不定积分计算的各种方法.
不定积分的计算
例
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
x
；
(a 0)
f (e )e dx
x x
f (e
)de
x
；
dx f (ln x) f (ln x)d ln x ； x
f (cos x) sin xdx f (cos x)d cos x
；
凑微分公式
f (sin x) cos xdx
f (sin x)d sin x
3.积分
F (u ) C
F ( ( x)) C.
4.u ( x)
认真 体会
回代
凑微分公式
通过实践，可以归纳出如下一般凑微分形式：
1 f ( ax b)dx a
f (ax b) xdx
2
f (ax b)d (ax b)
1 2a
(a 0) ；
f ( ax 2 b)d ( ax 2 b)
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
(uv) uv uv, or
uvdx uv vudx,
or
将被积函数u转换为v
udv uv vdu,
称之为 分部积分公式.
注1. 不能直接求
uvdx
改写 转化
求
不定积分计算的各种方法
不定积分计算的各种方法不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
计算不定积分的方法有很多种，下面将介绍其中常用的几种方法。
1.替换法（换元法）：替换法是求不定积分最常用的方法之一、通过引入一个新的变量代替原函数中的一部分，使得被积函数被替换为新变量的导数形式。
然后将积分转化为新变量的积分，最后再将结果换回原变量。
替换法适用于当被积函数具有其中一种特殊形式时，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
2.分部积分法：分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。
它通过将被积函数拆分成两个函数的乘积形式，然后将积分转化为其中一个函数的积分和另一个函数的导数的积分。
这个方法适用于当被积函数是两个函数的乘积形式时。
3.微分方程法：微分方程法适用于求解一些具有特殊形式的微分方程的原函数。
通过将微分方程转化为不定积分形式，并通过求解该不定积分得到原函数。
4.图像法：图像法适用于当被积函数的几何意义或图像特点已知时。
通过观察被积函数的几何性质，可以直接得出不定积分的结果。
5.线性代数法：线性代数法是一种较为复杂的计算不定积分的方法，适用于一些特殊的被积函数形式。
它通过将被积函数视为多项式的线性组合形式，并利用线性代数中的方法求解。
6.对称性法：对称性法适用于具有对称性质的被积函数。
通过利用函数的对称性质，可以将不定积分简化为更容易处理的形式。
7.勾股定理法：勾股定理法适用于当被积函数具有勾股定理形式时。
通过利用勾股定理，可以将不定积分转化为勾股定理的逆定理的形式，然后求解。
8.换项法：换项法适用于当被积函数的形式与换项公式相似时。
通过将被积函数拆分成一个或多个项的和的形式，然后通过换项公式对其中的其中一项进行换项，从而简化积分计算。
综上所述，计算不定积分时常用的方法有替换法、分部积分法、微分方程法、图像法、线性代数法、对称性法、勾股定理法和换项法等。
在实际计算中，可以根据被积函数的特点选择相应的方法，以简化计算过程并求得准确的结果。
关于不定积分计算的总结
关于不定积分计算的总结不定积分是微积分中的一个重要概念，主要用于求函数的原函数。
在计算不定积分时，需要掌握一些基本的积分公式和技巧，以及一些应用不定积分的方法。
下面是关于不定积分计算的一些总结。
一、基本不定积分公式：1. 常数函数：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数：∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1，C为任意常数。
3.正弦和余弦函数：∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫sec^2xdx=tanx+C∫csc^2xdx=-cotx+C∫secxdxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=-cscx+C。
4.指数和对数函数：∫e^xdx=e^x+C∫a^xdx=(a^x)/(lna)+C∫(1/x)dx=ln，x，+C。
5.反三角函数：∫1/(√(1-x^2))dx=sin^(-1)(x)+C∫1/(1+x^2)dx=tan^(-1)(x)+C。
二、通用技巧：1. 常数倍和求和：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
2. 反函数：如果F'(x)=f(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C。
3. 分部积分法：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
分部积分法适用于由两个函数的乘积构成的积分。
4. 代换法：设x=g(t)或t=h(x)，则dx=g'(t)dt或dx=(1/h'(x))dt。
代换法适用于需要进行变量代换的积分。
5. 三角函数的平方：∫sin^2xdx=(1/2)(x-sin(x)cos(x))+C∫cos^2xdx=(1/2)(x+sin(x)cos(x))+C。
6.分数分解：对于有理函数，可以使用部分分数分解的方法将其化简为简单的分式相加。
