2021年2月湖北省龙泉中学、宜昌一中2021届高三毕业班联合考试数学试题
20．（本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛（其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁
1
判），设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为 ，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时
．
a ab
15．已知 A ， B 两点分别为椭圆 x2 + y2 = 1的左焦点和上顶点， C 为椭圆上的动点，则 ∆ABC 面积的
32
最大值为
．
16．如图，长方体 ABCD − A1B1C1D1 的长、宽、高分别 4 5、8、3 ， E、F 分别为上底面、下底面（含
边界）内的动点，当 AE + EF + FC1 最小时，以 A 为球心， AE 的长为半径的球面与上底面
:
x2 a2
−
y2 b2
=
1(a
>
0, b
>
0) 的左右焦点，过点 F1 作渐近线
y
=
b a
x 的垂线交
双曲线右支于点 P，直线 PF2 与 y 轴交于点 Q（P，Q 在 x 轴同侧），连接 QF1 ，若 ∆PQF1 内切圆
圆心 I 恰好落在以 F1F2 为直径的圆上，则下列结论正确的有
π
A．
∠F1PF2
A．{1, 2}
B．{2, 4}
C．{1, 2, 4}
D． ∅
2．若复数 z 同时满足 z − z =2i ， z = iz ，则 z =
A．1− i
B． i
C． −1− i
3．关于直线 l : ax + by +1 =0 ，有下列四个命题：
甲：直线 l 经过点 (1, 0) ；
乙：直线 l 经过点 (0, −1) ；
= 2
B． ∆PQF1 内切圆的半径为 a − b
C． OQ = 5 OI
D．双曲线的离心率为 5
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 α
是三角形的一个内角，
tan α
=
4 3
，则
sin
α
+
2π 3
=
．
2 月月考数学第 1 页 共 2 页
14．已知 a,b 都为正实数，则 a + b + 25 的最小值为
A．
B．
C．
D．
7．已知 O 为 ∆ABC 的外心， 3OA + 4OB + 5OC = 0 ，则 cos ABC 的值为
5
A．
5
10
B．
10
5
C．
10
10
D．
5
8．已知函数 f ( x) = aex + ln x − x(a ∈ R) ，若 x ∈[1, + ∞) 时， f (x) ≥ −2 ，则实数 a 的取值范围为
A1B1C1D1 的交线长为
．
四、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）
在 ∆ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边， sin2 A + sin2 C = sin2 B + sin Asin C ．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 N , M 处为止，则下列说法正确的
有
A．甲从 M 到达 N 处的方法有 120 种
B．甲从 M 必须经过 A3 到达 N 处的方法有 9 种
C．甲、乙两人在
A3
处相遇的概率为
9 100
41
D．甲、乙两人相遇的概率为
100
12．已知 F1, F2 为双曲线 C
谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，
前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为 （1 丈=10 尺=100 寸）
A．四尺五寸
B．三尺五寸
C．二尺五寸
D．一尺五寸
6．函数 f (x=)
|
x
|
−
m x
（其中
m
∈
R
）的图像不．可．能．是
y y
Ox
Ox
龙泉中学、宜昌一中 2021 届高三年级 2 月联合考试
数学试题
命题学校：龙泉中学
命题人：崔冬林
审题人：张建军
本试卷共 2 页，共 22 题。满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.
3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
{ } 1．已知集= 合 A {1, 2,3, 4= }, B = y | y 2x−1, x ∈ A ，则 A B =
x
A．
2 e2
,
+
∞
B．
1 e3
,
+
∞
C．
1 e2
,
+
∞
D．
1 e
,
+
∞
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
{ } 9．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = p ，2Sn − Sn−1 = 2 p （ n ≥ 2 ， p 为常数），则下列结D．函数 f (x) 的最小值为 − 3
11．如图，在某城市中， M , N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 A1, A2, A3, A4 是道路网中位于 一条对角线上的 4 个交汇处．今在道路网 M , N 处的甲、乙两人分别要到 N , M 处，他们分别随机
D． −1+ i
丙：直线 l 经过点 (−1, 1) ；
丁： ab < 0 ．
若只有一个假命题，则该命题是
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
4．若
x
−
a 3x
8
的展开式中
x4
的系数为
7，则展开式的常数项为
7
A．
16
1
B．
2
C． − 7 16
D． − 1 2
5．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、
确的有
A．{an} 一定是等比数列
B．当
p
= 1时，
S4
=
15 8
C．当
p
=
1 2
时， am
⋅ an
= am+n
D． a3 + a8 = a5 + a6
10．已知函数 f (x) =3 + 2sin x − sin 2x ，则下列结论正确的有
A．函数 f (x) 的最小正周期为π
B．函数 f (x) 在[−π , π ] 上有 2 个零点
三校联考参考答案12
在 Rt△F1QF2 中， cos
=
a c
=
F2Q F1F2
=
c−a 2c
2a
= c − a c = 3a
，
所以 e = 3 ．故选 D．
7．【解析】由
AC1
=
AB
+
AD
+
AA1
得
2
AC1
=
2
AB
+
2
AD
+
2
AA1
+
2AB
AD
+
2AB
AA1
+
2AD
AA1
= 12 +12 + 22 + 2 11 cos90 + 2 1 2 cos120 + 2 1 2 cos120 = 2 ，所以线段 AC1 的长为 2 ． 故选 B．
2021 年 12 月“荆州中学、龙泉中学、宜昌一中”三校
高二阶段性检测
数学试题参考答案
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 D A B C C D B A
1．【解析】设直线的倾斜角为 ，则 tan = − 3 ，又 0 ≤ 180 ，所以 = 150 ．故选 D． 3
2．【解析】由 an+1
=1−
2
2
故应填1 ； 4 3 ．
四、解答题
17．【解析】（1）设等差数列{an} 的公差为 d，
由题可得：
a41a1++3d6d==9,24,
，解得
ad1
= 3, = 2,
4分
2021年2月湖北省龙泉中学、宜昌一中2021届高三毕业班联合考试化学答案
（1）羟基；取代反应；（2分）
（2） （2分）
（3） 中3个氯原子均有可能与G反应,导致副产物比例增加（2分）
（4）2.04（2分）
2（2分） ；（2分） （2分）
（6）0.02 （2分）
18 （13分）
（1）① （2分） 6·OH+2NH3=N2+6H2O（2分）
催化作用。或具体描述：H2O2+Fe2+=Fe3++∙OH+OH−,Fe3+向阴极移动,阴极发生Fe3++e−=Fe2+,Fe2+再生,循环使用。（2分）
（2） 2H2O+2e-=2 NhomakorabeaH-+H2↑（2分）
绝密★启用前
湖北省龙泉中学、宜昌一中
2021届高三毕业班下学期2月联合考试
化学试题参考答案
2021年2月
1-5 ABDCB
6-10 DCABB
11-15 CADDB
16（14分）
（1）圆底烧瓶（1分） 不能 （1分）
（2）b （2分）
（3）打开活塞K （2分）
（4）保温,避免水蒸气冷凝 （2分）
（5）ab （2分） HF+OH−=F−+H2O （2分）
（6）2.85% （2分）
17（14分）
（1）增大接触面积,加快反应速率,提高浸出率 （2分）
（2）AlO +CO2+2H2O=Al(OH)3↓+HCO （2分）
（3）FeCl3、CoCl2（2分） 2LiCoO2+8HCl=2CoCl2+Cl2↑+4H2O+2LiCl （2分）
（4）C （2分）
湖北省龙泉中学、宜昌一中2021-2022届高三数学9月联考试题 理
龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．tan165=( )A ．23--B ．23-+C ．23-D ．23+2．已知集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A ( ) A ．1(0,)2 B ．1（,1)2 C ．1（,1]2 D ．1[,1]23．命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为( )5．已知R 上的单调函数log ,3()7,3a x x f x mx x ≥⎧=⎨+<⎩满足(2)1f =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3(0,] B ．(0,1)C ．3[,1)3D ． (1,3] 6．电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数sin()(0,0,0)2I A t A πωϕωϕ=+>><<的图象如图所示，则当0.01t =秒时，电流强度是( )A ．5-安B ．5安C ．53安D ．10安7．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是( ) （lg30.477≈） A ．3710- B ．3610- C ．3510- D ．3410- 8．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 ( )A ．32ln 24- B ．12ln 24+ C ． 52ln 24- D ．12ln 24-+ 9．662sin 70cos 430-= ( )A ．8B ．8-C ．86-D ．610．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是( ) A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，，11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=0,230＞,2ln )(2x x x x x x x x f 的图像上有且仅有四个不同的关于直线1-=y 对称的点在1)(-=kx x g 的图像上，则k 的取值范围是( )A ．)43,31( B ．)43,21( C ．)1,31( D ．)1,21(12．若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.则sin2α= ．14．已知tan()7cos()2ππαα-=+，11cos()14αβ+=-，,(0,)2παβ∈，则β= ___ _．15．已知函数2()ln f x x ax x =++有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题12分）已知:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18． (本小题12分）已知函数44()2cos sin 1f x x x x ωωω=+-+ (其中01ω<<)，若点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心．(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的最小正周期； (2) 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，用 “五点作图法”作出函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象．19．(本小题12分）自2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：2(1)()2kt x b p --=，其中,k b 均为常数．当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定,k b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2xq -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 20．(本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．