重庆市历年高考文科数学真题及答案详解

2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（文史类）

数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概

率

k

n

k

k

n

n

P

P

C

k

P-

-

=)

1(

)

(

第一部分（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．圆

5

)2

(2

2=

+

+y

x关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）

A．

5

)2

(2

2=

+

-y

x B．5

)2

(2

2=

-

+y

x

C．

5

)2

(

)2

(2

2=

+

+

+y

x D．5

)2

(2

2=

+

+y

x

2．

=

+

-)

12

sin

12

)(cos

12

sin

12

(cos

π

π

π

π

（）A．2

3

-

B．2

1

-

C．2

1

D．2

3

3．若函数

)

(x

f是定义在R上的偶函数，在]0,

(-∞上是减函数，且0

)

(=

x

f，则使得x

x

f的

)

(<的取值范围是（）

A．

)2,

(-∞B．)

,2(+∞

C．

)

,2(

)2

,

(+∞

-

-∞ D．（－2，2）

4．设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于（）A．（1，1）B．（－4，－4）C．－4 D．（－2，－2）

5．不等式组

???>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ）

A ．)3,0(

B ．)2,3(

C ．)4,3(

D ．)4,2(

6．已知βα,均为锐角，若q

p q p 是则,2

:),sin(sin :π

βαβαα<

++<的 （ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ

，使得α、β都平等于γ

； ③存在直线α?l ，直线β?m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中，可以判定α与β平行的条件有

（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

8．若n x )21(+展开式中含3

x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

9．若动点),(y x 在曲线)0(1422

2>=+b b y x 上变化，则

y x 22

+的最大值为 （ ）

A ．?????≥<<+)4(2)40(442

b b

b b B ．?????≥<<+)

2(2)20(4

42

b b

b b

C ．442

+b

D ．b 2

10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所

示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

第二部分（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.

11．若集合

}0)5)(2(|{},034|{2

<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A .

12．曲线3

x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .

14．若

y x y x -=+则,42

2的最大值是 . 15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .

16．已知B A ),0,21(-是圆F

y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平

分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）

若函数

)

4

sin(sin )

2

sin(22cos 1)(2π

π

+++-+=

x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a

的值. 18．（本小题满分13分）

加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，

且各道工序互不影响.

（Ⅰ）求该种零件的合格率；

（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的 概率.

19．（本小题满分13分）

设函数

∈

+

+

+

-

=a

ax

x

a

x

x

f其中

,8

6

)1

(3

2

)

(2

3

R.

（1）若

3

)

(=

x

x

f在处取得极值，求常数a的值；

（2）若

)0,

(

)

(-∞

在

x

f上为增函数，求a的取值范围.

20．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上

一点，PE⊥EC. 已知

,

2

1

,2

,2=

=

=AE

CD

PD

求

（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.

21．（本小题满分12分）

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为

)0,3 (

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线

2

:+

=kx

y

l与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2

>

?（其

中O为原点）. 求k的取值范围.

22．（本小题满分12分）

数列

).1

(0

5

2

16

8

1

}

{

1

1

1

≥

=

+

+

-

=

+

+

n

a

a

a

a

a

a

n

n

n

n

n

且

满足

记

).1

(

2

1

1

≥

-

=n

a

b

n

n

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；

（Ⅱ）求数列

}

{

n

b

的通项公式及数列

}

{

n

n

b

a

的前n项和

.

n

S

数学试题（文史类）答案

一、选择题：每小题5分，满分50分.

1.A

2.D

3.D

4.B

5.C

6.B

7.B

8.A

9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分.

11．}32|{<

34

22=+y x

三、解答题：满分76分.

17．（本小题13分）

解：

)

4

sin(sin )

2

sin(21cos 21)(22π

+

++--+=

x a x x x x f

)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )

4sin()2()4

sin()4

sin(222π

π

π

+

+=+

++

=x a x a x

因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π

+

+x 的最大值为1，则,3222

+=+a

所以,3±=a 18．（本小题13分）

（Ⅰ）解：

1078798109=

??=

P ；

（Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107

，由独立重复试验的概率公式得：

恰好取到一件合格品的概率为

189.0)103(1072

13=??

C ，

至少取到一件合格品的概率为

.