7.特殊函数的特殊方法：对于特定的函数形式，可以使用特殊的方法进行不定积分的计算，如有理函数的积分可以使用多项式的除法。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式
不定积分是求导的反向运算，是解决微积分问题的重要方法之一，而四则运算则是数学中最基本的运算方法之一。
在进行不定积分的过程中，我们也需要运用四则运算的相关公式，以便更加高效地解决问题。
下面是不定积分的四则运算公式：
1. 常数倍法则：∫ k*f(x) dx = k*∫ f(x) dx （k为常数）
2. 和差法则：∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx；
∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
3. 积法公式：∫ f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ g(x)f'(x) dx
4. 倒代换公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du （其中 u = g(x)）
通过掌握这些不定积分的四则运算公式，我们可以更加轻松地进行不定积分的计算，提高我们的数学解题能力。
- 1 -。
不定积分的方法总结
不定积分的方法总结教学过程：在实际问题的解决过程中，我们不仅要用到求导数和微分，还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本问题之一-----求不定积分.一、原函数１．引例1：已知物体运动方程s st，则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过来,已知物体的速度v是时间t的函数v vt,求物体的运动方程s st,使它的导数s t等于v vt,这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P是时间t的函数P Pt,则该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P t.反之,若已知某产量的变化率是时间t 的.函数Pt,求该产品产量函数Pt,也是一个求导数运算的逆运算的问题.2.（定义5.1）（原函数）设fx是定义在区间I上的函数．若存在可导函数Fx，对x I均有F x fxordFx fxdx,则称Fx为fx在I上的一个原函数.例如：由sinx cosx知sinx是cosx的一个原函数；又sinx 5 cosx,sinxc cosx（c是常数），所以sinx 5,sinx c也都是函数cosx的一个原函数.再如：由2x3 6x2知2x是6x的一个原函数；322x3 c 6x2，所以2x3 c（c是常数）也是6x2的一个原函数．注意：没有指明区间时，应默认为区间就是函数定义域．二、不定积分1．原函数性质观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质1若fx CI,则fx存在I上的原函数Fx.2若Fx为fx在I上的一个原函数，则Fx C都是fx的原函数,其中C为任意常数.3若Fx和Gx都是fx的原函数，则Fx Gx C.证明：Fx GxF xG x fx fx 0.C R, s.t.Fx Gx C.4设Fx为fx在I上的原函数,则fx在I上全体原函数为Fx C（其中C为任意常数）.2.（定义5.2）函数fx在I上的全体原函数称为fx在I上的不定积分,记作 C R,s.t. fxdx.即若Fx为fx在I上的一个原函数,则有 fxdx Fx C,C为任意常数.说明：1 ---积分号；2fx---被积函数；3fxdx----被积表达式.4x----积分变量.3.结论：①连续函数一定有原函数．②fx若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.提问：初等函数在其定义区间上是否有原函数？例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx）（一定有原函数，但原函数不一定还是初等函数.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2解（1）∵x 3x，∴32233xdx x C.x6 x655（2） C. x, xdx 6 6例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x1 1 x2dx arctanx C.1提问： dx arccotx C对吗？1 x21例3求 dx.x11解: lnx , dx lnx C.xx例4:某商品边际成本为100 2x,则总成本函数为Cx 100 2xdx 100x x2 C.3．导数与不定积分的关系f xdx fx C.1* dfx fx C.1dfxdx fx. dx2*d fxdx fxdx.2可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.提问:如何验证积分的结果是正确的?积分的导数是被积函数时正确二、不定积分的几何意义如图： fxdx Fx C，函数fx的不定积分表示斜率为fx的原函数对应的一簇积分曲线.在同一点x0处积分曲线簇的切线平行.此曲线蔟可由Fx沿y轴上下平行移动而得到．积分曲线：函数fx原函数y Fx的图形称为fx的积分曲线.不定积分的几何意义：fx的不定积分是一簇积分曲线Fx C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线互相平行.