2020-2021初中数学二次函数的应用培优提升训练题3(附答案详解)
2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含答案
2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)含答案一、二次函数1．对于二次函数 y=ax 2+（b+1）x+（b ﹣1），若存在实数 x 0，使得当 x=x 0，函数 y=x 0，则称x 0 为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b ，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值. 【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－98【解析】 【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3，根据x o 是函数y 的一个不动点的定义，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，整理得ax 02+bx o +（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数，由于对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，则（4a ）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a ，b 之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得. 【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x 2-x-3，把（x o ，x o ）代入得x 02-x 0-3=x o ，解得x o =-1或x o =3，所以函数y 的不动点为-1和3；（2）因为y=x o ，所以ax o 2+（b+1）x o +（b-1）=x o ，即ax 02+bx o +（b-1）=0，因为函数y 恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b 2-4a （b-1）>0，即b 2-4ab+4a>0，而对任意实数b ，b 2-4ab+4a>0成立，所以（4a ）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a=- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b ba a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称， 又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=ba-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，交x 轴正半轴于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值及此时动点M 的坐标；（3）将点A 绕原点旋转得点A ′，连接CA ′、BA ′，在旋转过程中，一动点M 从点B 出发，沿线段BA ′以每秒3个单位的速度运动到A ′，再沿线段A ′C 以每秒1个单位长度的速度运动到C 后停止，求点M 在整个运动过程中用时最少是多少？【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S 与m 的函数表达式是S ＝252m m--，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）；（3）点M 在整个运动过程中用时最少是3秒． 【解析】 【分析】（1）首先求出B 点的坐标，根据B 点的坐标即可计算出二次函数的a 值，进而即可计算出二次函数的解析式;（2）计算出C 点的坐标，设出M 点的坐标，再根据△ABM 的面积为S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可. （3）首先证明△OHA ′∽△OA ′B ，再结合A ′H +A ′C ≥HC 即可计算出t 的最小值. 【详解】（1）将x ＝0代入y ＝﹣3x +3，得y ＝3， ∴点B 的坐标为（0，3），∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ， ∴3＝a +4，得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）将y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x +3，得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴点C 的坐标为（3，0），∵点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，点M 的横坐标为m ， ∴0＜m ＜3，点M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3）， 将y ＝0代入y ＝﹣3x +3，得x ＝1， ∴点A 的坐标（1，0）， ∵△ABM 的面积为S ，∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ＝()2123313222m m m ⨯-++⨯⨯+-， 化简，得S ＝252m m --＝21525228m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当m ＝52时，S 取得最大值，此时S ＝258，此时点M 的坐标为（52，74）， 即S 与m 的函数表达式是S ＝252m m--，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是（52，74）； （3）如右图所示，取点H 的坐标为（0，13），连接HA ′、OA ′， ∵∠HOA ′＝∠A ′OB ，13OH OA '=，13OA OB '=，∴△OHA ′∽△OA ′B ，∴3BA A H''=， 即3BA A H ''=，∵A ′H +A ′C ≥HC ＝22182333⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴t ≥823， 即点M 在整个运动过程中用时最少是823秒．【点睛】本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t 的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.4．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ，(0,1)F ∵点M 在AOB ∆内，∴405b <<当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -=-，∴12b = 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上 综上：①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.5．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，当其自变量的值为m时，其函数值等于﹣m，则称﹣m为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零．例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n等于5．（1）分别判断函数y＝﹣x+1，y＝1x-，y＝x2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；（2）对于函数y＝x2﹣b2x，①若其反向距离为零，求b的值；②若﹣1≤b≤3，求其反向距离n的取值范围；（3）若函数y＝223()3()x x x mx x x m⎧-≥⎨--<⎩请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出相应m的取值范围．【答案】（1）y＝−1x有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2）①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．【解析】【分析】(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；(2)①根据题意可以求得相应的b的值；②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题．【详解】(1)由题意可得，当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，当﹣m＝1m-时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝1x-有反向值，反向距离为2，当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∵反向距离为零，∴|b2﹣1﹣0|＝0，解得，b＝±1；②令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，∵﹣1≤b≤3，∴0≤n≤8；(3)∵y＝223()3() x x x mx x x m⎧-≥⎨--<⎩，∴当x≥m时，﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，∴n＝2﹣0＝2，∴m＞2或m≤﹣2；当x＜m时，﹣m＝﹣m2﹣3m，解得，m＝0或m＝﹣4，∴n＝0﹣(﹣4)＝4，∴﹣2＜m≤2，由上可得，当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D．若直线CD的解析式为y＝﹣1k（x+b），则称直线CD为直线AB的”姊线”，经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的“母线”．（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为：（直接填空）；（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【解析】 【分析】（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标，由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1m（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式． 【详解】（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6，则答案为：y ＝13（x+6）；（2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）， 则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n mx ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122ny x my x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838m m m m +-+-）则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）直线CD 的表达式为：y ＝﹣1m（x+3）， 令x ＝0，则y ＝﹣3m，令y ＝0，则x ＝﹣3， 故点C 、D 的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m ），则点H （﹣32，﹣32m）， 同理可得：点G （﹣32m ，32）， 则GH 2＝（32+32m ）2+（32﹣32m）22， 解得：m ＝﹣3（正值已舍去），则点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0）， 则“母线”函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x+3）＝a （x 2﹣2x ﹣3）， 即：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故：“母线”函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；【解析】【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；【详解】解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）当函数经过点A时，a＝0，∵图形M与线段AB恰有两个公共点，∴y＝a要在AB线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．8．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。
2020-2021中考数学 二次函数 培优练习(含答案)附详细答案
2020-2021中考数学二次函数培优练习(含答案)附详细答案一、二次函数1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题2．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.3．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=12x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+ 23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2 3C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AE AP =AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝97．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32-，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a ba b++⎧⎨-+⎩＝＝，解得：12ab-⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，∴2231y x xy x⎧--+⎨-⎩＝＝，解得：1145xy-⎧⎨-⎩＝＝，221xy＝，＝⎧⎨⎩∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，则点F(m，m﹣1)，∴PF ＝﹣m 2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m 2﹣3m+4，∴S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ＝12(﹣m 2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m 2﹣3m+4)(1﹣m) ＝-52（m+32 ）2+ 1258 ， ∴当m ＝32-时，P 最大， ∴点P(32-，154). (3)当x ＝﹣1时，y ＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC 的解析式为y ＝5x+15，直线BE 的解析式为y ＝x ﹣1，直线CE 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，∵以点B 、C 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D 1D 3的解析式为y ＝5x+3，直线D 1D 2的解析式为y ＝x+3，直线D 2D 3的解析式为y ＝﹣x ﹣9，联立533y x y x +⎧⎨+⎩＝＝ 得D 1(0，3)， 同理可得D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D 的坐标为D 1(0，3)，D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．6．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.7．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1, 0）、C （3, 0）、D （3, 4）．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD 向点D 运动，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥x 轴交抛物线于点M ，交AC 于点N ．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085-或20 13．【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x －1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），∵抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，代入点C（3, 0），可得a＝－1．∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）∵P（112t+，４），将112x t=+代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝2144t-，∴M （112t +，2144t -）， 设直线AC 的解析式为，将A （１,４），C （３,０）代入，得：， 将112x t =+代入得， ∴N （112t +，）， ∴MN， ∴， ∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1．（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，∵Ｎ（112t +，），P （112t +，４）， ∴P Ｎ＝４—（）＝＝CQ ，又∵PN ∥CQ ， ∴四边形PNCQ 为平行四边形，∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，∴， 整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+（舍去）；②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：．整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013t =，（舍去）．“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.8．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．9．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.10．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的解析式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤-2，比较y1与y2的大小.【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.【解析】【分析】 （1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.【详解】(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），∴22122m m -=++-.∴m 1=m 2=-1.∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()222m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.∵12x x <≤－2，∴1y >2y .