它们都有一个通项公式，来表示第n项的值。
等差数列公式：an = a1 + (n-1)d等比数列公式：an = a1 * q^(n-1)斐波那契数列公式：Fn = Fn-1 + Fn-2这些公式是高中数学里比较基础的知识，掌握它们可以方便我们在求解数列问题时，快速得出所需的值。
2. 递推数列的通项公式对于一些递推数列，其前一项或前几项的值与后一项或后几项的值有一定的联系，可以借助这些联系来求出通项公式。
如Fibonacci数列通项公式：Fn = [φ^n - (1-φ)^n]/√5，其中φ=(1+√5)/2，称为黄金分割数，是一个十分有趣的数学结论，其出现在音乐、美术、建筑等多个领域中。
三、平面几何1. 垂线分割线段对于平面上的一条线段AB，它的中垂线CD，将线段分成两部分，有：AC²- CD²= BC²- CD²这个结论可以应用于平面几何中的很多问题，如求线段的长度、判定三角形的性质等。
2. 等角平分线定理对于任意三角形ABC，AE是其内角BAC的平分线，则有：AB/AC = EB/EC这个结论表明，内角的平分线的性质与外接圆密切相关，在平面几何中有重要的应用。
三角函数公式
第一部分三角函数公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n, 5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n -4)α·sin^4α-…·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cos α)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1 -cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cos β·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·s inγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tan α·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a /2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/ 2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2[转]洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理来源：王艺璇的日志洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
最全面三角函数所有公式及学习等差数列求和公式的四个层次和对数特例2021
成三角公式总表⒈L = R= nπR= n R弧长80 S 扇L R= R= 60⒉正弦定理： asin Ab=sin Bc=sin C= R（R 为三角形外接圆半径）⒊余弦定理：a =b +c -bc cos A b =a +c -ac cosBc =a +b -ab cosC cos A b c abc⒋S⊿= a ha=ab sinC = bc sin A= ac sin B = abc =R4Rsin A sin B sinCa sin Bsin C=b sin Asin C=c sin Asin B= =pr= p( p a)( p b)( p c)sin A s in B sinC积(其中p 极( a bc) , r 为三角形内切圆半径)向⒌同角关系：上，探⑴商地关系：①tg = y =索x 自己y sincos= sin sec ②ctgx cosy sinrcos csc本③sin cos tg④sec tg csc 身r x价值x rcos，⑤cos sin ctg ⑥csc ctg sec 学业有⑵倒数关系：⑶平方关系：sinsinrcsccoscos secsectgtgctgcscyctgsin⑷a sin b cos a b sin( ) （其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tg b）a⒍函数y= A sin( x ) k 地图象及性质：（0, A 0 ）振幅A ，周期T= , 频率f = , 相位x ，初相T2自 值 业⒎五点作图法： 令 x依次为 0,作图 ⒏诱导公试,,求出 x 与 y ， 依点 x, ysincos tg ctg- - sin + cos - tg - c tg - +sin - cos - tg - ctg +- sin - cos + tg + ctg - - sin + cos - tg - ctg k++sin+ cos+ tg+ ctg积极向上，sin con tg ctg 探 索+ cos+sin + ctg + tg 己 本 + cos - sin - ctg - tg 身价 - cos - s in + ctg + tg ， 学 - cos+sin- ctg- tg有 成⒐与差角公式三角函数值等于地同名 三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原 