973

.0

)

10

3

(

13=

-

解法二：

恰好取到一件合格品的概率为

189

.0

)

10

3

(

10

7

2

1

3

=

?

?

C

，

至少取到一件合格品的概率为

.

973

.0

)

10

7

(

10

3

)

10

7

(

)

10

3

(

10

7

3

3

3

2

2

3

2

1

3

=

+

?

+

?

?C

C

C

19．（本小题13分）

解：（Ⅰ）

).1

)(

(6

6

)1

(6

6

)

(2-

-

=

+

+

-

=

'x

a

x

a

x

a

x

x

f

因

3

)

(=

x

x

f在取得极值，所以.0

)1

3

)(

3(6

)3(=

-

-

=

'a

f解得.3

=

a

经检验知当

)

(

3

,

3x

f

x

a为

时=

=为极值点.

（Ⅱ）令

.1

,

)1

)(

(6

)

(

2

1

=

=

=

-

-

=

'x

a

x

x

a

x

x

f得

当

)

,

(

)

(

,0

)

(

),

,1(

)

,

(

,

1a

x

f

x

f

a

x

a-∞

>

'

+∞

-∞

∈

<在

所以

则

若

时 和)

,1(+∞上为增

函数，故当

)0,

(

)

(

,

1

0-∞

<

≤在

时x

f

a上为增函数.

当

)

,

(

)1,

(

)

(

,0

)

(

),

,

(

)1,

(

,

1+∞

-∞

>

'

+∞

-∞

∈

≥a

x

f

x

f

a

x

a和

在

所以

则

若

时 上为增函

数，从而

]0,

(

)

(-∞

在

x

f上也为增函数.

综上所述，当

)0,

(

)

(

,

)

,0[-∞

+∞

∈在

时x

f

a上为增函数.

20．（本小题13分）

解法一：

（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE 是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.

设DE=x，因△DAE∽△CED，故

1

,1

,2±

=

=

=x

x

x

CD

AE

x

即

（负根舍去）.

从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.

（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH. 因PD⊥底面，故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.

因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.

因此∠EHG为二面角的平面角.

在面PDC中，PD=2，CD=2，GC=

,

2

3

2

1

2=

-

因△PDC ∽△GHC ，故

23

=?

=PC CG PD GH ，

又

,

23

)21(12222=-=-=DG DE EG 故在

,

4,,π

=

∠=?EHG EG GH EHG Rt 因此中

即二面角E —PC —D 的大小为.4π

解法二：

（Ⅰ）以D 为原点，、、分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系.

由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>

).

0,23

,(),2,21,(),0,21,(-=-=x x x E 由0=?⊥CE PE 得，

即

.23,0432==-

x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-?=?得0)0,23

,23()0,21,23(，

又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.

（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=?PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-?z y 即),2,1,0(,2==

y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ），

则

).,21

,23(n m EF --

=

由

0212,0)2,2,0(),21

,23(0=--=-?--

=?n m n m 即得， 又由F 在PC 上得

).22

,21,23(,22,1,222-===+-

=n m m n 故

因,,PC DG PC EF ⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量与的夹角

.

故

,4

,22|

|||cos πθθ==

=

EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.

4π

21．（本小题12分）

解：（Ⅰ）设双曲线方程为122

22=-b y a x ).0,0(>>b a

由已知得

.1,2,2,32

222==+==b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.

1322

=-y x

（Ⅱ）将得代入13222

=-+=y x kx y

.0926)31(2

2=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得?????>-=-+=?≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222

k k k k

即.

131

22<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则

,22,319

,31262

2>+>?--=-=

+B A B A B A B A y y x x k x x k k x x 得由

而

2)(2)1()2)(2(2

++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1373231262319)1(222

22

-+=+-+--+=k k k k k k k

于是解此不等式得即,01393,213732

222>-+->-+k k k k .331

2<

131

2<

故k 的取值范围为

).1,33

()33,1(?-

-

22．（本小题12分）解法一：

（I ）

;

22

111,111=-=

=b a 故

.

320,2013;

42

1431,4

3;

382

1871,8

7443322===-===-==

b a b a b a 故故故 （II ）因

2

31)34(3832)34)(34(=?=--b b ， 2

231222)34

()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b

故猜想.

