高等数学试卷：答案_高等数学(A)期中
中北大学高等数学A2019-2020期中考试试题与答案
2019-2020 学年 第 1 学期 第 1 次考试试题与答案课程名称 高等数学A （1）1、下列极限不存在的是（ C ）． （A ）1lim sin x x x→∞；（B ）lim arctan x x →+∞；（C ）e 1lim e 1xx x →∞+-； （D ）lim x →+∞．解析：（A ）11lim sin lim 1x x x x xx→∞→∞=⋅= （由于10x→，因此11sin x x ）（B ）πlim arctan 2x x →+∞=（C ）e 11e lim lim 1e 11e x x xx x x --→+∞→+∞++==--，e 1lim 1e 1x x x →-∞+=--，因此e 1lim e 1xx x →∞+-不存在．（D ）lim limx x →+∞==2、()1lim 1kxx x →∞-=（ A ）．（A ）e k -； （B ）e k； （C ）1ek-；（D ）1e k．解析：()()11lim 1lim 1e kkxxk x x x x ---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦．3、当0x →时，423sin cos x x x 与nx 为等价无穷小，则n =（ B ）． （A ）4； （B ）6；（C ）7；（D ）9．解析：423636600sin cos cos lim lim 1x x x x x x x x x→→== （sin x x ） 4、关于函数3233()(3)(2)x x x f x x x +--=+-的间断点，下列正确的是（ D ）．（A ）3x =-与2x =均为无穷间断点； （B ）3x =-与2x =均为可去间断点；（C ）3x =-为无穷间断点，2x =为可去间断点； （D ）3x =-为可去间断点，2x =为无穷间断点．解析：322233333(3)(1)18limlim lim (3)(2)(3)(2)25x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+--+--===-+-+--，因此3x =-为可去间断点； 当2x →时，分母极限为0，分子极限为非0实数，因此2x =为无穷间断点．5、设cos 0()20e 0x a x x f x x b x >⎧⎪==⎨⎪+<⎩在0x =处连续，则,a b 的值为（ C ）． （A ）1,1a b ==； （B ）1,2a b ==； （C ）2,1a b ==；（D ）2,2a b ==．解析：连续点处左右极限存在并都与函数值相等；0lim ()lim cos x x f x a x a ++→→==，00lim ()lim (e )1xx x f x b b --→→=+=+， 因此，21a b ==+，可得：2a =，1b =．6、设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则方程()0f x '=的实根的个数为（ C ）． （A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4．解析：显然()f x 连续可导，且满足(1)(2)(3)(4)0f f f f ====，分别在[1,2]，[2,3]，[3,4]三个区间内使用罗尔定理，可得()0f x '=在三个区间内至少各有一根，因此()0f x '=至少有三个根；另外，由于()f x '为三次多项式，因此最多只有三个根．综上，本题选C ． 7、已知(3)2f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h→--=（ A ）． （A ）1-； （B ）1； （C ）12-； （D ）12． 解析：00(3)(3)1(3)(3)1limlim (3)1222h h f h f f h f f h h →→----'=-=-=--．8、函数32()32f x x x =-+在[1,3]上的最大值和最小值分别为（ D ）． （A ）最大值为5，最小值为0； （B ）最大值为2，最小值为0； （C ）最大值为0，最小值为2-；（D ）最大值为2，最小值为2-．解析：2()360f x x x '=-=，可得在[1,3]只有一个驻点2x =，将驻点函数值与端点比较即可，(1)0f =，(2)2f =-，(3)2f =，可得最大值为2，最小值为2-．9、函数23()(1)4f x x =-在1x =处的曲率为（ B ）． （A ）34； （B ）32； （C ）54； （D ）52． 解析：33222213322(1)31(1)2x y K y x =''==='+⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦10、墙角处立着一个长度为5m 的梯子，如图所示，梯子顶端A 点以1.5m/s 的速度正在匀速下滑，当A 点与墙角O 点之间距离为4m 时，梯子底端B 点向右滑动的速度为（ B ）． （A ）1.5m/s ； （B ）2m/s ； （C ）2.5m/s ； （D ）3m/s ．解析：OA 的距离设为y ，OB 的距离设为x ，显然有2225x y +=，通过这个式子可求出两个速度之间的关系， 两边对t 求导数得：d d 0d d x y xy t t +=，将3x =，4y =，d 1.5d y t =-代入解得d 2d xt=m/s 11、设()f x =()f x 的定义域是 ． 