三角函数值地符号；即：函数名不变，符号看 象限三角函数值等于地异名 三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原 三角函数值地符号;即：函数名改变， 符号看象 限①sin( ) sin coscos sin②cos( )cos cossin sin③ tg()tg tg tg tg ④ tgtg tg( )( tg tg )⑤ tg() tg tgtg tgtg tg tgtgtg tg tgtg其中当 A+B+C= π时,有:i). tgA tgB tgC tgA tgB tgCii). tg A tgBtg A tg Ctg B tg C自⒑二倍角公式：(含万能公式)①sin sin cos tg1 tg②c os cos sin 2 cos sintgtg③tg tgtg④s intgtgcos⑤cos cos ⒒三倍角公式：①sin sin 4 s in 4 sin sin( 60 ) sin( 60 )②cos c os 4 cos 4 cos cos(60 ) cos(60 )tg tg积③tg tg tg (60) tg(60 ) 极tg向上⒓半角公式：（符号地选择由，探所在地象限确定）索①sin 己cos ②sincos ③cos cos本身④cos 价值1 cos⑤cos 2 sin ⑥cos cos，⑦学业sin (cos sin ) cos sin有成⑧tg coscos sincoscossin⒔积化与差公式：sin cos coscossin(cos() sin() cos()) sin sincos sincos(1sin() cos) sin( )⒕与差化积公式：，①sin③cossincoss in2coscoscos②sin④cossincoscossinsinsin⒖反三角函数：名称函数式定义域值域性质⒗反正弦函数y arcsin xy arccosx,arcsin(-x) -arcsinx 奇最简反余弦函数y arctgxarccos( x) arccosx单反正切函数,arctg(-x) - arctgx 奇地反余切函数积极向上方程探y arcctgxarcctg ( x) arcctgx 三角索方程方程地解集自己sin x a本身a x | x k arcsin a, k Z价值，cos x aa x | x k k arcsin a, k Z学业有成tgx a a x | x ka x | x karccos a, k Zarccos a, k Zctgx ax | x kx | x karctga , k Zarcctga , k Z 1,1 增R1,1 减增0,R 减0,3 4本等差数列求与公式地四个层次等差数列前 n 项与公式 S n( aa n )nnan(n1) d, 为数列部分最重要公式之一, 学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次 :1. 直接套用公式积 从公式 S n极 向 (aa n )n (a m a n m)nnan(n) d中, 我们可以看到公式上 中出现了五个量 , 包括 ， 探 a , d , a n , n , S n , 这些量中已知三个就可以求另外两个了 .索 从基本量地观点认识公式、理解公式、掌握公式这为最低层次要求.自 己 例 设等差数列 身 a n 地公差为 d, 如果它地前 n 项与 S n n , 那么价 ( ).(99年三南高考试题 )值 ， 学 (A) a n 业 有 (C) a 成n , dn , d(B)(D)a nna nn, d,d解法由于 S nn且a S n S n 知, a n n(n )n,da n a nn[ ( n )], d, 选(C).解法S nnan(n ) dn, 对照系数易知 d ,此时由 nan( n )n 知a , 故a nn, 选(C).例 设S n 为等差数列 a n 地前 n项与, 已知 S 与S 地等比中项为41n n3 3 极 本 成S , S 与S 地等差中项为 , 求等差数列 a 地通项 a .(997年全国高考54nn54文科)解 设a n 地通项为 a na (n1) d , 前 n 项与为 S nnan(n) d.由题意知 S S 4 SS 4( S 5) 5 , (a 即 d) (4a 4 4 d) (5a55 4 d)(a d)(4a 4 4 d)化简可得ad 5d0 d , 解得 0 或 d 5 ada5a4积 由此可知 a 向 或a n4 (n )() 5n. 55上 经检验均适合题意 , 故所求等差数列地通项为 ， 探 索 . 逆向活用公式自 a n 或a n n. 55己 在公式地学习中 , 不仅要从正向认识公式 , 而且要善于从反向分析弄清 身 价 公式地本来面目 . 重视逆向地认识公式 , 逆向运用公式 , 无疑将大大地提高公 值 ， 学 式地解题功效 , 体现了思维地灵活性 .业 有 例设n N, 求证:n(n )n(n )n(n) .(985 年全国高考文科 )证明n(n )n ,又,,, n n(n ) ,n( n )n(n ) .又n(n )4 (n ),且 ,,4 4,, n(n ) n ,4 4 11 1 1 n，本成n(n )n(n ).