(1)若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等边三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为0(,0)x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．21．(本小题12分）已知函数R a ax ax e x x f x∈+++=,221)1()(2. (1)讨论)(x f 极值点的个数；(2)若)2(00-≠x x 是)(x f 的一个极值点，且-2e >)2(-f ，证明: 1<)(0x f .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，（m 为参数）． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+．23．（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数2()4f x x ax =++，()11g x x x =++-．（1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试理科数学试题（参考答案）B C B B C A B A C D D A 13． 35- 14．3π15． (1,0)- 16． 3； [1,4] 17．【解析】若p 真，因为12,x x 是方程220x mx --=的两个实根，所以12x x m +=,122x x ⋅=-所以12x x -==，所以当[1,1]m ∈-时，12max 3x x -=， ……3分所以由不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，所以6a ≥或1a ≤- ……5分若q 真，则2210ax x ++=的解集为空集，2240a ∆=-<， ………………………7分解得：1a > ………………………8分因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 一真一假． ……………………9分若p真q假，则有6a ≥或1a ≤-且1a ≤， 得1a ≤- ……………………10分若p假q真，则有16a -<<且1a >， 得16a << …………………11分综上知，实数a的取值范围是(,1](1,6)-∞-． ……………………12分18．【解析】(1) 2222()2(cos sin )(cos sin )1f x x x x x x ωωωωω=+-++2cos 212sin(2)16x x x πωωω=++=++ ………………………1分因为点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心， 所以36k ωπππ-+=，k Z∈，所以132k ω=-+，k Z ∈ .………………………2分因为01ω<<，所以10,2k ω==， 所以()2sin()16f x x π=++ .………………………4分最小正周期2T π= ………………………5分(2)由(1)知，()2sin()16f x x π=++，向左平移6π个单位得2sin()13y x π=++，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变1()2sin()123g x x π=++ ………………………7分当[,3]x ππ∈-时，列表如下： ………………………10分123x π+ 6π-2π π32π 116πx π-23π-3π 43π 73π 3π ()f x1311-则函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象如图所示： ………………………12分19．【解析】（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩得22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得5,1b k ==………………………6分(2)当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=，所以2(1)(5)t x x--=- ，故211125(5)10x t x x x=+=+-+- ………………………9分 而25()f x x x=+在(0,4]上单调递减，所以当4x =时，()f x 有最小值414此时，112510t x x =++-取得最大值5， ………………………11分 故，当4x =时，关税税率的最大值为500%………………………12分20．【解析】(1)由题知(,0)2p F ，32p FA =+，则(3,0)D p +，FD 的中点坐标为33(,0)24p+， 则33324p +=，解得2p =，故C 的方程为24y x =． …………………………4分(2)依题可设直线AB 的方程为0(0)x my x m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得20440y my x --=， (5)分 因为012x ≥，所以2016160m x ∆=+>，124y y m+=，1204y y x ⋅=-， …………………………6分设P 的坐标为(,0)P x ，则22(,)P PE x x y =--，11(,)P PA x x y =--， 由题知//PE PA ，所以2112()()0P P x x y x x y -⋅+-⋅=， 即2221121212211212()()44P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==， …………………………7分显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证00P x x +=， 由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即12221211()4y y y y +=-， 所以124y y -=，所以21212()416y y y y +-⋅=．即220161616m x +=，201m x =-，01x <， …………………………10分又因为012x ≥，所以0112x ≤<，d ===(1,2t =∈，202x t =-，22(2)42t d t t t -==-， 易知4()2f t t t=-在(1,2上是减函数，所以,2)3d ∈． …………………………12分21．【解析】（1）)(x f 的定义域为R ，()(2)()xf x x e a '=++ (1)分若0a ≥，则0x e a +>，所以当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '<；当(2,)x ∈-+∞时，()0f x '>，所以)(x f 在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞递增所以2x =-为)(x f 唯一的极小值点，无极大值，故此时)(x f 有一个极值点．……………2分若0a <，令()(2)()0xf x x e a '=++=，则12x =-，2ln()x a =-当2a e -<-时，12x x <，则当1(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………3分当2a e -=-时，12x x =, ()(2)()0xf x x e a '=++≥且恒不为0，此时)(x f 在R 上单调递增，无极值点 ……………………………………………4分当20e a --<<时，12x x >，则当2(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<；当1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………5分综上，当2a e -=-时，)(x f 无极值点；当0a ≥时，)(x f 有1个极值点； 当2a e -<-或20e a --<<时，)(x f 有2个极值点．…………………6分(2)证明：若00(2)x x ≠-是)(x f 的一个极值点，由（1）可知22(,)(,0)a e e --∈-∞--又22(2)2f e a e ---=-->，所以2(,)a e -∈-∞-，且02x ≠-，…………………7分则0ln()x a =-，所以201()(ln())[ln ()2ln()2]2f x f a a a a =-=-+--， 令ln()(2,)t a =-∈-+∞，则t a e =-，所以21()(ln())(22)2t g t f a e t t =-=-+-故1()(4)2t g t t t e '=-+ …………………10分又因为(2,)t ∈-+∞，所以40t +>，令()0g t '=，得0t =．当(2,0)t ∈-时，()0g t '>，()g t 单调递增，当(0,)t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减所以0t =是()g t 唯一的极大值点，也是最大值点，即()(0)1g t g ≤=，故(ln())1f a -≤，即0()1f x ≤ …………………12分22．【解析】（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得10x y --=， …………………2分因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =． …………………5分（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上，设直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得280t --=， …………………7分设点,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=128t t =-，所以1212111||||8t t MA MB t t -+====． …………………10分23．【解析】（1）()3g x ，即|1||1|3x x ++-，不等式等价于1(1)(1)3x x x -⎧⎨-+--⎩或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--⎩或1113x x x ⎧⎨++-⎩， 解得32x ≤-或32x ≥， …………………4分 所以()3g x ≥的解集为33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． …………………5分（2）因为21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以min min ()()([2,2])f x g x x ≤∈-， …………………6分又min ()2g x =，所以min ()2([2,2])f x x ≤∈-，当22a -≤-，即4a ≥时，min ()(2)424822f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，min ()(2)424822f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-；当222a -<-<，即44a -<<时22min ()()42242a a a f x f =-=-+≤，解得a ≥或a ≤-，所以4a -<≤-或4a ≤<，综上，实数a的取值范围为(,[22,)-∞-+∞． …………………10分。
湖北省十一校2021-2022学年高三下学期第二次联考数学试题及答案
2022届高三湖北十一校第二次联考 数学答案第 1 页 共 3 页鄂南高中 黄冈高中 黄石二中 荆州中学 龙泉中学 武汉二中 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 宜昌一中 夷陵中学2022届高三湖北十一校第二次联考数学答案一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.8.因为α、β、γ、δ为锐角，则22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，当且仅当sin cos αβ=时取等号，同理sin cos αβ+sin cos βγ+sin cos γδ+sin cos 2δα≤， 故不可能有4个数都大于12，所以最多三个数大于12，例如45,44,30,60αβγδ=︒=︒=︒=︒，所以3m =， 0sin cos αβ<sin cos βγsin cos γδ11sin cos sin 2sin 2sin 2sin 21616δααβδγ=⋅⋅⋅≤， 故最多有4个数均小于14，所以4n =，例如80αβγδ====︒， 所以7m n+=.故选：B.三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 14.815.510,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.31,ee ⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题:本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（1）因为cos A =1cos 3ADB ∠=，则A 、ADB ∠均为锐角，所以，sin3A ==，sin 3ADB ∠==，()()cos cos cos sin sincos cos ABD A ADB A ADBA ADB A ADB π∠=−−∠=−+∠=∠−∠13=，//AB CD ，则BDC ABD ∠=∠，因此，cos cos BDC ABD ∠=∠=（5分）（2）在ABD △中，由正弦定理可得sin sin AB BDADB A=∠，可得sin 3sin AB A BD ADB ===∠，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 9623119BC BD CD BD CD BDC =+−⋅∠=+−⋅=， 因此，BC =（10分）18.