答案：1e ,e -⎡⎤⎣⎦解析：由21ln 0x -≥解得1ln 1x -≤≤，再由于ln x 为单调函数，因此1e e x -≤≤．12、22212lim()12n nn n n n→∞+++=+++ ． 答案：12 解析：22222222212121212111n n nn n n n n n n n n n n n n +++≤+++≤++++++++++++ 由112(1)2n n n +++=+ ，得2222211(1)(1)1222121n n n n nn n n n n n n ++≤+++≤+++++ 而21(1)12lim 2n n n n n →∞+=+，21(1)12lim 12n n n n →∞+=+，由夹逼准则得原极限为12． 13、函数()y y x =由方程2e 610y xy x ++-=确定，则(0)y ''= ． 答案：2-解析：将0x =代入方程解得0y =，方程两边对x 求导得e 6620yy y xy x ''⋅+++=，将0x =，0y =代入解得(0)0y '=；方程两边对x 再求导得2e ()e 66620yyy y y y xy '''''''⋅+⋅++++= 将0x =，0y =，0y '=代入得：(0)2y ''=-．14、已知(sin )xy x =，则y '＝ ． 答案：(sin )(ln sin cot )xx x x x + 或 1(sin )ln sin (sin )cos xx x x x x x -+⋅解法一：换底()lnsin lnsin (sin )e e ln sin (sin )(ln sin cot )x x x x x x y x x x x x x x ''''⎡⎤⎡⎤====+⎣⎦⎣⎦解法二：取对数ln ln sin y x x =，两边对x 求导，ln sin cot y x x x y'=+ 因此：(sin )(ln sin cot )xy x x x x '=+解法三：公式法（指数函数求导公式+幂函数求导公式）1(sin )ln sin (sin )cos x x y x x x x x -'=+⋅15、设arctan y =1d x y == ．x解析：()2211d d 21y x x ==++，则1d x y x == 16、函数32535y x x x =-++的凹区间为 ． 答案：5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，写成开区间也正确．解析：23103y x x '=-+，6100y x ''=->，得53x >． 17、计算极限 011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．解：0011ln(1)lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x →→⎡⎤-+-=⎢⎥++⎣⎦20ln(1)lim x x x x →-+=0111lim 2x x x→-+=01lim 2(1)2x x x x →==+18、设xy =，求0x y ='． 解：取对数11ln ln(8)2ln(2)ln(1)32y x x x x =++-+-+ 两边对x 求导，12113(8)22(1)y y x x x '=+--+++得：12113(8)22(1)x y x x x ⎤'=+--⎥+++⎦，因此20211111112124248x y =⋅⎡⎤'=+--=-⎢⎥⋅⎣⎦19、设22ln(1),(1)2arctan ,x t y t t ⎧=+⎨=+-⎩求221d d t y x =. 解：2d 22(1)d 1y t t t =+-+3222221t t t t ++=+，2d 2d 1x tt t =+ 322d d 222d 1d d 2d y y t t t t t t x x t t ++===++，2222d 21(21)(1)2d 21y t t t t x t t +++==+，因此221d 3d t y x == 20、设ln(1)y x x =-+，求函数的极值，并判断是极大值还是极小值． 解：111y x '=-+01x x==+，解得驻点：0x = 21(1)y x ''=+，(0)0y ''>，因此0x =处为极小值，函数有极小值(0)0y = 21、设1x >，证明不等式(1)ln 2(1)x x x +>-． 证明：设()(1)ln 2(1)f x x x x =+--，其中(1)0f =，11()ln 2ln 1x f x x x x x+'=+-=+-，且(1)0f '=，又由于22111()(1)0f x x x x x ''=-=->因此()f x '单增，则当1x >时有()(1)0f x f ''>=，则()f x 单增，因此当1x >时有()(1)0f x f >=． 