2,32

}34{的等比数列公比是首项为=-q b n

因

2≠n a ，

（否则将2=n

a 代入递推公式会导致矛盾） ,03

4,3436162038212)3

4

(2,3

616203436816342113

4).

1(8162511111≠--=--=--

=

---=---=-

-=-

≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a a

a n n n n n n n n n n n n n 因故

故2

}34

{=-q b n 确是公比为的等比数列.

n n b b 231

34,32341?=-=-

故因, )

1(34231≥+?=n b n n

,121

211

+=-

=

n n n n n b b a a b 得由

n n n b a b a b a S +++= 2211故

)152(31

35

21)

21(31

)(21

21-+=+--=++++=

n n

n b b b n n n 解法二：

（Ⅰ）由

,052168,2

1

12

1

111=++-+=

-

=

++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得

整理得,34

2,0364111-==+-+++n n n n n

n b b b b b b 即

.

320

,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由

（Ⅱ）由,

032

34),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n 所以故

的等比数列公比是首项为,2,32

}34{=-q b n

).152(31

35

21)

21(31

)(21

,

121

2

11).1(3

4

231,23134212211-+=+--=++++=

+++=+=-

=≥+?=?=-

n n

n b b b b a b a b a S b b a a b n b b n n n n n n n n n n n n n n n 故得由即

解法三：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）

2342312)34(3832,38,34,32=?=-=-=

-b b b b b b

因此

故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231

,2,32}{111≥-+=≠?=-=-+++n a a a a b b q b b n

n

n n n

n n n n 1

22

2181625121121111--

-

-+=

-

-

-

=

-++n n n n n n n a a a a a b b

;

36810366

36816--=----=

n n n n n a a a a a

3

68163681621121

1111212---

--=

-

-

-

=

-++++++n n

n n n n n n a a a a a a b b

).

(2361620368163624361n n n n

n n n n b b a a a a a a -=--=-----=

+

,231

,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ?=-=-≠=

-++的等比数列是公比因

从而

112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---

n

n n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-

=≥+?=+-=++++=-- 2211121,

121

2

11).1(3

4

2312)22(312)222(31

故得由

n b b b n ++++=

)(21

21

).152(31

35

21)

21(31

-+=+--=n n

n n

绝密★启用前 解密时间：2006年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15:00—17:00】

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（文史类）

数学试题（文史类）共5页．满分150分．考试时间120分钟。 注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ?=?．

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

k n k k n n P P C k P --=)1()(．

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个备选项中,

只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合U ={1，2，3，4，5，6，7}，A = {2，4，5，7}，B = {3，4，5}，则（C U A ）∪（C U B ）=

（A ）{1，6}

（B ）{4，5}

（C ）{2，3，4，5，7}

（D ）{1，2，3，6，7}

（2）在等比数列{a n }中，若a n >0且a 3a 7 = 64，则a 5的值为

（A ）2 （B ）4 （C ）6

（D ）8

（3）以点（2, －1）为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为

（A ）( x －2 )2

+ ( y +1 )2

= 3 （B ）( x +2 )2 + ( y －1 )2

= 3 （C ）( x －2 )2

+ ( y +1 )2

= 9

（D ）( x +2 )2

+ ( y －1 )2

= 9

（4）若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是

（A ）过P 只能作一条直线与平面α相交 （B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直 （C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作无数条直线与平面α平行

（5）( 2x －3 )5

的展开式中x 2

项的系数为

（A ）－2160

（B ）－1080

（C ）1080

（D ）2160

（6）设函数y = f （x ）的反函数为y = f －1（x ）, 且y = f （ 2x －1）的图象过点??

? ??1,21, 则y = f －1

（x ）的图象必过点

（A ）??? ??1,21 （B ）??

? ??21,1 （C ）（1,0） （D ）（0,1）

（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为 了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法， 抽取的中型商店数是 （A ）2

（B ）3

（C ）5

（D ）13

（8）已知三点A （2,3）, B （－1,－1）, C （6, k ）, 其中k 为常数．若||||=, 则

与

的夹角为

（A ）arccos ??