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则432d a a =−=，又1210a a +=，得11210a a ++=，解得14a =，所以42(1)22n a n n =+−=+； （2分）（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则238b a ==，3716b a ==，所以321628b q b ===，214bb q==， 所以576422128b =⨯==，11422n n n b −+=⨯=，则155(22)2n n n n c a b n +=−=+−，（4分）所以()()()4224(12)546225421122n nn n n S n ++−=++⋯++−=⨯−−⎡⎤⎣⎦−2225154n n n +=−+++， （6分） 令()22()25154x f x x x x N ++=−+++∈，则()2ln 221015x f x x +'=−++，由于x N +∈，当14x ≤≤时，()0f x >′，函数()f x 单调递增； 当5x ≥时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且()128125754756f =−+++=，()4648060480f =−+++=，所以当4n =时，n S 有最大值且最大值为480S =.（12分）19.选择①②：（1）因为4AC =，3AB =，5BC =，所以AB AC ⊥. 又因为1AB AA ⊥，1AC AA A =∩，所以AB ⊥平面11AAC C . 选择①③：（1）因为4AC =，3AB =，5BC =，所以AB AC ⊥. 又因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，平面ABC平面11AAC C AC =，所以AB ⊥平面11AAC C . （4分）2022届高三湖北十一校第二次联考 数学答案第 2 页 共 3 页（2）由（1）知AB AC ⊥，1AB AA ⊥，因为四边形11AAC C 是正方形，所以1AC AA ⊥.如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz −，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,0,4)C ，1(0,4,0)A ，1(0,4,4)C ， 1(3,4,0)A B =−，11(0,0,4)A C =，(3,0,4)BC =−.设平面11A BC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1110,0,n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即340,40.x y z −=⎧⎨=⎩，令3y =，则4x =，0z =，所以(4,3,0)n =.设直线BC 与平面11A BC 所成角为θ，则||12sin |cos ,|25||||BC n BC n BC n θ⋅=<>==.所以直线BC 与平面11A BC 所成角的正弦值为1225. （8分）20.(1)解：由已知得2221b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得1a b c ⎧=⎪⎨==⎪⎩,∴椭圆C 的方程2212x y +=.（3分） (2)证明：由（1），椭圆的左焦点()1,0F −,设()()1122,,,A x y B x y ,则()()122,,2,M y N y −−,122,2y y G +⎛⎫− ⎪⎝⎭.()12112112222AG y y y y y k x x +⎛⎫− ⎪−⎝⎭==++，22021FN y k y −==−−+. ∵直线()()10y k x k =+≠与椭圆交于A 、B 两点，∴()()11221,1,y k x y k x =+=+ 由于直线()()10y k x k =+≠与直线:2l x =−不平行， ∴四边形AGNF 为梯形的充分必要条件是//AG FN ，即()122122y y y x −=−+，即1212320y y x y ++=,即()()()1212131210k x k x x k x +++++=,∵0k ≠,∴上式又等价于()()()1212131210x x x x +++++=，即()12123240x x x x +++=（*）. （8分）由()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,得()2222124220k x k x k +++−=,∴()22121222214,1212k k x x x x k k −+=−=++, ()()221212222143243241212k k x x x x k k −⎛⎫+++=⨯−+⨯+ ⎪++⎝⎭2222124448012k k k k −+−++==+， ∴（*）成立，∴四边形AGNF 为梯形.（12分）21.（1） （2分）平均分：(6100.0046300.0076500.026700.0146900.005)20653.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= （4分） （2）总分大于等于680分的同学有500.005205⨯⨯=人， 由已知，其中有3人小于等于690分，2人大于690分；①()2111222212142121113363129999P P A A A A A B C C ++++⎛⎫=−++=−−⨯⨯−⨯⨯=−−−= ⎪⎝⎭（8分）②设高于690分的同学被高校T 提前录取为事件M ，不超过690分的同学被高校T 提前录取为事件N ，则()()2112222221212()333363123P M P A A P A A A B C C ++++⎛⎫⎛⎫=++=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()21122212111112112()535343695699P N P A A P A A A B C C ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+⨯⨯+⨯⨯=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23222212323888271721227137284117626323939933993336561P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=++=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12分）2022届高三湖北十一校第二次联考 数学答案第 3 页 共 3 页22.(1)令11()ln 2f x x x x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，有2222211121(1)()2222x x x f x x x x x −−−'=−−==−所以()0f x '≤，得()f x 在[1,)+∞上单调递减.又(1)0f =，故当1x >时，()0f x <，因此，当1x >时，11ln 2x x x ⎛⎫<− ⎪⎝⎭（4分）(2)（ⅰ）要证(,)(,)G a b L a b <ln ln a ba b −<−，只要证ln ba<令1)t t >，由（1）有11ln 2t t t ⎛⎫<− ⎪⎝⎭，即得12ln t t t <−，因此，（6分）（ⅱ）由(,)(,)(,)k L a b G a b A a b ⋅<+恒成立，得ln ln 2a b a b k a b −+⋅−恒成立，即得1112ln aa b k a b b−⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭恒成立，令1)t t >，有2211(1)2ln 2t k t t t −⋅<++恒成立， 得11(1)2ln 2t k t t −⋅<+恒成立，所以1ln 01t k t t −⋅−<+恒成立 令1()ln 1t g t k t t −=⋅−+，有22222212(1)2(1)1()(1)(1)(1)kt t t k t g t k t t t t t t −+−+−−'=⋅−==++⋅+⋅，（注：(1)0g =）ⅰ当(1)0g '>时，即2k >时，易知方程22(1)10t k t −+−−=有一根1t 大于1，一根2t 小于1， 所以()g t 在1[1,)t 上单调递增，故有1()(1)0g t g >=，不符； ⅱ当02k <≤时，有2222(1)4(1)(1)0kt t t t t −+≤−+=−−≤， 所以()0g t '≤，从而()g t 在[1,)+∞上单调递减， 故当1t >时，恒有()(1)0g t g <=，符合． 由ⅰ、ⅱ可知，正实数k 的取值范围为02k <≤， 因此，正实数k 的最大值为2.（12分）。
2021年湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中高考数学联考试卷(2021.04)(解析版)
2021年湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中高考数学联考试卷（4月份）一、单项选择题（每小题5分）.1．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∀x∉R，x2≥0B．∀x∈R，x2＜0C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2＜0 2．已知集合A＝{1，2}，集合B＝{0，2}，设集合C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则下列结论中正确的是（）A．A∩C＝∅B．A∪C＝C C．B∩C＝B D．A∪B＝C3．数列{a n}是各项均为正数的等比数列，3a2是a3与2a4的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．2B．C．3D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面C．若m⊥α，l∥α，则直线m与n一定垂直D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n一定平行5．已知向量，满足||＝1，＝（1，﹣2），且|+|＝2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“b cos A﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h．用该术可求得圆率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（）A．B．3C．3D．98．已知实数a，b满足a＝log34+log129，5a+12a＝13b，则下列判断正确的是（）A．a＞b＞2B．b＞a＞2C．2＞b＞a D．a＞2＞b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
龙泉中学、宜昌一中2021届高三2月考数学试题
龙泉中学、宜昌一中2021届高三年级2月联合考试 5 10 510 5 A ． B ． C ． D ． 51010数学试题ae x x+ ln x x a R ，假设 1 x∈[1, +∞) 时， f (x ) ≥ −2，那么实数的取值范围为 8．函数 f (x ) = − ( ∈ ) a 2 1 1 e A ． 2 , +∞ B ． 3 , +∞ C ． 2 , +∞ D ． , +∞ 本试卷共 2页，共 22题。
总分值150分，考试用时120分钟。