【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．11．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”．(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x=，∴ S=122⨯=12x x ； （3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）．②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．12． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y =3，y =x +2，y =﹣x +4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线21()4y x m n =-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式； （3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21(2)34y x =-+；（3）抛物线向下平移933-或2312距离，其顶点落在OP 上． 【解析】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为21()4y x m n =-+，∴21()14y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21(2)24y m m n m =-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；∴D （2，3），∴抛物线解析式为21(2)34y x =-+．（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN=3=23，∴抛物线需要向下平移的距离=233-=923-．②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′=2243-=7，∴A′F=4﹣7，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣7）2+（3﹣c）2=c2，∴c=1647-，∴P（4，1647-），∴直线OP解析式为y=473-x，∴N（2，8273-），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣827 -=127+．综上所述：抛物线向下平移923-或127+距离，其顶点落在OP上．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．13．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC．（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=-12x 2+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2. 【解析】【分析】 （1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题．【详解】（1）如图，在AB 上取AG=EC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，有∵AG=EC ，∴BG=BE ，又∵∠B=90°，∴∠AGE=135°，又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ，∴∠ECF=135°，∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC ，在△AGE 和△ECF 中，AGE ECF AG ECGAE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AGE ≌△ECF ，∴AE=EF ；(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ，∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°，∴△ABE ≌△ENF ，∴FN=BE=x ，∴S △ECF =12 (BC-BE)·FN ， 即y=12x(4-x ）， ∴y=- 12x 2+2x （0＜x ＜4)， ②()()222111y x 2x x 4x x 22222=-+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2. 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和点C （0，4），交x 轴正半轴于点B ，连接AC ，点E 是线段OB 上一动点（不与点O ，B 重合），以OE 为边在x 轴上方作正方形OEFG ，连接FB ，将线段FB 绕点F 逆时针旋转90°，得到线段FP ，过点P 作PH ∥y 轴，PH 交抛物线于点H ，设点E （a ，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）若△AOC 与△FEB 相似，求a 的值．（3）当PH ＝2时，求点P 的坐标．【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）a ＝165或45；（3）点P 的坐标为（2，4）或（1，4）3+17，4）． 【解析】【详解】（1）点C （0，4），则c ＝4，二次函数表达式为：y ＝﹣x 2+bx+4，将点A 的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b ＝3，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+3x+4；（2）tan ∠ACO ＝AO CO ＝14， △AOC 与△FEB 相似，则∠FBE ＝∠ACO 或∠CAO ，即：tan ∠FEB ＝14或4， ∵四边形OEFG 为正方形，则FE ＝OE ＝a ，EB ＝4﹣a ，则144a a =-或44a a=-， 解得：a ＝165或45； （3）令y ＝﹣x 2+3x+4＝0，解得：x ＝4或﹣1，故点B （4，0）；分别延长CF 、HP 交于点N ，∵∠PFN+∠BFN ＝90°，∠FPN+∠PFN ＝90°，∴∠FPN ＝∠NFB ，∵GN ∥x 轴，∴∠FPN ＝∠NFB ＝∠FBE ，∵∠PNF ＝∠BEF ＝90°，FP ＝FB ，∴△PNF ≌△BEF （AAS ），∴FN ＝FE ＝a ，PN ＝EB ＝4﹣a ，∴点P （2a ，4），点H （2a ，﹣4a 2+6a+4），∵PH ＝2，即：﹣4a 2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a ＝1或12317+317- 故：点P 的坐标为（2，4）或（1，43+17，4）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．15．综合与探究如图，抛物线y=211433x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．【答案】（1）C（0，﹣4）；（2）Q点坐标为（522，522﹣4）或（1，﹣3）；（3）当m=2时，QF有最大值．【解析】【分析】（1）解方程13x2−13x-4=0得A（-3，0），B（4，0），计算自变量为0时的二次函数值得C点坐标；（2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x-4，则可设Q（m，m-4）（0＜m＜4），讨论：当CQ=CA时，则m2+（m-4+4）2=52，当AQ=AC时，（m+3）2+（m-4）2=52；当QA=QC时，（m+3）2+（m-4）2=52，然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标；（3）过点F作FG⊥PQ于点G，如图，由△OBC为等腰直角三角形．可判断△FQG为等腰直角三角形，则FG=QG=22FQ，再证明△FGP～△AOC得到34FG PG，则22FQ，所以72FQ，于是得到32，设P（m，13m2-13m-4）（0＜m＜4），则Q（m，m-4），利用PQ=-13m2+43m得到FQ=327（-13m2+43m），然后利用二次函数的性质解决问题．【详解】（1）当y=0，13x2−13x-4=0，解得x1=-3，x2=4，∴A（-3，0），B（4，0），当x=0，y=13x2−13x-4=-4，∴C （0，-4）；（2）AC=2234=5+， 易得直线BC 的解析式为y=x-4，设Q （m ，m-4）（0＜m ＜4），当CQ=CA 时，m 2+（m-4+4）2=52，解得m 1=52，m 2=-52（舍去），此时Q 点坐标为（522，522-4）； 当AQ=AC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m 1=1，m 2=0（舍去），此时Q 点坐标为（1，-3）；当QA=QC 时，（m+3）2+（m-4）2=52，解得m=252（舍去）， 综上所述，满足条件的Q 点坐标为（522，522-4）或（1，-3）； （3）解：过点F 作FG ⊥PQ 于点G ，如图，则FG ∥x 轴．由B （4，0），C （0，-4）得△OBC 为等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45∴△FQG 为等腰直角三角形，∴FG=QG=22FQ ， ∵PE ∥AC ，PG ∥CO ，∴∠FPG=∠ACO ，∵∠FGP=∠AOC=90°，∴△FGP ～△AOC ．∴FG PG OA CO =，即34FG PG =， ∴PG=43FG=43•22FQ=223FQ ， ∴PQ=PG+GQ=23FQ+22FQ=26FQ ，∴PQ，设P（m，13m2-13m-4）（0＜m＜4），则Q（m，m-4），∴PQ=m-4-（13m2-13m-4）=-13m2+43m，∴（-13m2+43m）（m-2）2∵-7＜0，∴QF有最大值．∴当m=2时，QF有最大值．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
2020-2021初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析
2020-2021初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析一、二次函数1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．()1求y 与x 的函数关系式；()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值． 【详解】解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，Q 函数图象经过点()40,200和点()60,160，{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2280k b =-=，y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+．Q 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．20-<Q ，∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，80x ∴=时，w 有最大值， 当80x =时，4800w =，答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．2．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【解析】 【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解； （2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润． 【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩，即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大， 则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， ∵﹣20＜0，故w 有最大值， 当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190， 50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ， 由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13， w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， 当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.3．如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣x 2+2x+3．（2）当t=2时，点M 的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为8，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为27292832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．4．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c=+的形式.请根据所给的数据求出a，c的值.(2)求支柱MN的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.【答案】（1）y=-350x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).将B 、C 的坐标代入2y ax c =+，得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩解得3,650a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是2356 4.550N y =-⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050H y =-⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.5．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值. 【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4） (2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．所以抛物线的表达式为：24y x x =-+． y=-224(2)4y x x x =-+=--+，所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|， 三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20， 所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0） 又n=-2m +4m ，所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5，-5．6．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．试题解析：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．考点：二次函数综合题7．已知点A（﹣1，2）、B（3，6）在抛物线y=ax2+bx上(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x 轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；（3）具体见详解.【详解】．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，∴k=m﹣2，∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：或，∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（m，0）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．∵点A（﹣1，2），∴A′（﹣1，0），∴AE=2，AA′=2．∴ =1， = =1，∴= ，∵∠AA′E=∠FOH，∴△AA′E∽△FOH，∴∠AEA′=∠FHO，∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，∵QM=2PM，∴ =，∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，∴点M的坐标为（t﹣2， t）．又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），解得：t=；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），解得：t=．综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．【点睛】本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.8．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝12x+3（2≤x≤10）．①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x ＝8时，此时W 最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x ≤8．【解析】【分析】（1）设其解析式为y ＝kx +b ，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．【详解】（1）由图象可知，y 是关于x 的一次函数．∴设其解析式为y ＝kx +b ，∵图象经过点（2，12），（8，9）两点， ∴21289k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得k ＝﹣12，b ＝13， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣12x +13， 当x ＝6时，y ＝10，答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ， 当x ＝﹣2b a＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣12x 2+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣12x 2+9x ＝9x ﹣（12x +3） 解得x ＝﹣2（舍去），x ＝3，答该公司买入杨梅3吨；②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x ≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．故答案为：3＜x ≤8．【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．9．