四、解答下列各题（本题共2小题，每小题6分，共12分）22、计算极限21arctan 0sin lim xx x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解法一：2211arctanarctan0sin sin lim lim 1xx x x x x x x x ++→→-⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin arctan sin 0sin lim 1x xx x x x xx x x x +--→⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦30sin limex x x x +→-=20cos 1lim3ex x x +→-=22012lim 3ex x x+→-=16e -=解法二：2211sin ln arctan arctan 00sin lim lim e x x xxx x x x ++→→⎛⎫= ⎪⎝⎭21sin ln 10lim e x x x x x +-⎛⎫+ ⎪⎝⎭→=3sin 0lim e x xx x +-→= 下同解法一解法三：2211sin ln arctan arctan 00sin lim lim e xxx xx x x x ++→→⎛⎫= ⎪⎝⎭20lnsin ln limex x xx+→-=0cos 1sin lim 2ex x x xx +→-=20cos sin lim2sin ex x x x x x+→-=3200cos sin cos sin cos limlim26eex x x x xx x x xxx++→→---==2201lim66ee x x x+→--==23、在抛物线24y x =-上的第一象限部分求一点(,)P a b ，过P 点作切线，使该切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小．解：切线斜率为22x a x a y x a =='=-=- 切线方程2(4)2()y a a x a --=--求切线与两坐标轴交点，令0y =，解得242a x a+=，令0x =，解得24y a =+三角形面积为223(4)116()844a S a a a a a +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，02a <≤ 求驻点22116()3804S a a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，即4238160a a +-=，解得243a =，a =3132()64S a a a ⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭，0S ''>，因此当a =时面积取到最小值， 此时切点坐标为83⎫⎪⎭．。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
大学高等数学高数期中考试试卷与答案 (1)
安徽大学2008—2009学年第一学期《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、下列陈述正确的是（ ）。
(A) 若方程组0m n A x ⨯=有唯一解，则方程组m n A x b ⨯=有唯一解(B) 若方程组m n A x b ⨯=有唯一解，则方程组0m n A x ⨯=有唯一解(C) 若方程组0m n A x ⨯=有无穷多解，则方程组m n A x b ⨯=有无穷多解(D) 若方程组m n A x b ⨯=无解，则方程组0m n A x ⨯=无解2、已知n 维向量组12,,,(2)s s ααα≥线性相关，则下列选项中必正确的是( )。
(A) 对于任何一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(B) 12,,,s ααα中任何两个向量线性相关 (C) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(D) 对于每一个i α都可以由其余向量线性表出3、设0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)1P A B P A B +=，则 ( )。
(A) 事件A 与事件B 互不相容 (B) 事件A 与事件B 对立 (C) 事件A 与事件B 不独立 (D) 事件A 与事件B 独立4、设~()X E λ（指数分布），n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计是( )。
(A) }{max 1i ni X ≤≤ (B) X 2 (C) X (D) 1/X5、设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，则下列结论正确的是( )。
(A) 22211()~()n i i X n μχσ=-∑ (B) 2211()~(1)ni i X X n nχ=--∑(C) 22211()~()ni i X X n χσ=-∑ (D) 2211()~(1)1nii X X n n χ=---∑院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则k ＝ 。
大一高等数学a期中试题及答案
大一高等数学a期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是不定积分∫x^2 dx的解（）。
A. x^3B. x^3 + CC. 3x^2 + CD. 3x^2答案：C4. 以下哪个选项是定积分∫(0 to 1) x dx的值（）。
A. 0C. 1D. 2答案：B5. 函数y=e^x的原函数是（）。
A. e^xB. e^x + CC. ln(x)D. ln(x) + C答案：B6. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的通解（）。