考前须知：1.答题前，考生务必将自己的姓名 .准考证号填在答题卡上.2.选择题每题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效 . e e e 二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5分，局部选对的得2分，有选错的得0分． 9．数列{a n } 的前项和为 n S n ，且 a 1 = p ，2S n − S n −1 = 2p 〔 n ≥ 2， p 为常数〕，那么以下结论正3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效 .确的有B ．当 p =1时， S 4 = 158D ． a 3 + a 8 = a 5 + a 6 A ．{a n }一定是等比数列 一、单项选择题：此题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符 合题目要求的．1．集合 A ={1,2,3,4},B ={y | y = 2x −1, x ∈ A }，那么 A B = C ．当 p = 1时， a m ⋅a n = a m +n2 A ．{1,2} B ．{2,4} C ．{1,2,4} D ．∅10．函数 f (x ) = 3 + 2sin x −sin2x ，那么以下结论正确的有 2．假设复数 z 同时满足 z − z = 2i ， z = i z ，那么 z =A ．1−iB ．i 3．关于直线l : ax + by +1= 0，有以下四个命题： A ．函数 f (x )的最小正周期为π B ．函数 f (x )在[−π, π]上有 2个零点C ．−1−iD ．−1+ i C ．函数 f (x )的图象关于(π , 3)对称D ．函数 f (x )的最小值为 − 3( ) ( − ) 甲：直线l 经过点 1, 0； 乙：直线l 经过点 0, 1； 11．如图，在某城市中， M , N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 A 1, A 2, A 3, A 4是道路网中位于 一条对角线上的 4个交汇处．今在道路网 M , N 处的甲、乙两人分别要到 N ,M 处，他们分别随机 地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 N ,M 处为止，那么以下说法正确的 丙：直线l 经过点(−1, 1)；丁： ab < 0．假设只有一个假命题，那么该命题是 有 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁A ．甲从 M 到达 N 处的方法有 120种B ．甲从 M 必须经过 A 3到达 N 处的方法有 9种 8a的展开式中 x 4的系数为 7，那么展开式的常数项为 4．假设x − A ． 73x 9 B ． 1 2 C ．− 7 16 D ．− 1 2C ．甲、乙两人在 A 3处相遇的概率为100 16 41 5．?周髀算经?有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸， D ．甲、乙两人相遇的概率为100 x 2 2 y 22 = 1(a > 0,b > 0)的左右焦点，过点 F 1作渐近线 y = b x 的垂线交前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为 〔1丈=10尺=100寸〕 12． F 1,F 2为双曲线C : a − baA ．四尺五寸B ．三尺五寸C ．二尺五寸D ．一尺五寸 6．函数 f (x ) =| x | − m 〔其中 m ∈ R 〕的图像不可能是双曲线右支于点 P ，直线 PF 2与 y 轴交于点 Q 〔P ，Q 在 x 轴同侧〕，连接QF 1，假设∆PQF 1内切圆 圆心 I 恰好落在以 F 1F 2为直径的圆上，那么以下结论正确的有．．． x A ．∠F 1PF = πB ．∆PQF 1内切圆的半径为 a −b D ．双曲线的离心率为 5yy22C ．OQ = 5OIO xO x三、填空题〔本大题共 4小题，每题 5分，共 20分〕 A ．B ．C ．D ．42π313．α是三角形的一个内角， tan α =，那么sin α．7．O 为∆ABC 的外心，3OA + 4OB +5OC = 0，那么cos ABC 的值为32114． a ,b 都为正实数，那么 a + b + 25 20．〔本小题总分值 12分〕 甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛〔其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判〕，设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为 1 的最小值为 ．a ab15． A ， B 两点分别为椭圆 x + y =1的左焦点和上顶点， C 为椭圆上的动点，那么 ∆ABC 面积的22，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时 2 3 2受体力影响，胜的概率均变为 2，第一局甲当裁判． 最大值为 ． 16．如图，长方体 ABCD − A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别 4 5、8、3， E 、F 分别为上底面、下底面〔含 边界〕内的动点，当 AE + EF + FC 1最小时，以 A 为球心， AE 的长为半径的球面与上底面 5 〔Ⅰ〕求第三局甲当裁判的概率； 〔Ⅱ〕设 X 表示前四局乙当裁判的次数，求 X 的分布列和数学期望．A 1B 1C 1D 1的交线长为． 21．〔本小题总分值 12分〕抛物线 E : x2 =2y ，过抛物线上第一象限的点 A 作抛物线的切线，与 x 轴交于点 M ．过 M 作OA 的垂线，交抛物线于 B ，C 两点，交OA 于点 D ． 四、解答题：〔本大题共 6小题，共 70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值 10分〕2 2 2 在∆ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，sin B + sin A sin C ． A + sin C = sin〔Ⅰ〕求角 B 的大小； 〔Ⅰ〕求证：直线 BC 过定点；〔Ⅱ〕假设 MB MC ≥ 5，求| AD |⋅| AO |的最小值． ⋅ 〔Ⅱ〕假设∆ABC 为锐角三角形，b = 3，求 2a − c 的取值范围． 18．〔本小题总分值 12分〕22．〔本小题总分值 12分〕 等差数列 a 和等比数列 b 满足 a 1 = 4，b 1 = 2， a 2 = 2b 2 −1， a 3 = b 3 + 2． { } { } nn 函数 f (x ) = a − ln x +1有两个不同的零点 x 1, x 2 x( < x 2)．{ } { } 〔Ⅰ〕求 a 和 b 的通项公式； 1x n n 〔Ⅱ〕将{a n }和{b n }中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{c n }，求数列{c n }的前60项和 S 60． 〔Ⅰ〕求实数 a 的取值范围； 1 + 1 > 2ef x x 2 ( )． 0 〔Ⅱ〕记 f (x )的极值点为 x 0，求证： x 1 19．〔本小题总分值 12分〕在三棱锥 P − ABC 中，平面 PAC ⊥平面 ABC ， PA = PB = AB = 2AC = 2BC ． 〔Ⅰ〕证明： PC ⊥平面ABC ； 〔Ⅱ〕 Q ，M ，N 分别为线段 PA 、PB 、BC 的中点，求直线 MN 与平面 QAC 所成角的正弦值．月月考数学第 2页共 2页。
2021届湖北省部分重点中学届高三理联考一数学试卷
2021年湖北省部分重点中学届高三理联考一数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i 为虚数单位，若i z i -=+3)3(，则=||z （ ）A ．1B ．2C ．3D ．22．已知集合}0352|{2≤--=x x x A ，}2|{≤∈=x Z x B ，则B A 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为（ ）A ．B ．且C ．D ．4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若，，，则B ．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则6．设等比数列的公比为，则“”是“是递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．320 B ．316 C ．68π-D ．38π-8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 （ ）A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元9．已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]10．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，若BA BC AP 3243-=，则PBC ∆与ABC ∆的面积的比为（ ）A ．31 B ．21C ．32D ．4311．如图所示，已知在一个60的二面角的棱上，有两个点B A 、，BD AC 、分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且cm AB 4=，cm AC 6=，cm BD 8=，则CD 的长为（ ）A ．172B ．412C ．2D ．1012．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+-=)20(11ln)02(2)(2x x x x x x f ，若a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,0(eB ．)21,0(eC ．)1,33ln [eD ．)21,33ln [e二、填空题13．将参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数）化为普通方程为 . 14．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥ABC S -中，M 是SC 的中点，且SB AM ⊥，底面边长22=AB ，则其外接球的表面积为 .15．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，则=-+-)63()31(f f .16．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对任意的*N n ∈，321)1(-++-=n a S nn n n 且0))((1<--+p a p a n n 恒成立，则实数p 的取值范围是 .三、解答题17．已知4||=，3||=， 61)2()32(=+⋅-. （1）求与的夹角θ； （2）若=，=，21=，32=，且AD 与BC 交于点P ，求||.18．已知函数)()cos (sin cos 2)(R m m x x x x f ∈+-=，将)(x f y =的图象向左平移4π个单位后得到)(x g y =的图象，且)(x g y =在区间]4,0[π内的最大值为2.（1）求实数m 的值；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1)43(=B g ，且2=+c a ，求ABC ∆周长l 的取值范围.19．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，82=a ，243=a ，}2{1n n a a -+为等比数列. （1）求证：}2{n na 是等差数列； （2）求证：2≥n S .20．如图，已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，且60=∠ABC ，2==PC AB ，2==PB PA .（1）求证：平面⊥PAB 平面ABCD ；（2）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成最大角的正切值； （3）求二面角B AC P --的余弦值. 21．设函数)0)(1ln(21)(2≠++=b x b x x f . （1）若函数)(x f 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点； （3）令1=b ，x x x f x g +-=221)()(，设),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 是曲线)(x g y =上相异三点，其中3211x x x <<<-.求证：23231212)()()()(x x x g x g x x x g x g -->--. 22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.参考答案1．A 【解析】试题分析：由题意可得：()()()i i ii i iiz 23214322333332-=-=-+-=+-=，则1=z ，故选A.考点：复数的运算. 2．B 【解析】试题分析：由题意可得⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=321x x A ，{}2,1,0=B ，则{}2,1,0=B A ，故B A 中的元素个数为3，故选B.考点：（1）一元二次不等式的解；（2）集合的交集. 3．C 【解析】 试题分析：A.在上没有单调性，∴该选项错误；B ．是偶函数，∴该选项错误；C ．由，得，∴该函数为奇函数；在上为增函数，∴该选项正确；D.为非奇非偶函数，∴该选项错误．故选C ．考点：（1）函数单调性的判断与证明；（2）函数的奇偶性. 4．C 【解析】试题分析：21=-=-m m m S S a ，311=-=++m m m S S a ，所以公差11=-=+m m a a d ，()021=+=m m a a m S ，得21-=a ，所以()2112=⋅-+-=m a m ，解得5=m ，故选C ．考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的前n 项和. 5．B 【解析】试题分析：选项A ，若，，，则可能，，或，异面，故A 错误；选项B ，若，，，则，或，异面，故B 错误；选项C ，若，，，则与可能相交，也可能平行，故C 错误；选项D ，若，，则，再由可得，故D 正确．故选D ．考点：（1）空间中直线与平面的位置关系；（2）命题真假的判断与应用；（3）平面与平面之间的位置关系. 6．D 【解析】 试题分析：∵数列是公比为的等比数列，则“”，∴当时，“为递增数列”，又∵“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件，故选D.考点：充要条件. 7．