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标； （3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=x+33-；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =--+，a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33-； 联立两解析式求交点2234323332323y=x+33y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，23），B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在2234323y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，3），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=3=3，即E 的纵坐标为-3， ∴ E （-1，）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；②当AC 为平行四边形的对角线时，∵ C （-3,0），且A （-2，∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，），设E （-1，t ），F （x ，y ），则x-1=2×（-2.5），y+t=∴x= -4，y=，×（-4），解得t=， ∴E （-1，），F （-4）； 综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，）或E （-1，-3），F （-4，3）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（32-，32）或（34-，94），见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法，然后将A、B、C的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式；（2））过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把△APC分成两个△APQ与△CPQ，把PQ作为两个三角形的底，通过点A，C的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM为y=-x，若∠AOM=∠CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD的交点M．【详解】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，∵A （﹣3，0），C （0，3），∴直线AC 解析式为y ＝x+3，设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3）， ∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ．∴S △PAC ＝1PQ A 2O ⋅， ∴()213332x x --⋅=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4），当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点，∴D 点坐标为（﹣1，4），又∵A （﹣3，0），∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2，∵B （1，0），C （0，3）∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC ＝310，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，∴AE ＝AC•sin ∠ABC ＝310410⨯＝6105，BE ＝2105， ∴CE ＝310， ∴tan ∠ACB ＝2AE CE =， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2，∴∠ACB ＝∠PAB ，∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ， 即OM 为y ＝﹣x ，设OM 与AD 的交点M （x ，y ）依题意得：3y xy x =-⎧⎨=+⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 点为（32-，32）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ， ∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则依题意得：33y xy x =-⎧⎨=+⎩，解得3494x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即M 点为（34-，94）， 综上所述：存在使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M ，其坐标为（32-，32）或（34-，94）． 【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．11．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC V 沿BC 所在的直线翻折，得到DBC △，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．（2）如图1，若点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式． （3）设OBD V 的面积为S 1，OAC V 的面积为S 2，若1223S S =，求a 的值．【答案】（1）(0,3)C a -； (2) 抛物线的表达式为：252535y x x =-++； (3) 22a =-或22a = 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：()2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即可求解；（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB V V ∽，再根据相似三角形的性质得到CP PD CDDQ BQ BD==，即可求解； （3）连接OD 交BC 于点H ，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，由三角形的面积公式得到1223S S =，29m DM =，11299m HN DM OC ===，而22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】（1）抛物线的表达式为：()2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点(0,3)C a -；（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ︒∠+∠=，90PDC QDB ︒∠+∠=， ∴QDB DCP ∠=∠，设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，90CPD BQD ︒∠=∠=，∴CPD DQB V V ∽， ∴CP PD CDDQ BQ BD==， 其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =， 将以上数值代入比例式并解得：55a =±， ∵0a <，故55a =-， 故抛物线的表达式为：252535y x x =-++； （3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥， 过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，设：3OC m a ==-，11322OBD S S OB DM DM ∆==⨯⨯=， 2112OACS S m ∆==⨯⨯，而1223S S =，则29m DM =，11299m HN DM OC ===， ∴1193BN BO ==，则18333ON =-=，则DO BC ⊥，HN OB ⊥，则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠，则22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，解得：62m =±（舍去负值），|3|62CO a =-=，解得：22a =-故：22a=-．当点C在x轴下方时，同理可得：22a=；故：22a=-或22a=【点睛】本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用几何方法得出：22899mHN ON BN⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，是本题解题的关键．12．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为45+41或5-41 2；②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P 点的横坐标；②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1B=2∠ACB ，再确定N （3，-2）， AC 的解析式为y=5x-5，E 点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM 1的解析式为y=-15x+b ，把E （12，-52）代入求出b 得到直线EM 1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y x y x -⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M 1点的坐标；作直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，如图2，利用对称性得到∠AM 2C=∠AM 1B=2∠ACB ，设M 2（x ，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x 即可得到M 2的坐标，从而得到满足条件的点M 的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5）， 当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0）， 把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0）， ∵B （5，0），C （0，﹣5）， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM ⊥BC ，∴△AMB 为等腰直角三角形， ∴， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ， ∴PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，∴PD=2PQ=2×22=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+412，m2=5-412，综上所述，P点的横坐标为4或5+41或5-41；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．13．复习课中，教师给出关于x的函数（k是实数）.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析.【解析】试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：①将（1,0）代入，得，解得.∴存在函数，其图像经过（1,0）点.∴结论①为真.②举反例如，当时，函数的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.③∵当时，二次函数（k是实数）的对称轴为，∴可举反例如，当时，二次函数为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.∴结论③为假.④∵当时，二次函数的最值为，∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.∴结论④为真.解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.14．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，。
2020-2021备战中考数学 二次函数 培优练习(含答案)附答案
2020-2021备战中考数学二次函数培优练习(含答案)附答案一、二次函数1．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10. ∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（22﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3； （2）设BC 的解析式为y=kx+b ， 将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3）， PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94， 当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2， 解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2， n 2﹣2n ﹣3=-3， P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=3+2（不符合题意，舍），n 3=3-2， n 2﹣2n ﹣3=2-42， P （3-2，2-42）；综上所述：P （2，﹣3）或（3-2，2﹣42）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.4．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论： ①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m =±410，即点C 坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5222±，即：点C 坐标为（5222+，0）或（5﹣222，0）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）． 综上所述：存在，点C 的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52时，S △PAB 取得最大值为：752． 答：△PAB 的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）(2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．所以抛物线的表达式为：24y x x =-+． y=-224(2)4y x x x =-+=--+，所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|， 三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20， 所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0） 又n=-2m +4m ，所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5，-5．6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF2EH EF==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4， 得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1，∴D 的横坐标为1， 由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0），∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值， ∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF2EH EF ==， ∵AB ＝4，∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ，∴y E ＝y H ， ∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2， y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4）∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4，∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形，①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1，∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7，∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，△NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165， BH ＝45BC ＝125，∴PH＝BH＝125，BP＝245，∴OP＝BP﹣OB＝249355-=，∴P3（﹣95，0）；③当PN＝PB时，取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，∴△NOB∽△PKB，∴PB BKBN OB=∴PB＝83，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣83＝13P4（13，0）综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣95，0）或P4（13，0）．【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键7．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ，y ＝﹣x +2；（2）详见解析；（3）E （5524,）；（4）符合条件的点F 的坐标（17171，71，27【解析】【分析】（1）将B （2，0）代入设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，求得a ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，求得k ；（2）分别求出AB 2、BC 2、AC 2，根据勾股定理逆定理即可证明；（3）作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．根据对称与三角形全等，求得A '（3，1），然后求出A 'C 解析式，与抛物线解析式联立，求得点E 坐标；（4）设F （1，m ），分三种情况讨论：①当BF ＝BD 2122m +=②当DF ＝BD 24522m m -+=，③当BF ＝DF 22145m m m +-+m ＝1，然后代入即可．【详解】（1）设抛物线解析式y ＝a （x ﹣1）2﹣1，将B （2，0）代入，0＝a （2﹣1）2﹣1，∴a ＝1，抛物线解析式：y ＝（x ﹣1）2﹣1＝x 2﹣2x ，将B （2，0）代入y ＝kx +2，0＝2k +2，k ＝﹣1，∴直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；（2）联立222y x y x x =-+⎧⎨=-⎩， 解得1113x y =-⎧⎨=⎩，2220x y =⎧⎨=⎩， ∴C （﹣1，3），∵A （1，﹣1），B （2，0），∴AB 2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，AC 2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，BC 2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）如图，作∠BCE ＝∠ACB ，与抛物线交于点E ，延长AB ，与CE 的延长线交于点A '，过A '作A 'H 垂直x 轴于点H ，设二次函数对称轴于x 轴交于点G ．