例5设曲线通过点P1,2,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线为y fx,依题意知x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,2于是fx x C,由f1 2 C 1,所求曲线方程为y x 1.提问：如何验证积分的结果是正确的？（结果求导必须是被积函数）小结：１．Fx为fx在I上的原函数,则fx在I上全体原函数Fx c为fx的不定积分，即2fxdx Fx c２．注意当积分号消失时常数ｃ产生．３．熟记积分公式，注意将被积函数恒等变形后用公式计算不定积分．课后记：存在的问题不能正确理解几何意义；计算错误较多，找不对原函数，写掉积分常数C.（提问）判断下列结论是否正确（不正确说明理由）13dx 3x C.2xdx3515x C6 C.4 1x2 1x C.5 1x lnx C.6 5xdx 5xln5 C.7 2exdx ex C.8 2sinxdx cosx C.9 11 x2dx arctanx c arccotx C.10 sec2xdx tanx C.11 csc2xdx cotx C.12 arcsinx C arccosx C.13 secxtanxdx secx C.12 cscxcotxdx cscx C.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
求不定积分的基本方法
说明: 此技巧适用于形为 acoxsbsin xdx的积分. ccoxsdsin x
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例 解1：2因. 求 为I1aco sx isx b n sixn dIx2 及 aco cx sox bssixndx. a acco oxxss b bssiin n xxdx b acco oxxss a bssiin n xxdx
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3. 分部积分法
uvdxuvuvdx
使用原则:
1) v 易求出
由 2) uvvdx;比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三”
的顺序, 排前者取为 u ,排后者取为 v .
计算格式: 列表计 算
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多次分部积分的 规 律
senc2x
(n 2 )se n 3 x c se xtc axn senc2xtaxn ( n 2 )sn e 2 x c (s 2 x e 1 )d x c
sen c2xtaxn(n2)In(n2)In2
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例8. 求
解:
设
x1, F(x)x1
x1
u u u
u (n) u(n1)
(1)n (1)n1
v(n1k) v(n1) v (n) v(n1) v
v
特别: 当 u 为 n 次多项式时u(,n1) 0,计算大为简便 .
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32x 22x
dx
1 ((3232))x2dxadxx axlnadx
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式
不定积分是微积分中的重要概念之一，而四则运算也是基本的数学运算。
在对不定积分进行计算时，常常需要运用四则运算。
以下是不定积分的四则运算公式：
1. 和的不定积分等于各部分不定积分的和。
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
2. 差的不定积分等于各部分不定积分的差。
∫(f(x)-g(x))dx=∫f(x)dx-∫g(x)dx
3. 乘积的不定积分可以通过积分分部法来求得。
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫g(x)f'(x)dx
4. 商的不定积分可以通过换元积分法来求得。
∫f(x)/g(x)dx=∫[f(g(x))/g(x)]g'(x)dx
在实际计算中，不定积分的四则运算常常需要与其他的积分技巧和公式相结合，才能得到最终的结果。
因此，对于不定积分的学习和掌握，需要不断地进行练习和实践。
- 1 -。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法基本的三种不定积分方法是：代入法、分部积分法和换元法。
这些方法都用于求解函数的不定积分，即求函数的原函数。
1.代入法：代入法是基本的一种不定积分方法。
它通过选取适当的变量代换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
首先，通过观察被积函数的形式，选取一个变量代换来简化函数。
例如，如果被积函数中有一个较为复杂的根式，我们可以选取一个新的变量，使得根式可以被表示为新变量的幂函数。
然后对新变量进行求导和求逆，并用新变量替代原变量进行积分。
举个例子，如果我们计算不定积分∫(x/(1+x²)) dx，我们可以选取u=1+x²，使得被积函数可以表示为 du/dx。
然后我们对等式两边同时求导，得到 du=2xdx，进而得到∫(x/(1+x²)) dx = ∫(1/u) du。
通过代入法，我们将原来的被积函数转化为了一个更简单的函数进行积分。
2.分部积分法：分部积分法是另一种常用的求不定积分的方法。
它是导数乘积的逆运算，通过将一个积分分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数的导数形式可以被简化。