例4 数列a n对于任意自然数n 均满足S n( aa n ) n , 求证:a n为等差数列. (994 年全国高考文科)证明欲证ana n为常数,由Sn( a a n )n 及S(a a n)( n1)可得na n a (n )a n推出( n ) a n 1 a na n ,作差可得na n na n na n 2 , 因此a n anana n.由递推性可知:证.积anananana a d (d 为常数), 所以命题得极这为九四年文科全国高考试题, 高考中得分率极低, 我们不得不承认此向上为公式教学与学习中地一个失误, 倘若能重视逆向地认识公式, 理解公式, 应探索用公式, 还“与”为“项”, 结局还能如此惨重吗?自己. 横向联系, 巧用公式身价在公式地学习过程中, 还要从运动、变化地观点来认识公式, 从函数及数值，学列结合地角度分析透彻理解公式, 公式S n 业nan(n )d表明为关于n 地二次有函数, 且常数项为0, 同时也可以看出点列(n, Sn) 均在同一条抛物线上, 且此抛物线过原点, 体现了思维地广阔性, 请再看例.解设Snan bn , 则可得( a b ) (a 44 b 4) [ (a 555b)](9a b) (6a4 4b)n 1， 成解得 a 0或 a b b6 5 , 所以 S n6 5n 或 S n6 n56 n, 5从而a n 或a nn. 55例 5设等差数列 a n 地前项与为 S n , 已 知 a, S 0, S0, 指出S, S ,S ,, S 中哪一个值最大 , 并说明理由 . (99年全国高考试题 )解 由于 S n nan(n) d表明点列y(n, S n )都 在 过 原 点 地 抛 物 线 上 , 再 由S0, S 0,易知此等差数列公差 d<0, 且 a积极 示,向 0, 图象x 0x如 图 所上 易知其对称轴为 x 探 x 0 , x 0 (6,6.5) , O索 于为a 6 自 0, a 7 0 , 故 S 6 最大.己 本 4. 恰当变形妙用公式身 价 对公式进行适当变形 , 然后再运用公式为公式应用地较高层次 , 从而丰值 ， 学 富了公式本身地内涵 , 往往给解题带来捷径 , 体现了思维地深刻性 .业 有 对于公式 S( aa n )n , 变形可得(a m na n m) n(aa m )m (a ma n )( nm),对于公式 S n na n(n ) d, 变形可得 S n nn d, 它表明对于任意 n N , 点列( n , S n) 都在同一直线 nl : ydx (a d) 上.例 6 等差数列 a n 地前 m 项与为 0, 前 m 项与为 00, 则它地前 m 项与为( )(A)0(B)70(C)0(D)60(996年全国高n S a 11上 35考试题)解法S m( aa m )m 又由于 S m0 a m1 mm00 ,m(a m a m) 40 , m(a a m ) m( a m a m) 40 ,从而 S m 400, 选(C).解法由于点此(m , S m ) m (m,S m ) m (m, S m ) m在同一直线 ydx (a d) 上, 因S m m mS m m mS m m mS mm , 化简可得 : mS m (S mS m )0 , 选(C).积 在上文我们曾给出 97 年高考试题两个解法 , 这里我们再给出两个解法 . 极 向 解法 由于点列 ， 探 索 而可得自 ( n , S n ) 均在同一直线上 , 说明数列n S n成等差数列 , 从n己 S S 5 本 5 身 S S2 S 44 S S S 45 8 价 值 ， S 学 业 有 4 ( 5 ) 45 S 44, 解得 S 4 S 5a 4 或 S 45 5 S 5 46成从而可求得a 4a 5 或4 5 ,a 8 5故 等 差 数 列 a n 通 项 为 a n 或yn. Al55P解法 4 由于点列所示,(n , S n) 均在同一直线nOB上 如 图xPl1P 1a nS S S 1 S S S SS S 4 3 42 3及 3 4 5极 本由 S知 A 点坐标为 (.5,).4若直线 l 与 x 轴无交点 , 即平行于 x 轴, 则d=0, S nn , n N ,, 显然也满足条件4( S 5 ) 5, 从而 S n, a n , n N. 若直线 l 与 x 轴相交, 设其交点为 B(x,0), P (, S ), P ( 4, S 4 ), 4P (5, S 5 ), 由5 4 ( S 5 ) 4 4 5 4 知 S 0, S 4 0, 且 S 5 4 5 0. 若 不 然 S 0,S 4 0, S 5 4 5 0 . , 由单调性知不可能有4 4SS 5 ( S 5 ) 5 , 因此点 B 应 落在 (4,0),(5,0)之间. 由 SS(S ) 可得5 , 45S 5 S 4 54即有x5 x 5 x , 解得 x 4 x. 积由 A 、B 两点坐标可求 向 (n , S n) n 所在直线方程为 S nn6 ( n 5)6 n6 ,5 5上 S n ， 6 n 5 6 n, a 5n. 5 5 探 索 综上所述所求等差数列通项公式为 自 a n 或a nn.55己 从以上可以看出 , 对公式地学习不应仅仅停留在公式地表面 . 对公式深身 价 刻而丰富地内涵忽视或视而不见 , 而应充分挖掘出这些隐藏在内部地思想方 值 ， 学 法为我所用 , 提高公式地解题功效 , 才能达到灵活运用公式地较高境界 .