∵∠BCE ＝∠ACB ，∠ABC ＝90°，∴点A 与A '关于直线BC 对称，AB ＝A 'B ，可知△AFB ≌△A 'HB （AAS ），∵A （1，﹣1），B （2，0）∴AG ＝1，BG ＝OG ＝1，∴BH ＝1，A 'H ＝1，OH ＝3，∴A '（3，1），∵C （﹣1，3），∴直线A 'C ：1522y x =-+， 联立：215222y x y x x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或5254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴E （52，54）； （4）∵抛物线的对称轴：直线x ＝1，∴设F （1，m ），直线BC 的解析式：y ＝﹣x +2；∴D （0，2）∵B （2，0），∴BD ＝12x x 222(21)(0)1BF m m =-+-=+，222(10)(2)45DF m m m =-+-=-+，①当BF ＝BD 时，2122m +=，m ＝±7，∴F 坐标（1，7）或（1，﹣7）②当DF ＝BD 时，24522m m -+=，m ＝2±7，∴F 坐标（1，2+7）或（1，2﹣7）③当BF ＝DF 时，22145m m m +=-+，m ＝1，F （1，1），此时B 、D 、F 在同一直线上，不符合题意．综上，符合条件的点F 的坐标（1，7）或（1，﹣7）或（1，2+7）或（1，2﹣7）．【点睛】考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .(1)求mn 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【解析】分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）． ∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65b c =⎧⎨=-⎩，则二次函数解析式为y =﹣x 2+6x ﹣5； （2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM ，PN 4﹣m ），∴S △MPN =12PM •PN =12×2m ×2（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论：①当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA =BD AQ 4AQ ，解得：AQ 公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣83）；②当△ABD ∽△DQA 时，BD AQ=1，即AQ ，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）． 综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（73，﹣83）． 点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．9．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【解析】【分析】（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．【详解】解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ，将（40，140），（60，120）代入得4014060120k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1180k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ，将（90，30），（60，120）代入得903060120m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：3300m n =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣3x +300；综上所述，y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩； （2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，综上所述，W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩； （3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x ＝2102--＝105， ∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x ＝3906--＝65， ∵60＜x ≤90，∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，∵3675＞3600，∴当x ＝65时，W 最大＝3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m =22m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m2=-或1m=-时，△BDM为直角三角形．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣3≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，当y=0时，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的长与a值无关．(3)当β=45°时，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=3OE=33，∴﹣3a=33，∴a=﹣3，∴45°≤β≤60°，a的取值范围为﹣3≤a≤﹣1．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)3﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。
2020-2021初三数学二次函数的专项培优练习题及答案解析
2020-2021初三数学二次函数的专项培优练习题及答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103）【解析】 【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33-；联立两解析式求交点22343232323y=x+y x x⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩，∴A（-2，23），B（1,0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在223432333y x x=--+中，令y=0可求得x= -3或x=1，∴C（-3,0），且A（-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，∴N在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=22AN-AD=13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ ACK=∠ EFH，在△ ACK和△ EFH中ACK=EFHAKC=EHFAC=EF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK≌△ EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=23，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F点的横坐标为0或-2，∵点F在直线AB上，∴当F点的横坐标为0时，则F（0，23），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-23=43，即E的纵坐标为-43，∴ E（-1，-43）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43）、（0，23）或E（-1，43-），F（-4，103）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题2．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值. (2)求支柱MN 的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.【答案】（1）y=-350x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0). 将B 、C 的坐标代入2y ax c =+，得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩解得3,650a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是2356 4.550N y =-⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050H y =-⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.3．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+⎪⎝⎭，当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）Q 点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，∴2b a =-．Q 2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()2,B a b -，①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭． ∴当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．当12a <<时， ()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭ ．∴当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）．【解析】 【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF2EH EF==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4，得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0）， ∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值， ∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF2EH EF ==， ∵AB ＝4， ∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ， ∴y E ＝y H ，∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2，y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4） ∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4， ∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形， ①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1， ∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7， ∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴， △NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165，BH ＝45BC ＝125， ∴PH ＝BH ＝125， BP ＝245， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355-=， ∴P 3（﹣95，0）；③当PN＝PB时，取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，∴△NOB∽△PKB，∴PB BKBN OB∴PB＝83，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣83＝13P4（13，0）综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣95，0）或P4（13，0）．【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键5．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（1）求抛物线的解析式；（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．试题解析：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．考点：二次函数综合题6．已知点A（﹣1，2）、B（3，6）在抛物线y=ax2+bx上(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x 轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；（3）具体见详解.【详解】．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，∴k=m﹣2，∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：或，∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（m，0）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．∵点A（﹣1，2），∴A′（﹣1，0），∴AE=2，AA′=2．∴ =1， = =1，∴= ，∵∠AA′E=∠FOH，∴△AA′E∽△FOH，∴∠AEA′=∠FHO，∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，∵QM=2PM，∴ =，∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，∴点M的坐标为（t﹣2， t）．又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），解得：t=；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），解得：t=．综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．【点睛】本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.7．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”．(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）223）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x=，∴ S=122⨯=12x x ； （3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形． ∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）．②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．8．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2y x =-+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=； 联立两解析式求交点2234323332323y=y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，3B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=23∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，233），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343，即E 的纵坐标为43∴ E（-1，-433）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-），F（-4，103）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-43）、（0，23）或E（-1，43 -3），F（-4，1033）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题9．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。
2020-2021初三数学二次函数的专项培优练习题含详细答案
