2020年北京市房山区高考数学二模试卷(有答案解析)
2022北京市房山区高三二模数学试卷(含答案)
2022北京市房山区高三二模数学试卷本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{13}A x x =−<<，集合{2}B x x =≤，则（ ） A ．{23}A B x x =−≤<I B ．{23}A B x x =−≤<U C ．{12}A B x x =−<<I D ．{3}A B x x =<I2．双曲线2212x y −=的焦点坐标为（ ）A ．(1,0)±B ．(C ．(D ．(3．已知0.2421,log 0.2,log 33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >> 4．已知3cos ,5αα=是第一象限角，且角,αβ的终边关于y 轴对称，则tan β=（ ） A ．34 B ．34− C ．43 D ．43− 5．已知数列{}n a 满足()12,n n n a a n S *+=∈N 为其前n 项和．若22a =，则5S =（ ）A ．20B ．30C ．31D ．626．已知函数2()log f x x =，则不等式()2f x <的解集为（ ） A ．(4,0)(0,4)−U B ．(0,4) C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊄，且αβ⊥，那么“l α∥”是“l β⊥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边,AB AD 向外分别作正方形ABEF ，ADMN ，其中2,1,4AB AD BAD π==∠=，则AC FN ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．0B ．1−C ．D ．−9．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果13,45n a a ==，那么n d +的最小值为（ ） A ．13 B ．14 C ．17 D ．18（10）下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区； ②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区； ③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%． 其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．②③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．抛物线22y x =的准线方程为_________． 12．若复数z 满足(1i)2i z −⋅=，则||z =_______．13．已知圆22:(1)(2)1C x y −+−=和直线:(1)l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为____________．14．已知函数3,,(),.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为__________．15．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数sin y A t ϖ=．我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音．已知一个复合音的数学模型是函数1()sin sin22f x x x =+．给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期是π； ②()f x 在[0,2]π上有3个零点； ③()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④()f x 其中所有正确结论的序号是___________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）在ABC V 中，1cos ,22a Bbc b +==．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求BC 边上的高． 条件①：2cos 3B =−；条件②：sin 2B =； 条件③：ABC V的面积为32+． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ．在底面ABCD 中，BC AD ∥，CD AD ⊥，1AD CD ==，2BC =．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若半面PAB 与平面PCD 的夹角等于3π，求点B 到平面PCD 的距离．18．（本小题14分）北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：性别 男女（Ⅰ）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50,60)的概率； （Ⅱ）从参加体育实践活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为0μ，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为12,μμ，当m 满足什么条件时，1202μμμ+≥．（结论不要求证明）19．（本小题14分）已知函数21()(1)e ()2xf x x ax a =−−∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[1,2]上的最小值．20．（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)−，一个焦点为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）已知点(0,2)P ，过原点O 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，直线PM 与椭圆C 的另一个交点为Q ．若MNQ V，求直线PM 的斜率． 21．（本小题14分）已知数集{}()12312,,,,1,2n n A a a a a a a a n ==<<<≥L L 具有性质P ：对任意的k(2),,(1)k k n i j i j n ≤≤∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,3,5}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）已知()12n n S a a a n *=+++∈NL ，求证：21nn aS −≤；（Ⅲ）若36n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．2022北京市房山区高三二模数学试卷参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．11．12x =−12．(1,2)；1+ 14．答案不唯一，满足1a <−或01a <<即可 15．②④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）（Ⅰ）方法一：在ABC V 中，因为1cos 2a Bbc +=， 所以由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B B C +=． 2分 因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+． 4分 所以1sin cos sin 2B A B =． 在ABC V 中，sin 0B ≠， 所以1cos 2A =，所以60A =︒． 6分 方法二：在ABC V 中，因为1cos 2a Bbc +=， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +−= 2分得222122a cb a bc ac +−⋅+=，整理得222c b a bc +−=所以2221cos 22c b a A bc +−==，所以60A =︒． 6分（Ⅱ）选条件②：由（Ⅰ）知0120B ︒<<︒因为在ABC V 中，sin 2B =，所以45B =︒ 8分 又A B C π++=，所以75C =︒ 9分所以()sin sin 4530sin 45cos30cos45sin 30C =+=+︒︒︒︒︒︒ 10分12=+ 11分=12分 设BC 边上高线的长为h ，则sin 242h b C +==⨯=． 14分 选条件③：因为13sin sin 60222ABC S bc A c c =︒+===V 8分所以1c =+ 9分由余弦定理得2222cos 4422(1=6a b c bc A =+−=++−⨯⨯+︒ 11分所以a =12分设BC 边上高线的长为h ，则22ABC S h a ===V 14分 17．（本小题14分）（Ⅰ）设BC 中点为E ，连接AE ，易知ADCE 为正方形，且1,AC AE AB ===所以222BC AB AC =+， 所以AB AC ⊥ 2分因为PA ⊥底面,ABCD AC ⊂底面ABCD ， 所以PA AC ⊥ 4分又,PA AB ⊂面PAB ，PA AB A =I 所以AC ⊥平面PAB 5分（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCD ，在正方形ADCE 中AE AD ⊥ 所以,,AE AD PA 两两互相垂直．