业有成含参变量地对数高考高考试题解法综述含参变量地对数问题常常在高考试题中出现 , 本文对这一类问题地解法作以总结 , 以揭示这类问题地一般解题规律 .1. 直接转换3n na 1直接转换 : 即把已知条件等价变形 , 而使问题获解 , 这里一定要注意等价变形. 例已知 a0, a, 试求使方程log a ( xak )log(xa ) 有解地 k 地取值范围.(989 年全国高考试题 )解: 原方程等价于 ( x ak )x a①x ak 0② xa③由①可得 xka④k显然④满足不等式③ , 将④代入②可得 k或 0k 即为所求 .积例 解不等式 极 loga () x.(996 年全国高考试题 )向 解( Ⅰ) 当a 上 时原不等式等价不等式组， 0探 x 索 自a己 x 本 a, 从而 x 0.xa身 ( Ⅱ) 当 0 a 价 时原不等式等价于不等式组值 0① ， x学 业a ②有 x成x.a由①知x 由②得0或x0 xa综上所述 , 当a 时原不等式解集为 x |a x 0} ,当 0 a 时原不等式解集为x |x} a2. 消参策略根据题目特征 , 消去参数可大大减少不必要地讨论 .例 设 0 x 且a0, a , 试比较 log a (x) 与 log a ( x) 地大小. (98 年业成全国高考试题)解: 0x , 0 x , x , 0 xx于为log a ( x)log a ( x)log (x) ( x) log (x) ( x) log( x) log (x)( x)因此loga( x) > log a ( x)3. 引参策略恰当地设立参数, 使问题得到简化, 计算量减少, 这为解题中常用技巧.例4 设对所有实数x, 不等式x log 4(a ) ax log (alog ) 0 恒成立,a a 4 a求a 地取值范围. (987 年全国高考试题)积极向上解: 令t ，探loga, 则原不等式可转化为a( t) x tx t 0 .索要使原不等式恒成立, 必须有自己t 0本身t 0 tt 0或t 0价t 0 值， a即log4t 8t ( t) 0 0, 解之0 a .学a有适当地引入参数, 另辟蹊径解题十分巧妙, 请再看例.解: 原方程等价于x ak x a ( x a)a 0, k x x a, x a.a设x acsc , ( ,0) (0, ), 则ksinctg当( ,0) 时k cossinctg又( ,0), k .4 1 xaa a aa a n 上 自 价 成当 (0, ) 时kcos sintg又(0, ), 0 4k . 综上所述可知 k 地范围为 k或 0k .4. 分类讨论分类讨论为解决含参变量问题地重要手段之一 , 值得注意地为在分类讨论中要准确地确定分类标准逐级分类讨论 .例 5 已知自然数 n, 实数 a>, 解关于 x 地不等式log a x( 4) log a xlog a xn( ) nlog x( ) nlog( x a ). (99 年全国高考试题 )积极 向 解: 原不等式等价于， 探( )nlog a x( )nlog a(xa ).索 ()n为奇数时 己本 log a x log ( xa ) 即 ax4 a身 ()n为偶数时 值 log a x log a ( xa ) 即 x4a， 学 例 6 设a 业 0, a , t 0 , 比较 1 log t 与 log t地大小, 并证明你地结论 .(988有 年全国高考试题 )解: 当 t>0 时, 由均值不等式有 tt , 当且仅当 t=时取“ =”号, 所以①t=时logt =log t② t 时 若0 a , 则logt >logt若a 则log t <log t分类讨论应注意 : ①对于多个参变量应分清主参变量与次参变量 , ②按先主后次顺序分层次讨论 , ③必须确定讨论地全集及分类标准, 各类必须互不a a a aaa本 业相容, 否则产生重复讨论各类子集地并集必须为全集 , 否则产生遗漏现象 .5. 数形结合数与形为整个数学发展过程中地两大柱石 , 数形结合为数学中十分重要地思想方法, 某些问题 , 不妨可借助于几何图形来考虑 , 因为几何图形直观、 形象, 易于求解 , 请再看例 . 解 :原 方程 等价 于ylog a ( x ak) log a( xa ) ,转化为考虑曲线 yx ak ( y 0) 与曲线yx a ( y0) , 要使原方程有解 , 只须积aax极 上半直 线 与 上 半双曲 线 有交 点, 由向 上 y x ak， 探 索 平行于双曲线一条渐近线 y 自 x , 如图, 0 ka a己 或ak 身 a 从而解得 ) k 或k时原方程有解 .价 对例 5 也可有如下解法 .值 ， nn学 原不等式等价于 有 ( )log a x( )log ( xa ). ,成y在 同一 坐标 系 中 作 出y=x(y>0), y xa ( y 0) 地图象. 由图象知 x a , 由xx a 求得交点 P横坐标为 x4a , x4a ( 舍)aax( ) n当 n 为 奇 数 时 , 由0 知log a x log (xa )因 a> 由 图 象 知a a2a x4a .( ) n 当 n 为 偶 数 时 , 由0 知log a x log (xa )因 a>, 由 图 象 知4a x.仿上方法同理可求解例 , 这里从略 .