A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：A7. 以下哪个选项是函数y=x^3的二阶导数（）。
A. 3x^2B. 6xC. 18xD. 6答案：B8. 以下哪个选项是函数y=ln(x)的一阶导数（）。
B. xC. ln(x)D. e^x答案：A9. 以下哪个选项是函数y=x^2 - 4x + 4的最小值（）。
A. 0B. 1C. 4D. -4答案：A10. 以下哪个选项是函数y=x^3 - 3x的拐点（）。
A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数是____。
答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是____。
答案：x = -13. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是____。
答案：-cos(x) + C4. 函数y=e^x的二阶导数是____。
答案：e^x5. 函数y=ln(x)的二阶导数是____。
答案：1/x^2三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x+8在x=2处的切线方程。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
北工大高数期中
《高等数学》期中试卷(答案)一、单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25 分。
1．设数列n x 与n y 满足lim0,n n n x y →∞= 则下列断言正确的是 【 C 】（A ）若n x 发散，则n y 必发散； （B ）若n x 无界，则n y 必无界； （C ）若1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小； （D ）若n x 有界，则n y 必为无穷小.反例（A ）与（B ）取0,==n n y n x ；（D ）取n n n n y x )1(1,)1(1--=-+=。
2．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图形如右图所示⇒则其导函数()y f x '=的图形为【 A 】(A)（C ）D ） 3． 在区间(,)-∞+∞内，方程 1124||||co s 0x x x +-= 【 C 】(A)无实根 (B)有且仅有一个实根 (C)有且仅有两个实根 (D)有无穷多个实根 解 设x xxx f cos )(4121-+=，因)(x f 是偶函数，先讨论)(x f 在),0[+∞内根的情况。
由01cos 2)1(,01)0(>-=<-=f f 可知方程0)(=x f 在)1,0(内有一个实根；而在)1,0(内0sin 4121)(4321>++='--x xx x f ，所以方程0)(=x f 在)1,0(内有惟一实根。
当1>x 时，01111cos )(4121>=-+>-+=x x x x f ，故方程0)(=x f 在),0[+∞内有惟一实根。
所以选(C)。
4．设3221()31xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处的 【 B 】(A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，但右导数不存在 (C) 左导数不存在，但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 5. 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数()f x '的图形如图所示，则()f x 【D 】(A) 有三个极小值点和一个极大值点(B) 有一个极小值点和两个极大值点(C) 有两个极小值点和一个极大值点(D) 有两个极小值点和两个极大值点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分6．设2ln (1)a rcta n x t y t ⎧=+⎨=⎩， 则 12d yd x t=，222314.t d ty d x+-=7．已知当0x →时， 123(1)1a x +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数32.a =-8．求极限221lim (sinco s).x xxxe→+∞+=解 设t x x x y x=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,1cos 2sin ，当+∞→x 时，+→0t2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin limln lim 0=+-=+=+++→→→tt t t tt t y t t t ，故原式.2e =9．设()f x 在x a =处二阶导数存在，则0()()()m)2l 1(i .h f a h f a f a hhf a →''+-'-=解 原式.2)(2)()(lim)()()(lim2a f ha f h a f ha f h a f h a f h h ''='-+'='--+=→→10．