如图建立空间直角坐标系A xyz − 6分 设(0)PA a a =>则(1,1,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,)C D B P a −所以(0,1,),(1,0,0)PD a DC =−=u u u r u u u r， 7分设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r，则 00n PD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u ur u r u r u r 即00.y az x −=⎧⎨=⎩ 8分 所以(0,,1)n a =r9分由（Ⅰ）知，平面PAB 的法向量为(1,1,0)AC =u u u r10分因为平面PAB 与平面PCD 的夹角为3π，所以||1cos |cos ,|32||||AC n AC n AC n π⋅====rr u u u r r u u u r u u ur 11分 解得1a = 12分设点B 到平面PCD 的距离为d ．(0,2,0),(0,1,1)BC n ==u u u r r则||||BC n d n ⋅===u u u r rr 14分 18．（本小题14分）（Ⅰ）方法一：记事件A 为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件B 为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在[50,60)” 由题意可知，459(),()100100P A P AB == 2分 因此9()91100()45()455100P AB P B A P A ==== 4分所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在[50,60)的概率为15方法二：记事件M 为“从所有调查学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在[50,60)”由题意知，从所有调查学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活动时间在[50,60)所包含的基本事件共9个 2分 所以91()455P M == 4分 所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在[50,60)的概率为15（Ⅱ）方法一：X 的所有可能值为0，1，2， 5分记事件C 为“从参加体育活动时间在[80,90)的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件D 为“从参加体育活动时间在[90,100)的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”． 由题意知，事件C 、D 相互独立，且10282(),()153123P C P D ==== 6分 所以111(0)()()()339P X P CD P C P D ====⨯= 7分 21124(1)()()()()()33339P X P CD CD P C P D P C P D ===+=⨯+⨯=U 8分224(2)()()()339P X P CD P C P D ====⨯= 9分所以X 的分布列为：故X 的数学期望144124()01299993E X =⨯+⨯+⨯== 12分 方法二：X 的所有可能值为0，1，2， 5分因为从参加体育活动时间在[80,90)和[90,100)的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为23，故22,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭6分 所以2221(0)139P X C ⎛⎫==−= ⎪⎝⎭7分1112224(1)1339P X C ⎛⎫⎛⎫==−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 8分 22224224(2)39339P X C ⎛⎫====⨯= ⎪⎝⎭9分所以X 的分布列为：故X 的数学期望24()233E X np ==⨯= 12分 （Ⅲ）{211}m Z m ∈≤≤ 14分 19．（本小题14分）（Ⅰ）当0a =时，()(1)e ,()e xxf x x f x x =='− 1分 所以(0)0,(0)1f f '==−． 3分所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：1y =−． 4分 （Ⅱ）()()e e xxf x x ax x a =−=−'． 5分 ①当0a ≤时，e 0xa −>． 所以[1,2]x ∈时，()0f x '>．所以()f x 在[1,2]上是增函数．所以min 1()(1)2f x f a ==−． 7分 ②当0a >时，令()0f x '=，解得12ln ,0x a x ==（舍） 8分 1°当ln 1a ≤，即0e a <≤时，[1,2]x ∈时，()0f x '>．所以()f x 在[1,2]上是增函数．所以min 1()(1)2f x f a ==−． 10分 2°当1ln 2a <<，即2e e a <<时，所以2min ()(ln )ln (ln 1)2f x f a a a a a ==−+−． 12分 3°当ln 2a ≥，即2e a ≥时，[1,2]x ∈时，()0f x '<．所以()f x 在[1,2]上是减函数．所以2min ()(2)e 2f x f a ==−． 14分 综上，当e a ≤时，min 1()2f x a =−； 当0e a <≤时，2min 1()ln (ln 1)2f x a a a a =−+−． 当2e a ≥时，2min?()e 2f x a =−．20．（本小题15分）（Ⅰ）由题设，得1,1b c == 2分 则2222a b c =+= 3分所以椭圆C 的方程为2212x y +=． 4分离心率2c e a ===5分 （Ⅱ）方法一：设直线PM 的方程为2y kx =+ 6分由22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2212860k x kx +++= 7分()22Δ(8)41260k k =−+⨯>解得232k >设()()1122,,,M x y Q x y ，根据题意12,x x 同号， 则122812k x x k −+=+，122612x x k =+ 9分 根据椭圆的对称性知12OMQ ONQ MNQ S S S ==V V V ， 10分 所以OMQ POQ POM S S S =−V V V 11分211122||22x x =⨯−⨯ 21x x =− 12分=5== 整理得42223380k k −+= 13分 解得22192,2k k ==，（满足232k>）所以k =，或2k =±15分 方法二：设直线PM 的方程为2y kx =+由22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2212860k x kx +++= ()22Δ(8)41260k k =−+⨯>，解得232k >设()()1122,,,M x y Q x y ， 则122812k x x k −+=+，122612x x k=+ 根据椭圆的对称性知125OMQ ONQ MNQ S S S ===V V V ， 设O 到直线MQ 的距离为d ，d=12||MQ x =−=11||225OMQ S MQ d =⨯==V 整理得42223380k k −+=解得22192,2k k ==，（满足232k >）所以k =，或2k =±21．（本小题14分）（Ⅰ）因为311≠+，所以{1,3,5}不具有性质P ． 2分因为212,312,633=⨯=+=+，所以{1,2,3,6}具有性质P 4分 （Ⅱ）因为集合{}12,,,n A a a a =⋯具有性质P ：即对任意的(2),,(1)k k n i j i j n ≤≤∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立， 又因为121,2n a a a n =<<⋯<≥，所以11,i k j k a a a a −−≤≤，所以12k i j k a a a a −=+≤即1122332212,2,2,,2,2n n n n n n a a a a a a a a a a −−−−−≤≤≤⋯≤≤ 6分 将上述不等式相加得()211212n n n a a a a a a −−+⋯++≤++⋯+ 所以1212n n a a a a −≤++⋯+；由于11a =，12121n n n n a a a a a S −−≤++⋯++= 9分（Ⅲ）最小值为75．首先注意到11a =，根据性质P ，得到2122a a ==所以易知数集A 的元素都是整数．构造{1,2,3,6,9,18,36}A =或者{12,4,5,9,18,36}A =，， 这两个集合具有性质P ，此时元素和为75．下面，证明75是最小的和假设数集{}()1212,,,,2n n A a a a a a a n =⋯<<⋯<≥，满足175n i i S a==≤∑（存在性显然，因为满足175ni i S a ==≤∑的数集A 只有有限个）．