步骤: ①把原不等式 ( 方程) 等价变形为f ( x)g ( x)( f( x)g(x)), ②作出 yf ( x)与 y g (x) 图象, ③由 f (x) g( x) 求交点 , ④由图象及函数性质确定范围 , 从而求解.积6. 分离参数 ( 主次转化 )极 向 更换问题中地参变量与变量位置 , 常常得到新颖简洁地解法 , 请再看例 4. 上 ， 解: 将原不等式变形为 x( xx ) loga0,探a索 自 己 xx ( x )0, logax ,本 a身 价 x(x )a 值 又对于任意 x R , ， (x )0 , 因此必须且只须 log0,a学 a 业 即,解之 0<a<.有 a成所求 a 地取值范围为 0<a<.例 7 设 f ( x)x xlg( n )xnn xa, 其中 a 为实数, nN ,n , 如果当x (,) 时, f (x) 有意义, 求 a 地取值范围 . (990年全国高考试题 )解: 由题设知 x (,) 时不等式 xx( n ) xn x a 0 恒成立,x xx a [( ) ( ) ( ) n nn( n )x] 恒成立. na 即1 ，令 ( x)x [( ) n x x ( ) ( ) nn ( n ) x] , x ( n ,) 时为增函数 . 因此 x= 时 ( x)max(n n nn ) na( x) 恒成立,an.仿上述解法可对例 再给出如下两个解法 : 解法以 k 为主参数考虑由 kxa (k) , 知k k, f ( x)ax 在(ak , ) 为a增函数, 故 f ( x)x k 即 ka kk , 解之 k或 0k .解法以 a 为主参数 , 由akx0 知 k 与 x 同号, 代入 x ak0 知 xkxkk积①当 x>0 时, 则 k>0, 故k0 k极k 向 上 ， ②当 x<0 时, 则 k<0, 故kk探索 自 综上可知 k ( 己 本, )k(0,) .身 分离参数一般步骤为 : ①将含参数 t 地关于 x 地方程或不等式变形为 g(t) 与价 值 (x) 学 地等式或不等式 , ②根据方程或不等式地解(x) 地范围确定函数 ( x) 地取业 值范围 D,③由 D 以及 g(t) 与 有 成从而求出参数 t 地范围. 说明: 这里①为前提 , ②为关键(x) 地相等与不等关系确定为 g(t) 地取值范围 ,从以上数例可以看出 , 只要我们从多角度、多方位、多层次上去挖掘隐含条件, 从而获得问题地最佳解决方法 , 不断提高自己地解题能力 ..2x 1。
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinbcos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota)cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)倍角公式tan2a=2tana/(1-tan^2a)sin2a=2sina•cosacos2a=cos^2asin^2a=2cos^2a—1=1—2sin^2a三倍角公式sin3a=3sina-4(sina)^3;cos3a=4(cosa)^3-3cosatan3a=tana•tan(π/3+a)•tan(π/3-a)半角公式sin(a/2)=√{(1cosa)/2}cos(a/2)=√{(1+cosa)/2}tan(a/2)=√{(1c osa)/(1+cosa)}cot(a/2)=√{(1+cosa)/(1-cosa)}tan(a/2)=(1cosa)/sina=sina/(1+cosa)和差化积sin(a)+sin(b)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b)=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b)=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb积化和差sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b)=1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(π/2-a)=cos(a)cos(π/2-a)=sin(a)sin(π/2+a)=cos(a)cos(π/2+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)tga=tana=sina/cosa万能公式sin(a)=[2tan(a/2)]/{1+[tan(a/2)]^2}cos(a)={1-[tan(a/2)]^2}/{1+[tan(a/2)]^2}tan(a)=[2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2} 其它公式a•sin(a)+b•cos(a)=[√(a^2+b^2)]*sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]a•sin(a)-b•cos(a)=[√(a^2+b^2)]*cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]1+sin(a)=[sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a)=[sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)双曲函数sinh(a)=[e^a-e^(-a)]/2cosh(a)=[e^a+e^(-a)]/2tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)sin30°=1/2sin37°=0。