A 【解析】试题分析：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示，∴该几何体的体积为3203481231223=-=⨯⨯-，故选A ．考点：由三视图求面积、体积. 8．D 【解析】试题分析：设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为y x z 35+=，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥183213300y x y x y x ，联立⎩⎨⎧=+=+1832133y x y x ，解得3=x ， 4=y ，由图可知，最优解为()4,3P ，∴z 的最大值为274335=⨯+⨯=z （万元）．故选D ．考点：简单的线性规划.【方法点睛】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数z 与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．在该题中先设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设y x z 35+=，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线y x z 35+=过可行域内的点时，从而得到z 值即可． 9．A 【详解】 由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈， ∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈， 0ω>，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性． 10．A 【解析】试题分析：在线段AB 上取D 使AB AD 32=，则32-=，过A 作直线l 使BC l //，在l 上取点E 使43=，过D 作l 的平行线，过E 作AB 的平行线，设交点为P ，则由平行四边形法则可得3243-=，设PBC ∆的高线为h ，ABC ∆的高线k ，由三角形相似可得3:1:=k h ，∵PBC ∆与ABC ∆有公共的底边BC ，∴PBC ∆与ABC ∆的面积的比为31，故选：A.考点：平面向量基本定理及其意义. 11．A 【解析】试题分析：∵AB CA ⊥，AB BD ⊥，∴0=⋅=⋅60=BD AC ，∴120=BD CA ．∵++=，∴⋅+⋅+⋅+++=2222222680120cos 8620846222=+⨯⨯⨯++++= ．∴172=CD ．故选：A ．考点：与二面角有关的立体几何. 12．C 【解析】试题分析：∵⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+-=)20(11ln)02(2)(2x x x x x x f ，∴()()⎩⎨⎧≤<+≤≤--=20,1ln 02,22x x x x x x f ，∵a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，∴函数()x f 与函数a ax y +=的图象有3个不同的交点；作函数()x f 与函数a ax y +=的图象如下，图中()0,1-A ，()3ln 2，B ，故此时直线AB 的斜率()33ln 103ln =---=x k ；当直线AB 与()()1ln +=x x f 相切时，设切点为()()1ln ,+x x ；则()()11101ln +=---+x x x ，解得1-=e x ；此时直线AB 的斜率e k 1=；结合图象可知，ea 133ln <≤；故选C ．考点：根的存在性及根的个数判断. 13．0323=-+y x 【解析】试题分析：由t x 521+=得()125-=x t ，代入t y 511+=化简可得0323=-+y x ，故答案为0323=-+y x . 考点：参数方程化为普通方程. 14．π12 【解析】试题分析：设O 为S 在底面ABC 的投影，则O 为等边三角形ABC 的中心，∵⊥SO 平面ABC ，⊂AC 平面ABC ，∴SO AC ⊥，又AC BO ⊥，∴⊥AC 平面SBO ，∵⊂SB 平面SBO ，∴AC SB ⊥，又SB AM ⊥，⊂AM 平面SAC ，⊂AC 平面SAC ，A AC AM = ，∴⊥SB 平面SAC ，同理可证⊥SC 平面SAB ．∴SA ，SB ，SC 两两垂直．∵SOC ≌≌∆∆∆SOB SOA ，∴SC SB SA ==，∵22=AB ，∴2===SC SB SA ．设外接球球心为N ，则N 在SO 上．∵3622332=⨯=AB BO ．∴33222=-=BO SB SO ，设外接球半径为r ，则r r SO NO -=-=332，r NB =，∵222NB ON OB =+，∴2233238r r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，解得3=r ．∴外接球的表面积ππ1234=⨯=S ．故答案为：π12．考点：（1）棱柱、棱锥、棱台的体积；（2）球的表面积和体积.【方法点睛】本题考查了正棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，属于中档题．设棱锥的高为SO ，则由正三角形中心的性质可得OB AC ⊥，SO AC ⊥，于是⊥AC 平面SBO ，得AC SB ⊥，结合AM SB ⊥可证⊥SB 平面SAC ，同理得出SA ，SB ，SC 两两垂直，从而求得侧棱长，外接球的球心N 在直线SO 上，设r BN SN ==，则r SO ON -=，利用勾股定理列方程解出r ． 15．3 【解析】试题分析：因为()x f 为R 上的奇函数，故⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-2323x f x f ，易得()x f x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-23， 则()()x f x f x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2323233，即函数()x f 是以3为周期的周期函数， 故()()()()322131=--==-=-f f f f ，()()063f f =-，则()()36331=-+-f f ，故答案为3.考点：（1）函数的奇偶性与周期性；（2）函数的值.【方法点晴】本题考查了函数的奇偶性与周期性，函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．对于抽象函数中常出现的转化形式有：1、形如()()x f x t f =-，得到函数的对称性，即对称轴为2tx =；2、形如()()x f t x f -=±或()()x f t x f 1=±时，得到函数是以t 2为周期的周期函数.当奇偶性与对称性结合时可得周期性等.16．)411,43(-【解析】试题分析：由321)1(-++-=n a S nn n n ，得431-=a ；当2≥n 时，()()()()()12111312113211111111+--+-=+------++-=-=------n n n n n n n n n n n n n n a a n a n a S S a ．若n 为偶数，则1211-=-n n a ，∴1211-=+n n a （n 为正奇数）；若n 为奇数，则11121312112121212-+--=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=n n n n n n a a （n 为正偶数）．函数1211-=+n n a （n 为正奇数）为减函数，最大值为431-=a ，函数n n a 213-=（n 为正偶数）为增函数，最小值为4112=a ．若0))((1<--+p a p a n n 恒成立，则21a p a <<，即41143<<-p ．故答案为：)411,43(-．考点：数列递推式.【方法点晴】本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．由数列递推式求出首项，写出2≥n 时的递推式，作差后对n 分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数1211-=+n n a （n 为正奇数）为减函数，最大值为431-=a ，函数n n a 213-=（n 为正偶数）为增函数，最小值为4112=a ．再由0))((1<--+p a p a n n 恒成立求得实数p 的取值范围． 17．（1）32πθ=；（2）27||=.【解析】试题分析：（1）将61)2()32(=+⋅-展开，利用向量数量积的定义可得其夹角；（2）由平面向量基本定理可得2141+=，对其平方结合（1）可得||OP . 试题解析：（1）∵61)2()32(=+⋅-，∴61||34||422=-⋅-. 又4||=，3||=，∴6127464=-⋅-，∴6-=⋅. ∴21346||||cos -=⨯-==b a θ.又πθ≤≤0，∴32πθ=. （2） x x x x 3)1(2)1(-+=-+=， yy y y 21)1(-+=-+=， ∴21,21=-=y y x ，∴)1(32,41x y x -==，∴b a OP 2141+=，∴474141161||222=+⋅+=b b a a OP ，∴27||=. 考点：（1）向量的数量积；（2）平面向量基本定理；（2）向量的模长. 18．（1）1=m ；（2）)4,3[. 【解析】试题分析：（1）先利用两角和公式和对函数解析式化简整理，根据图象的平移确定()x g 的解析式，根据x的范围和三角函数的图象与性质确定()x g 的最大值的解析式，求得m ；（2）根据第一问中函数的解析式确定B 的值，进而利用余弦定理和基本不等式确定b 的范围，最后确定周长的范围．试题解析：（1）由题设得m x m x x x f +--=+--=1)42sin(212cos 2sin )(π，∴m x m x x g +-+=+--+=1)42sin(21]4)4(2sin[2)(πππ， ∵当]4,0[π∈x 时，]43,4[42πππ∈+x ，∴由已知得242ππ=+x ，即8π=x 时，212)(max =+-=m x g ，∴1=m .（2）由已知，1)423sin(2)43(=+=πB B g∵在ABC ∆中，23230π<<B ，∴474234πππ<+<B ，∴43423ππ=+B ，即3π=B ，又∵2=+c a ，由余弦定理得：14)(3)(3)(cos 222222222=+-+≥-+=-+=-+=c a c a ac c a ac c a B ac c a b ，当且仅当1==c a 时等号成立，又∵2=+<c a b ，∴21<≤b ，∴ABC ∆周长)4,3[∈++=c b a l故ABC ∆周长l 的取值范围是)4,3[.考点：（1）三角函数图象变换；（2）余弦定理. 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用21=a ，82=a ，243=a ，}2{1n n a a -+为等比数列，可得1112242+-+=⨯=-n n n n a a ，从而12211=-++n nn n a a ，即可证明结论；（2）由于数列的通项是一个等差数列与等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和即可． 试题解析：（1）∵4212=-a a ，8223=-a a ，∴11242-+⨯=-n n n a a ，∴12211=-++n n n n a a ，∴}2{nna 是以1为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）可得n n a nn =-+=）（112，∴nn n a 2⨯=， ∴nn n S 223222132⨯++⨯+⨯+⨯= ①143222322212+⨯++⨯+⨯+⨯=n n n S ②由①-②得22)1(1+⨯-=-n n n S ，∵*N n ∈，∴2≥n S .考点：（1）等比数列的性质；（2）等差关系的确定.【方法点晴】求数列的前n 项和一般先求出通项，根据通项的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}na 为等差数列，{}nb 为等比数列等. 20．（1）证明见解析；（2）6；（3）721. 【解析】试题分析：（1）取AB 中点O ，连结PO 、CO ，由PB PA =可得AB PO ⊥，利用特殊三角形的性质计算PO ，OC ，PC ，可证OC PO ⊥，于是⊥PO 平面ABCD ，故平面⊥PAB 平面ABCD ；（2）由面面垂直的性质可知CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，故当OH 最小值，OHOCCHO =∠tan 取得最大值；（3）以AB 中点为原点，建立空间直角坐标系，求出面PAC 的法向量为)1,1,33(-=n ，得到面BAC 的法向量为)1,0,0(=m ，求出法向量的夹角即可得到二面角.试题解析：（1）证明：取AB 中点O ，连结CO PO ,， 由2==PB PA ，2=AB ，知PAB ∆为等腰直角三角形，∴1=PO ，AB PO ⊥，由2==BC AB ， 60=∠ABC ，知60=∆ABC 为等边三角形，∴3=CO ，由2=PC 得222PC CO PO =+，∴CO PO ⊥，又O CO AB = ，∴⊥PO 平面ABC ，又⊂PO 平面PAB ，∴平面⊥PAB 平面ABCD . （2）解：如图，连结OH ，由（1）知CO PO ⊥，AB CO ⊥， ∴⊥CO 平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角. 