第一步：首先说明集合{}()1212,,,,2n n A a a a a a a n =⋯<<⋯<≥中至少有7个元素： 由（Ⅱ）可知21322,2a a a a ≤…，…又11a =，所以234562,4,8,16,3236a a a a a ≤≤≤≤≤<； 所以7n ≥第二步：证明1218,9n n a a −−==； 若18A ∈，设18t a =，因为361818n a ==+，为了使得1n i i S a ==∑，最小，在集合A 中一定不含有元素k a ，使得1836k a <<，从而118n a −=； 假设18A ∉，根据性质P ，对36n a =，有,i j a a ，使得36n i j a a a ==+ 显然i j a a ≠，所以363672n i j a a a ++=+= 而此时集合A 中至少还有4个不同于,,n i j a a a 的元素， 从而()1476n i j S a a a a >+++=，矛盾， 所以18A ∈，进而18t a =，且118n a −=； 同理可证：29n a −=（同理可以证明：若9A ∈，则29n a −=）． 假设9A ∉．因为118n a −=，根据性质P ，有,i j a a ，使得118n i j a a a −==+ 显然i j a a ≠，所以172n n i j a a a a −+++=， 而此时集合A 中至少还有3个不同于1,,,n n i j a a a a −的元素 从而11375n n i j S a a a a a −>++++=，矛盾， 所以9A ∈，且29n a −=至此，我们得到了1218,9n n a a −−==， 根据性质P ，有,i j a a ，使得9i j a a =+ 我们需要考虑如下几种情形： ①8,1i j a a ==，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到元素8， 则76S >；②7,2i j a a ==，此时集合中至少还需要一个大于4的元素k a ，才能得到元素7，则76S >； ③6,3i j a a ==，此时集合{1,2,3,6,9,18,36}A =的和最小，为75； ④5,4i j a a ==，此时集合{1,2,4,5,9,18,36}A =的和最小，为75． 14分。
精品解析：北京市房山区2020届高三第二次模拟检测数学试题(解析版)
B. (, 0) (1, )
C. (0,1)
D. [0,1]
【答案】D
【解析】 【分析】
计算 A , 0 1, ，再计算补集得到答案.
【详解】 A {x | x2 x 0}， x2 x 0 ，解得 x 1 或 x 0 ，故 A , 0 1, ，
故 ðU A [0,1] .
又因为 f (0) 1，所以 x (0, ) ， f (x) 0 .
故 f (x) 在 (0, ) 无零点.
综上：函数 f (x) ex x2 的零点个数为1.
故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.
6.“ sin sin ”是“ ”的（ ）
【详解】
f
(x)
sin πx cos πx
1 sin 2 x ，故周期 T 2
2 2
1.
故选：A.
【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
4.若双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0) 的一条渐近线经过点 (1,
3) ，则该双曲线的离心率为（
）
A. 2
故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
7.已知函数 f (x) lg |1 x | lg |1 x | ，则 f (x) （ ） A. 是奇函数，且在 (1, ) 上是增函数 B. 是奇函数，且在 (1, ) 上是减函数 C. 是偶函数，且在 (1, ) 上是增函数 D. 是偶函数，且在 (1, ) 上是减函数
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件与运算求解能力，属于基础题.
高三数学第二次模拟考试理房山二模,试题
房山2021年高考第二次模拟测试试卷创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日数学〔理〕第一局部〔选择题 一共40分〕一、选择题一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项． 假设a ∈R ，i 为虚数单位，且()i i=1+2i a -，那么a =〔 〕．A ．1-B ．0C ．1D ．2集合{}|2A x x =>-，集合{}|ln ,1B y y x x ==>，那么AB =〔 〕．A ．()2,0-B ．()2,1-C ．()2,-+∞D ．()0,+∞“1a =-〞是“直线210ax y ++=与直线()120x a y +--=平行〞的〔 〕．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件如图是甲，乙两名同学5次综合测评成绩的茎叶图，以下四个结论中，正确的选项是〔 〕． A ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 B ．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 C ．甲成绩的平均值等于乙成绩的平均值 D ．甲成绩的HY 差小于乙成绩的HY 差将函数sin 2y x =的图像向右平移π8个单位后，所得图象的一条对称轴方程是〔 〕．A ．π8x =B ．π8x =-C ．π4x =D ．π4x =-如图，设区域(){},|0π,01D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投入一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，那么点落入到阴影区(){},|0π,0sin M x y x y x =≤≤≤≤的概率为〔 〕．A ．1B ．π2C ．2πD ．1π对任意两实数,a b ，定义运算“*〞：,,,.a a b a b b a b ⎧*=⎨<⎩≥关于函数()1e e x x f x --=*给出以下四个结论： ①函数()f x 为偶函数； ②函数()f x 的最小值是e ③函数()f x 在()0+∞，上单调递增④函数()f x 的图象与直线()=e 1y x +没有公一共点其中正确结论的序号是〔 〕． A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④直线2x =与双曲线C ：2248x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上的任意一点，假设OP aOA bOB =+〔,a b ∈R ，O 为坐标原点〕，那么a b +的取值范围是〔 〕．A ．(][),11,-∞-+∞B ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．(),22,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣D ．22,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭第二局部〔非选择题 一共110分〕二、填空题一共6小题，每一小题5分，一共30分．在极坐标系中，圆=2cos ρθ的圆心到直线cos =2ρθ的间隔 为____________．如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B 、C 两点，3PA =，30PAB ∠=︒，那么AOB ∠=______；=PC ______．执行如下图的程序框图，输出的值是n _______________．某地区组织汉字听写比赛，一共有4所的7名同学参赛，其中甲有2人参赛，乙有3人参赛，其余2所各有1人参赛，假设比赛中有3人获奖，那么这3人来自3所不同的可能情况的种数为____．一个几何体的三视图如下图，该几何体的外表积是___________．假设三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足112a b c +=，那么称a ，b ，c 是调和的；假设满足2a c b +=，那么称a ，b ，c 是等差的．集合}{,,P a b c =，假设P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，那么称集合P 为“好集〞． ①请写出一个好集______________；②假设集合}{|2014,M x x x=∈Z≤，P M⊆，那么不同的“好集〞P的个数为________．三、解答题一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程． 〔本小题一共13分〕在锐角ABC △中，1cos 29C =-．〔I 〕求sin C 的值；〔II 〕当3a =，3sin C A =时，求b 的值．〔本小题一共14分〕如图，在三菱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为矩形，平面11AA B B ⊥平面ABC ．90ABC ∠=︒，1112AB BC AA ===，点F 为AC 的中点，点E 为1AA 上一点．〔I 〕求证：平面BEF ⊥平面11AA C C ；〔II 〕当AE 的长为何值时，二面角111A C E B --为60︒？FEA 1B 1C 1CBA〔本小题一共13分〕甲、乙、丙三人参加一项技能测试，甲通过测试的概率为35，乙通过测试的概率为12，乙、丙两人同时通过测试的概率为13，且三人能否通过测试互相HY．〔I〕求三人中至少一人通过测试的概率；〔II〕设X为甲、乙、丙三人中通过测试的人数，求X的分布列和数学期望．〔本小题一共14分〕函数22()ln a f x x a xx =+-．〔I 〕当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 〔II 〕讨论函数()f x 的单调性；〔III 〕假设0a >时，函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．〔本小题一共13分〕点(,)A x y 和点(4,)B y ，以AB 为直径的圆经过坐标原点O ． 〔I 〕求点A 的轨迹C 的方程；〔II 〕过点P (4,0)的直线l 交轨迹C 于D ，E 两点，判断DOE △的形状，并证明你的结论．〔本小题一共13分〕数列}{na 中，16a =，1132n n n a a +++=⋅，*n ∈N ．〔I 〕设12n n n b a +=-，证明：数列}{n b 是等比数列；〔II 〕在数列}{na 中，是否存在连续三项成等差数列？假设存在，求出所有符合条件的项；假设不存在，请说明理由；〔III 〕假设1r s <<且*,r s ∈N ，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(,)r s 在某一条直线上．。