2020-2021初三数学二次函数的专项培优练习题含详细答案一、二次函数1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．如图，抛物线y ＝x 2﹣mx ﹣（m +1）与x 轴负半轴交于点A （x 1，0），与x 轴正半轴交于点B （x 2，0）（OA ＜OB ），与y 轴交于点C ，且满足x 12+x 22﹣x 1x 2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B 为直角顶点，BC 为直角边作Rt △BCD ，CD 交抛物线于第四象限的点E ，若EC ＝ED ，求点E 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q ，使得S △ACQ ＝2S △AOC ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE 、OE ．∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝90°，EC ＝ED ，∴BE ＝12CD ＝CE ． 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∵C （0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝113±， ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ，∴S △ACF ＝2S △AOC ，∴AF ＝2OA ＝2，∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．∵AC∥FQ，∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．联立22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，解得113 12x y =-⎧⎨=⎩，2223xy=⎧⎨=-⎩，∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=1 2x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AE AP =AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b⨯=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM3．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM，∴C′B＋23C′D的最小值为点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q553）M （1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【解析】【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【详解】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴m=5或5（舍弃），∴Q（5，45）．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.5．二次函数y=x2-2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n ＞0且n为整数），与y轴交于C点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC的面积=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A （m-，0）代入y=（x-m ）2-m 2+3得0=（m--m ）2-m 2+3，∴m 2=， ∴m=，m=-（舍去）， ∴a=−，综上所述：a=1或a=−． 考点：二次函数综合题．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m =1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m =22m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．7． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y =3，y =x +2，y =﹣x +4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线21()4y x m n =-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式； （3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21(2)34y x =-+；（3）抛物923-2312距离，其顶点落在OP 上． 【解析】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为21()4y x m n =-+，∴21()14y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21(2)24y m m n m =-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；∴D （2，3），∴抛物线解析式为21(2)34y x =-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：根据题意可得，D （2，3），∴OA ′=OA =4，OM =2，∴∠A ′OM =60°，∴∠A ′OP =∠AOP =30°，∴MN =3=233，∴抛物线需要向下平移的距离=2333-=9233-． ②如图，当点A ′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A ′（p ，3），则OA ′=OA =4，OE =3，EA ′=2243-=7，∴A ′F =4﹣7，设P （4，c ）（c ＞0），，在Rt △A ′FP 中，（4﹣7）2+（3﹣c ）2=c 2，∴c =1647-，∴P （4，1647-），∴直线OP 解析式为y =47-x ，∴N （2，827-），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣827-=127+． 综上所述：抛物线向下平移9233-或1273+距离，其顶点落在OP 上．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．8．如图1，抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180o ，得到新的抛物线'C ．（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；（2）如图2，直线12:5l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，2DE EM =，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点P 的横坐标为：773+-737-． 【解析】【分析】 （1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标； （2）根据抛物线C 绕点O 旋转180o ，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入125y kx =-中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得13ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可；（3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠=o ，可得1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取123OH OE ==E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可．【详解】（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得16403a b a b -=⎧⎨-=⎩解得14a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线C 解析式为：24y x x =--，配方，得：224(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -； （2）∵抛物线C 绕点O 旋转180o ，得到新的抛物线'C ．∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a =∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=-将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35k =-， ∴直线l 解析式为31255y x =--， ∵2(,4)D m m m --，∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、V 关于原点对称，∴2(,4)E m m m -+如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ， 则312(,)55H m m --，312(,)55K m m --， ∴2231217124()5555DH m m m m m =-----=--+，2231217124()5555EK m m m m m =+--=++， ∵2DE EM = ∴13ME MD =， ∵//DH y 轴，//EK y 轴∴//DH EK∴MEK ∆∽MDH ∆ ∴13EK ME DH MD ==，即3DH EK = ∴22171217123()5555m m m m --+=++ 解得：13m =-，225m =-，∵2m <-∴m 的值为：﹣3；（3）由（2）知：3m =-，∴(3,3)D -，(3,3)E -，OE =如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵222(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，220AG =∴222AB BG AG +=∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠=o ，∴1tan 3BG GAB AB ∠===， ∵DEP GAB ∠=∠ ∴1tan tan 3DEP GAB ∠=∠=， 在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH上截取13OH OE == 过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵(3,3)E -，∴45EOT ∠=o∵90EOH ∠=o∴45HOT ∠=o∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+，则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线EH 解析式为1322y x =--， 解方程组213224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P的横坐标为：74+-或74．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．9．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为28，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为27292832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S 关于t 的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P 点到直线BC 的距离的最大值．10．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+），①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．11．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）已知点F （0，12），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？（3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x 2+32x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；（3）点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似． 【解析】分析：（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12m 2+32m+2）、M（m ，12m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ=，即214 132222mm m -=-++，解之即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4）， 将点C （0，2）代入，得：-4a=2， 解得：a=-12， 则抛物线解析式为y=-12（x+1）（x-4）=-12x 2+32x+2；（2）由题意知点D 坐标为（0，-2）， 设直线BD 解析式为y=kx+b ，将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，∴直线BD解析式为y=12x-2，∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，--12m2+32m+2）、M（m，12m-2），则QM=-12m2+32m+2-（12m-2）=-12m2+m+4，∵F（0，12）、D（0，-2），∴DF=52，∵QM∥DF，∴当-12m2+m+4=52时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=-1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则21=42 DO MBOB BQ==，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴BM BP BQ PQ=，即214132222mm m-=-++，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q 、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；②当∠BQM=90°时，此时点Q 与点A 重合，△BOD∽△BQM′，此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．12．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．【解析】试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，∴x1+x2=8，由．解得：．∴B（2，0）、C（6，0）则4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴该抛物线解析式为：y=；．（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵∴∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此时最大值为：，②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=14，∴t=或t=或t=14．考点：二次函数综合题．13．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．14．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；当m=-时，最大值L=9；（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．【解析】试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,所以，顶点坐标为C（-1,4）．（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．由题意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，∴DE=EF．L=4DE=-4m2-12m．L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．∵a=-4<0,∴二次函数有最大值当m=-时，最大值L=9．（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．15．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3,0)，点c的坐标为(0,6).点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.（1）当2t =时，线段PQ 的中点坐标为________；（2）当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，求t 的值；（3）当1t =时，抛物线2y x bx c =++经过P 、Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D ，使12MQD MKQ ∠=∠，若存在，求出所有满足条件的D 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）PQ 的中点坐标是(2.5,2)；（2）935t -=或3t 4=；（3）124(,)39D ，2240(,)39D -. 【解析】分析：（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P 和Q 的路程OP 和AQ 的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC ＝，②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB ＝，分别列方程可得t 的值；（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q （3，2），M （0，2），可得MQ ∥x 轴，∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ，画出符合条件的点D ，证明△KEQ ∽△QMH ，列比例式可得点D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D ．详解：（1）如图1，∵点A 的坐标为（3，0），∴OA=3，当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，∴P （2，0），Q （3，4），∴线段PQ 的中点坐标为：（2+32，0+42），即（52，2）； 故答案为：（52，2）；。
2020-2021初三数学 二次函数的专项 培优练习题及详细答案
2020-2021初三数学二次函数的专项培优练习题及详细答案一、二次函数1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．【答案】（1）y=38x2﹣34x﹣3（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是9 10（3）K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）【解析】【详解】试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣9 10（t﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=34x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，38m2﹣34m﹣3）．如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=94．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣34m2+3m=94．易求得K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得423016430a ba b--=⎧⎨+-=⎩，解得3834ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以该抛物线的解析式为：y=38x2﹣34x﹣3；（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC=2234+=5．如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴HBOCBGBC=，即Hb35t=，∴HQ=35t．∴S△PBQ=12PB•HQ=12（6﹣3t）•35t=﹣910t2+95t=﹣910（t﹣1）2+910．当△PBQ存在时，0＜t＜2∴当t=1时，S△PBQ最大=910．答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）．如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m ﹣3﹣（38m 2﹣34m ﹣3）=﹣38m 2+32m ．当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =910． ∴S △CBK =94． S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ） =12×4•EK =2（﹣38m 2+32m ） =﹣34m 2+3m ．即：﹣34m 2+3m=94．解得 m 1=1，m 2=3．∴K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．2．如图，抛物线212222y x x =-++与x 轴相交于A B ，两点，（点A 在B 点左侧）与y 轴交于点C.（Ⅰ）求A B ，两点坐标.