分部积分法的公式为∫(u dv) = uv - ∫(v du)。
其中 u 和 v 分别为两个待定函数，du 和 dv 分别为其导数。
具体应用分部积分法时，我们首先选择一个函数 u 作为被积函数的导数，然后选取另一个函数 dv，使得 dv 尽可能简单。
然后我们计算出u 的导数 du 和 v 的不定积分。
例如，对于不定积分∫(x sinx) dx，我们可以选取 u=x，dv=sinx。
然后计算出 du=dx 和v=∫sinx dx=-cosx。
最后根据分部积分法公式，我们得到∫(x sinx) dx = -xcosx + ∫cosx dx = -xcosx + sinx + C。
通过分部积分法，我们将原来的被积函数分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数可以更容易地被积分。
3.换元法：换元法是一种常用的不定积分方法。
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解原式=
=
= （ 为任意常数）
注可用 来代替 .
例2.1.2求
解原式=
= （ 为任意常数）
例2.1.3求
解原式=
= （c为任意常数）
例2.1.4求
解原式=
=
=
说明直接积分法通常只能计算比较简单的积分或能够运用基本积分表计算的积分，当遇到比较难，比较复杂的积分的时候，通常无法直接积分，这时就要运用其它方法，下面将介绍并讨论其它几种求积分的方法.
1.不定积分的概念
定义[1]函数 在区间上 的全体原函数称为 在 上的不定积分，记作 ，其中称 为积分号， 为被积表达式， 为积分变量.
根据定义，如 是 的一个原函数，函数族 是 的不定积分， 属于常数，可以写作： . 称为积分常数， .于是我们可以得到：
2.不定积分的计算方法
2.1 直接积分法
通过研究，积分公式可由导数公式推导出来，通过归纳得到了一个积分表，
例[7]2.3.3求
解令
列表如下：
6 0
积分结果：
例2.3.4求
解令
列表如下：
……….
………
可以看出表中 与 两个函数的积 是一个能够计算出的不定积分，
通过计算得出结果：
例[8]2.3.5求
解
（求导） + （积分）
一次
—
二次
得：
所以
例2.3.6求
解
由（ii）可知第二换元积分法是第一换元积分法的逆行，换元与回代正好相反，其本质是把积分中的变量 用一适当的式子 来替换，变为另一种恒等形式的积分，所以可以把这种方法叫作替换变量法.基本形式: 设 ，其在题目中常用的换元方法有根式代换、三角代换、倒代换、指数代换、双曲代换、欧拉代换等变换，下面看应用此方法解决问题的例子[4]：
例2.2.5求
解令 ，得
原式=
=
=
=
例2.2.6求
解令 ，于是
例2.2.7求
解令
原式
例2.2.8求
解令 ，则 ，
原式=
=
=
=
注意由于用换元积分法求积分所得的结果还是换元后的形式，不能作为最终结果，因此要把变量换回原来的变量形式[5].
2.3 分部积分法
定理[1]（分部积分法）若 与 可导，不定积分 存在，则 也存在，并有 （3）
关键词：不定积分；直接积分法；换元积分法；分部积分法;
特殊类型函数的积分
Various Methods of Indefinite Integral calculation
Abstract
The indefinite integral problemplaysan importantrolein solving various points,the solving method is novel and diverse. This paper introduces a lot of indefinite integral calculation method and special indefinite integral calculation method. Example: Immediate integration,integration by substitution,integration by parts and a few special functions of integration techniques and methods. Amongthem, the element integral method includingfirstexchange elementintegral methodandsecond different element integral method.Some special types offunctions include indefinite integral of rational functions, Trigonometric rational expression of indefinite integralandSome unreasonable radicals of indefinite integral.Besides, introducing some new ideas for indefinite integral. The methods used in the calculation of indefinite integral of higher frequency andthese methods in the process of operation and application is both simple and practical.In this paper,combining the exampleanddiscussing the indefinite integral of quick and convenient way to solve it.