北京房山区房山第二中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析
北京房山区房山第二中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数图像上一点，以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（）A. B．C． D．参考答案：D略2. 设，则( )A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：B【分析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题。
3. △ABC中，若a=1，b=2，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理求得sinB的值．【解答】解：△ABC中，若a=1，b=2，sinA=，则由正弦定理可得=，即=，∴sinB=，故选：A．4. 函数，若函数有3个零点，则实数a的值为（）A．－2 B．－4 C．2 D．不存在参考答案：C5. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中点，则异面直线A1B、EC的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取A1B1中点F，则BF∥EC，∠A1BF是异面直线A1B、EC的夹角，由此能求出异面直线A1B、EC的夹角的余弦值．【解答】解：取A1B1中点F，则BF∥EC，∴∠A1BF是异面直线A1B、EC的夹角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1F=1，A1B=，BF=，∴cos∠A1BF===．故选：A．6. 若复数为纯虚数，则x的值为（）A．2． B． -1. C．．Ｄ．．参考答案：D略7. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的，，有，则（）．A. B.C. D.参考答案：A由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行8. 把十进制数15化为二进制数为（ C ）A． 1011 B．1001 (2） C． 1111（2）D．1111参考答案：C9. 复数则A.1B.C.D.参考答案：B本题主要考查复数的四则运算与复数的模., 则10. 某人从湖里捞一网鱼，共条，做上记号后放入湖中，数日后再捞一网，共条，若其中做记号的鱼有条，估计湖中全部鱼的数量为（）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 双曲线的焦距是▲，双曲线C的渐近线方程是▲ .参考答案：标准方程：，，则焦距为；渐近线。
北京市房山区达标名校2020年高考二月调研数学试卷含解析
北京市房山区达标名校2020年高考二月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，BD '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β>2．ABC 是边长为3E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A ．34B ．334C ．64D ．3643．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．234．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=()·cos ?cos AB AC AB BAC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心5．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 6．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -7．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =，则AC 边上的高为（ ）A B ．2C D 8．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=9．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B 到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断： ①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数； ②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数； ④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数 ⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x ． 那么正确论断的编号是（ ） A ．③④B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤11．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i12．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点P m ⎫⎪⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届北京中考数学二模试卷(房山区)
2020届北京中考数学二模试卷（房山区）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个.1.在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2020年又将是一个新的时间坐标.过去40年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就.将820000000用科学记数法表示为( ) A.98.210⨯B.90.8210⨯C.88.210⨯D.78210⨯2.如图是某个几何体的三视图，该几何体是( )A.长方体 C.正方体B.三棱柱 D.圆柱3.实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A. b a <B. a b -<C. 0a b +>D. a b >4.《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康.下列垃圾分类标志，是中心对称图形的是( )5.李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月(30天)每天所走的步数，并绘制成如右统计表: 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是( ) A.1.6，1.5B.1.7，1.6C.1.7，1.7D.1.7，1.556.如图，在ABCD Y 中，延长AD 至点E ，使2AD DE ，连接BE 交CD 于点F ，交AC 于点G ，则CGAG的值是（） A. 23B.13C.12D.347.如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断:①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47;②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5;③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45.其中合理的是( ) A.①B.②C.①②D.①③8. 2020年是5G 爆发元年，三大运营商都在政策的支持下，加快着5G 建设的步伐.某通信公司实行的5G 畅想套餐，部分套餐资费标准如下:套餐类型 月费（元/月）套餐内包含内容 套餐外资费 国内数据流量（GB ） 国内主叫（分钟） 国内流量国内主叫 套餐1 128 30 200 每5元1GB ，用满3GB 后每3元1GB ，不足部分按照0.03元/MB 收取0.19元/分钟套餐2 158 40 300 套餐3 198 60 500 套餐423880600他应预定的套餐是( ) A.套餐1 B.套餐2 C.套餐3D.套餐4二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9. 若分式11x x +-值为0，则x 的值是 .10. 如图，扇形AOB ，通过测量、计算，得»AB 的长约为.cm （π取3.14，结果保留一位小数）11.