（Ⅱ）连结AC ，若点P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为t ，四边形ABPC 的面积为S.试用含t 的式子表示S ，并求t 为何值时，S 最大.（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点,G H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点G 的横坐标为m ，点H 的纵坐标为n ，且使得以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的,m n 的值.【答案】（Ⅰ）(2,0),2,0)A B ；（Ⅱ）22(2)42(022)2S t t =--+<<,当2t =时，42S =最大；（Ⅲ）满足条件的点m n 、的值为：234m n ==，或521524m n ==-，或32124m n =-= 【解析】 【分析】（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；（Ⅱ）设出点P 的坐标，利用S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB ，即可得出结论；（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）抛物线212222y x x =-++， 令0y =，则212202x x -++=， 解得：2x =-或22x =， ∴()()2,0,22,0A B - （Ⅱ）由抛物线212222y x x =-++，令0x =，∴2y =，∴()0,2C ， 如图1，点P 作PQ x ⊥轴于Q ， ∵P 的横坐标为t ，∴设(),P t p ， ∴2122,22,22p t t PQ p BQ t OQ t =-++==-=， ∴()()11122222222AOC PQB OCPQ S S S S p t t p =++=⨯⨯++⨯+⨯-⨯V V 梯形 11222222t pt p pt p t =+++-=++ 21222222t t t ⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎭()22242(022)2t t =--+<<，∴当2t =时，42S =最大；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2t =，∴)2,2P，∵抛物线212222y x x =-++的对称轴为22x =， ∴设2122,2,2G m m H n ⎛⎫⎫-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，()A ， ①当AP 和HG 为对角线时，∴()211111,2022222222m m m n ⎛⎫⎛⎫=++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴324m n =-=， ②当AG 和PH 是对角线时，∴(()211111,2022222222m m m n ⎫⎛⎫=-+++=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，∴15,24m n ==-， ③AH 和PG 为对角线时，∴(()211111,2202222222m m m n ⎛⎫⎛⎫=+-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴124m n =-=， 即：满足条件的点m n 、的值为：34m n ==，或154m n ==-，或14m n == 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．3．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F. ∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ，∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0，∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)， 直线AD′的解析式为y ＝32x+9， 由2392134y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件， 综上所述，满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.4．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，当其自变量的值为m时，其函数值等于﹣m，则称﹣m为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零．例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n等于5．（1）分别判断函数y＝﹣x+1，y＝1x-，y＝x2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；（2）对于函数y＝x2﹣b2x，①若其反向距离为零，求b的值；②若﹣1≤b≤3，求其反向距离n的取值范围；（3）若函数y＝223()3()x x x mx x x m⎧-≥⎨--<⎩请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出相应m的取值范围．【答案】（1）y＝−1x有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2）①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．【解析】【分析】(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；(2)①根据题意可以求得相应的b的值；②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题．【详解】(1)由题意可得，当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，当﹣m＝1m-时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝1x-有反向值，反向距离为2，当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∵反向距离为零，∴|b2﹣1﹣0|＝0，解得，b＝±1；②令﹣m＝m2﹣b2m，解得，m＝0或m＝b2﹣1，∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，∵﹣1≤b≤3，∴0≤n≤8；(3)∵y＝223()3() x x x mx x x m⎧-≥⎨--<⎩，∴当x≥m时，﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，∴n＝2﹣0＝2，∴m＞2或m≤﹣2；当x＜m时，﹣m＝﹣m2﹣3m，解得，m＝0或m＝﹣4，∴n＝0﹣(﹣4)＝4，∴﹣2＜m≤2，由上可得，当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．5．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（1）求抛物线的解析式；（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．试题解析：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．考点：二次函数综合题6．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝12x+3（2≤x≤10）．①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．【解析】【分析】（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣12x+13﹣4）x＝﹣12x2+9x，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．【详解】（1）由图象可知，y是关于x的一次函数．∴设其解析式为y＝kx+b，∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，∴212 89k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得k＝﹣12，b＝13，∴一次函数的解析式为y＝﹣12x+13，当x＝6时，y＝10，答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣12x+13﹣4）x＝﹣12x2+9x，当x ＝﹣2ba＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣12x 2+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣12x 2+9x ＝9x ﹣（12x +3） 解得x ＝﹣2（舍去），x ＝3， 答该公司买入杨梅3吨；②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x ≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．故答案为：3＜x ≤8． 【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．7． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x =1，y =3，y =x +2，y =﹣x +4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线21()4y x m n =-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式；（3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21(2)34y x =-+；（3）抛物923-2312距离，其顶点落在OP 上． 【解析】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为21()4y x m n =-+，∴21()14y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21(2)24y m m n m =-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；∴D （2，3），∴抛物线解析式为21(2)34y x =-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：根据题意可得，D （2，3），∴OA ′=OA =4，OM =2，∴∠A ′OM =60°，∴∠A ′OP =∠AOP =30°，∴MN 3=33，∴抛物线需要向下平移的距离=333-=9233-．②如图，当点A ′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A ′（p ，3），则OA ′=OA =4，OE =3，EA 2243-7，∴A ′F =47，设P （4，c ）（c ＞0），，在Rt △A ′FP 中，（4﹣7）2+（3﹣c ）2=c 2，∴c 1647-∴P （41647-），∴直线OP 解析式为y 47-x ，∴N （2827-∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣827-=127+ 综上所述：抛物线向下平移9233-或173+距离，其顶点落在OP 上．点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．8．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。
2020-2021初三数学二次函数的专项培优练习题附答案解析
2020-2021初三数学二次函数的专项培优练习题附答案解析一、二次函数1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P1（3+5，15-），P2（35-，1+5），P3（5+5，1+5），P4（552-，152-）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758，∵-32＜0，∴当m=52时，S有最大值是758；（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+52或552-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m 2+4m-3=m-2，解得：3+535- P 3+515-35-1+52）； 综上所述，点P 5+51+555-1523+515-）或（35-，1+5）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．3．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩，解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 23，﹣2）．综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．4．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC V 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC V 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-V 当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC V 的面积计算拆分为APF CPF S S +V V 即可.【详解】()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+-解得14a =，∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=V ； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅V V V 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭，∴当3x =-时，APC S V 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【点睛】 本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m =1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠）， 把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m =或1m =-时，△BDM 为直角三角形．6．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论： ①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m 10，即点C 坐标为：（10，0）或（﹣10，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5222±，即：点C 坐标为（5222+，0）或（5﹣220）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【解析】 【分析】（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OBOA==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； （2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2ba=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）．∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．【答案】（1）y=38x 2﹣34x ﹣3 （2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910（3）K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）【解析】 【详解】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）．解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．在Rt △BOC 中，． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴HB OC BGBC=，即Hb 35t=，∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910．当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）．如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m ﹣3﹣（38m 2﹣34m ﹣3）=﹣38m 2+32m ．当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =910． ∴S △CBK =94． S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ） =12×4•EK =2（﹣38m 2+32m ）=﹣34m 2+3m ． 即：﹣34m 2+3m=94．解得 m 1=1，m 2=3．∴K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．9．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若25MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点，∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