三角函数,数列公式
1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n=2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时，a n是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：S n=S n=S n=当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式：a n= a1 q n-1 a n= a k q n-k(其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，S n=S n=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。
6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列{a n b n}、、仍为等比数列。
7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)11、{a n}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。
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公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
推导：cos(2α)=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2(α)-sin^2(α)……①
在等式①两边加上1，整理得：cos(2α)+1=2cos^2(α)
将α/2代入α，整理得：cos^2(α/2)=(cosα+1)/2
在等式①两边减去1，整理得：cos(2α)-1=-2sin^2(α)
将α/2代入α，整理得：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
sin(α/2)=±[(1-cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定）
cos(α/2)=±[(1+cosα)/2]^(1/2)(正负由α/2所在象限决定）
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=±[(1-cosα）/（1+cosα）]^(1/2)
推导：tan（α/2）
=sin（α/2）/cos（α/2）
=[2sin（α/2）cos（α/2] /2cos(α/2)^2
=sinα/(1+cosα)
=(1-cosα)/sinα
一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n=
2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时，a n是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：
S n=S n=S n=
当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n 的正比例式。
4、等比数列的通项公式：a n= a1 q n-1 a n= a k q n-k
(其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时，S n=S n=
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则
3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，则
4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。
6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列
{a n b n}、、仍为等比数列。
7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)
11、{a n}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。
12、{b n}（b n>0）是等比数列，则{log c b n} (c>0且c 1) 是等差数列。
13. 在等差数列中：
（1）若项数为，则
（2）若数为则，，
14. 在等比数列中：
（1）若项数为，则（2）若数为则，。