如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(32)--，，“炮”位于点()2,0-，则“兵”位于的点的坐标为.12.如图，一个大正方形被分成两个正方形和两个一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a b ，的正确的等式.13.如果4m n +=，那么代数式222(2)m n m n m m n+++g 的值为14.已知一组数据123,,,n x x x x gg g ，的方差是2S ，那么另一组数据1233,3,3,3n x x x x ----gg g ，的方差是 .15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中记载了一个“折竹抵地”问题:“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何?”尺)，现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距译文:“有一根竹子，原高二丈(1丈10A B C分别表示竹梢，离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺?”如图，我们用点,,竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC为x尺，则可列方程为16.下面是“作一个30︒角”的尺规作图过程.已知:平面内一点A.求作:∠A，使得∠A=30°作法:如图，(1)作射线AB;(2)在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C;(3)以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD.则∠DAB即为所求的角.该尺规作图的依据是三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分)17.114sin3015-+o（）18.解不等式组：3(1)2,12.2x xxx+<⎧⎪⎨-<+⎪⎩19.如图，在ABCV中，BD平分ABC∠交AC于点,//D DE AB交BC于点,E F是BD 中点.求证:EF平分BED∠.20.已知关于x的一元二次方程2430kx x-+=.(1)当1k=时，求此方程的根;(2)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.21.如图，菱形ABCD 中，分别延长,DC BC 至点,E F ，使,CE CD CF CB ==,连接,,,.DB BE EF FD(1)求证:四边形DBEF 是矩形; (2)若355AB cos ABD =∠=，，求DF 的长.22.在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数()0ky x x=>的图象与直线1y x =-交于点()3A m ，(1)求k 的值(2)已知点()(),00P n n >，过点P 作垂直于x 轴的直线，交直线1y x =-于点B ，交函数()0ky x x=>于点C . ①当4n =时，判断线段PC 与BC 的数量关系，并说明理由; ②若PC BC ≤，结合图象，直接写出n 的取值范围.23.如图，在90ABC ACB ∠=︒V 中，，以BC 为直径的O e 交AB 于点,D E 是AC 中点，连接DE .(1)判断DE 与O e 的位置关系并说明理由;(2)设CD 与OE 的交点为F ，若10,6AB BC ==，求OF 的长.24.GDP 是指一个国家(或地区)在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量经济状况的最佳指标.截止2020年4月27日，对除西藏外的30个省区市第一季度有关GDP 的数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:a.各省区市GDP 数据的频数分布直方图，如图24-1(数据分成6组，各组是04,488121216,1620,2024x x x x x x <≤<≤<≤<≤<≤<≤，，):b.2020年第一季度GDP 数据在这一组的是:4.6 4.95.0 5.1 5.3 5.46.37.4 7.5 7.8 7.8 c.30个省区市2020年第一季度及2019年GDP 增速排名统计图，如图24-2: d.北京2020年第一季度GDP 数据约为7.5千亿，GDP 增速排名为第22.根据以上信息，回答下列问题:(1)在30个省区市中，北京2020年第一季度GDP的数据排名第.(2)在30个省区市2020年第一季度及2019年GDP增速排名统计图中，请在图中用“O”圈出代表北京的点(3)2020年第一季度GDP增速排名位于北京之后的几个省份中，2019年GDP增速排名的最好成绩是第.(4)下列推断合理的是.①与2019年GDP增速排名相比，在疫情冲击下，2020年全国第一季度增速排名，部分省市有较大下滑，如D代表的湖北排名下滑最多.、、分别代表的新疆、广西、青海位于西部地区，多为人口净流出或少量净流②A B C入，经济发展主要依靠本地劳动力供给，疫后复工复产效率相对较高，相对于2019年GDP增速排名位置靠前.25.已知线段6AB cm =，点M 是线段AB 上一动点，以AB 为直径作O e ，点C 是圆周上一点且4AC cm =，连接CM ，过点A 做直线CM 的垂线，交O e 于点N ，连接CN ，设线段AM 的长为xcm ，线段AN 的长为1y cm ，线段CN 的长为2y cm .小华同学根据学习函数的经验，分别对函数12,y y ，随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是该同学的探究过程，请补充完整:(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了12,y y 与x 的几组对应值:(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点()()12,,x y x y ，，并画出函数12,y y的图象(函数2y 的图象如图，请你画出1y 的图象)V是等腰三角形时，AM的长度约为(3)结合画出的函数图象，解决问题:当CANcm.26.在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点,A B ，且4AB =.抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D . (1)求抛物线对称轴;(2)求点D 纵坐标(用含有a 的代数式表示);(3)已知点()4,4P -，若抛物线与线段PD 只有一个公共点，求a 的取值范围.27.点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰Rt ADC V ，连接BD ，在Rt ABD V 外侧，以BD 为斜边作等腰Rt BED V ，连接EC . (I)如图1，当30DBA ∠=︒时: ①求证:AC BD =;②判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明;(2)如图2，当045DBA ︒<∠<︒时，EC 与EB 的数量关系是否保持不变?对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路:想法1:尝试将点D 为旋转中心，过点D 作线段BD 垂线，交BE 延长线于点G , 连接CG ;通过证明ADB CDG V V ≌解决以上问题;想法2:尝试将点D 为旋转中心，过点D 作线段AB 垂线，垂足为点G ，连接EG .通过证明ADB GDE V V ∽ 解决以上问题;想法3:尝试利用四点共圆，过点D 作AB 垂线段DF ，连接EF ，通过证明D F BE 、、、四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题.请你参考上面的想法，证明EC EB =(一种方法即可)28.过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”.(1)如图，在等腰Rt ABC V 中，902A AB AC ∠=︒==，. ①在下图中画出一条Rt ABC V 的形内弧; ②在Rt ABC V 中，其形内弧的长度最长为.(2)在平面直角坐标系中，点()()()2,02001D E F -，，，，.点M 为DEF V 形内弧所在圆的圆心.求点M 纵坐标M y 的取值范围;(3)在平面直角坐标系中，点(M ，点G 为x 轴上一点点P 为OMG V 最长形内弧所在圆的圆心，求点P 纵坐标p y 的取值范围.。
2020-2021学年北京市高考数学二模试卷（理）及答案解析