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2020-2021初中数学二次函数的应用培优提升训练题3（附答案详解）一、单选题1．如图，曲线AB 是抛物线2481y x x =-++的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交点，B 是顶点），曲线BC 是双曲线(0)k y k x=≠的一部分．曲线AB 与BC 组成图形W ．由点C 开始不断重复图形W 形成一组“波浪线”．若点(2020,)P m ，(,)Q x n 在该“波浪线”上，则m n +的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．2020D ．2021 2．已知抛物线2114y x =+具有如下性质:抛物线上任意一点到定点()0,2F 的距离与到x 轴的距离相等.如图点M 的坐标为()3,6 , P 是抛物线2114y x =+上一动点，则PMF ∆周长的最小值是（ ）A ．5B ．9C ．11D ．13．如图1，矩形ABCD 中，243AB BC ==，点P Q 、分别是BC AB 、上两动点，将PCD 沿着对折得，将沿着DP 对折得PED ∆，将PBQ ∆沿着PQ 对折，使P E F 、、三点在一直线上，设BP 的长度为x ，AQ 的长度为y ，在点P 的移动过程中，y 与x 的函数图象如图2，则函数图象最低点的纵坐标为（ ）A 2B ．32C ．74D 25 4．如图，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，D 是AC 的中点，点P 由点D 出发，沿△ABC 顺时针方向运动，速度为7cm /s ，同时，点Q 从C 出发，沿△ABC顺时针方向运动，速度为6cm/s，当点P追上点Q时，两点停止运动．设运动时间为t （s），△DPQ的面积为s（cm2），则s关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止，设P、Q同时出发t秒时，∆BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）所示，则下列结论：①BE=BC；②当t=6秒时，∆ABE ≅∆PQB；③点P运动了18秒；④当t=27 2秒时，∆ABE∽∆QBP．其中正确的是（）．A．①②B．①③④C．③④D．①②④6．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）A．B．C．D．7．如图，在矩形ABCD中，AB = 8，AD = 4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图像为（）A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=6，点O是线段BD上一动点，EF、GH 过点O，EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，GH∥BC，交AB于点G，交DC于点H，四边形AEOG的面积记为S，GB=a，则S关于a的函数关系图象是（）A．B． C．D．9．已知坐标平面内抛物线2y x 2x 3=-++和一点72,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点P 作直线l ，若直线l 与该抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l 的条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，在等腰直角ABC ∆中，8AB =，点M 从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，同时点N 从点C 出发沿CB 方向向点B 匀速运动，点M 、N 运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t ，连接MN ，设CMN ∆的面积为S ，S 关于t 的函数图象为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图，抛物线22y x x =-++与x 轴交于点A 和点B .（1）已知点(,1)D m m +在第一象限的抛物线上，则点D 的坐标是_______．（2）在（l ）的条件下连接BD ，P 为抛物线上一点且DBP ∠=135，则点P 的坐标是_______．12．如右图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝12cm ，点P 是AB 边上的一个动点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，当PB ＝___________时，四边形PECF 的面积最大，最大值为_____________.13．二次函数y＝23x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A2、A3、…、A2018在y轴的正半轴上，点B1、B2、B3、…、B2018在二次函数y＝23x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3、…、△A2017B2018A2018都为等边三角形，则△A2017B2018A2018的边长＝____________．14．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．15．如图，在正方形ABCD中，AB=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧，点E为弧BD上一点，作EH⊥BC于点H，则BE－EH的最大值为______．16．在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，a的取值范围是__________．17．如图，在△ABC中，∠ACB= 90︒，AC=3，CB=5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D 顺时针旋转90 ，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于__________．18．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+5在x轴上方的图象沿x轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示）．当直线y＝m 与图象G有4个交点时，则m的取值范围是_______．三、解答题19．把下列各数填在相应的大括号里：+2，﹣|﹣2|，﹣3，0，﹣312，﹣1.414，17，23，(﹣1)2正整数：{ }整数：{ }负分数：{ }正有理数：{ }．20．某检修站，甲小组乘坐一辆汽车，沿东西方向的公路进行检修线路，约定向东为正，从A地出发到收工时，行走记录为（单位：km）：+8，- 2，-13，-1，+10．同时，乙小组也从A地出发，沿南北方向的公路检修线路，约定向北为正，行走记录为：-7，+9，- 2，+8，- 6．（1）分别计算收工时，甲，乙两组各在A地的哪一边，分别距离A地多远？（2）若每千米汽车汽油消耗为0.3L，求出发到收工时两组各耗油多少升？21．（10分）如图，抛物线经过点A(﹣3，0)、B(1，0)、C(0，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点P(m ，n)是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得PAC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在矩形ABCD 中，点(0,10),(8,0)A C . 沿直线CD 折叠矩形OABC ，使点B 落在OA 边上，与点E 重合．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx =+经过,D C 两点．（1）求,a b 及点D 的坐标；（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动， 同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动， 当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与ADE ∆相似？（3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点 N ，使以M ，N ，C ， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点C 的坐标为（8，0），∠AOC＝60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M 、N （点M 在点N 的上方）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设△OMN 的面积为S ，直线l 运动时间为t 秒（0≤t ≤12），求S 与t 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，t 为何值时，S 最大？并求出S 的最大值．24．如图，抛物线23y ax bx =+-经过点A （3，0），B （1-，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线在第四象限内的一点.（1）求抛物线解析式；（2）点D 是线段OC 的中点，OP ⊥AD ，点E 是射线OP 上一点，OE=AD ，求DE 的长；（3）连接CP ，AP ，是否存在点P ，使得OP 平分四边形ABCP 的面积？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.25．如图，已知抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点A ，且经过()10B ,，()5,8C 两点，点D 是抛物线顶点，E 是对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于点D 对称．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：AFE CFE ∠=∠；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使AFP 与FDC △相似．若有，请求出所有符合条件的点p 的坐标；若没有，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线y =﹣13（x ﹣m ）2+n 的顶点P 在直线y =﹣x +4上，与y 轴交于点C （点P 、C 不与点B 重合），以BC 为边作矩形BCDE ，且CD =2，点P 、D 在y 轴的同侧．（1）n =________（用含m 的代数式表示），点C 的纵坐标是________（用含m 的代数式表示）；（2）当点P 在矩形BCDE 的边DE 上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数解析式； （3）直接写出矩形BCDE 有两个顶点落在抛物线上时m 的值．27．如图1，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B(0，4)，在x 轴上有一动点D9(m ，0)（0＜m ＜4），过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，交抛物线于点E ，（1）直接写出抛物线和直线AB 的函数表达式．（2）当点C 是DE 的中点时，求出m 的值，并判定四边形ODEB 的形状（不要求证明）． （3）在（2）的条件下，将线段OD 绕点O 逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A 、D′B ，求D′A+12D′B 的最小值．28．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于(1,0)A -，()4,0B 两点，交y 轴于点C ，过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式；（2）连AC ，将直线AC 以每秒1个单位的速度向x 轴的正方向运动，设运动时间为1秒，直线AC 扫过梯形OCDB 的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．29．如下图，抛物线2122y x x =-+与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作直线l x ⊥轴，点P 是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接OP 并延长交直线l 于点B ，连接AP 并延长交y 轴于点C ，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接BH ．设OH t =．（1）请直接写出A 点坐标并求出OBH S △的最大值；（2）如图1，随着点P 的运动，AB OC +的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；（3）连接BC ，如图2，则当点P 位于何处时，点O 到直线BC 的距离最大？请你求出此时点P 的坐标．30．如图1,抛物线23y ax bx =++交x 轴于(1,0)A -和(5,0)B 两点,交y 轴于点C ,点D 是线段OB 上一动点,连接CD ,将线段CD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ,过点E 作直线l x ⊥轴于H ,过点C 作CF l ⊥于F .(1)求抛物线解析式；(2)如图2,当点F 恰好在抛物线上时,求线段OD 的长；(3)在(2)的条件下:试探究在直线l 上是否存在点G ,使45EDG ︒∠=?若存在,请直接写出点G 的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1．B【解析】【分析】根据题意可以求得点A 、点B 、点C 的坐标和k 的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m 的值和n 的最大值．【详解】解：∵()22y 481415x x x =-++=--+∴当x 0=时，y 1=∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（1,5），∵点B （1,5）在y k x =的图象上 ∴k 5=∵点C 在5y x=的图象上，点C 的横坐标为5 ∴点C 的纵坐标是1∴点C 的坐标为（5,1）∵20205404÷=∴P（2020，m ）在抛物线2y 481x x =-++的图象上 m 40801=-⨯+⨯+∵点Q(x ，n)在该＂波浪线＂上∴n 的最大值是5，故m+n 的最大值为6故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的性质，根据二次函数顶点式得出最大值是解题关键．2．C【解析】【分析】作过P 作PH x ⊥轴于点H ，过点M 作MH x ⊥轴于点'H ，交抛物线2114y x =+于点P '，由PF PH =结合，结合点到直线之间垂线段最短及MF 为定值，即可得出当点P 运动到点P′时，△PMF 周长取最小值，再由点F 、M 的坐标即可得出MF 、MH '的长度，进而得出PMF ∆周长的最小值．【详解】解：作过P 作PH x ⊥轴于点H ，由题意可知：PF PH =，∴PMF ∆周长=MF MP PF MF MP PH ++=++，又∵点到直线之间垂线段最短，∴当M 、P 、H 三点共线时MP PH + 最小，此时PMF ∆周长取最小值，过点M 作MH x ⊥轴于点H ' ，交抛物线2114y x =+于点P '，此时PMF ∆周长最小值， (0,2)F 、(3,6)M ，'6MH ∴=，22(30)(62)5FM -+-=，PMF ∴∆周长的最小值6511ME FM =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF 周长的取最小值时点P 的位置是解题的关键．3．C【解析】【分析】根据折叠的性质可得BPQ PDC ∠=∠，故可证得QBP PCD ∆∆∽，得到QB PB PC CD =，再代入,6,4BP x PC x QB y ===－－，可得()()446y x x -=-，再整理得：()217344y x =-+，根据二次函数的图像与性质即可求解． 【详解】由折叠性质可知90DPQ ∠=︒，90BPQ DPC DPC PDC ∠+∠=∠+∠=︒，BPQ PDC ∴∠=∠，又,ABC BCD ∠=∠QBP PCD ∴∆∆∽QB PB PC CD∴= 由243AB BC ==，得6BC =， ,6,4BP x PC x QB y ===－－ ∴464y x x -∴=- ∴()()446y x x -=-整理得：()()2173,0644y x x =-+≤≤， 故函数的顶点为73,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得函数顶点的纵坐标为74． 故选C ．【点睛】 此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质得到比例式，再根据二次函数的图像与性质求解．4．D【解析】【分析】分0≤t ≤37、37＜t ≤43、43＜t ≤117、117＜t ≤3四段，分别求出函数表达式即可求解． 【详解】解：①当0≤t ≤37时， s ＝12×DP ×CQ ＝12⨯7t ×6t ＝21t 2，该函数为开口向上的抛物线；②当37＜t≤43时，s＝12PQ×CD＝12×（6t﹣7t+3）×3＝32（3﹣t），该函数的一次函数；③当43＜t≤117时，如下图，过点Q作GQ⊥AC于点G，作QH⊥BC于点H，sin B＝ACAB＝35，则QH＝BQ sin B＝35BQ，同理QG＝45AQ，则PC＝7t﹣6，PB＝8﹣7t+6＝14﹣6t，BQ＝t﹣8，AQ＝18﹣（t﹣8）＝26﹣t，s＝S△ABC﹣（S△PDC+S△ADQ+S△BPQ）＝12⨯6×812-[3×（7t﹣6）+（14﹣7t）（t﹣8）×35+（26﹣t）×45]＝﹣2.1t2﹣13.5t+9.6，该函数为开口向下的抛物线；④当117＜t≤3时，同理可得：s＝﹣65t+185，该函数为一次函数；故选：D．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．5．A【解析】【分析】选项①正确．根据图中的信息，求出BE、AD的值即可判断；选项②正确．根据SAS即可判断；选项③错误．求出BE+DE+CD的值，可知点P运动了22秒；选项④错误．当t=272秒时，点P在线段DE上，点Q与点C重合，此时∠PQB≠90°，由此即可判断．【详解】解：由图像可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10-4=6，∴BE=BC，故①正确，如下图所示，当t=6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处，在△ABE与△PQB中，12=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AE PBBE BC∴△ABE≌△PQB（SAS），故②正确，在Rt△ABE中，22221068=-=-=AB BE AE∴BE+DE+DC=10+4+8=22，∴点P运动了22秒，故③错误，当t=272秒时，点P在线段DE上，点Q与点C重合，此时∠PQB≠90°，∴△ABE与△QBP不相似，故④错误．∴①②正确.故选：A．【点睛】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂图中信息，利用信息解决问题，属于中考压轴题．6．A【解析】【分析】本题需先设正方形的边长为m ，然后得出y 与x 、m 是二次函数关系，从而得出函数的图象．【详解】解：设正方形的边长为m ，则0m >，AE x ， DH x ， AHm x ， 222EH AE AH ，22()yx m x ， 2222yx x mx m ， 2222y x mx m ， 22112[()]24xm m ， 22112()22x m m ， y ∴与x 的函数图象是A ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，在解题时要能根据几何图形求出解析式，得出函数的图象．7．D【解析】【分析】证明△ABE 是等腰直角三角形，连接MB ，利用等高模型表示出△EMN ，△EBM ，△EAB 之间的关系即可解决问题．【详解】如图，连接MB ，∵E 为DC 中点， ∴DE=CE=4， ∴AD=DE=CD=BC=4，∵四边形ABCD 是矩形，∴90D C ∠=∠=︒，∴45DAE CBE ∠=∠=︒，∴45EAB EBA ∠=∠=︒ ，∴△EAB 是等腰直角三角形，由勾股定理AE ＝BE ＝42，已知，AM ＝t ，EN ＝t ，ME ＝NB ＝42t -，∵S △EMN ∶S △EMB =EN ∶EB ，∴S △EMN =EMB EN S EB⨯△， ∵S △EMB ∶S △EAB =EM ∶EA ，∴S △EMB =EAB EM S EA⨯△， ∴S=()22421114822t 2242224242t t t -⨯⨯⨯⨯=-+=--+，∵a =12-＜0， ∴当t ＝22时，S 的最大值为4.故选：D ．【点睛】本题以动点问题为背景，研究三角形面积的变化．通常三角形面积问题除了底乘高的一半，经常采用的是同底等高类的三角形面积关系．8．C【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得到DE 的值，进而得到AE 的值，根据面积公式计算即可；【详解】∵ABCD 是矩形，EF ∥AB ，GH ∥BC ，∴△△ABD EOD ， ∴AB AD EO ED=， ∵AB=4，BC=6，GB=a ，∴04E AG a ==-， ∴464a DE=-， 解得1232a DE -=， ∴1233622a a AE -=-=， ∴()2四边形334622AGOE a S AG AE aa a ==-=-+， 顶点坐标为()2,6，故答案选C ．【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用，准确分析是解题的关键．9．D【解析】【分析】当直线与抛物线相切时，此时直线与抛物线只有一个公共点，这直线为：y=kx+b ，代入P 点坐标，求得k 、b 的关系式，再和抛物线联立方程组利用△=0求得直线解析式有2条；当直线与抛物线的对称轴平行时也有一条.