设()f x 在 [0,]a 上二阶可导，(0)0,()0,f f x ''=< 则()f x x在(0,]a 上的单调性为 单调下降的 .解 2)()()(x x f x f x x x f -'='⎪⎭⎫⎝⎛，设)()()(x f x f x x g -'=，则0)()(<''='x f x g ， 所以当,0)0()(],,0(=<∈g x g a x .0)(<'⎪⎭⎫⎝⎛x x f三、计算下列各题：本大题共5小题，每小题7分，共35分.11．求极限：ta n sin 0limxxx ee→-解： 0limx ee→-sin ta n sin 0ta n sin lim(1)xx xx x x ee-→-=⋅-1ta n sin 1limta n sin 22x x x x x →-=⋅=-12．设2sin [()],y f x = 其中f 具有二阶导数，求：22.d y d x解：22co s[()]()2d y f x f x xd x'=⋅⋅,()2222co s ()()2d y f x f x x d x''=⋅⋅222sin [()]()2()2f x f x xx x f '=-⋅⋅⋅'⋅22cos[()(2])2f x x f x x ''⋅+⋅⋅22cos[()]()2f x f x '+⋅⋅ ()222sin []())2(x f f x x '=-2224()co s[()]x f x f x ''+222()co s[()]f x f x '+⋅13．设2(())u f x y ϕ=+，其中()yy x =由方程 yy e x+=确定，且(),()f x x ϕ及()y x 均可导，求：du .解： 由方程 y y e x+=，⇒ 1,yy e y ''+⋅= ⇒ 1,1yy e'=+2[(())]duf x y dx ϕ'=+⋅()()2()()2f x y x y y d xϕϕ'''=+⋅+⋅()22()()1yy x f x y d x eϕϕ⎛⎫''+⋅+ ⎪⎭=+⎝14．求极限：1lim sinlim sinsinsinnn n k ππππ→∞→∞=⎛⎫=+++ ⎝∑解： 因1,(1),nn k n <<+≤≤故sinsinsin,(1),1k n n nππ<<≤≤+1sinsinsin,1nk n n n nππ=⇒⋅<<⋅+∑又因 limsinlim ,11n n n nn n πππ→∞→∞⋅==++ lim sinlim ,n n n n nnπππ→∞→∞⋅=⋅=所以1lim sin.nn k π→∞==∑15． 证明：当 0x π<< 时，有 sin.2x xπ>证： 设辅助函数 ()sin,2x xf x π=- 由于11()co s,22x f x π'=-1()sin0,(0,),42x f x x π''=-<∈因此函数曲线()f x 在(0,)π内向上凸，而因(0)()0,f f π==故当0x π<< 时，()0f x >，即 sin0,2x xπ-> 亦即 sin.2x x π>四、 解答题: 本大题共15分. 16．已知函数()f x 在点0x =处二阶可导，且 320sin 3()lim 0x xf x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭，(1) 求：(0),(0),(0);f f f ''' (2) 再计算：2203()lim .x f x xx →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解法1：(1)由 320sin 3()0lim x xf x x x →⎛⎫=+ ⎪⎝⎭30)(3sin lim x x xf x x +=→23)()(3cos 3limxx f x x f x x '++=→xx f x x f x x 6)()(23sin 9lim''+'+-=→可得0)]()(3cos 3[lim 0='++→x f x x f x x ，0)]()(23sin 9[lim 0=''+'+-→x f x x f x x故0)0(,3)0(='-=f f 。
高等数学期中考试试卷
高等数学期中考试试卷一 .填空题（每小题3分，共15分）1.二元函数 ln()z y x =-+的定义域是 .2. 曲线22280y z x ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程是 。
3.(,)limx y →= 。
4. 已知(,)arctan()yf x y xe =，则全微分df = 。
5. 把二次积分221()xy I dy dx +=⎰转化为极坐标形式 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 直线412141x y z -++==--与直线158221x y z --+==-的夹角为（ ） A. 6π B.4π C.3π D.2π2. 若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处连续，则在该点处函数(,)z f x y =( ) A.有极限 B. 偏导数存在 C.可微 D. A,B,C 都不正确。
3. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ）A . 必有极大值B . 可能有极值，也可能无极值C . 必有极小值D . 必无极值4．设2,1(,)0,1x y f x y x y +≤⎧=⎨+>⎩，{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰的值为（ ）．A ．1B ．12C ．13D ．165．若(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由2y x=，0y =和1x =所围成的闭区域，则(,)f x y =（ ）A xyB 18xy +C 2xyD 1xy + 三．计算题（每题10分，共50 分）1. 已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线211:201x y z L ---==，求平面π的方程。
2. 设z =，求dz3. 设(,)z f x y xy =-，f 具有二阶连续的偏导数，求2zx y∂∂∂4．设(,,)u f x y z =具有连续的偏导数，函数()y y x =与()z z x =分别由方程0xy e y -=和0z e zx -=所确定，求du dx5. 计算二重积分224d d Dx y x y --⎰⎰，其中22{(,)|9}D x y x y =+≤四、设某工厂生产A 和B 两种产品同时在市场销售，售价分别为1p 和2p ，需求函数分别为11221240225q p p q p p =-=+-+，假设企业生产两种产品的成本为221122C q q q q =++，工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大？最大日利润为多少？（10分）五、证明题. （共10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，证明：211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰⎰期中考试题参考答案一、1.()22{,0,0,1}x y y x x x y ->≥+<； 2. 22228x y z ++=； 3. 2；4.22()1y y e dx xdy x e++； 5.21200r d e rdr πθ⋅⎰⎰ 二、1. B ； 2. D ； 3. B ； 4. A ； 5. B.三、1.【解】设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+= （1） 在已知直线上选取两点12(2,1,1)(4,1,2)M M ，，将其坐标代入平面方程，得 20A B C D +++= （2） 420A B C D +++= （3） 由（1）（2）（3）式解得 3,2,3B A C A D A ==-=- 所以平面的方程为3230x y z +--=2．【解】2222222211()2x y dz d d x y dx dy x y x y x y==⋅⋅+=++++ 3．【解】令,u x y v xy =-=，则(,)z f u v =，1u x ∂=∂，vy x∂=∂，1u y ∂=-∂，v x y ∂=∂。
08-09-2高等数学A期中卷.
2008-2009学年第二学期高等数学A 期中考试试卷一．选择题(每题3分，共21分)1．曲面x y z a 2222++=与x y az a 2220+=>()的交线是( A )。
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线2．直线53702370x y z x y z +−−=+−−=⎧⎨⎩ ( B )。
（A ）与yoz 平面垂直 （B ）在yoz 平面内 （C ）与x 轴平行 （D ）在xoy 平面内3．设u x bxy cy =−+222，∂∂u x(,)218=，∂∂u y (,)214=，则∂∂∂2ux y = ( C )。
(A) 2 (B) －2 (C) 4 (D) －44．曲线2sin ,4cos ,x t y t z t ===在点(,,)202π处的法平面方程是( D )。
(A) 242x z −=−π(B) 224x z −=−π(C) 42y z −=π (D) 42y z −=−π5．函数z x y =+22在点(1,1 )沿{}K l =−−11,方向的方 向导数为( B )。
(A) 最大 (B) 最小 (C) 0 (D) 16．设函数(,)f x y 连续，交换二次积分ln 10(,)ex dx f x y dy ∫∫积分次序的结果为( D )。
(A) ln 1(,)e x dy f x y dx ∫∫(B) 1(,)y eedy f x y dx ∫∫(C)ln 01(,)x e dy f x y dx ∫∫ (D) 10(,)ye e dyf x y dx ∫∫7．设函数(,)f x y 在221x y +≤上连续，使2211(,)4(,)x y f x y dxdy dx f x y dy +≤=∫∫∫∫成立的充分条件是( B )。
(A) (,)(,)f x y f x y −=，(,)(,)f x y f x y −=− (B) (,)(,)f x y f x y −=，(,)(,)f x y f x y −= (C) (,)(,)f x y f x y −=−，(,)(,)f x y f x y −=− (D) (,)(,)f x y f x y −=−，(,)(,)f x y f x y −=二．填空题(每题3分，共21分)1．过点(,,)121且与向量{1,2,3},{0,1,1}a b =−−=−−G G平行的平面方程为 _____________________________________。