2020-2021学年北京市⾼考数学⼆模试卷（理）及答案解析北京市⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜57．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= ．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有种．（⽤数字作答）14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= ．②记Sn三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂⾜为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的⽅程及离⼼率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表⽰x1，x2，x3，…，x n中的最⼤值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最⼩值；（Ⅲ）?k∈N*，求d n的最⼩值．参考答案与试题解析⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把分⼦分母同时乘以1+i，直接利⽤复数的除法运算求解．【解答】解：=．故选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利⽤双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的⼏何量，然后求解双曲线的渐近线⽅程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线⽅程为：y=±x．故选：A．3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，联⽴⽅程组求得最优解的坐标，代⼊⽬标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可⾏域如图，联⽴，解得A（），化⽬标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最⼤，z有最⼩值为2×．故选：D．4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成⽴，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”?α⊥β；反之不成⽴，若α⊥β，b?β，b⊥α不⼀定成⽴．故选：A．5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．【考点】与圆有关的⽐例线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB?AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△=ADO=，解得DE．由DE⊥BC，可得BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB?AC，∴AC==15．∴BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△==，解得DE==2．ADO∵DE⊥BC，∴BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，∴BE2﹣BC?BE+DE2=0，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．∴BE=2，故选：C．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满⾜条件，退出循环，从⽽可得判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运⾏过程，得S=0，i=1满⾜条件，执⾏循环体，S=2，i=2满⾜条件，执⾏循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满⾜条件，退出循环，输出S的值为6，故判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．故选：B．7．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，分别利⽤函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成⽴；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∴满⾜不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故选：B．8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在⼏何中的应⽤．【分析】根据题意找出使得λ+µ最⼤的顶点C，根据向量加法的平⾏四边形法则可作出平⾏四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的⼏何意义便可得出，这样由平⾯向量基本定理即可求出λ+µ的最⼤值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平⾏四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+µ最⼤；作平⾏四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；⼜；∴；即λ+µ的最⼤值为．故选C．⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= 2n（N*）．【考点】等⽐数列的通项公式；等⽐数列的前n项和．【分析】根据等⽐数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．【考点】简单曲线的极坐标⽅程．【分析】求出极坐标⽅程的普通⽅程，利⽤点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的普通⽅程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利⽤正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图可知：该⼏何体为三棱锥．AC⊥侧⾯PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该⼏何体为三棱锥，AC⊥侧⾯PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有144 种．（⽤数字作答）【考点】排列、组合的实际应⽤．【分析】先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即=144种．故答案为：144．14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= 1512 ．②记Sn【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类讨论：②a1当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满⾜条件．∴a=．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），②a1∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2016=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2016=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2016=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三⾓函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利⽤周期公式可求ω，⼜函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，⼜结合范围﹣＜x0＜，从⽽可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利⽤正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本⼩题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，⼜∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，⼜|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，⼜∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【考点】相互独⽴事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利⽤均值与⽅差的定义分别求出甲、⼄两校新⽣的数学成绩的均值与⽅差，从⽽得出结论．（2）分类讨论，求得甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差⼩于⼄校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差．（2）设事件D=“从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为C”，P（F2）=，根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）=++?=，因此，从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平⾯所成的⾓；直线与平⾯平⾏的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平⾯BC1D，由线⾯平⾏的性质得出AB1∥EF；。
北京房山区房山第二中学2020年高三数学文模拟试卷含解析