? ??-2524

（B ）2π或arccos 25

24

（C ）arccos 25

24

（D ）2

π或π－arccos 25

24

（9）高三（一）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演

出顺

序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A ）1800 （B ）3600

（C ）4320

（D ）5040

（10）若α,???

?

?∈2,

0πβ,212sin ,232cos -=???

??-=

??? ?

?-βαβα, 则)cos(βα+的值等于

（A ）2

3-

（B ）2

1-

（C ）2

1 （D ）

2

3

（11）设A （x 1，y 1）,??

? ??59,4,C （x 2，y 2）是右焦点为F 的椭圆192522=+y x 上三个不同的点， 则“| AF |，| BF |，| CF | 成等差数列”是“x 1+x 2 = 8”的 （A ）充要条件

（B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（12）若a ，b ，c > 0且a 2

+ 2ab + 2ac + 4bc = 12，则a + b + c 的最小值是 （A ）32 （B ）3 （C ）2

（D ）3

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡相应位置上．

（13）已知5

52sin =

α，παπ<<2，则tan α = ______________．

（14）在数列{a n }中，若a 1 = 1，a n+1 = a n +2 （n ≥1），则该数列的通项a n = ____________． （15）设a >0, a ≠1, 函数f （x ）= log a （x 2

– 2x + 3）有最小值, 则不等式log a

（x －1）>0的解集为__________．

（16）已知变量x ，y 满足约束条件

??

?

??≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 若目标函数z = ax + y （其中a > 0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值

范围为

_______________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分13分)

甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室里只有一部电话机，设经该机打进的电话是

打

给甲、乙、丙的概率依次为61、31、2

1

．若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立． 求：

（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率．

（18）(本小题满分13分)

设函数2cos 3)(=x f ωx + sin ωxcos ωx + a （其中ω>0，a ∈R ），且f （x ）的图象

在y

轴右侧的第一个最高点的横坐标为6

π． （Ⅰ）求ω的值：

（Ⅱ）如果f (x ) 在区间???

??

?-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值．

（19）(本小题满分12分)

设函数f (x ) =x 3

– 3ax 2

+ 3bx 的图象与直线12x + y –1 =0 相切于点（1,－11）． （Ⅰ）求a , b 的值；

（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性．

（20）(本小题满分12分)

如图，在正四梭住ABCD －A 1B 1C 1D 1中，

AB =1，131+=BB ，E 为BB 1上使B 1E =1的

点．平面AEC 1交DD 1于F , 交A 1D 1的延长线于

G ．求：

（Ⅰ）异面直线AD 与C 1G 所成的角的大小； （Ⅱ）二面角A －C 1G －A 1的正切值．

（21）(本小题满分12分)

已知定义域为R 的函数a

b

x f x x ++-=+122)(是奇函数．

（Ⅰ）求a , b 的值；

（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．

（22）(本小题满分12分)

如图，对每个正整数n ，A n (x n ，y n )是 抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线

FA n 交抛物线于另一点B n （s n ，t n ）．

（Ⅰ）试证：x n s n =－4 （n ≥1）； （Ⅱ）取x n = 2n

, 并记C n 为抛物线上

分别以A n 与B n 为切点的两条切 线的交点．试证：

122||||||121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）

．

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（文史类）答案

一、选择题：每小题5分，满分60分. （1）D （2）D （3）C （4）D （5）B （6）C （7）C

（8）D

（9）B

（10）B

（11）A

（12）A

二、填空题：每小题4分，满分16分.

（13）－2 （14）2n －1 （15）（2，+∞） （16）2

1

>a 三、解答题：满分74分. （17）（本小题13分）

解:（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式, 所求概率为

6

1)2

1()3

1()6

1(3

3

3

=++=p （Ⅱ）这是6

1

,3=

=p n 的独立重复试验，故所求概率为 .72

5)65()61()2(2233=

=C P （18分）（本小题13分）

解：（Ⅰ）a x x x f +++=

|2

3|2sin 212cos 23)(ωω .23

)3

2sin(a x ++

+

=π

ω 依题意得 .2

3

6

2π

π

π

ω=

+

?

解得.2

1=

ω （Ⅱ）由（Ⅰ）知，.23

)3

sin()(a x x f ++

+=π

又当]6

5,3[π

π-

∈x 时，]6

7,

0[3

ππ

∈+

x