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03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D二、填空题（每小题4分，共24分） 1.522.0=x ,第一类（跳跃）间断点3.(1)23432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!-+-+-+-+-+-<<x e x e e e x x x x θθθ 4.(cos())cos()--x xy e xy dx x xy e5.(1)!--n6.222sin 2(cos )2sec '-+xf x x x 三、（每小题7分，共28分） 1.e2.lim 0→+∞=x3. 212()24(1)'=+-y e πππ 4.设222sin , 1=-=-dy d yt dx dx . 四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. (用函数的单调性来证明) 五、（6分）是一个相关变化率的问题，2144 /==t dsm s dtπ。
六、（8分）2>-a 时，有两个相异的实根；2=-a 时，有一个实根；2<-a 时，没有实根。
七、（6分）设3()()=F x x f x ，对()F x 在区间[0,1]上用罗尔定理即可得证。
八、（8分）所求点为(, )22P a 。
2004级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 3=n 2. 2=-a 3. ()10(0)90=f4.1(1,)2-- 5. ()()()()()211, 01211--+<<+-x x x θθ 二. 选择题(每小题4分,共16分) 1.C 2.D 3.C 4.D三. 计算题(每小题7分,共3 5分)1. 0111lim cot sin 6→⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭x x x x2. ()12sin 201sin 3e 1lim ln 12→⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x x x x x x e 3. ()21e d 2cos e +++=-x yx yx dy x y y x 4. 2222322d 1d 13 d 2(1)d 4(1)+==-++y y t x t t x t t . 5. 1,1,12===a b c （注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求） 四.(8分) 用函数的单调性来证明。
五.(8分)所求的切点为16256(,)39，切线方程为3225639=-y x 。
六.(7分) 用单调有界原理来证明数列极限的存在性，然后求得lim 2→∞=n n x .七.(6分) 提示：对()x f 以及3()=g x x 用Cauchy 中值定理，然后再对()f x 在[]b a ,上用拉格朗日中值定理。
2005级高等数学（A ）（上）期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．22lim sin21x x x x →∞=+ 2． 34k = 3．d x y dx ππ==- 4．2232(1)(1)((1))2+-+-+-ee e x x o x 5．1,1a b ==-。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6.C 7.C 8.C 9.B三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 10．1211。
3ln 2 12．1 13。
1()11(1)!2!()(12)+++-=+-n n n n n n n fx x x 14．22222d 2cos()d 22cos()x y e x x y y x xy y x y ++-=-+。
四．（本题共4道题，满分29分）15．（本题满分6分）（相关变化率问题）半径增加的速率是1(/)2cm s π。
16．（本题满分7分）用单调性来证。
（提示：设12()e 1ex xF x x -=--，则1122'()e(e1)2x x x F x -+=--，考虑12()e 12x xg x +=--的符号即可）。
17．（本题满分8分）所求点为()2P ，弦PQ的最短长度为 18．（本题满分8分）提示：（1）令()()=-F x f x x ，用罗尔定理即可得证。
(2) 利用(1)的结论，对()f x 在区间(,)(,)a c c b 、分别用拉格朗日中值定理即可得证。
2006级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分）1．0,1==x x ；第一类（跳跃）间断点，第二类（无穷）间断点2．1,1a b ==- 3．2()d d 1()f x y x f x '=+ 4．3,2a b ==-5．（1）sgn y x = （2）y x = （3）3y x =（4）201sinlimln(1)x x x x →+ 二.单项选择题（每题4分，满分12分） 1．C 2．B 3．D 。