【详解】 解：分类讨论： 情况一：当直线与抛物线的对称轴不平行时，设经过点P 且与抛物线只有一个公共点的直线解析式为：y=kx+b ，代入72,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴b=72k 2- ∵与抛物线只有一个交点∴kx+72k 2-=-x²+2x+3只有一个实数根， ∴(k-2)²-4×1(2k)2-=0， 解得：12x 22,x 22=-+=--.∴过P 点的直线与抛物线只有一个交点的直线有2条.情况二：当直线与抛物线的对称轴平行时，此时也与抛物线只有一个交点.故这样的直线有3条.故答案为：D.【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，正确的设出解析式，并用一个系数表示另一个系数是解答本题的关键.10．D【解析】【分析】利用等高模型搞清楚△CMN ，△CBM ，△CAB 之间的关系即可解决问题．【详解】如图，连接MB ，由勾股定理AC ＝BC ＝2，已知，AM ＝t ，EN ＝t ，MC ＝NB ＝t ，∵S △CMN ∶S △CMB =CN ∶CB ，∴S △CMN =CN CB×S △CMB ， ∵S △CMB ∶S △CAB =CM ∶CA ，∴S △CMB =CM CA×S △CAB ，∴1×2×4×8=122t +， ∵a=-12＜0，∴当t ＝S 的最大值为4.故选：D ．【点睛】本题以动点问题为背景，研究三角形面积的变化．通常三角形面积问题除了底乘高的一半，经常采用的是同底等高类的三角形面积关系．11．(1) (1,2)D (2) (4,18)P --【解析】【分析】（1）由题意把D 点坐标(,1)m m +代入函数解析式求出m ，并由D 点在第一象限判断点D 的坐标;（2）利用相似三角形相关性质判定PGE ∆≌EFB ∆，并根据题意设BF x =，则2EF x =，表示P ，把(2,3)P x x --代入函数解析式从而得解.【详解】解：（1）把D 点坐标(,1)m m +代入函数解析式22y x x =-++得212m m m +=-++解得1m =±∵D 点在第一象限∴0m >∴1m =∴(1,2)D（2）∵135DBP ∠=（135作为特殊角，处理方法是作其补角45）∴过点P 作PE DB ⊥延长线于点E∵45∠=PBE ，90BEP ∠=∴BEP ∆为等腰直角三角形∴BE PE =（因为90BEP ∠=，BE PE =，所以考虑构造一线三垂直，水平竖直作垂线） ∴过点E 作GF x ⊥轴于点F ，PG FG ⊥于点G∴PGE ∆≌EFB ∆∵(1,2),(2,0)D B∴tan 2DBA ∠=∴tan :2FBE EF BF ∠==设：BF x =，则2EF x =∴,2EG x PG x ==∴(2,3)P x x --（注意咱们设BF x =，x 为整数，P 点在第三象限，横纵坐标为负数，所以P 点的坐标表示要注意正负！）把(2,3)P x x --代入函数解析式得23(2)(2)2x x x -=--+-+解得0x =或6（0x =舍去）∴6x =∴(4,18)P --.【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查坐标轴上点的特点，对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．12．6【解析】【分析】【详解】利用锐角三角函数关系，设PB=xcm ，由∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm ，可得BC=AB×cos30°cm ），PE=12xcm ，，则EC=（）cm ，故四边形FCEP 的面积为：PE×EC=12x×（）=-4x 2x=-4（x 2-12x ）x-6）2故当x=6时，四边形PECF 的面积最大，最大值为故答案为6，【点睛】此题主要考查了矩形的面积公式以及锐角三角函数关系，得出矩形面积与x 的函数关系是解题关键．13．2018【解析】【分析】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=32a，BB2=32b，CB3=32c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y=23x2中，求a、b、c的值，得出规律．【详解】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=3a，BB2=3b，CB3=3c,在正△A0B1A1中，B1（32a，2a），代入y=23x2中，得2a=23×34a2，解得a=1，即A0A1=1，在正△A1B2A2中，B2（32b，1+2b），代入y=23x2中，得1+2b=23×34b2，解得b=2，即A1A2=2，在正△A2B3A3中，B3（32c，3+2c），代入y=23x2中，得3+2c=23×34c2，解得c=3，即A2A3=3，…依此类推由此可得△A2017B2018A2018的边长=2018，故答案为：2018．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．14．﹣45＜a＜47【解析】【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：∵点A、B坐标分别为（0，4），（6，4），∴线段AB的解析式为y＝4．机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．抛物线对称轴方程为：x＝2，机器人在运动过程中只触发一次报警，所以抛物线与线段y＝4只有一个交点．所以抛物线经过点A下方．∴﹣5a＜4解得a＞﹣45．4＝ax2﹣4ax﹣5a，△＝0即36a2+16a＝0，解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝49．当抛物线恰好经过点B时，即当x＝6，y＝4时，36a﹣24a﹣5a＝4，解得a ＝47综上：a 的取值范围是﹣45＜a ＜47 【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用.15．3【解析】【分析】【详解】 过点A 作AF BE ⊥于F ，则090FAB FBA ∠+∠=，设BF =x ，由垂径定理得BE =2BF =2x ，∵090EBH FBA ∠+∠=，∴FAB EBH ∠=∠，又∵090AFB BHE ∠=∠=，∴△ABF ∽△BEH ，∴BF AB EH BE =，即：62x EH x =，∴213EH x =， ∴BE －EH=22112(3)333x x x -=--+， 当x =3时，BE －EH 的最大值为3.故答案为：3.16．a ＜-43或a≥13或a=-1 【解析】【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可求点B 的坐标，根据平移的性质可求点C 的坐标，根据坐标轴上点的坐标特征可求点A 的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：①a ＞0；②a ＜0，③抛物线的顶点在线段BC 上；进行讨论即可求解．【详解】直线y=4x+4中，令x=0代入直线y=4x+4得y=4，令y=0代入直线y=4x+4得x=-1，∴A（-1，0），B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；将点A（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx-3a中得0=a-b-3a，即b=-2a，∴抛物线的对称轴x=-222b aa a-=-=1；∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0）且对称轴x=1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x=0代入抛物线得y=-3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴-3a＜4，a＞-43，将x=5代入抛物线得y=12a，∴12a≥4，∴a≥13；②a＜0时，如图2，将x=0代入抛物线得y=-3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴-3a＞4，∴a＜-43；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4=a-2a-3a，解得a=-1．综上所述：a＜-43或a≥13或a=-1．故答案为：a＜-43或a≥13或a=-1．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．172【解析】【分析】根据题意过E作EF⊥BC于F，根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，根据勾股定理得到BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2，即可得到结论．【详解】解：过E作EF⊥BC于F，∵∠C=∠ADE=90°，∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°，∴∠DEF=∠ADC，在△EDF和△DAC中，DEF ADCEFD CAD DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EDF≌△DAC（AAS），∴DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，则BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2，∴BE2的最小值是2，∴BE2.2．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定理的应用，解题的关键是得出二次函数的解析式．18．-6＜m＜0【解析】【分析】根据题意，先求出新函数的顶点坐标，根据已知条件和结合函数图像，即可求出m 的取值范围.【详解】解：∵2225(1)6y x x x =-++=--+，∴原函数的顶点坐标为：（1，6），如图，根据折叠的性质，可得新函数图像G 的顶点坐标为：（1，6-），即点D 的坐标为（1，6-），当直线y=m 与图象G 有4个交点时，根据图像可知：m 的取值范围是：60m -<<；故答案为：60m -<<. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与几何变换、二次函数的性质等知识点，根据翻折变换规律得到抛物线G 的顶点坐标是解题的难点．19．+2，17，(﹣1)2；+2，﹣|﹣2|，﹣3，0，17，(﹣1)2；﹣312，﹣1.414；+2，17，23，(﹣1)2．【解析】【分析】按照有理数的分类填写：有理数分为整数和分数，整数又分为正整数和0、负整数，分数分为正分数和负分数．【详解】解：∵﹣|﹣2|=-2；(﹣1)2=1；∴ 正整数：{+2，17，(﹣1)2}；整数：{+2，﹣|﹣2|，﹣3，0，17，(﹣1)2}；负分数：{﹣312，﹣1.414}； 正有理数：{+2，17，23，(﹣1)2}； 【点睛】 本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．20．（1）甲在A 正东方向2km 处，乙在A 正北方向2km 处；（2）甲：10.2L ，乙：9.6L【解析】【分析】（1）将两组的各数依次相加，结合正负数的含义即可得出结论；（2）将两组数据各数的绝对值相加，得出路程，再乘以油耗即可得出结论．【详解】解：甲：()()()()82131102++-+-+-++=乙：()()()7928(6)2-+++-+++-=∴甲在A 正东方向2km 处乙在A 正北方向2km 处（2）甲：()82131100.3340.310.2L ++++⨯=⨯=乙：()792860.3320.39.6L ++++⨯=⨯=【点睛】本题考查的知识点是正负数，根据题目理解正负数所表示的含义是解此题的关键． 21．（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）﹣32；（3）存在，(﹣2，3) 【解析】【分析】【详解】（本题满分10分）解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x+3）（x ﹣1），…………………………（1分）把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．…………………………（2分）（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，3）代入得到，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+3．…………………………（3分）当﹣3＜m＜0时，点P（m，n）在直线AC的上方，过点P作x轴的垂线交AC于Q．则P （m，﹣m2﹣2m+3），Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，＝﹣（m+）2+，…………………………（4分）∵﹣3＜m＜0，∴当m＝﹣时，PQ的值最大，…………………………（5分）此时S△PAC＝•PQ•AO＝PQ最大，∴m＝﹣32．…………………………（6分）（3）由A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），可得AB＝4，OB＝1，OC＝3，∵BC2＝10，∠CAO＝45°，∴BA2﹣BC2＝6，…………………………（7分）连接BC，过点B作AC的垂线交抛物线于D，交AC于H．则∠AHB＝90°，∠DBA＝∠CAO＝45°，∴DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝AB2﹣BC2＝6，…………………………（8分）∵∠CAO＝∠DBA，∴BD，AC关于AB的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，…………………………（9分）∵C（0，3），∴点D的坐标为（﹣2，3）．…………………………（10分）22．（1）23163a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(3,10)D ；（2）当4013t =或257t =时，以,,P Q C 为顶点的三角形与ADE ∆相似；（3）存在符合条件的,M N 点，且它们的坐标为：①11(4,32),(4,38)M N ---；②22(12,32),(4,26)M N --；③333214(4,),(4,)33M N -. 【解析】【分析】（1）先求出OE=6，AE=4，设AD x =，根据勾股定理得到关于x 方程组，求出点D 坐标，根据待定系数法即可求解；（2）根据题意得到3,4,5AD AE DE ===，继而得到102PC t =-，然后分ADE QPC △△和 ADE PQC △△求解即可；（3）假设存在符合条件的,M N 点，分两种情况讨论：①EC 为平行四边形的对角线，②EC 为平行四边形的边，根据平行四边形性质即可求解．【详解】（1）四边形ABCO 为矩形，90,OAB AOC B ∴∠=∠=∠=8,AB CO == 10AO BC ==由题意得，.BDC EDC ∆≅∆90,10,8B DEC EC BC ED BD ∴∠=∠=====，由勾股定理得6,EO =1064AE ∴=-=，设AD x =，则8BD ED x ==-，由勾股定理，得2224(8)x x +=-，解得3x =， 3,(3,10)AD D ∴=∴抛物线G 过点(3,10),(8,0),D C∵抛物线G 对应函数的解析式为2y ax bx =+93106480a b a b +=⎧∴⎨+=⎩，解得：23163a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：221633y x x =-+； （2）90,90,DEA OEC OCE OEC ∠+∠=∠+∠=DEA OCE ∴∠=∠由（1）可得3,4,5AD AE DE ===，而,2CQ t EP t ==，102PC t ∴=-，情况1：当90,PQC DQE ADE QPC ∠=∠=△△，CQ CP EA ED ∴=，即10245t t -=，解得：4013t = 情况2：当90,QPC DAE ADEPQC ∠=∠=△△ PC CQ AE ED ∴=，即10245t t -=，解得：257t = ∴当4013t =或257t =时，以,,P Q C 为顶点的三角形与ADE ∆相似；（3）假设存在符合条件的,M N 点，分两种情况讨论：①EC 为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC 中点，若四边形MENC 是平行四边形，那么M 点必为抛物线顶点，则32(4,)3M ， 平行四边形的对角线互相平分， ∴线段MN 必被EC 中点(4,3)平分，则14(4,)3N -； ②EC 为平行四边形的边，则//,EC MN EC MN =，设(4,)N m ，则(48,6)M m -+或(48,6)M m +-；将(4,6)M m -+代入抛物线的解析式中，解得：38m =-，此时(4,38),(4,32)N M ---；将(12,6)M m -代入抛物线的解析式中，解得：26m =-，此时(4,26),(12,32)N M --；综上，存在符合条件的,M N 点，且它们的坐标为：①11(4,32),(4,38)M N ---；②22(12,32),(4,26)M N --；③333214(4,),(4,)33M N -．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了勾股定理，轴对称，相似三角形分类讨论，平行四边形分类讨论等问题，综合性强解第（1）步关键是根据勾股定理列方程确定点D 坐标，第（2）（3）步要注意没有说明两个三角形对应边，平行四边形四个顶点顺序，故要注意分类讨论．23．（1）A（4，43），B（12，43）；（2）①0≤t≤4时，S＝3t2；②当4＜t≤8时，S＝23t；③当8＜t≤12时，S＝﹣32t2+63t；（3）当t＝8时，S最大＝163【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥OC于D，根据菱形的性质可得OA＝AB＝BC＝CO＝8，然后根据锐角三角函数即可求出OD和AD，从而求出点A和点B的坐标；（2）根据直线l与菱形相交的情况分类讨论，分别画出对应的图形，然后根据锐角三角函数和三角形的面积公式计算即可；（3）利用一次函数增减性和二次函数的增减性分别求出（2）中S的最值，最后取S的最大值即可．【详解】解：（1）过点A作AD⊥OC于D，∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为（8，0），∴OA＝AB＝BC＝CO＝8．∵∠AOC＝60°，∴OD＝OA·cos∠AOD=4，AD＝OA·sin∠3．∴A（4，3，B（12，3；（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：①0≤t≤4时，直线l与OA、OC两边相交，（如图①）．∵MN⊥OC，∴ON＝t．∴MN＝ON tan60°＝3t．∴S＝12ON•MN＝32t2；②当4＜t≤8时，直线l与AB、OC两边相交，（如图②）．S＝12ON•MN＝12×t×43＝23t；③当8＜t≤12时，直线l与AB、BC两边相交，（如图③）．设直线l与x轴交于点H．∵MN＝33t﹣8）＝33，∴S＝12OH•MN＝12×t×（33）＝﹣32t23；（3）由（2）知，当0≤t ≤4时，S 20，对称轴为直线t=0 ∴当t ＞0时，S 随t 的增大而增大∴S 最大＝242＝当4＜t ≤8时，S ＝t 中，＞0∴S 随t 的增大而增大∴S 最大＝，当8＜t ≤12时，S ＝﹣2t 2＝﹣2（t ﹣6）22＜0，对称轴为直线t=6∴当t ＞6时，S 随t 的增大而减小∴当8＜t ≤12时，S ＜综上所述，当t ＝8时，S 最大＝．【点睛】此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、求函数关系式、利用一次函数和二次函数求最值，掌握菱形的性质、锐角三角函数、三角形的面积公式、利用一次函数增减性和二次函数的增减性求最值是解决此题的关键．24．（1）223y x x =--，（2）2DE =，（3）（2，3-） 【解析】【分析】（1）抛物线的表达式为：()()()21323y a x x a x x =+-=--，故33a -=-，解得：1a =，即可求解；（2）过E 点作'EC OC 交OC 于点'C ，利用OP AD ⊥易证'OAD C OE ，则可根据AAS 证明'OADC OE 得到'3AO OC ，可得C 与'C 点重合，则有1322OD DC CE OC ，得到DCE 是等腰直角三角形，可求得DE =；。