在COH Rt ∆中，∵OHOH OC CHO 3tan ==∠，要使CHO ∠最大，只需OH 最小， 而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时PB OH ⊥，22=OH ， 故当CHO ∠最大时，6tan =∠CHO ，即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.（3）解：如图建立空间直角坐标系，则)0,1,0(-A ，)0,0,3(C ，)1,0,0(P ， ∴)0,1,3(=，)1,1,0(=， 设平面PAC 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅03z yAP n y x AC n ，取1-=y ，则33=x ，1=z ，即)1,1,33(-=n ， 平面BAC 的一个法向量为)1,0,0(=m ，设二面角B AC P --的大小为θ，易知其为锐角， ∴72111311||||||,cos |cos =++==><=m n m n m n θ. ∴二面角B AC P --的余弦值为721.考点：（1）平面与平面垂直的判定；（2）直线与平面所成的角；（3）平面与平面所成的角. 【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线． 21．（1）),41[+∞；（2）0<b 时，)(x f 有唯一极小值点2411b x -+-=，410<<b 时，)(x f 有一个极大值点2411b x ---=和一个极小值点2411b x -+-=，41≥b 时，)(x f 无极值点；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题意，求导函数，要使()x f 在()+∞-,1上为单调函数，只须在()+∞-,1上0)(≥'x f 或0)(≤'x f 恒成立，分类讨论，分离参数，即可求b 的取值范围；（2）在定义域内按①当0<b 时，②当410<<b 时，③当41≥b 时三种情况解不等式()0>'x f ，()0<'x f ，根据极值点的定义即可求得；（3）利用分析法将所证转化为11111ln1212++->++x x x x ，令t x x =++1112（1>t ），()11ln -+=tt t p ，对其求导根据其单调性得()()01=>p t p ，得证. 试题解析：（1）141)21(1)(22+-++=+++='x b x x b x x x f ， ∵函数)(x f 在定义域上是单调函数，∴0)(≥'x f 或0)(≤'x f 在),1(+∞-上恒成立.若0)(≥'x f 恒成立，得41≥b . 若0)(≤'x f 恒成立，即41)21(2++-≤x b 恒成立. ∵41)21(2++-x 在),1(+∞-上没有最小值，∴不存在实数b 使0)(≤'x f 恒成立. 综上所述，实数b 的取值范围是),41[+∞.（2）由（1）知当41≥b 时，函数)(x f 无极值点.当41<b 时，0)(=x f 有两个不同解，24111b x ---=，24112b x -+-=，∵0<b 时，124111-<---=b x ，124112->-+-=bx ，即),1(1+∞-∉x ，),1(2+∞-∈x ，∴0<b 时，)(x f 在),1(2x -上递减，在),(2+∞x 上递增，)(x f 有惟一极小值点24112b x -+-=；当410<<b 时，124111->---=b x . ∴),1(,21+∞-∈x x ，0)(=x f 在),1(1x -上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增，)(x f 有一个极大值点24111b x ---=和一个极小值点24112bx -+-=.综上所述， 0<b 时，)(x f 有唯一极小值点2411bx -+-=，410<<b 时，)(x f 有一个极大值点2411b x ---=和一个极小值点2411b x -+-=；41≥b 时，)(x f 无极值点. （3）先证：)()()(2'1212x g x x x g x g >--，即证111)1ln()1ln(2121122++>-+--++x x x x x x x ，即证1111)1()1(111ln2121221212++-=++-+=+->++x x x x x x x x x x ， 令t x x =++1112（1>t ），1()ln 1p t t t =+- ，211'()0p t t t=->, 所以1()ln 1p t t t=+-在(1,)+∞ 上单调递增，即()(1)0p t p >= ,即有1ln 10t t+->, 所以获证. 同理可证：)()()(22323x g x x x g x g '<--，所以23231212)()()()(x x x g x g x x x g x g -->--.考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）利用导数研究函数的极值. 22．（1）θρcos 2=；（2）2||=PQ . 【解析】试题分析：（1）把1sin cos 22=+ϕϕ代入圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数），消去参数化为普通方程，把θρcos =x ，θρsin =y 代入可得圆C 的极坐标方程；（2）设),(11θρP ，联立圆C ，解得1ρ，1θ；设),(22θρQ ，联立直线l ，解得2ρ，2θ，可得PQ ．试题解析：（1）圆C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，又θρcos =x ，θρsin =y ， ∴圆C 的极坐标方程为θρcos 2=.（2）设),(11θρP ，则由⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθρ解得⎪⎩⎪⎨⎧==3111πθρ.设),(22θρQ ，则由⎪⎩⎪⎨⎧==+333)cos 3(sin πθθθρ解得⎪⎩⎪⎨⎧==3322πθρ.∴2|| PQ .考点：（1）参数方程化为普通方程；（2）简单曲线的极坐标方程.。
湖北省宜昌市一中2021届高三考前模拟卷 数学理
湖北省宜昌市一中2021届高三考前模拟卷数学理湖北省宜昌市一中2021届高三考前模拟卷数学理试卷型：a绝密★ 使用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学（科学与工程）本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。
满分150分，考试用时120分钟。
★ 祝你考试好运★注意事项：1.答题前，考生必须在试卷和答题卡上填写姓名和录取卡号，将录取卡号条形码粘贴在答题卡指定位置，并用统一提供的2B铅笔涂黑答题卡上A型试卷后的方框。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再炫图其他答案标号。
打在试题卷、草稿纸上无效。
3、回答空格并回答问题：在答题纸上用统一签字笔直接回答答案。
试卷和初稿上的答案无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上制定的位置用统一提供的2b铅笔涂黑。
考生应根据自己选作的题目准确填涂题号，不得多选。
答题答在答题卡上对应的答题区域内，打在试题卷、草稿纸上无效。
5.考生必须保持答题卡干净整洁。
考试结束后，请把试卷和答题纸一起交上来。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设定M？{1,0,1}，n？{a，a}，如果M？Nn、那么a的值是（）a.1b。
0C.-1D。
1或-12复合体i202122i?1（i为虚数单位）的虚部是（）b。
2a．i五千一百一十五2c．?i51d。
？513．“,???2?”是“方程x?ycos??1表示焦点在x轴上的双曲线”的（）b．必要而不充分条件d、既不是充分条件，也不是必要条件3a．充分而不必要条件c．充要条件12 4.让非零向量a、B和C满足| a | | B |？|c |，| a？b |？|那么罪呢？a、 b？=()1212a．?b．12c。
？32d.32正视图5.已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，它的侧视图区域是（）。
湖北省宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟2021届高三数学上学期11月月考试题 理(含解析)
湖北省宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟2021届高三数学上学期11月月考试题 理（含解析）一、选择题1.已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A. M N N =B. ()UMN =∅C. MN U =D. ()UM N ⊆【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2.复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）A .22i z = B. 2z z ⋅=C. ||2z =D. 0z z +=【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ， ∴z ()()()2121111i i i i i i i -+-===---+， ∴z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域相同的是（ ）A. y x =B. ln y x =C. y=D. 10xy =【答案】C 【解析】 函数ln xy e=的定义域和值域均为0,，y x =定义域值域都是R ，不合题意；函数ln y x =的定义域为0,，值域为R ，不满足要求；函数10xy =的定义域为R ，值域为0,，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为0,，满足要求，故选C.4.三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A. 0.40.20.43<4log 0.5<B. 0.40.20.43<log 0.5<4C. 0.40.20.4log 0.534<<D. 0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n 项和公式进行判断即可． 【详解】若公比q ＝1，则当a 1＞0时，则S 2021＞0成立， 若q ≠1，则S 2021()2019111a q q-=-，∵1﹣q与1﹣q2021符号相同，∴a1与S2021的符号相同，则“a1＞0”⇔“S2021＞0”，即“a1＞0”是“S2021＞0”充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．6.在边长为2的等边三角形ABC中，若1,3AE AC BF FC==，则BE AF⋅=（）A.23- B.43- C.83- D. 2-【答案】D【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC中，若13AE AC=，则BE AF⋅=（AE AB-）•12（AC AB+）＝（13AC AB-）•12（AC AB+）11 23AC=（2AB-223AB-•AC=）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=-⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A. 43钱 B.73钱 C.83钱 D.103钱【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a48 333aa+==．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．8.2021年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：级数全月应纳税所得额税率1 不超过3000元的部分3%2 超过3000元至12000元的部分10%3 超过12000元至25000元的部分20% 现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为（）A. 590元B. 690元C. 790元D. 890元【答案】B【分析】由题意分段计算李某的个人所得税额；【详解】李某月应纳税所得额（含税）为：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元， 不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为6000×10%＝600元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90+600＝690元． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，准确理解题意是关键，属于中档题． 9.已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,8B. []2,8C. (][),28,-∞+∞D. [)2,8【答案】A 【解析】 【分析】求导f ′（x ）＝2x a x -，转化为f ′（x ）＝2x 0ax-=在()1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解【详解】∵f ′（x ）＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0ax-=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜， 故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题． 