北京房山区房山第二中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 三棱锥的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆的面积为，则该三棱锥的高的最大值为（）A. 7B. 7.5C. 8D. 9参考答案：C2. 已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如右图所示，则该函数的图像是（）参考答案：B因为，所以在为增函数,又时，为增函数, 所以图象越来越陡峭，时，为减函数, 所以图象越来越平缓。
3. 设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a=A．2 B．-2 C．D．-参考答案：B函数的导数为，所以函数在的切线斜率为，直线ax+y+3=0的斜率为，所以，解得，选B.4. 将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A．B．C．D．参考答案：A将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，令，解得可得函数的增区间，当时，可得函数在区间单调递增。
故答案选5. 数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5等于( )A．1 B．C．D．参考答案：B考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵，∴…+==．∴．故选B．点评：熟练掌握“裂项求和”的方法是解题的关键．6. 复数，（i为虚数单位），z在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【分析】先将化简运算得到，再由对应点的坐标得出结果.【详解】由题意知，其对应点的坐标为（，），在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 若变量x，y满足约束条件，则点（3，4）到点（x，y）的最小距离为（）A．3 B．C．D．参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由点到直线的距离公式求得点（3，4）到点（x，y）的最小距离．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，点（3，4）到点（x，y）的最小距离为P（3，4）到直线x+y﹣4=0的距离．为．故选：C．8. 函数的极值点的个数是A.2B.1C.0D.由a确定参考答案：C函数的导数为，所以函数在定义域上单调递增，所以没有极值点，选C.9. 记定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=成立，则称x0为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为（）A．1B．2C．3D．4参考答案：A【分析】由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x3+2x﹣在x∈[﹣1，1]上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得．【解答】解：由题意可得（x3+2x）dx=（x4+x2）=，∴函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x=在[﹣1，1]上根的个数，构造函数g（x）=x3+2x﹣，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．故选：A．【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．10. 已知函数f（x）=Asin(ωx＋)（A>0, ω>0）的图象与直线y=b（0<b<A）的三个相邻交点的横坐标分别是2、4、8,则函数f(x)的单调递增区间是（）.A．[6kπ, 6kπ＋3]，k∈Z B．[6k―3, 6k]，k∈ZC．[6k, 6k＋3]，k∈Z D．无法确定参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，其中满足约束条件，若的最小值，则k的值为_____________.参考答案：1略12. 已知单位圆的圆心在原点，圆周上的六个等分点其中落在x正半轴上，且这六个点分别落在以原点为始点，X非负半轴为始边的∠的终边上，所有的∠可表示为__________________ （用一个含的式子表示）。
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2020年北京市房山区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集，集合，那么集合A. B.C. D.2.在中，若，，，则A. B. C. D.3.函数的最小正周期是A. B. C. 2 D. 14.若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.5.函数的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 36.“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数，则A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是减函数C. 是偶函数，且在上是增函数D. 是偶函数，且在上是减函数8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长为A. 2B.C.D. 49.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有的物体，放在的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是，则k约等于参考数据：A. B. C. D.10.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是A. 12B. 13C. 14D. 15二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.若，则______．12.若直线与圆相切，则______．13.已知抛物线C：的焦点为F，点M在抛物线C上，，则点M的横坐标是______，为坐标原点的面积为______．14.已知正方形ABCD的边长为，若，则的值为______．15.对任意两实数a，b，定义运算“”：给出下列三个结论：存在实数a，b，c使得成立；函数的值域为；不等式的解集是．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在三棱柱中，是边长为2的正方形，平面平面，，，点E为棱的中点．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．17.已知数列的前n项和为，，____是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．从，，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18.“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，1日2日3日4日5日6日7日10时在园人数11526180051968282841383010101666312时在园人数2651837089429311684534017231681480014时在园人数3732238045406312071136558247061512516时在园人数27306296873063816181208211616910866通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量同一时段在园人数的饱和量之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人．Ⅰ甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；Ⅱ从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布列和数学期望；Ⅲ根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？只需写出结论19.已知椭圆C的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，离心率为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设O为原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M，求证：P，M两点的横坐标之积等于4，并求的取值范围．20.已知函数．Ⅰ求函数的定义域；Ⅱ求曲线在点处的切线方程；Ⅲ求证：当时，．21.已知集合P的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即，，，，其中，，，且满足，，，2，，n，则称集合P为“完美集合”．Ⅰ若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；Ⅱ已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；Ⅲ设集合，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是或-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：或，，．故选：D．