本科毕业论文（设计）
题 目：不定积分计算的各种方法
学 院:应用数学学院
专 业：数学与应用数学
姓 名：陈林朋
学 号：11020093
指导老师：谢如龙职称:副教授
论文字数：6395
完成日期：2015 年 5 月 26 日
巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.
Key words:indefinite integral,immediate integration,integration by substitution,integration by parts,special type function integral
引 言
不定积分及其计算是学习求解各种积分的基础，不定积分计算的各种方法及其应用对于学习更深层次的积分必不可少，掌握不定积分在学习积分方面具有重要作用.导数运算需要根据其逻辑关系一步步去计算，而不定积分的计算则不同，计算不定积分需要根据题型需要用合适的方法去求解，因此求解积分和求解导数相比来说，没有死板地根据模式来生搬硬套，反而更加灵活多样.为了能够更好地学习不定积分，我们需要对其方法要有足够的了解.
保密的毕业论Leabharlann (设计)在解密后遵守此规定.本人签名：
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导师签名：
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不定积分计算的各种方法
摘 要
不定积分的求解问题对求解各种积分具有重要作用，其求解方法新颖且多样.本论文将要介绍一些不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，例如：直接积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、分布积分法以及一些特殊类型函数的积分；其中一些特殊类型函数的积分有：有理函数的不定积分、三角函数有理式的不定积分、某些无理根式的不定积分,这类积分方法技巧做了介绍；除此之外介绍了一些求解不定积分的新方法，这些方法在不定积分的计算中使用的次数较高而且较为简单，并且这些方法在运算和运用过程中既简单又实用.本论文是通过结合例题探讨各种快捷方便的不定积分的解题方法.
2.2 换元积分法
定理[1]（换元积分法）：设 在 上有定义， 在 上可导，且 ，并记
（i）若 在 上存在原函数 ，则 在 上也存在原函数 ， ，即
= .（1）
（ii）又若 ，则上述命题（i）可逆，即当 在 上存在原函数 时， 在 上也存在原函数 = = ，即 = .（2）
（i）（ii）对应两种换元方法，分别是第一、第二换元积分法，（1）（2）是两种积分方法的积分公式.
凑微分 令
同代 ，下面看应用此方法解决问题的例子：
例2.2.1求
解原式= u=10x+3
= u=10x+3
例2.2.2求
解法一原式=
=
=
解法二原式=
=
=
用不同形式进行凑微分，可以得到不同形式的结果，但把结果代入原式进行检验，其都是对的.
例2.2.3求
解原式=
=
=
=
例2.2.4求
解
2.2.2 第二换元积分法
表中包含推导出的基本积分公式，我们把这个表叫做基本积分表.
1.
2.
3.
4. .
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
利用表中公式和一些不定积分的基本性质求不定积分，这种方法叫做直接积分法.如果被积函数进行一系列的恒等变换可以形成代数和的形式，并能逐项积分，那么可以用直接积分法求解[2].例如：
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巢湖学院本科毕业论文（设计）
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证由 或
左右两边同时求不定积分就可得到（3）式.常简写作 （4）
用分布积分法求积分主要在于 和 的选取，一般 不易求， 易求，分布积分法有几种常见的形式，如公式法、列表法.下面用几个例子说明：
2.3.1 公式法
利用公式（3）直接求积分[6]
例2.3.1求
解原式
例2.3.2求
解原式
2.3.2 列表法
对于求有些积分要多次反复使用分部积分公式才能求出解果，计算不仅长而且繁琐，还要注意符号的变化，在计算过程中容易产生错误，而列表法就能解决这些问题，其运算简单快捷，下面看几个例子：