10.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）A.23B.49【答案】C【分析】由已知可得2123x x π=-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】因为0＜x π＜，∴112666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 又因为方程()23f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为122123x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π＜，∴12662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得1263cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()123sin x x -=-，故()21sin x x -=3故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．11.若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A. (,1]-∞ B. (–],e ∞C. (01]，D. (0,]e【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围.【详解】作出32,1()3,1x e x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩的图象：当1x >时，()f x =x e a e a ->-，当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0,<f x 在 ()0,1上'()0,f x >则()f x =323x x -+在(),0-∞上单调递减，在 ()0,1上单调递增，又(0)0f = ∴()0f x ≥，函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤， 故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合函数最值的有界性以及利用数形结合是解决本题的关键．12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 24,33⎛⎤⎥⎝⎦D. 33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π=．∴f （x ）8π=cos ωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题． 二、填空题13.已知1(0,π),sin cos ,5ααα∈+=则tan α=_______. 【答案】43- 【解析】因为1sin cos 5αα+=， 所以12434sin cos (0,)sin ,cos tan 25553αααπααα=-∈∴==-∴=- 14.已知命题0:p x ∃∈R ，2010mx +≤，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围为_______________． 【答案】2m ≥ 【解析】【详解】若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，则:p x ⌝∀∈R ，210mx +>与:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤均为真命题．根据:p x ⌝∀∈R ，210mx +>为真命题可得0m ≥， 根据:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤真命题可得240m ∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-． 综上，2m ≥．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入S △ABC 12=ac sin B ，计算可得所求．【详解】把a 2﹣（sin B +cos B ）+4＝0看成关于a 的二次方程， 则△≥0，即8（sin B +cos B ）2﹣16≥0，即为8（B 4π+））2﹣16≥0，化为sin 2（B 4π+）≥1，而sin 2（B 4π+）≤1， 则sin 2（B 4π+）＝1， 由于0＜B ＜π，可得4π＜B 544ππ+＜，可得B 42ππ+=，即B 4π=，代入方程可得，a 2﹣4a +4＝0， ∴a ＝2，由余弦定理可得，cos 2444222c c π+-==⨯，解可得，c ＝∴S △ABC 12=ac sin B 12=⨯2×22=． 故答案为： 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．16.函数2–1y x =和ln 1y a x =-有相同的公切线，则实数a 的取值范围为_____________．【答案】(2]e -∞，【解析】 【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a 的范围． 【详解】解：两曲线y ＝x 2﹣1与y ＝alnx ﹣1存在公切线，y ＝x 2﹣1的导数y ′＝2x ，y ＝alnx ﹣1的导数为y ′ax=， 设y ＝x 2﹣1相切的切点为（n ，n 2﹣1）与曲线y ＝alnx ﹣1相切的切点为（m ，alnm ﹣1），y ﹣（n 2﹣1）＝2n （x ﹣n ），即y ＝2nx ﹣n 2﹣1， y ﹣（alnm ﹣1）a m =（x ﹣m ），即：y 1ax a alnm m=-+-∴2211a n mn a alnm ⎧=⎪⎨⎪+=+-⎩ ∴224a a alnm m =-， ∴214alnm m =- 即()214a m lnm =-有解即可， 令g （x ）＝x 2（1﹣lnx ），y ′＝2x （1﹣lnx ）21x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭x （1﹣2lnx ）＝0，可得x =∴g （x ）在（0，+∞）是减函数，g （x ）的最大值为：g）2e =， 又g （0）＝0， ∴42a e≤，∴a ≤2e ． 故答案为：（﹣∞，2e ]．【点睛】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题． 三、解答题17.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-. （1）求证：2A B =；（2）若53b c =，a =BC 边上的高. 【答案】（1）见解析;（2【解析】【试题分析】（１）先运用正弦定理建立关于三角形内角的方程，再运用诱导公式将其化为角,A B 的关系进行求解；（２）依据题设借助余弦定理求出另外两边，再运用三角形面积相等建立方程求解：（1）因为2cos b c b A =-，所以sin sin 2sin cos B C B A =-， 因为()C B A π=-+，所以()()sin sin 2sin sin B B A B A π=-+- 所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+- 即sin cos sin sin cos B B A B A =-， 即()sin sin B A B =-，因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<， 所以B A B =-或()B A B π=--， 故2A B =；（2）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =， 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得(2225512333b b b b ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得：6,10b c ==，由1cos 3A =得，sin A =设BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即610⨯=，所以h =点睛：本题是解三角形问题的典型问题。
湖北省宜昌市2021届高三上学期二月联考数学试题
机密★启用前2021年宜昌市高三年级二月联考数学试卷本试卷共4页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设全集R U =，集合}0{≤=x x M ，集合}1{2≤=x x N ，则=N M C U ）（（）A.]10(， B.]01[，- C.)1[∞+-， D.]1,(--∞2.某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ近似服从正态分布)952σ，（N ，且25.0)9591=≤<ξ（P .若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（）A.100B.125C.150D.1753.已知双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的一条渐近线过点），（43，则该双曲线的离心率为（）A.45B.35 C.34 D.534.若两个非零向量a 、b 满足==，则b a -与b 的夹角为（）A.6π B.3π C.32π D.65π5.已知23log 2=a ，41)76(-=b ，1468sin =c ，则（）A.c a b >>B.c b a >>C.a c b >>D.bc a >>6.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式 宋代称为撮尖，清代称攒尖 通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖 也有单檐和重檐之分 多见于亭阁式建筑，园林建筑 以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（）A.αsin 1B.αcos 1 C.αsin 22 D.αcos 227.已知2->a ，0>b ，直线01)2(:1=+--y a x l ，022:2=--y bx l ，且21l l ⊥，则ba 2121++的最小值为（）A.1B.2C.41 D.898.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体(Platonic Solids).某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳.正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，则正二十面体的顶点的个数为（）A.30 B.20 C.12 D.10二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.9.下列命题中，正确的命题有（）A.函数x x f =)(与2)(x x g =是同一个函数B.命题“]10[0，∈∃x ，1020≥+x x ”的否定为“]10[，∈∀x ，12<+x x ”C.已知R x ∈，则“0>x ”是“11<-x ”的充分不必要条件D.若函数⎩⎨⎧≥<+=02012)(x x x x f x，，，则1)1()1(=-+f f 10.已知函数x x x x f 22cos 2)cos (sin )(++=，则（）A.)(x f 的最小正周期是πB.)(x f 的图像可由函数22sin 2)(+=x x g 的图像向左平移8π个单位而得到C.4π=x 是)(x f 的一条对称轴D.)(x f 的一个对称中心是)08(，π-11.已知1010221010)1()1()1()2(-++-+-+=-x a x a x a a x ，则下列结论正确的有（）A.10=aB.2106-=a C.102410232222101033221-=++++a a a a D.5121086420=+++++a a a a a a12.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点），且BF BE =.将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点'A ，则下列结论正确的有（）A.EFD A ⊥'B.当1==BF BE 时，三棱锥DEF A -'的外接球的表面积为π6C.当21==BF BE 时，三棱锥DEF A -'的体积为1217D.当21==BF BE 时，点'A 到平面DEF 的距离为7176三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 是虚数单位，则=-+ii11.14.若函数8)1(log +-=x y a ）且（10≠>a a 的图像过定点P ，且点P 在幂函数)()(R x x f ∈=αα的图像上，则=21(f .15.若一个圆的圆心是抛物线y x 82=的焦点，且该圆与直线023=--y x 相切，则该圆的标准方程为.过点)22(--，P 作该圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为.（第一个空2分，第二个空3分）16.