可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由正弦定理得：，，，解得：，故选：B．直接利用正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，是基础题．3.答案：D解析：解：函数，故它的周期，故选：D．利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．4.答案：C解析：解：双曲线的一条渐近线：，渐近线经过点，可得，即，可得，所以：，，所以双曲线的离心率为：．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：B解析：解：由，得，设，，分别作出两个函数的图象，当时，两个函数图象有一个交点，当时，，，时，，函数取得最小值，，所以在时，是增函数，两个函数，，则时，没有公共点．可知函数的零点个数为1个．故选：B．由，得，设，，分别作出两个函数的图象，利用图象的交点个数，确定函数零点的个数．本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决函数交点问题中最基本的方法，要求熟练掌握．6.答案：A解析：解：由一定得到，反之，由，不能得到，如，，满足，但．“”是“”的充分而不必要条件．故选：A．由一定得到，说明“”是“”的充分条件；举例说明“”是“”的不必要条件．本题考查充分必要条件的判定，考查角与三角函数值的关系，是基础题．7.答案：C解析：解：，故为偶函数，当时，单调递增，故选：C．结合奇偶函数的定义先判断与的关系，然后结合时函数的解析式及复合函数的单调性即可判断．本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．8.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个三棱锥体和一个四棱锥体的组合体．如图所示：根据三视图中的长度：，，，，所以最长的侧棱长为．故选：C．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的侧棱长．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换的应用，几何体的侧棱长的求法和比较，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.答案：D解析：解：由题意可得：，，两边取对数可得：，．故选：D．列方程，根据对数运算性质计算即可．本题考查了对数性质，对数运算，属于基础题．10.答案：B解析：解，由题得，甲超市需配送日期为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31；乙超市为：1，5，9，13，17，21，25，29；丙超市为：1，7，13，19，25，31；丁超市为：1，8，15，22，29，故无需配送日期为：2，3，6，11，12，14，18，20，23，24，26，27，30，共13天，故选：B．根据题意逐一得到四家需要配送的日期，进而可得其无需配送的天数．本题考查学生合情推理的能力，属于基础题．11.答案：2解析：解：，，即．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．12.答案：3解析：解：由，得，则，即．直线与圆相切，圆心到直线的距离，即．故答案为：3．化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心到直线的距离等于半径求解a值．本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础的计算题．13.答案：解析：解：由抛物线的方程可得焦点F的坐标，准线方程为，设，由抛物线的性质可得，可得，所以M的横坐标为：，将M的横坐标代入抛物线的方程可得：，所以．故答案分别为：，．由抛物线的方程可得焦点F的坐标及准线方程，设M的坐标，由抛物线的性质可得的表达式，再由题意可得M的横坐标，代入抛物线的方程可得M的纵坐标的绝对值，进而求出的面积．本题考查抛物线的性质及面积公式，属于基础题．14.答案：解析：解：如图：正方形ABCD的边长为，若，则．故答案为：．通过向量的三角形法则一步步代入数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．15.答案：解析：解：，，故错误；根据绝对值不等式定理可知；即正确；函数；最大值为；故错误；根据绝对值不等式的性质可转化为，解得：解集是，故正确；故答案为：．新定义实际为的绝对值的2倍，根据绝对值定理和性质进行判断即可．本题主要考查新定义的应用和绝对值函数的性质，以及不等式的求解，属于中档题目．16.答案：Ⅰ证明：平面平面，平面平面，平面ABC，且，平面，在三棱柱中，有，平面，得．是正方形，，而，平面；Ⅱ由Ⅰ知，平面，又，以B为坐标原点，分别以BC，，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，2，，2，，1，，，，．设平面的一个法向量为．由，取，得．设直线与平面所成角为．则．即直线与平面所成角的正弦值为．解析：Ⅰ由平面平面，，利用平面与平面垂直的性质可得平面，再由有，得到平面，得，由是正方形，得，再由直线与平面垂直的判定可得平面；Ⅱ由Ⅰ知，平面，又，故以B为坐标原点，分别以BC，，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17.答案：解：若选，且；说明数列是首项为1，公比为2的等比数列；，；；若，，成等比数列，则；左边为偶数，右边为数，即不存在正整数，使得，，成等比数列；若选，即；且适合上式；所以：说明是首项为1，公差为1的等差数列；，；若，，成等比数列，则舍；即存在正整数，使得，，成等比数列；若选，；且适合上式；若，，成等比数列，则；即存在正整数，使得，，成等比数列．解析：分别选，根据各自对应的结论来求解k，能解出来说明存在，解不出来说明不存在．本题考查等比数列与等差数列的性质，考查数列的求和公式，考查运算与推理、证明的能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意可得，若舒适度为：“舒适”，则在园人数不大于万，所以10月1日至7日下午14时舒适度为“舒适”的天数为3，因此甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该园区游览，遇上“舒适”的概率为；Ⅱ记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，则X的可能取值为0，1，2，从10月1日至7日中这4个时间的游览舒适度为“舒适”的有3天，则，，，X012P所以X的期望；Ⅲ从10月2日开始连续三天的在园人数的方差最大．解析：Ⅰ求得“舒适”情况下，在园人数不大于万，以及10月1日至7日下午14时舒适度为“舒适”的天数，由古典概率公式，计算可得所求值；Ⅱ记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，则X的可能取值为0，1，2，求得概率，可得概率分布列，以及期望的值；Ⅲ考虑与万的差，可得从10月2日开始连续三天的在园人数的方差最大．本题考查定义“舒适”的理解和运用，主要考查古典概率和离散型随机变量的期望和方差的求法，考查化简运算能力，属于基础题．19.答案：解：Ⅰ椭圆的方程设为，由题意可得，，可得，，则椭圆的方程为；Ⅱ证明：可设，由题意可得，且，且，即有，又，，，可得直线AP的方程为，直线BQ的方程为，联立直线AP和BQ的方程，可得，可得P，M两点的横坐标之积等于4；由，由，且，可得，，则的范围是．解析：Ⅰ椭圆的方程设为，由椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，解方程可得b，c，进而得到所求方程；Ⅱ可设，由题意可得，且，代入椭圆方程，可得m，n的关系式，又，，，求得直线AP，BQ的方程，求得交点M的坐标，即可得到所求．本题考查椭圆的方程和性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的运用，以及两直线交点的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.答案：解：由题意可得，故，即函数的定义域，，因为，所以，，故曲线在处切线方程为；因为在上单调递增，且故当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得最小值．故解析：由题意可得，结合正弦函数的性质即可求解；先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；由在上单调递增，且可知时，函数取得最小值可证．本题主要考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用，属于中档试题．21.答案：解：Ⅰ将P分为，，满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，则，；Q中所有元素之和为21，，不符合要求．Ⅱ若集合，，根据完美集合的概念知集合；若集合，，根据完美集合的概念知集合；若集合，，根据完美集合的概念知集合；故x的可能值为：7，9，11中任一个．Ⅲ证明：P中所有元素之和为：；；；；等式左边为正整数，则等式右边可以被4整除；或，即或解析：Ⅰ根据完美集合的定义，将P分为集合、、符合条件，将Q分成3个，每个中有两个元素，根据完美集合的定义进一步判断即可；Ⅱ根据完美集合的概念直接求出集合C，从而得到x的值；Ⅲ中所有元素之和为，根据，等号右边为正整数，可得等式左边可以被4整除，从而证明结论．本题主要考查了新定义“完美集合”概念，注意紧扣新的定义，列出所有可能情况，考查了分类讨论思想和转化能力，属于难题．。