三.计算题（每题7分，满分35分）1． 13 2. 6e - 3．1d 2d 3t y x==，212d 4d 27t y x ==4. ()(10)923()332030e x y x x x =++ 5. 4360x y -+=四.（8分）用单调有界原理，数列}{n x 单调递增，有上界1故收敛，且lim n n x →∞=五.（8分）用单调性证明。
六. (7分) 提示：对3()(1)()F x x f x =-用罗尔定理。
七．(6分) （1）令arctan 1()1n x g x x n =-+，(0,)x ∈+∞，01lim ()101n x g x n +→=->+， 1lim ()01n x g x n →+∞=-<+，故120x x ∃<<<+∞，使得12()0,()0n n g x g x ><， ()n g x 在区间12[,]x x 上连续，()n g x 在12(,)x x 内至少存在一个零点。
22arctan 1()n xx x g x x -+'=，记()22222()arctan ,()011x x h x x h x x x '=-=-<++，(0,)x ∈+∞，()(0)0,0h x h x <=>，即()0,0n g x x '<>，()n g x 在(0,)+∞内严格单调递减，()n g x 在(0,)+∞内至多存在一个零点。
()n g x 在(0,)+∞内存在唯一零点，即()n f x 在(0,)+∞内存在唯一零点，记为(0,)n x ∈+∞。
（2）由于11arctan arctan 1121n n n n x x x n n x ++=<=++，而arctan xx严格单调递减，故1n n x x +<，所以 1(1)arctan (1)2n n x x n π+≤<+，得lim n n x →∞=+∞，11(2)arctan limlim 1(1)arctan n n n n n nx n x x n x ++→∞→∞+==+ 。
2007级高等数学（A ）（上）期中试卷一.填空题（每小题4分，满分24分） 1．3,k a == 2． 1,1a b ==- 3．234412222()-+-++x x x x o x4．21e sin 2arctan 23x x x C π--+++ 5．11(,)42 6．2(1,)e ，24-e二.单项选择题（每题4分，满分12分） 7．D 8．B 9．C三.计算题（每小题8分，满分32分）10． 1 11. 22d (65)(1)d y t t x t++= 12．(10)102109()2()sin 225(21)cos 2245sin 2fx x x x x x x =-++⋅++⋅.13.1,1a b =-=-,切线方程为2=-y x .四(14).（8分）5320,02()2,2,2x f x x x x ≤<⎧⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩，在[0,2),(2,)+∞上连续，间断点2=x 为第一类的跳跃间断点。
五(15).（8分）用导数的定义证明，()21f x x '=+. 六(16). (8分) 略。
七(17)．(8分) 略。
一.填空题（每个空格4分，本题满分32分） 1．12-2．1,48k α== 3． 2d x y π==dx 4． (0)2y '=5．221(1)(1)((1))2x x o x -+-+- 6．82,55a b ==二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分） 7．D 8．B 9． C三.计算题（本题满分27分） 10．（7分）4x →= 11. （6分） 2ln sin lim2ln cos x x xx x→+∞+=+12．（7分）22226(1)2d y t t dx t ++=+，2124t d ydx==13. （7分）222222222224sin ()['()]4cos ()''()2cos ()'()d y x f x f x x f x f x f x f x dx=-++四(14).（7分）13,22a b ==（注意：分段点的导数要用导数的定义来求）. 五(15).（7分）3,0(),0sin x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，故0x =为第一类的跳跃间断点；(1,2,)x k k π==--为第二类间断点。
六(16). (9分) 利用11()ln 12x f x x x -=-+得单调性证明右边不等式；利用()ln g x x =得单调性证明左边不等式。
七(17)．(6分) 令()()'()F x b x f x α=-，利用罗尔定理证明。
一.填空题（每个空格4分，本题满分24分）1．11,28a b == 2．1211x dy e dx e =-=+ 3． '(0)12y π=+ 4． (2,1)- 5．3311()3!x x o x +++ 6． 3二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分） 7．D 8．B 9． C 三.计算题（本题满分36分）10． e 11. 18 12．3t dydx==202113t d ydx==， 13.()121312()2cos(2)2cos(2)2(1)cos(2)222n n n n n n n f x x x nx x n n x πππ-----=++++-+ 四(14).（8分）0=x 为第一类的跳跃间断点；12ln 3=x 为第二类的无穷间断点。