某同学向王老师请教一题：若不等式1ln 4+≥--x x a e x x对任意)1(∞+∈，x 恒成立，求实数a 的取值范围.王老师告诉该同学：“1+≥x e x恒成立，当且仅当0=x 时取等号，且xx x g ln 4)(-=在），（∞+1有零点”.根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且32=a ，255=S ，112+-+=n n n a a a ）（2≥n .（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）若)(1*1N n a a b n n n ∈=+，求数列}{n b 的前n 项和n T .18.(12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且41=a ，B a CB b sin 52sin 2=+.（1）求A sin ；（2）如图，M 为边AC 上一点，且MB MC 2=，2π=∠ABM ，求△ABC 的面积.19.(12分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中AD ∥BC ，CD AD ⊥，422====CD AD BC PA ，E 为BC 的中点，设Q 为PC 上一点.（1）求证：PC DE ⊥；（2）若直线EQ 与平面PAC 所成的角的正切值为22，求二面角C AQ E --的余弦值.20.(12分）某校高一年级组织“知识竞答”活动.每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得-10分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得-20分.规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功.若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是32，回答第三个问题正确的概率是21，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（1）求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；（2）求这位参赛者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望；（3）求这位参赛者闯关成功的概率.21.(12分）已知点A 、B 坐标分别是)022(，-、)022(，，直线AP 、BP 相交于点P ，且它们斜率之积是21-.（1）试求点P 的轨迹Γ的方程；（2）已知直线l :4-=x ，过点），（02-F 的直线（不与x 轴重合）与轨迹Γ相交于M 、N 两点，过点M 作l MD ⊥于点D .求证：直线ND 过定点，并求出定点的坐标.22.(12分）已知函数22ln 1)(x a ax x x f -++=.（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）若0=a ，且)10(，∈x ，求证：212ln 2)(2<-+-xx e x x f x.2021年宜昌市高三年级二月联考数学答案题号123456789101112答案C DB DA DA C BD AB ACD ABC13.114.8115.4)2(22=-+y x ，022=-+y x 16.]4(--∞，17.⑴112+-+=n n n a a a ）（2≥n ，)2(11≥-=-∴-+n a a a a n n n n }{n a ∴是等差数列，设}{n a 的公差为d ，……………………………………………………………………2分32=a ，255=S ，⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+∴252455311d a d a ，解得⎩⎨⎧==211d a ，……………………………………4分.12-=∴n a n ……………………………………………………………………………………………5分⑵)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n ,……………………………………………………………7分12112121513121311(2121+--++-+-=+++=∴n n b b b T nn （）（） 121211(21+=+-=n n n .……………………………………………………………………………………10分18.⑴B a C B b sin 52sin 2=+ ，B a Ab sin 52sin 2=-∴π，B A AB sin sin 52cos sin 2=∴，………………………………………………………………………………2分而0sin ≠B ，2cos 2sin 522cos 2A A A =∴，又02cos ≠A，552sin=∴A ，5522cos =∴A ，……………………………………………………………………………5分.542cos 2sin2sin ==∴A A A ………………………………………………………………………………………6分⑵由⑴可得：54sin 2cos(cos -=-=+=∠A A BMC π，53sin =∠BMC ,在△BMC 中，BMCMC MB MC MB BC ∠⋅⋅-+=cos 2222即22254154(22441MB MB MB MB MB =-⋅⋅-+=,5=∴MB .……………………………………………………………………………………………………………………9分54sin =A ，34tan ==∴AB MB A ，453=∴AB ，81521=⋅=∴∆MB AB S ABM ,3sin 21=∠⋅⋅=∆BMC MC MB S BMC ,△ABC 的面积为8393815=+.……………………………………………………………………………………12分19.⑴由题意得AC DE ⊥，又⊥PA 平面ABCD ，.DE PA ⊥∴又A AC PA =⋂，⊥∴DE 平面PAC ，.PC DE ⊥∴………………………………………………4分⑵设O DE AC =⋂，连接OQ ，由⑴得：⊥DE 平面PAC ，EQO ∠∴为EQ 与平面PAC 所成的角,22tan ==∠∴OQ OE EQO ，2=EO ，2=∴OQ ，Q ∴为PC 的中点.……………………………………………………………………………………………………………6分以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，)000(，，A ∴，)002(，，E ，)022(，，C ，)400(，，P ，)211(，，Q ，)020(，，D ，……………………7分设平面AEQ 的一个法向量为)(z y x n ，，=，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴0AQ n AE n ，⎩⎨⎧=++=∴0202z y x x ，令1-=z ，2=∴y ，0=x ，)120(-=∴，，n .........................................................................9分易得平面ACQ 的一个法向量为)022(，，-=DE ， (10)分510cos -==〉〈∴n DE n DE ，，∴二面角C AQ E --的余弦值为510.………………12分20.⑴设事件i A ：这位参赛者回答对第i 个问题（321，，=i ）94213231213132213232)()()321321321=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=∴A A A P A A A P A A A P P （………………………………………………………………3分⑵605030201002030，，，，，，，--=ξ,……………………………………………………………………………………4分18130321==-=A A A P P （）（ξ，9120321==-=A A A P P （）（ξ,910321===A A A P P （）（ξ,92)10321===A A A P P （）（ξ,181)20321===A A A P P （）（ξ,91)30321===A A A P P （）（ξ,91)50321===A A A P P （）（ξ,92)60321===A A A P P （）（ξ,…………………………8分ξ∴的分布列为：ξ30-20-010********P181919192181919192………………………………………………………………………………………………………………………………………………9分.9195=）（ξE ……………………………………………………………………………………………………………………10分⑶由⑵得这位参赛者闯关成功的概率为.94)60()50()30(==+=+==ξξξP P P P …………………………………………………………………12分21.⑴设)(y x P ，，由题意得：21-=⋅PB PA k k 212222-=-⋅+∴x y x y ，化简得14822=+y x .又22±≠x ，∴点P 的轨迹方程为：14822=+y x 22(±≠x .…………………………5分（未挖点的扣1分）⑵方法一：由椭圆的对称性知，直线ND 过的定点必在x 轴上，由题意得直线MN 的斜率不为0，设MN ：2-=my x ，与14822=+y x 联立消去x 得：044)2(22=--+my y m ，0)1(322>+=∆m 恒成立，设)(11y x M ，，)(22y x N ，，则)4(1y D ，-，24221+=+m m y y ，24221+-=m y y ，………………………………………………………………………………7分)(2121y y y my +-=∴，……………………………………………………………………………………………………8分1212)4(4:y x x y y y ND +++-=，令0=y ，12)(2)2()4(4121211212112211221=-++--=-+-=-+-=-+-=+∴y y y y y y y y y my y y my y y y x y x 3-=∴x ，∴直线ND 过定点)03(，-.………………………………………………………………………………………………12分方法二：由题意可得直线MN 的斜率不为0，设MN ：2-=my x ，与14822=+y x 联立消去x 得：044)2(22=--+my y m ，0)1(322>+=∆m 恒成立，设)(11y x M ，，)(22y x N ，，则)4(1y D ，-，24221+=+m m y y ，24221+-=m y y ，………………………………………………………………………………7分)2(21244221++⋅-=m m m y ，)2(21244222++⋅+=m m m y ……………………………………………………8分22)3(12422124)4(212422124424)4(212422)4)(()4(4:222222222222222121121212++++=+++-+++=+++-++-++++=++++-=+++-=my m x m my m m x m m my m m m m m x m m my y y my x y y y x x y y y ND 3-=∴x 时0=y ，∴直线ND 过定点)03(，-.…………………………………………………………………………………………………12分22.⑴当1=a 时，2ln 1)(x x x x f -++=，xx x x x x f )12)(1(211)('+--=-+=∴，…………………………………………………………………………1分令0)('>x f ，得10<<x ；令0)('<x f ，得1>x ，……………………………………………………3分)(x f ∴的单调递增区间为]10(，，单调递减区间为），∞+1[.……………………………………………4分⑵当0=a 时，x x f ln 1)(+=，212ln 1212ln 2)(22<-+-⇔<-+-∴xx e x x x e x x f xx ，即)10)(122()ln 1(3<<++-<-x x x e x x x，……………………………………………………………………5分令)10)(ln 1()(<<-=x x x x g ，0ln )('>-=∴x x g ，)(x g ∴在)10(，上单调递增，1)1()(=<∴g x g .………………………………………………………………7分令)122()(3++-=x x e x h x，)3262()('23++--=∴x x x e x h x，令3262)(23++--=x x x x ϕ，2126)('2+--=∴x x x ϕ在)10(，上递减，又02)0('>=ϕ，016)1('<-=ϕ，)10(0，∈∃∴x 使0)('0=x ϕ，且)0(0x x ，∈时，0)('>x ϕ，)(x ϕ递增，)1(0，x x ∈时，0)('<x ϕ，)(x ϕ递减，………………………………………………………………………………9分而03)0(>=ϕ，03)1(<-=ϕ，)10(1，∈∃∴x 使0)(1=x ϕ，即0)('1=x h ，)0(1x x ，∈时0)('>x h ，)(x h 单调递增，)1(1，x x ∈时0)('<x h ，)(x h 单调递减，而1)0(=h ，e h =)1(，1)(>∴x h 恒成立，……………………………………………………………………11分)()(x h x g <∴，即)10)(122()ln 1(3<<++-<-x x x e x x x ，即212ln 2)(2<-+-xx e x x f x .…………………………………………………………………………………………12分。